個案分析

本節中將探討具不同無因次轉軸半徑r 、傾斜角



、設定角



、預錐角



之 三維旋轉尤拉梁在不同斷面、不同無因次轉速k 之下的穩態解、無因次振動頻率

K 及振態。

本節中首先分析文獻

[19]

的例題，本文的分析使用橢圓斷面；接著本文 分析

.1.1

橢圓斷面旋轉梁的穩態變形及自然頻率

文獻

[23,24]

的例題，其斷面為矩形斷面。本節中將使用的各種斷面梁的

細長比列於表二。

4

表三至表五為橢圓斷面

a / b  10

、

L

_T

/ a  50

、

r

1、

k  0 . 005

、設定角



 0



、

45 

、

90 

、預錐角



 0、

3 0 

、 態解及自 表 ₀



60

及不同元素數目 N 的穩

然頻率， 中



為穩態解之最大膜應變，



_b及



_c為 y 及 z 兩方向之最大撓曲應變，

U

tip為在

X

₁^G 向之無因次端點軸向位移，

V 、

_tip

W

_tip為在

X

₂^G及

X

₃^G方向之無因 點側向 移， ₁

( 1 )

方

次端 位



為梁自由端上的扭轉角，



₁

( 0 . 1 )

為梁在 個長度位置

的扭轉率，

K

_i

( i =1

表五中可以發現

C10

的結果與文獻

19]

的結果非常接近，這是可預期的，因情況

C

與文獻

[19]

用了相 同錯誤的離心力。在

 0 

0.1

~7)

為前七個無因次自然頻率。由表三至

[



時，

A20

、

A50

、

B10

及

C10

的自然頻率很接近，這 也是可預期的，因



 0時，穩態解僅有軸向變形，各種情況的離心力幾乎相同。

而當



增加時，各種情況之穩態解跟

I = 2

、

3

之自然頻率的差距也增加，這應是 離心力的影響。表三至表四中

A20

及

A50

之結果的差距在



增加時也跟著增加，

當



 90、



 60時，

A20

無法收斂，故表五中使用

A50 A8

0，由表五中可 發現兩者的答案接近。由表三可知在



及

  0

、

  60 

時，

A20

及

A50

都發生了 發散不穩定

(divergence instability)

