以有限元素法分析具預錐角之三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動

(1)

國立交通大學

機械工程學系

碩士論文

以有限元素法分析具預錐角

之

三維旋轉傾斜尤拉梁的

穩態變形與自由振動

Steady State and Free Vibration Analysis of a Three Dimensional Rotating Inclined Euler Beam with Precone Angle by Finite Element Method

研究生：翁林甫

指導教授：蕭國模博士

(2)

以有限元素法分析具預錐角

之

三維旋轉傾斜尤拉梁的

穩態變形與自由振動

研究生：翁林甫 Student： Weng-Lin Fu

指導教授：蕭國模博士 Advisor： Dr. Kuo-Mo Hsiao

國立交通大學機械工程學系碩士班

碩士論文

A Thesis

Submitted to Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master of Science

in

Mechanical Engineering August 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

中華民國一百年八月

(3)

以有限元素法分析具預錐角之三維旋轉傾斜尤拉梁的

穩態變形與自由振動

研究生：翁林甫指導教授：蕭國模博士

國立交通大學機械工程學系碩士班

摘要本研究主要利用共旋轉有限元素法結合浮動框架法(floating frame method)推導旋轉傾斜尤拉梁的運動方程式，探討具任意設定角、傾斜角與預錐角之等速旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形及以該穩態變形為平衡點的自然振動頻率。本文將旋轉梁的運動方程式建立在一個剛接在其轉軸的總體座標上，本文在梁元素當前的變形位置上建立元素座標，當前的元素座標與總體座標有相同的速度、加速度、角速度、角加速度。本文利用非線性梁理論的一致線性化、d’Alembert 原理和虛功原理在當前的元素座標上推導梁元素的節點變形力、節點慣性力。元素的剛度矩陣是由元素的節點變形力對節點

(4)

矩陣(mass matrix)、陀螺矩陣(gyroscopic matrix) 是由元素的節點慣性力分別對節點參數的微分、節點參數對時間之二次微分的微分、節點參數對時間之一次微分的微分求得。為考慮軸向、扭轉及兩個撓曲變形間的耦合，元素的節點變形力中保留節點參數和其微分到二次項以及扭轉率的三次項，因本穩考慮之振動為微小的振動，元素的節點慣性力中僅保留節點參數和其對時間之微分到一次項。將系統的非線性運動方程式中對時間的微分項去掉即為系統的穩態平衡方程式，將系統的運動方程式用泰勒級數在穩態變形的位置展開，取到一次項，即為旋轉梁微小振動的運動方程式。本文利用基於牛頓法的增量迭代法求出軸向、扭轉及兩個側向位移的穩態解。旋轉傾斜梁的頻率方程式為一組代數齊次方程式，該組齊次方程式為一個二次特徵值問題，其係數形成之矩陣的行列式為零時的根，即為自然振動頻率，因該組方程式中存在陀螺矩陣，故其自然振動頻率所對應的振動模態為複變數。本文以二分法來求行列式為零時的根。本研究以無因次化的數值例題，探討不同梁斷面、設定角、傾斜角、預錐角、無因次旋轉速度以及無因次轉軸半徑對旋轉尤拉梁之穩態變形、自然頻率及振態的影響。

(5)

Student：Fu Weng-Lin Advisor：Dr. Kuo-Mo Hsiao

Department of Mechanical Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

In this paper a co-rotational finite element formulation combined with the floating frame method is proposed to derive the equations of motion for a rotating Euler beam at constant angular velocity. The steady state deformation and natural frequency of the infinitesimal free vibration measured from the position of the corresponding steady state deformation are investigated for rotating Euler beams with setting angle, inclination angle and precone angle. The equations of motion of the rotating beam are defined in an inertia global coordinates which are coincident with a global moving coordinates rigidly tied to the hub of the rotating beam. The inertia and moving element coordinates, constructed at the current configuration of the beam element, are coincident. The velocity, acceleration, angular velocity, and angular acceleration of the current moving element coordinates are set to be the same as those of the global coordinates of the rotating beam. The element deformation nodal forces and inertia nodal forces are systematically derived by consistent linearization of the fully geometrically non-linear beam theory using the d'Alembert principle and the virtual work principle in the current inertia element coordinates. The element stiffness matrix may be obtained by differentiating the element deformation nodal forces with respect to the element nodal parameters. The element centripetal stiffness matrix, mass matrix, and gyroscopic matrix may be obtained by differentiating the element inertia nodal forces with respect to the element nodal parameters, the second time derivative of the element nodal parameters and the first time derivative of the element nodal parameters, respectively. In order to include the nonlinear coupling among the bending, torsional, and stretching deformations, the terms up to the second order of deformation

(6)

parameters and their spatial derivatives, and the third order term of twist rate are retained in element deformation nodal forces. However, only infinitesimal free vibration is considered here; thus only the terms up to the first order of deformation parameters, and their spatial derivatives and time derivatives are retained in element inertia nodal forces.

The steady state equilibrium equations may be obtained by dropping the terms of the time derivatives in the equation of motion. The governing equations for linear vibration may be obtained by the first order power series expansion of the equation of motion at the position of the corresponding steady state deformation. The frequency equation for free vibration of rotating beam is a quadratic eigenvalue problem.

An incremental-iterative method based on the Newton-Raphson method is employed for the solution of nonlinear steady state equilibrium equations. The natural frequencies are determined by solving the quadratic eigenvalue problem using the bisection method.

Numerical examples are studied to investigate the steady state deformations and the natural frequencies of rotating Euler beams with different cross sections, inclined angles, setting angles, precone angle, angular velocities, radiuses of hub, and slenderness ratios.

