修勻方法

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表 3-1、台灣地區婚姻死亡率狀況記錄

年度（西元年） 死亡人數(五齡組) 人口數(五齡組)

1973-1974 無 15~50+

1975-1991 15~85+ 15~50+

1992-1993 15~95+ 15~50+

1994-1997 15~95+ 15~100+

1998-2011 15~100+ 15~100+

第二節 修勻方法

生命表(Life Table)是壽險業在計算保險費率時的重要依據，可反映一個國家 或地區的人口死亡特性，通常是根據一年或數年的死亡記錄來計算生命函數(包 括死亡率、平均餘命、…)。由於各年齡組的死亡率可能因為人數或死亡人數的 數量產生上下震盪，而與死亡率隨年齡上升的結果有所偏差，因此編算生命表時 大多會使用修勻（Graduation;或譯為插補）方法，使修勻後的死亡率曲線滿足一 般的認知，像是隨年齡上升及曲線平滑等。下面介紹幾種修勻方法：

（一）核估計法（Kernel Estimation Method）

核估計法屬於統計學中的無母數方法（Nonparametric Method），首先由 Copas and Haberman（1983）與 Ramlan-Hansen（1983）應用於死亡率修勻，其原理為

1 余清祥，1997，修勻：統計在保險的應用，雙葉書廊

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藉由觀察值及核函數（Kernel Function）的作用，估計觀察值的密度函數（Density Function）。假設有一隨機變數（Random Variable）X，密度函數為 ( )f X ，由觀 念類似動態加權平均法（Moving Weighted Average，簡稱 MWA）；另一為本研究 所使用的方法，以各年齡的死亡人數與暴露數（Exposure）做加權平均，可表示

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Gompertz 於 1825 年提出，30 歲之後，人類的瞬間死亡率（Force of Mortality）

會隨著年齡增加而呈現出幾何級數的成長，並用一個簡易的公式來描述高齡人口

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Partial SMR 一開始是用來平滑流行病學中特殊年齡的死亡率（Age-special Rate），因為對人口較小的群體來說，估計死亡率的結果並不穩定而且有太多隨 機的變異因素影響真正的模式被評估，另外，有時還會出現需要取對數但分子為 零的狀況。Partial SMR 的核心是找到一個與被研究群體有相似年齡曲線的標準 群體，在詳細說明之前，我們先做名詞解釋。SMR（Standard Mortality Ratio，

簡稱 SMR）的意思是標準死亡比，為流行病學中常用的比較標準，其定義如下：

2 Lee, W. （2003）. "A partial SMR approach to smoothing age-specific rates." Annals of Epidemiology, 13(2), 89–99.

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陳政勳（2010）、金碩（2011）與曹郁欣（2013）皆曾將 Partial SMR 應用在 小區域人口的死亡率修勻，在本研究中，不同婚姻狀況的人口可視為小群體，參

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但在上述四種情況下，用 Partial SMR 的結果反而不佳，此時採用 Whittaker 比值 來修勻的效果比較好。

圖 3-1、死亡率比值（S ）情境 _x 資料來源：金碩（2011）

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（五）Whittaker 比值法

Whittaker 修勻法是由 Whittaker（1923）首創，Henderson（1924, 1925）改 良，所以也被稱為 Whittaker-Henderson 修勻法。余清祥在『修勻－統計在保險 的應用』（1997）中提到，Whittaker 修勻法同時兼顧適度性（Fit）與平滑性

（Smoothness）。所謂適度性代表修勻值與原始值之間的差異，也就是修勻程度，

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' 1

( _{z z})

v Whk k ^W u （3.13）

其中，k_z D_{n z 1}D_n1D_n

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

0 1 1

D

 

  

 

 

  

 

本研究是對死亡率的比值做 Whittaker 修勻，做法為將u 以死亡率比值取代，_x 得到v 為修勻後的死亡率比值。 _x

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