的 ，而 及

C10

都還沒發生，這可 能是因為

B10

及

C10

沒有考慮側向位移及軸向的拉伸變形。

圖八至圖十三為橢圓斷面

10

情形

B10

/ b 

a

、

L

_T

/ a  50

、

r



1

，分別在設定角

0

、

45

^、

90

^及不同預錐角不同轉速下的第一自然頻率曲線圖與第二自然 線圖 圖 發現





0

^、

45

^、

90

^之曲線在

0





頻率曲 ， 中可

k

 時有共同的起點。由

圖八可知在





0

、





0

時，

K

₁隨著轉速增加而增加；在





30

時，頻率

K

₁ 曲線變得平緩；在





45

時，轉速增加到

k



0 . 004785

時

K

₁

0

；在





60

 時，轉速增加到

k



0 . 00 38 9

時

K

₁

 0

。由圖九可知在



 0、



 0 時，

著轉速增加而增加 

2隨

K

；在





30

時，自然頻率

K 曲線變得

₂ 平緩；在





45

時，自 然頻率

K 曲線變得有下滑的傾向。從圖九可以發現在

₂





0

時，當



越大，曲 線的斜率就越小。由圖十與圖十二得知在





45

、

K 都隨著轉速增

₁ 加而增加，且當同一轉速下，

90

時，



越大則

K

₁越小。從圖十 可一 以發現在



 45時，

當



越大，

K 就越快從

₂

I = 2

轉為

I = 4

，且當同一轉速下，



越大則 。

由圖十三可 

2越

K

小

知在





90

、





0

時，

K 隨著轉速增加而增加；在

₂





3 0

時，

K

₂ 隨著轉速增加到

k



0 . 00225

而

；在

增加， 轉速再增加，

K

₂會從

I = I =

且隨著轉速增加而 

但

2

轉為

4

，

減少



 45 時，

K

₂隨著轉速增加到

k



0 . 00175

而增 加，但轉速再增加，

K 會從

₂

I = 2

轉為

I = 4

，且隨著轉速增加而減少；在





60

 時，

K 隨著轉速增加到

₂

k



0 . 0015

而增加，但轉速再增加，

K 會從

₂

I =

I = 4

， 隨著轉速增加而減 十三可以發現在 

2

轉為 且 少。從圖



 90 時 當，



越大，

K

₂

就越快從

I = 2

轉為

I = 4

，且當同一轉速下，



越大則 。

圖十四至圖十六為橢圓斷面

10

K

2越小

/ b



a

、

L

_T

/ a



50

、

r



1

，在不同預錐角不





0



同轉速下的位移分布圖。由圖十四可知在 時，旋轉 僅有一個側向位移

W ，從圖十四可以發現位移隨著轉速及

梁



增加而增加。由圖十五可知在



 45 時，旋轉梁有兩個側向位移，從圖十五可以發現位移隨著



增加而增加及

比產生的側向位移

大細長

V 大於小細長比產生的側向位移W 。由圖十六可知在 



90

 時，旋轉梁僅有一個側向位移V ，從圖十六可以發現位移隨著轉速及



增

加。

加而增

4.1.2

矩形斷面旋轉梁的穩態變形及自然頻率

表六至表八為考慮矩形斷面

a / b



0 . 05

、

/ a  60

解及自然

L

_T ，在不同無因次轉速、

不同設定角、不同預錐角及不同元素 態 頻率，其中文獻

[23,24]

的結果分為

a

、

b

、

c

三種情況，

a

為幾何非線性取到二次項，

b

為幾何非線性 取到三次項，

c

為實驗結果。在文獻

[23,24]

中當 

數目N 的穩



0



、

22 . 5

^、

45

^時，分別 使用無因次轉軸半徑

r



0 . 6667

、

0.6587

、

0.636

。由表六可得知當

k



0

^、





0

、





0



時，本文的結果

= 3

的頻率與

a

、

b

的結果相近， 的頻率則 於

a

、

b

的結果；當  30

A20

中

I I = 4

稍微大



、



 0時，在不同轉速下

A20

的自然頻率 都與

a

、

b

、

c

的結果相近，

b

、 果更為相近。表六可以發現當轉速 增加時，自然頻率也跟著增加。表七可得知當 

其中與

c

的結



60



、





22 . 5

，轉速較低 時

A10

及

A20

中的自然頻率與

a

、

b

、

c

的自然頻 ，而 加時，

A10

及

A20

中的

K

₁和

K

₃比

b

的結果更接近

c

，

A10

、

A20

、

a

、

b

的

K

₄都有減少的 情況發生，

a

、 減少的幅度較不大。

A10

及

A20

的穩態變形及自然頻率都 很接近。當  90

率相近 當轉速增

但

b



、



 22.5時，不同轉速下的自然頻率都比

a

、

b

的結果更 接近

c

，其中 現 其他的自然頻率都隨著轉速增加而增加。表 八可得知  0

可以發 除了

K

₂，



、



 45時，

A10

及

A20

中轉速較低的自然頻率與

a

、

b

、

c

相 近，而當轉 加時 、

A20

、

a

、

b

的

K

₅都有減少的情況產生，但

A10

及

A20

減少的幅度較大。當  90

速增 ，

A10



、



 45時，不同轉速下的自然頻率都比

a

的結果更接近

c

。

圖十七至圖十九為對應於表八





0

，





0

，





45

時自然頻率對應 的模態圖，在





45

時，第一個振態為 X 軸方向的振態₃^G

I =

3，在

k



0

時會 產生軸向或扭轉的分量，第二及第五個振態為扭轉方向的振態

I = 4

圖十 七可見各轉速的第二振態都很接近，由圖十九可見第五個振動模態在 

0

，由

k

時

X

₂G軸方向的分量不可忽略。由圖十七至圖十九可知在表八的情況下， 於 及第五個振態的自然頻率會有交叉的情形產生。

對應 第四

表九為考 慮 矩 形 斷 面

a / b



0 . 05

、

L

_T

/ a  200

及



 15 和矩 形 斷 面

06

. 0

/ b

 、

L

_T

/ a



166 . 67

及

a 



45

，在

r



0

、





0

、不同無因次轉速及

目 於這 況下 非線性取到二次項會

產生不穩定的情形，所以僅列三次項的結果，文獻

[24]