(7)

誌謝

衷心感謝指導教授蕭國模博士在這兩年期間的指導與教誨，使本論文得以順利完成，蕭老師在研究上嚴謹的態度以及對日常生活上的關懷，使我受益良多，在此致上最高的敬意及謝意。也感謝蔡佳霖老師及尹慶中老師撥冗擔任口試委員並對本論文所提出的指正與建議，使本論文能夠更臻完善。感謝蔡明旭學長在研究上的協助與照顧以及生活上的互相照應。感謝同學盧志群和黃楚璋在課業上的幫忙。最後再感謝學妹許彤羽在學業以及各方面的砥礪與成長。感謝母親、在天上的父親、關心我的親人、女友及朋友對我的支持與鼓勵，僅以此成果與榮耀，獻給我親愛的父母、親人、女友以及所有關心我的人。

(8)

目錄中文摘要………..……….… I 英文摘要……….………….……….… III 誌謝……….……….……... V 目錄…….……….……... VI 表目錄………..……… VIII 圖目錄……….……. XV 第一章緒論..……….………..…….. 1 第二章理論推導..………..…... 9 2.1 問題描述……….. 9 2.2 基本假設……….………..…... 9 2.3 座標系統描述……….………..…………..…... 9 2.4 旋轉向量………...………...………... 12 2.5 Euler 梁的變形描述...……….………….….... 12 2.6 Euler 梁的應變、速度、加速度………..………..…... 17 2.7 元素節點內力之推導……….………….………...….. 24 2.8 元素剛度矩陣及慣性矩陣之推導……….………..…... 30 2.9 系統的運動方程式..………...…… 33 2.10 無因次化………...…..……… 38

(9)

第三章數值方法及程序………...……..………... 46 3.1 穩態解………...………..……... 47 3.2 振動分析………...…….…...… 49 第四章數值例題………..……….…….... 53 4.1 個案分析………..…..……….…. 55 第五章結論與展望………..……….…… 63 參考文獻 ……….…….. 65 附表………..…….….. 69 附圖……….……….………..………. 113 附錄 A………... 155 附錄 B………... 157 附錄 C………... 162

(10)

表目錄 表一無因次轉軸半徑 r 、傾斜角



、設定角



、預錐角



對穩態變形的影響 ……..………..……….………...………..…. 69 表二不同斷面梁的細長比..….………...………..…. 69 表三旋轉梁不同預錐角的收斂性及準確性分析 (橢圓斷面a/b 10，L_T /a50， 1000n_y  ，n_z 100，r 1，   0



，k 0.005)……..………..……….………..…. 70 表四旋轉梁不同預錐角的收斂性及準確性分析 (橢圓斷面a/b 10，L_T /a 50， 1000n_y  ，n_z 100，r 1，   45



，k 0.005)……..………..………..…. 71 表五旋轉梁不同預錐角的收斂性及準確性分析 (橢圓斷面a/b 10，L_T /a 50， 1000n_y  ，n_z 100，r 1，   90



，k 0.005)……..………..………..…. 72 表六旋轉梁不同設定角不同轉速的準確性分析 (矩形斷面a/b 0.05，L_T /a 60，r 0.6667，



 0，



 0) ………..………..………..…. 73 表七旋轉梁不同設定角不同轉速的收斂性及準確性分析 (矩形斷面a/b 0.05，L_T /a60，r 0.6587，



 0，  22.5



)………..………..……….…..…. 74 表八旋轉梁不同設定角不同轉速的收斂性及準確性分析

(11)

(矩形斷面a/b 0.05，L_T /a60，r 0.636，



 0，



 45) ………..………..………..…. 75 表九旋轉梁不同預錐角不同轉速不同斷面的收斂性及準確性分析 (矩形斷面L_T /b10，r 0，



 0，



 0)………..…. 76 表十旋轉梁不同轉速的收斂性及準確性分析 (矩形斷面a/b 0.1，L_T /a100，r 0，



 0，



 0，   15



)………..………..………..…. 77 表十一旋轉梁不同轉速的收斂分析 (矩形斷面a/b 0.1，L_T /a100，r 1，



 0，



 0，



 15)………..………..………... 78 表十二旋轉梁不同轉速的收斂性及準確性分析 (矩形斷面a/b 0.25，L_T /a40，r 0，



 0，



 0，



 45)………..………..……….. 79 表十三旋轉梁不同轉速的收斂分析 (矩形斷面a/b 0.25，L_T /a40，r 1，



 0，



 0，   45



)………..………..………... 80 表十四旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (矩形斷面a b 0.05，L_T a 60，r 1，



0，



22.5， 50  N )………..………..………... 81 表十五旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率

(12)

(矩形斷面a b 0.05，L_T a 60，r 1，



0，



22.5， 50  N )………..………..………... 82 表十六旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (矩形斷面a b0.05，L_T a 60，r 1，



0，



22.5， 50  N )………..………..………... 83 表十七旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (矩形斷面a b0.05，L_T a 60，r 1，



0，



22.5， 50  N )………..………..………... 84 表十八旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (矩形斷面a b0.05，L_T a60，r 1，



0，



45， 50  N )………..………..………... 85 表十九旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (矩形斷面a b0.05，L_T a60，r 1，



30，



45， 50  N )………..………..………... 86 表二十旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (矩形斷面a b0.05，L_T a60，r 1，



60，



45， 50  N )………..………..………... 87 表二十一旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (矩形斷面a b0.05，L_T a60，r 1，



90，



45，

(13)

50  N )……….…..……….... 88 表二十二旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，



22.5， 50  N )……….…..……….... 89 表二十三旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，



22.5， 50  N )……….…..……….... 90 表二十四旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，



45， 50  N )……….…..……….... 91 表二十五旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，



45， 50  N )……….…..……….... 92 表二十六旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



45，



22.5， 50  N )……….…..……….... 93 表二十七旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



45，



22.5， 50  N )……….…..……….... 94

(14)

表二十八旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



45，



45， 50  N )……….…..……….... 95 表二十九旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



45，



45， 50  N )……….…..……….... 96 表三十旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



90，



22.5， 50  N )……….…..……….... 97 表三十一旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



90，



22.5， 50  N )……….…..……….... 98 表三十二旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



90，



45， 50  N )……….…..……….... 99 表三十三旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



90，



45， 50  N )……….…..……….. 100 表三十四旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率

(15)

(十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0， _， 5 . 22 



N 50)…………..………..……...……….... 101 表三十五旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0， _， 5 . 22 



N 50)…………..………..……...……….... 102 表三十六旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0，  45 



，N 50)…………..………...…...….…... 103 表三十七旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0，  45 



，N 50)…………..………...…...….…... 104 表三十八旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



45， _， 5 . 22 



N 50)…………..………..……...……….... 105 表三十九旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



45， _， 5 . 22 



N 50)…………..………..……...……….... 106 表四十旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



45，

(16)

 45 



，N 50)…………..………...…...….……... 107 表四十一旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



45，  45 



，N 50)…………..………...…...….…... 108 表四十二旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



90， _， 5 . 22 



N 50)…………..………..……...……….... 109 表四十三旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



90，  5 . 22 



，N 50)…………..………..……...……….... 110 表四十四旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



90，  45 



，N 50)…………..………...…...….…... 111 表四十五旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



90，  45 



，N 50)…………..………...…...….…... 112

(17)

圖目錄圖一無設定角、傾斜角和預錐角的旋轉梁結構………..….…….. 113 圖二無設定角、傾斜角和預錐角之旋轉梁結構的三視圖………...….. 113 圖三具設定角、傾斜角和預錐角的旋轉梁結構………...…….…. 114 圖四具設定角、傾斜角和預錐角的旋轉梁結構示意圖………….….... 115 圖五梁之位移以及座標系統關係圖………....……. 116 圖六旋轉向量圖………..……... 116 圖七梁的斷面圖………. 117 圖八轉速–第一自然頻率圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r1，   0



，



 0)...………..…..….……. 118 圖九轉速–第二自然頻率圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r 1，   0



，



 0)….………...…… 119 圖十轉速–第一自然頻率圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r1，   0



，



 45)………..……..….…..… 120 圖十一轉速–第二自然頻率圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r1

(18)

，



 0，



 45)………..……..….…..… 121 圖十二轉速–第一自然頻率圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r1 ，



 0，



 90)………..……..….…..… 122 圖十三轉速–第二自然頻率圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r1 ，



 0，



 90)………..……..…..…..… 123 圖十四位移分布圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r 1 ，



 0，



 0)………..…………..…..… 124 圖十五位移分布圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r1 ，



 0，



 45)………..………..……..… 125 圖十六位移分布圖 (橢圓斷面L_T /a 50，a/b 10，n_y 1000，n_z 100，r1 ，



 0，



 90)………..……..…..…..… 126 圖十七旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (矩形斷面a/b0.05，L_T /a60，r0.636，



 0，



 0，   45



，N 20)…….………...……... 127

(19)

圖十八旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (矩形斷面a/b0.05，L_T /a60，r0.636，



 0，



 0，   45



，N 20)…….………...……... 128 圖十九旋轉梁不同轉速下的第五振動模態 (矩形斷面a/b0.05，L_T /a60，r0.636，



 0，



 0，   45



，N 20)…….………...……... 129 圖二十旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (矩形斷面a b0.05，L_T a 60，r 1，



15，



30， _， 5 . 22 



N 50)…….………...…….... 130 圖二十一旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (矩形斷面a b0.05，L_T a 60，r 1，



15，， _，  30 



5 . 22 



N 50)….………...…….... 131 圖二十二旋轉梁不同轉速下的第五振動模態 (矩形斷面a b0.05，L_T a 60，r 1，



15，， _，  30 



5 . 22 



N 50)….………...…….... 132 圖二十三轉速–自然頻率圖 (矩形斷面a/b0.06，L_T /a166.67，r 0，



 0，



 0，   45



)…....……….……….……... 133 圖二十四轉速–頂點位移圖

(20)

(矩形斷面a/b0.06，L_T /a166.67，r 0，



 0，



 0，   45



)….………….……….……... 134 圖二十五轉速–第一自然頻率曲線 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



45，N 50) ….………...…….... 135 圖二十六轉速–第二自然頻率曲線 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



45，N 50) ….………...…….... 136 圖二十七旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，



0，



45， 50  N )….………...……... 137 圖二十八旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，



0，



45， 50  N )….………...……... 138 圖二十九旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



5，



0，



45， 50  N )….………...……... 139 圖三十旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



5，



0，



45， 50  N )….………...………... 140 圖三十一旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，



45，

(21)

 45 



，N 50)….………...……... 141 圖三十二旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



0，，，  45 



 45 



N 50)….………...……... 142 圖三十三旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



5，，，  45 



 45 



N 50)….………...……... 143 圖三十四旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (I 形斷面W1030，L_T d_nom 25，r 1，



5，，，  45 



 45 



N 50)….………...……... 144 圖三十五轉速–第一自然頻率曲線 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



45， 50  N )….………..………...…….... 145 圖三十六轉速–第二自然頻率曲線 (十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



45， 50  N )….………..………...…….... 146 圖三十七旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0， _， _{)….………...………...……... 147} 0 



_

_₄₅

(22)

圖三十八旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0， _， _{)….………...………...……... 148} 0 



_

_₄₅ 圖三十九旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



5， _， _{)….………...………...……... 149} 0 



_

_₄₅ 圖四十旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (十字斷面d bt 1470.35，L_T d 10，r 1，



5， _， _{)….………...………...……... 150} 0 



_

_₄₅ 圖四十一旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0， _， _{)….……….………...……... 151} 45 



_

_₄₅ 圖四十二旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態 (十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



0， _， _{)….……….………...……... 152} 45 



_

_₄₅ 圖四十三旋轉梁不同轉速下的第一、第二振動模態 (十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



5， _， _{)….……….………...……... 153} 45 



_

_₄₅ 圖四十四旋轉梁不同轉速下的第三、第四振動模態

(23)

(十字斷面dbt 1470.35，L_T d 10，r 1，



5，

_， _{)….……….………...……... 154}

45 

(24)

第一章緒論

旋轉梁結構在日常生活中有很多實際上的應用，像是吊扇、渦輪的葉片、直升機的旋轉翼、風力發電機的葉片、衛星的支臂、飛機的螺旋槳和機械手臂。振動分析在旋轉梁的設計與分析上扮演著很重要的角色，文獻上在這方面已經有很多的研究。在文獻上旋轉梁結構主要包含繞其軸心旋轉之柱和剛接在其上的梁。如圖一、圖二所示，設一剛接在圓柱的右手參考座標系統，其原點取在旋 轉梁斷面的形心軸與旋轉圓柱的交點(即 O 點)， 軸與旋轉軸垂直且交於 A點，軸與旋轉軸垂直、軸與旋轉軸平行。但旋轉梁結構往往因為製造上的誤差或本身設計上的考量，梁斷面的主軸面不ㄧ定與旋轉軸平行或垂直，梁以 O點為圓心繞軸旋轉一個角度為設定角(setting angle) 1 X 2 X X₃ 1 X



；梁軸之延長線不ㄧ定垂直旋轉軸，梁以 O點為圓心繞X₂軸旋轉一個角度為預錐角(precone angle)