的結果分為

a

、

b

兩種情況，

a

為幾何非線性取到三次項，

b

為

MSC NASTRAN

的結果。由表九可得知上 述兩種情況的自然頻率，

A50

的結果比

a

的結果更接近

b

。表九可以發現當

05 . 0

不同元素數

N 的穩態解及自然頻率，由

些情 幾何

/ b



a

、

L

_T

/ a



200

及





15

時，除了

K 和

₃

K ，其他的自然頻率都隨

₅

而

K

轉速增加 增 再減少；當

0 . 06

著轉速增加 增加，其中 ₅是隨著 先 加

a / b

 、

67

. 166 / a 

L

_T 及



 45時

K

₁和

K

₅隨著轉速增加而增加，

K

₂和

K 隨著轉速增加而減少。本文中使用共旋轉有限元

3

素法結合浮動框架法推導運動方程式僅須保留到二次項，元素夠多即有正 確的結果。

表十至表

，

K

₄隨著轉

速增加先增加再減少，

1 . 0 / b



a

、

L

_T

/ a



100

及





15



十三為考慮矩形斷面 和矩形斷

面

a / b



0 . 25

、

L

_T

/ a



40

及





45

，在

r



0

或

1

、





0

、 因次轉速

及不同元素數目

[23,2

果分為

a

、

b

兩種

情況，

a

為幾何非線性取到三次項，

b

為

MSC NASTRAN

的結果。由表十可 得知當

0 . 1

不同無

N 的穩態解及自然頻率，其中文獻 4]

的結

/ b



a

、

L

_T

/ a  100

、



 0、



 15、

r



0

及

k



0.02030

時，側

向的最 變

1

， 的結果比較接近。除了

K

₃，

其他的自然頻率都隨著轉速增加而增加。由表十一可得知當 1 大撓曲應 已超過

0.0 A50

的結果跟

b

r

時，跟

r



0

時自然頻率的趨勢相似。由表十二可得知當

a / b



0 . 25

、

L

_T

/ a



4 0

、





0

、





45



、

r



0

及

k



0.02537

時，側向的最 已

1

， 的

的結果比較接近。除了

K

₂和

K

₄，其他的自然頻率都隨著轉速增加而 增加。由表十三可得知當 

1

大撓曲應變 超過

0.0 A50

結果跟

b

r

時 除

K 和

₂

K ，其他的自然頻率都隨著轉

₄ 速增加而增加，其中

K 是

₄ 轉速增加 增 再減少。

表十四至表二十一為考慮矩 形 斷 面

， 隨著

了

先 加

05 .

 0 b

a

、

L

_T

a  60

、

r

1、





1 5



、

30

、



 0、

30

、

60

、

90

、

45

無 轉

態 自 。

5



.