；梁軸之延長線不ㄧ定與旋轉軸相交，梁繞軸旋轉一個角度為傾斜角(inclination angle) 3 X



，如圖三所示。旋轉梁結構在現實中通常會具有預錐角，文獻[1,2]分別回顧 1981 年前及 1984 年前關於旋轉梁結構的振動分析，發現很少有文獻會去探討預錐角對旋轉梁的影響，1984 年後的文獻也很少有探討預錐角的情形。文獻 [3-7,9-17]考慮預錐角為時，不同傾斜角與設定角對旋轉梁的影響，其中文獻[3-7,9-11]只有考慮傾斜角為的情況；文獻[18,19,21-27]考慮不同預錐角的情形。當旋轉梁預錐角為且設定角為或時，若傾斜角為，穩態變形僅包含軸向變形[9-11]，若傾斜角不為，穩態變形包含軸向變形及一個側向位移[12,13]，但文獻[14]僅考慮軸向變形，文獻[9-14]只考慮旋轉梁的二維振動；當預錐角為且設定角不為或時，若傾斜角為，穩態變形僅包含軸向變形及軸向扭轉[15,16]，但文獻[4]僅考慮軸向變形，若傾斜角不為，穩態變形包含軸向、扭轉位移及兩個側向位移[18]，但文獻  0  0  0 0  0  0  90  90  0  0  0  0

(25)

[14]僅考慮軸向變形，文獻[15-17]考慮旋轉梁的三維振動。當旋轉梁預錐角不為時，若設定角為或且傾斜角為，穩態變形包含軸向變形及一個側向位移，若設定角為或且傾斜角不為，穩態變形包含軸向變形及兩個側向位移，若設定角不為或，穩態變形包含軸向、扭轉位移及兩個側向位移[18,19]，但文獻[18,19]僅考慮軸向變形，文獻[18,19,21-27]只考慮旋轉梁的二維振動。  0 0 90 90 0  0  0   0   0  90   文獻[3] Schilhansl 在考慮離心力，但忽略科氏力的情況下，導出了設定角不為之等速旋轉梁振動的微分方程式，並以迭代法去求解。文獻[4]Lee 與 Kuo 以級數解探討了設定角不為0 之旋轉尤拉梁，對其旋轉軸的中心半徑、設定角及轉速對旋轉梁彎矩振動自然頻率的影響。文獻[5]Yokoyama 分析不同設定角之旋轉 Timoshenko 梁，將旋轉慣量及剪變形、旋轉軸的中心半徑和設定角合併到有限元素的模式中，探討其對自然頻率的影響。文獻

[6]Lee and Lin 用線性梁理論去推導不同設定角之旋轉Timoshenko 梁的運

動方程式，再以級數解求出旋轉梁的自然頻率，並探討旋轉速度和質量慣性矩(mass moment of inertia)的耦合效應、設定角和旋轉速度對彎矩自然頻

率的影響。文獻[7]Eick and Mignolet 探討傾斜角為之旋轉梁在不同旋轉

軸中心半徑與旋轉梁長度之比值下，其受軸向壓應力挫屈時之臨界轉速。

文獻[3-7]均用線性梁理論推導旋轉梁的運動方程式，且在作其振動分析時

都不考慮科氏力，但均無討論其適當性或影響，在文獻[8]Simo and Vu-Quoc

提到在分析旋轉結構需要用幾何非線性梁理論(至少取到二次項)才能適當的計算離心力對彎矩剛度的影響，若用線性梁理論(只取到一次項)將會產生虛假的彎矩剛度流失，所以文獻[3-7]中推導的旋轉梁之運動方程式及所求得之振動的自然頻率應是不正確。  0  0 文獻[9,10]利用非線性梁理論的一致線性化、虛功原理和 d’Alembert原理在旋轉座標上推導設定角為或90 之旋轉 Timoshenko 梁正確的線性運

(26)

動方程式，文獻[9,10]在分析時考慮了軸向變形及科氏力。旋轉梁的自然振動是指以其穩態解為平衡點的微小振動，故須先求出其穩態解。文獻[9,10] 提出旋轉梁之自然頻率的級數解法及計算其自然頻率的數值計算程序，並探討科氏力對旋轉梁之自然頻率的影響。文獻[10]洪以細長比很大的 Timoshenko 梁模擬尤拉梁探討科氏力對其的影響，發現在低轉速時，科氏力對細長比很大之旋轉梁的自然頻率影響不大，但文獻[9,10]中並無高轉速的結果，因在高轉速時，文獻[9,10]的數值方法對細長比很大的旋轉梁無法收斂。文獻[11]周分析設定角為或的旋轉尤拉梁，利用虛功原理與 d’Alembert原理，配合非線性梁理論的一致線性化，在旋轉座標上推導旋轉尤拉梁正確的線性運動方程式，文獻[11]周將旋轉梁分成數段，每段稱為一個元素，每個元素用一個級數解來表示其自由振動，文獻[11]周發現當細長比很大時，在高轉速下僅用一個元素無法求得正確的自然頻率，需將旋轉梁分成兩個以上的元素，才能求得精確的自然頻率，但文獻[11]周並未探討其原因。文獻[12]顏用級數解、虛功原理、d'Alembert 原理及幾何非線性梁理論的一致線性化，推導設定角為0 或與不同傾斜角之旋轉尤拉梁的二維運動方程式。當設定角為時，旋轉傾斜尤拉梁的側向穩態解為零；當設定角為時，旋轉傾斜尤拉梁之側向穩態變形不為零。旋轉梁所受離心

力為與結構變形位置相關的外力(configuration dependent load)，但文獻[12]

顏以旋轉梁變形前所受的離心力求其軸向及側向穩態變形，所以當旋轉梁的側向穩態變形不是很小時，必須考慮幾何非線性，才能得到可靠的側向

穩態變形。文獻[12]顏在細長比很大、高轉速時，比較使用雙精度實數(double

precision, 64 bits/per real)與四倍精度實數(quadruple precision, 64 bits/per real)

計算行列式值的結果，結果發現當細長比很大時，在高轉速下僅用一個元素以雙精度實數無法求得較高的自然頻率及僅有一個元素使用四倍精度實  0 90  ₉₀  90  0

(27)

數與多個元素使用雙精度實數所計算出的自然頻率相同，所以使用多個元素可改善僅用一個元素之雙精度有效位數不夠的問題。

文獻[13]周以共旋轉有限元素法(Co-rotational finite element formulation)

探討設定角為、不同傾斜角之旋轉傾斜梁的穩態變形及自然振動頻率，考慮旋轉梁所受的離心力為與結構變形位置相關的外力，文獻[13]周採用共旋轉有限元素法、d'Alembert原理、虛功原理，配合幾何非線性梁理論的一致線性化，推導出非線性運動方程式。文獻[13]周發現旋轉梁的側向穩態位移隨傾斜角、無因次轉速及細長比增加而變大，且以穩態解為平衡點的振動都是軸向與側向耦合的振動，且其耦合的程度隨傾斜角、無因次轉速及細長比增加而增加。  0 文獻[14]視梁為單一元素以級數解探討不同設定角與傾斜角之旋轉梁自由振動。當設定角不為或時，旋轉梁之軸向、兩個側向位移與扭轉的穩態解都不為零，但文獻[14]僅考慮軸向位移的穩態解對自然頻率的影響，忽略了兩個側向位移及扭轉影響，故自然頻率可能不準確。  0 90 文獻[15]黃考慮傾斜角為及不同設定角且具軸對稱之三維旋轉 Timoshenko 梁，利用共旋轉有限元素法和虛功原理配合非線性梁理論的一致線性化，推導梁元素節點慣性力與節點變形力。具雙軸對稱之三維旋轉 Timoshenko 梁的穩態解包含軸向和扭轉變形，文獻[15]黃保留軸向和扭轉變形的穩態解到二次項及扭轉率到三次項。文獻[15]黃探討旋轉速度和設定角對三維旋轉 Timoshenko 梁之穩態變形及自然頻率的影響。文獻[16]何採用傾斜角為及不同設定角之尤拉梁取代文獻[15]黃之 Timoshenko 梁，以共旋轉有限元素法推導出三維旋轉尤拉梁運動方程式，其穩態解包含軸向和扭轉變形，探討旋轉速度和設定角對三維旋轉尤拉梁之穩態變形及自然頻率的影響。  0  0 文獻[17]蔡以共旋轉有限元素法探討具不同設定角與傾斜角之旋轉傾

(28)

斜梁的穩態變形及自然振動頻率，考慮旋轉梁所受的離心力為與結構變形位置相關的外力，文獻[17]蔡採用共旋轉有限元素法、d'Alembert原理、虛功原理，配合幾何非線性梁理論的一致線性化，推導出非線性運動方程式。發現當預錐角為、設定角不為或，若傾斜角不為時，以穩態解為平衡點的振動是軸向、扭轉及兩個側向耦合的振動，且耦合的程度隨著傾斜角、無因次轉速和細長比的增加而增加，而當傾斜角為且設定角不為或時，穩態解僅有軸向、扭轉的變形，且這個扭轉變形會與軸向變形產生耦合作用。  0 0 90 0  0 0  90 文獻[18,19]視梁為單一元素以級數解探討不同設定角與預錐角之旋轉梁的自由振動與發散不穩定(divergence instability)產生的情形，文獻[18]使用的是 Bernoulli-Euler 梁，文獻[19]則使用的是 Timoshenko 梁，僅考慮軸向的穩態變形對自然頻率的影響，文獻[18]軸向的穩態變形沒考慮軸向拉伸變形，文獻[18,19]忽略了扭轉與側向位移之穩態解且沒考慮到科氏力的影響，故自然頻率與發散不穩定產生的情形都可能不正確。文獻[21]探討預扭角、預錐角、設定角、科氏力與幾何非線性梁理論中的變形及其微分取到二次項對旋轉懸臂梁之穩態變形、自然頻率、與模態振型(mode shape)的影響，flap-lag-extensional 運動的統御耦合方程式包含有

大預錐角的影響跟保持幾何非線性梁理論中的變形及其微分取到二次項，

位移以非旋轉正規振態(nonrotating normal modes)表示，用Galerkin 法去解

非線性穩態方程式跟線性擾動方程式，利用各參數代入方程式中的結果與代入 MSC NASTRAN[20]所得到的結果做比對驗證幾何非線性梁理論的變形及其微分取到二次項的正確性，在小厚比(thickness ratio，葉片厚度與寬度的比)之葉片的預錐角高達45及/



₁ 1( 為角速度，



₁為非旋轉梁在預扭角、預錐角、設定角等於時的第一自然頻率)時，各參數代入幾何非線性梁理論的變形及其微分取到二次項之flap-lag-extensional方程式與代入  0

(29)

MSC NASTRAN[20]得到的穩態變形跟最初幾個自然頻率很一致。文獻[21] 發現科氏力的影響對於小厚比之葉片的分析可以被忽略，而對大厚比之葉片的分析要保留。文獻[22]探討預扭角、預錐角、設定角、細長比與科氏力對旋轉懸臂梁之振動和挫屈行為的影響，利用有限差分法和最小總位能原理去解振動問題，結果發現葉片在不同預扭角與預錐角的情況下，葉片的頻率會有不穩定性產生及科氏力對於大厚比之葉片的影響是很重要，而對小厚比之葉片是可以被忽略。文獻[23]推導具有預錐角、幾何非線性與科氏力之旋轉線性預扭葉片的 bending-bending- torsional耦合動態運動方程式，

再利用 Galerkin法跟線性擾動法(linear perturbation technique)去求解。文獻

[23]發現在預錐角小於跟厚比大於 0.1時，方程式得到的自然頻率和穩態變形接近於 MSC NASTRAN[20]和實驗所得到的自然頻率和穩態變形，幾何非線性梁理論中的變形及其微分可以只取到二次項，但不在這情況時方程式求出的頻率會有不穩定性產生，線性和非線性的科氏力對於小厚比葉片之耦合頻率的影響可以被忽略，而對大厚比葉片的影響要保留。文獻[24] 探討幾何非線性梁理論中的變形及其微分取到三次項對於具有預錐角和預扭角之旋轉葉片的振動和穩定性特性的影響，其中葉片只考慮雙軸對稱，位移以非旋轉正規振態表示，用 Galerkin 法去解非線性穩態方程式和線性擾動方程式，方程式求出的結果跟 MSC NASTRAN[21]和實驗所得到的結果做比對得到幾何非線性梁理論中的變形及其微分取到二次項之小厚比旋轉葉片觀察到頻率的虛假不穩定性會因為取到三次項而消除，而使得實驗跟理論的相關性比較靠近。文獻[24]發現幾何非線性梁理論中的變形及其微分取到二次項之方程式對於具有大預錐角的葉片並不適用。文獻[21-24]在變形前的位置推導運動方程式，若用共旋轉有限元素法在變形後的位置推導運動方程式，則可除去梁元素的剛體旋轉，故幾何非線性梁理論中的變形及其微分只需要取到二次項。  15