22



、 ，在不同 因次

及



速下的穩 解 然頻率 當

r



0

、

k



0

、





0

、





0

或

90

、





0

時，

旋轉梁的穩態解有軸向和兩個側向變形；當

r



0

、

k



0

、





0

或

90

 、





 0 時，旋轉梁的穩態解有軸向、扭轉及兩個側向變形。

二十至圖二十二為對應於表十五

15

^

圖



 ，





30

^，





22 . 5

^時自然 頻率對應的模態圖，在





15

時，任何方 態 所 分量，

其中扭轉分量

I = 4

造成的影響最為明顯。由圖二十至圖二十二可知在表十五 情況下，對應於第四及第五個振態的自然頻率會有交叉的情形產生。

圖二 十 三 和圖二 十 四 分別為矩 形 斷 面

0 . 06

向的振 裡面皆有 有方向的

/ b



a

、

L

_T

/ a  166 . 6 7

、



0

r

、





0

、



 0、



 45，在不同轉速 率 位 可以 ₁、

K

₂及

K

₄不隨著轉速增加而有明顯變 化，

K

₃隨著轉速增加而減少，

K

著 速增 而增加。當 

0

下的自

加

然頻 曲線圖和端點 移曲線圖。由圖二十三 發現

K

5隨 轉

k

、





0

、



0



或 

90

、





0

時，在梁未變形時慣性力有軸向和單一側向分量，故

的 解 和單一側向變形。由圖二十四可以發現端點位移隨著

轉速增加而增加及端點的側向變形比軸向變形更大。

旋轉梁

.1.3 I

穩態 有軸向

4

形斷面旋轉梁的穩態變形及自然頻率

30

表二十二到表三十三為

I

形斷面

W 10

 ，總長與斷面高度比為



25

nom T

d

L

，

r



1

在不同傾斜角、不同設 同預錐角及不同轉速下 動 。在 

0



定角、不

的穩態解及振 頻率



、

5

、

15

、

30

、





0

、





22 . 5

、

45

 的情況之下，從表二十二到表二十四可得知自 頻率

K

著轉速增加而增加及在 

0



然

K

₄、 ₇及

K

₈都會隨



時各種振態的自然頻率隨著轉速增加而轉為

I

= 4

。由表二十四可以發現在





0

時與橢圓斷面相似，會有發散不穩定產生 的情形。

表二十六到表二十九為





0

、

5

、

15

、

30

、



 45、



22.5、



45

的情況，表中可發現除了 率 ₂及 ₆， 中 轉速 減 其他則會隨著轉速增加而增加。

由表二十七可知在 

30



自然頻

K K

其

K

₂隨著 增加而 少，



及





22 . 5

的情況下，

K 的振態不隨著轉速增加

₄ 而改變，而其他各種振態的自然頻率也都會隨著轉速增加而轉為

I = 4

。

表三十到表三十三為





0

、

5

、

15

、

30

、





90

、





22 . 5

、

4 5

 的情況，表中可發現自然頻率隨著轉速改變的情形與設定角



 45的情況 類似。由表三十及表三十二可知在





0

、

5

、





22 . 5

及





0

、





45

 的情況下，

K 或

₄

K 的振態不隨著轉

₆ 而 變

頻率也都會隨著轉速增加而轉為

I = 4

。

圖二十五與圖二十六為分別在 

速增加 改 ，而其他各種振態的自然



0



、

5

、

30

^、





0

^、

45

^、





45

， 在不同轉速下的第一自然頻率曲線圖 自 頻 曲線 圖中可發現曲線在



0

與第二 然 率 圖，

k

時有共同的起點。由圖二十五可知當



 0時，其中在





0

，轉速增加

009025

. 0

k

 時

K

₁

0

，而當





0

，

K 隨著

₁ 轉速增加而先減少再增加；當

 到



 45 時，

K

₁都隨著轉速增加而增加；當同一轉速下，若



相同時，



越大則

1 若

K 越大， 

相同時，



越大則

K 越大。由圖二十六可以發現

₁

K 都有減少的

₂ 趨勢及當同一轉速下，若



相同時，



越大則

K 越小。

₂

圖二十七到圖三十四為對應於表二十四





0

、

5

、





0

^、





45

與 表二十八





0

、

5

、





45

^、





45

時自然頻率對應的模態圖，在





0

 及





0

^時 向的振 、

3

生扭轉方向的分量

I = 4

，扭轉 態 產生

X

₃^G軸方向的分量

I = 3

；在 

，側 態

I = 2

都會產 的振

I = 4

會





5

及





0

^時，側向的振態

I = 2

、

3

都會產生扭轉方向的分量

I = 4

；在



， 向的振態裡面皆有所 有方向的分量，其中扭轉分量

I = 4

造成的影響最為明顯。

時



45

任何方

4.1.4

十字斷面旋轉梁的穩態變形及自然頻率







b t

d 14



7



0 . 35 (in)

，總長與斷面

表三十四到表四十五為十字斷面

高度比為

L

_T

d  10

，

r

1在不同傾斜角、不同設定角、不同預錐角及不同 轉速下的穩態解及振動頻率。在設定角



 0的情況之下，從表三十四到表 三十七可得知自然頻率

K

₃及

K

₅都會隨著轉速增加而增加及在





0

時各 種振態的自然頻率隨著轉速增加而轉為

I = 4

。

表三十八到表四十一為設定角



 45的情況，表中可發現除了自然頻

率 ₂及

K 會隨轉速增加而先增加再

₈ 其他則會隨著轉速增加而增加。

由表三十九可知在 

30



由表三十九可知在 

30



在文檔中 以有限元素法分析具預錐角之三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動 (頁 78-86)