(30)

文獻[25]是利用Hamilton's principle和Newtonian method 去求出預扭非

均勻旋轉葉片(twisted nonuniform rotor blades)的彈性彎曲和扭轉運動方程

式，葉片具有預扭角及預錐角，對於細、直、長、均質和等向之梁的方程式中變形及其微分取到二次項是有效的，Hamilton's principle推導出的方程式數值上比較精確，而靠 Newtonian method則可以推導出有物理意義的邊界條件，這兩種方法有互補的效果。文獻[26]探討不同結構耦合(structural coupling)的均勻旋轉懸臂葉片之彈性彎曲和扭轉的穩定性，葉片具有預扭角及預錐角，文獻[26,27]都有基於準定常二維流翼型理論(quasi-steady

two-dimensional airfoil theory)的截片理論(strip theory)所推導出的氣動力作

用在葉片上。利用文獻[25]的運動方程式簡化成文獻[26]的運動方程式，方

程式中的變形及其微分取到二次項，推導出梁的穩態變形與頻率，結果發

現有預錐角會產生頻率的不穩定性。文獻[27]推導停懸飛行狀態(hovering

flight condition)下的旋轉懸臂葉片(cantilever rotor blades)之非線性運動方

程式，葉片具有預扭角、預錐角、垂角(drop)、掠角(sweep)、轉矩軸偏移量

(torque offset)和葉片根部外伸量(blade root offset)，利用Galerkin 法跟模態

分析(modal analysis)去求葉片的穩態位移。推導出的根部(root)扭轉方程式

會有兩種，一種是由根部(root)的邊界條件推導，另一種則是用動能推導，這兩種扭轉方程式的數值分析結果一致，証明了方程式的正確性。文獻 [25-27]運動方程式會有頻率之不穩定性的產生，但沒探討不穩定性如何產生及如何去消除不穩定性。在工程上，一般的旋轉結構體或是葉片(Blade)，往往因為製造上的誤差或是本身設計上的考量，預錐角、傾斜角及設定角並不為或，具傾斜角、預錐角、預扭角、及設定角不為或的旋轉梁之穩態變形是三維的變形，其自然振動是軸向、側向與扭轉耦合的三維振動，但由上面的文獻回顧可發現，文獻上仍缺乏考慮軸向、側向及扭轉穩態變形之具預錐角  0 90  0 90

(31)

傾斜旋轉梁的三維振動分析。所以本研究擬探討具有任意設定角、傾斜角與預錐角的旋轉尤拉梁之穩態變形及自由振動，但為了簡化問題，本研究並不考慮預扭角。本研究考慮有設定角、傾斜角與預錐角的旋轉梁，擬採用共旋轉有限元素法求在一剛接在轉軸之旋轉總體座標上描述旋轉梁的位移、速度及加速度，本文利用文獻[28]之三維尤拉梁的變形機制推導梁元素，在梁元素當前的變形位置建立一個元素座標，該元素座標原點的速度及加速度與該原點重合且固定在旋轉總體座標之點的剛體速度與加速度，該元素座標與轉軸有相同的角速度。本文以 d'Alembert 原理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致線性化，推導出元素之節點慣性力、節點變形力、剛度矩陣、向

心力剛度矩陣(centripetal stiffness matrix)、質量矩陣(mass matrix)、陀螺矩陣

(gyroscopic matrix)。將系統的非線性運動方程式中對時間的微分的項去掉即為系統的穩態平衡方程式，將系統運動方程式用泰勒級數在穩態變形的位置展開，取到一次項，即為旋轉梁微小振動的運動方程式。在推導過程中保留穩態變形的節點參數和其微分到二次項以及扭轉率的三次項，而振動部分保留節點參數和其微分到一次項。本文利用基於牛頓法的增量迭代法求出軸向、扭轉及兩個側向位移的穩態解。旋轉傾斜梁的振動方程式中存在陀螺矩陣，所以其自然振動頻率對應的振動模態為複變數，其頻率方程式(frequency equations)為一組代數齊次方程式，該組齊次方程式為一個二次特徵值問題，其係數形成之矩陣的行列式值為零時的根，即為自然振動頻率。本文以二分法來求行列式值為零時的根。本研究擬探討設定角、傾斜角、預錐角、轉速、轉軸半徑及細長比對旋轉傾斜梁自然頻率的影響。

(32)

第二章理論推導

2.1 問題描述如圖三所示，本文考慮一長度為具均勻斷面且雙軸對稱之尤拉梁，其支承端以設定角(setting angle) T L



、傾斜角(inclination angle)



與預錐角 (precone angle)



剛接在一半徑為R 剛性圓柱上，該圓柱以等角速率 繞其軸心旋轉。本文中所有梁的位移、變形和振動指的是在一個以等角速率繞圓柱中心軸旋轉的旋轉座標上描述的位移、變形和振動。本文中考慮梁的軸向、扭轉位移、兩個側向位移及旋轉。設定角不為或且傾斜角或預錐角不為時，等角速率的旋轉梁存在一包含軸向位移、扭轉，兩個側向位移的穩態變形。本文中所有的振動都是指以該穩態變形為平衡點的振動。本文中考慮的振動是線性振動，所以由振動造成的位移、速度和加速度都視為是一微小量(infinitesimal quantity)。  0 90  0 2.2 基本假設本文對梁元素的推導，做如下的假設： (1)梁為細長的等斷面、雙對稱梁，且Euler-Bernoulli 假說成立。 (2)梁元素的形心軸之單位長度伸長量(unit extension)為均勻的伸長。 (3)梁變形後，其斷面形狀不變，且斷面平面內的應變可以忽略。 (4)梁元素的變形與應變皆為小變形與小應變。 (5)梁元素斷面的翹曲為梁元素的軸向扭轉率與該梁的聖維南(Saint Venant)翹曲函數的乘積。 2.3 座標系統描述

本研究是使用共旋轉有限元素法(co-rotational finite element

(33)

的運動，本文中使用四個右手座標系統： (1) 參考座標系統X_i ,(i＝1,2,3） 參考座標系統是剛接在圓柱表面，如圖一所示，其原點取在旋轉梁 斷面的形心軸與旋轉圓柱的交點(即 O 點)，軸與旋轉軸垂直且交於 A 點，軸與旋轉軸垂直、軸與旋轉軸平行。此座標系統是用來定義旋轉梁的設定角 1 X 2 X X₃



、預錐角



、傾斜角



及描述旋轉梁變形前梁軸及梁斷面的方向。 (2) 總體座標系統X_iG,(i＝1,2,3）總體座標系統是剛接在圓柱表面旋轉，如圖四所示，其原點取在 O 點，其軸為變形前之梁的斷面形心軸，其和軸是取變形前之旋轉梁的斷面主軸方向。軸在座標中的方向是用 G 1 X G 2 X G 3 X G i X X_i



、



、



以下列的程序決定：先使軸與軸重合，再以O 點為圓心，將 軸繞軸轉 G i X X_i X_iG 1 X



角，再繞 X₂軸旋轉



角，最後繞X₃軸旋轉



角，即為總體座標系統。本文中旋轉梁的節點座標、節點位移、節點速度角速度、節點加速度、角加速度及整個系統的運動方程式均在此座標系統中定義。 (3) 梁斷面座標系統x_iS,(i＝1,2,3）該座標系統的原點是剛接在梁斷面的形心上，其x₁S軸取在未翹曲斷面的法線方向，x₂S、x₃S軸取在未翹曲斷面的主軸方向。 (4) 元素座標系統x_i , (i＝1,2,3）元素座標系統是建立在每個元素當前的位置上，且以一個等角速率繞圓柱中心軸旋轉，如圖五所示，元素座標系統的原點是定義在元素節點 1(即o 點)上，令 o 點當前的總體座標為( , , )，軸的方向為梁元素兩節點連線的方向，與軸在元素變形前與斷面的主軸方向一致，而元素變形後的與軸，可以由該元素未翹曲的兩端斷面的方位來決定[28]，本文是分別將位於節點1、2後的斷面繞一個與該斷面之法  0 X Y₀ Z₀ x₁ 2 x 3 3 x 2 x x

(34)

線及與軸垂直的旋轉軸旋轉一角度使斷面之法線方向與軸方向一致 (此時不考慮斷面之翹曲變形，否則斷面的法線方向將無法定義)，然後再以兩斷面的主軸方向的角平分線作為軸與軸的方向。本文中梁元素的位移、變形、速度、加速度及運動方程式，均在此座標系統定義。 1 x x₁ 2 x x₃ 本文中以符號

 

代表行矩陣。總體座標系統XG { }與參考座標 { }，元素座標x= G G _X X X₁G, ₂ , ₃  X X ,₁ X₂,X₃



x ,₁ x₂,x₃



，元素斷面座標 ={ }的關係可表示如下: S x x₂S, S X A A_GE GS A   S x₁ , x₃ XG  XG  x XG  xS (2.3.1)                                               cos cos sin cos sin sin sin sin sin cos cos cos sin cos cos sin sin cos sin sin sin cos sin sin cos cos A cos sin cos (2.3.2) 其中A、、分別代表參考座標、元素座標、元素斷面座標對於固定總體座標系統的方向餘弦矩陣， GE A A_GS



為傾斜角、



為設定角、



為預錐角。矩陣A的推導過程詳見附錄A 令Ω_G為旋轉梁的角速度向量在總體座標上的表示式，可表示如下： cos cos , cos sin , {sin









  Ω



} (2.3.3) _G 其中為角速率，



為梁的設定角，



為梁的預錐角令為旋轉梁的角速度向量在元素座標上的表示式，由(2.3.1)、(2.3.3) 式可得： Ω Ω{₁, ₂, ₃}A_GEt Ω_G n (2.3.4) n {n₁, n₂, n₃} (2.3.5) 其中n 為旋轉軸的單位向量， ( =1,2,3)為其在元素座標軸的分量。 n i_i x_i

(35)

2.4 旋轉向量

本文中使用旋轉向量來表示一個有限旋轉，如圖六所示，一向量b受到

一旋轉向量



a的作用而轉到一個新的位置b，向量b與b之間的關係可表示

成 :

bcos



b(1cos



)(ab)asin



(ab) (2.4.1)

其中符號．與分別代表向量的內積與外積，



表逆時鐘方向旋轉角，表旋轉軸的單位向量。 a 2.5 Euler 梁的變形描述 本文在旋轉座標上描述梁元素的變形，由(2.2)節中的基本假設可知 Euler 梁元素的變形可以由其形心軸的位移、截面的翹曲(warping)及其截面的旋轉來描述。本研究採用[8]與[29]中之梁的變型機制，如圖五中 Q 點為梁元素中的任意點，P 點為 Q 點在同一斷面之形心軸上的對應點。在旋轉座標上 Q 點的變形前後位置可以表示如下[8]: r₀  xe₁  ye₂ ze₃ (2.5.1) r x_pe₁ ve₂ we₃ θ₁_,sωe₁S  ye₂S  ze₃S (2.5.2) 其中x 、、為變形前點在元素座標 (y z Q x_i i1,2,3)上的座標， x 亦為 P 點變形前x₁軸的座標，y、z 亦同時是 Q 點在x₂S與x₃S軸的座標。x_p(x,t)、v(x,t) 以及w(x,t)分別是變形後點在元素座標P x_i(i1,2,3)上的座標，v(x,t)、 ) , (x t w 亦為點在P x₂及x₃軸方向的位移， s θ θ _,s    1 1 是梁斷面沿變形後形心

(36)

軸的軸向扭轉率，θ₁(x,t)為形心軸的扭轉角，s 為變形後形心軸的弧長， ) , (y z



 代表等斷面梁的聖維南翹曲函數，及e_i e_iS(i1,2,3)分別為與軸的單位向量，梁變形後形心軸的單位切線向量可表示為 i x S i x t{cos



_n,



₃,



₂} (2.5.3) 其中 o w s w





        1 2 (2.5.4) o v s v





      1 3 (2.5.5) 2 12 3 2 2 ) 1 ( cos



 







   s x_p n (2.5.6) w_x x w w  _,     ， v _x x v v  _,     ， 1    x s o



(2.5.7) 0



為形心軸的單位伸長量。忽略扭轉翹曲的情況下，由方程式(2.5.4)至(2.5.7)式可得 x_p x t u t 



x  v _x w_x dx (2.5.8) 0 2 / 1 2 , 2 , 2 0 1( ) [(1 ) ] ) , (



其中u₁(t)為節點1在方向上的位移，由元素座標系統的定義，其值為零。 x₁ 由梁元素的變形為小變形的假設，利用近似式[(1



₀)2v_,2_xw_,2_x]1/2 ) 2 1 2 1 1 (  ₀  v_,2_x  w_,2_x 



，(2.5.8)式可表示成 x_p x t u₁ _₀x  _o  v_,2_x  w_,2_x)dx 2 1 2 1 1 ( ) , (



(2.5.9) 由座標系統的定義可知，在變形前x_i軸與x_iS(i1,2,3 S 1 e 3) 2, )軸的方向是一致的，即與的方向是一致的，而且變形後 與(2.5.3)式的 t 方 向一樣。在本文中假設變形後的單位向量的方向是由以下兩個旋轉向量連續作用於單位向量 i e e_iS(i1,2,3) , 1  (i S i e 3) i e (i1,2, 來決定[28]、[29]：

(37)

θ_n 



_nn_ (2.5.10) θ_t 



₁t _(2.5.11) _n_ _{₀_,



₂ ₍



₂2 



₃2₎1/2_,



₃ ₍



₂2 



₃2₎1/2_}_{_0,_n₂_,_n₃_} _(2.5.12) 其中n_為垂直於e₁與之單位向量，t



_n為e₁和的夾角，t



₁為斷面繞的轉角。 t 將旋轉向量θ_n作用在上，使其轉至一中繼位置e_i e_i，如圖六所示，此時與重合，再將作用在，將其轉到。若、、以及已知，則元素斷面座標就唯一決定；反之，若與已知，則旋轉向量與亦唯一決定。 1 e t θ_t e_i e_iS i i e θ_n θ_t S i e e eS_i θ_n θ_t e_iS與之關係可表示如下[28]、[29] e_i _[ _, _, _] _, _(2.5.13) 2 1 i i S i t R R e Re e   R₁ cos



₁r₁ sin



₁r₂ R₂ sin



₁r₁cos



₁r₂

r₁ {



₃,cos



_n (1cos



_n)n₂2,(1cos



_n)n₂n₃}

} ) cos 1 ( cos , ) cos 1 ( , { ₂ ₂ ₃ ₃2 2 







n n n



n  



n n r 其中R 稱為旋轉矩陣。因 R 為



_i(i1,2,3)的函數，所以本文中稱



_i為旋轉參數。當



_i(i1,2,3)分別有一微小變化



_i時，斷面座標會旋轉到一個新的位置，此一新的位置可由元素座標繞x_i(i 1,2,3)軸分別作微小旋轉



_i (i1,2,3)而得。 } , , {



₁



₂



₃



θ 與



 {



₁,



₂,



₃}之關係可表示如下[28]、[29]： θ T θ t t t t t



[ , ₁ a , ₂ b ]  _(2.5.14)

(38)

} cos , cos 1 , { 2 3 2 3 3 1 n n



   t } cos 1 , cos , { 2 2 3 2 2 2 n n



  t 2 3 2 2 3(1 cos )



   n a ₂ 3 2 2 2(1 cos )



    n b (2.5.14)式之反函數可表示如下:







 _(2.5.15)





1 2 3 cos 0 0 cos 1               T θ n n b a 當旋轉參數



₂與



₃很小時， T 矩陣可近似如下式1               1 0 0 1 1 2 3 2 2 1 3 2 1 1



T (2.5.16) 將(2.5.13)式代入(2.5.2)式，利用近似式 ₂2 ₃2 2 1 2 1 1 cos



_n  







、

 

 sin 、 2 2 1 1 cos



 



並保留變形參數至二次項,則位置向量r 可以化簡成 (2.5.17) 3 3 2 2 1 1e e e r r r r r1  xp  y(



2



1



3)z(



2 



3



1)



1,x



₂



₃2



₁2



₂



₃



₁)



₁_,



₃



2 1 ( )] ( 2 1 1 [ z _x y v r        ₃



₂



₃



₁ (



₂2



₁2)]



₁_,



₂



2 1 1 [ ) 2 1 ( z _x y w r       

(39)

由梁之形心軸單位長度的伸長量為均勻的伸長量之假設及(2.5.9)式，可以得到形心軸單位長度伸長量



₀可表示如下      L x x w dx v L L L l 0 2 , 2 , 0 ( ) 2 1



(2.5.18) (2.5.19) 其中 1 2 u u L l    L 為梁元素變形前的長度，l為梁元素變形後之形心軸的弦長，、分別為節點 1與 2在方向的位移。 1 u u₂ 1 x 本文中假設梁元素形心軸的位移v ,w與軸向扭轉角



₁皆為x的三次 Hermitian 多項式，因此v , ,w



₁可表示成: (2.5.20) b t b t _v _v _v _v N N N N t x v( , ){ ₁, ₂, ₃, ₄}{ ₁, ₁, ₂, ₂}N u (2.5.21) c t c t _w _w _w _w N N N N t x w( , ){ ₁, ₂, ₃, ₄}{ ₁, ₁, ₂, ₂}N u





t _d d t N N N N t x  ₁ ₂ ₃ ₄ ₁₁ ₁ ₁₂ ₂ N u 1( , ) { , , , }



,



,



,





(2.5.22) ), 1 )( 1 ( 8 ), 2 ( ) 1 ( 4 1 ), 1 )( 1 ( 8 ), 2 ( ) 1 ( 4 1 2 4 2 3 2 2 2 1                      L N N L N N (2.5.23) L x 2 1  



(2.5.24) 其中v_j與w_j( j = 1, 2)分別是v與在節點w j的節點值，v_j與w j = 1, 2)_j( 則分別是 x v   v 與 x w w     在節點 j 之節點值。



₁_j(j1,2)是



₁在節點 j 的節點 值，



_j(j1,2)則是 x 1 x _ , 1



在節點 j 的節點值。 (i= 1－4)為形狀函數 (shape function)，、、皆為時間的函數。 i N b u u_c u_d 將(2.5.19)至(2.5.21)式代入(2.5.18)式整理可得

以有限元素法分析具預錐角之三維旋轉傾斜尤拉梁的穩態變形與自由振動

國 立 交 通 大 學

機械工程學系

碩 士 論 文