5.1 結論
本研究採用共旋轉有限元素法探討不同設定角、傾斜角和預錐角之等 速旋轉的三維傾斜尤拉梁的穩態變形及以該穩態變形為平衡點的微小振動 之自然振動頻率。本文中考慮梁的軸向、兩個側向位移及扭轉之三維運動，
本研究採用 d'Alembert 原理、虛功原理、幾何非線性梁理論的一致線性化，
在梁元素當前之元素座標上推導節點慣性力和節點變形力，再將元素的節 點力轉到總體座標後組合成系統的非線性運動方程式。本研究將旋轉梁的 運動方程式中含時間函數的項去掉，求得系統穩態平衡方程式，再用基於 牛頓法的增量迭代法求出所有位移以及扭轉的穩態解，將運動方程式在穩 態平衡位置用泰勒級數展開，取到一次項，求得旋轉傾斜梁的振動方程式，
再假設自然振動頻率存在，可求得一組代數齊次方程式，該組齊次方程式 係數形成之矩陣的行列式為零時，即可求得旋轉梁以穩態解為平衡點的自 然振動的頻率及其對應的振態。
由本研究的數值例題可以得到以下的結論：
1. 當設定角
0或90
，若傾斜角 0
或預錐角
0時，三維旋轉梁 結構的穩態解包含著軸向、扭轉以及兩個側方向位移，此時以穩態解為 平衡點的振動是軸向、扭轉及兩個側向耦合的振動。2. 當設定角
0或90
，若傾斜角
及預錐角
其中之ㄧ為零時，旋轉梁 的穩態解僅有軸向及一個側方向的位移；若傾斜角 0
及預錐角時，旋轉梁的穩態解包含著軸向以及兩個側方向位移。
0
3.
傾斜角 0
、預錐角 0
且設定角 0
或90
時，穩態解僅有軸向、扭轉的變形，且這個扭轉變形會與軸向變形產生耦合作用。當
I 和
yI
z的值 差距越大，穩態解的扭轉變形也越大。因科式力的關係，其側向與扭轉變形4.
具有任意設定角、傾斜角和預錐角的旋轉梁結構之最大無因次轉速可以由 穩態解時之最大膜應變分別和兩個側向最大撓曲應變知何來決定，當傾斜角0
及預錐角 0
時，因無側向變形，故不會產生撓曲應變，所以當無因 次轉速半徑r 0
時之最大無因次轉速k
可設為0 . 1
；在傾斜角 0
或預錐角0
時，因須考慮最大撓曲應變，其中細長比較大時最大無因次轉速k
約為005
.
0
，細長比較小時最大無因次轉速k
約為0 . 01
。5.
在無因次轉速半徑r
1、設定角
0時，若傾斜角 0
，當預錐角
越 大，隨著轉速增加，第一個無因次振動頻率K
1就越快產生發散不穩定(divergence instability)
的情形及當同一轉速下，預錐角
越大則頻率K
1越 小；若預錐角
固定，當同一轉速下，傾斜角
越大則頻率K
1越大。在設定 角
0時，頻率K
1都隨著轉速增加而增加，且當同一轉速下，若傾斜角
0
，預錐角
越大則頻率K
1越小；若預錐角
固定，傾斜角
越大則頻 率K
1越大。6.
使用共旋轉有限元素法結合浮動框架法推導旋轉傾斜尤拉梁的運動方程 式僅須保留到二次項即可有正確的結果。5.2
未來展望1.
本研究僅探討傾斜角、設定角和預錐角對旋轉梁的所造成影響，但旋轉梁另外還有預扭角
(Pretwised angle)
，這些都會影響旋轉梁的穩態解及自然振 動頻率，在將來亦非常值得探討。2.
因旋轉梁的自由端常加掛配重，藉此來改善旋轉梁結構之機能性。例如增加 渦輪風扇的氣流，增加撓性旋轉葉片的撓度，或是改善旋轉梁結構之自然振 動頻率等，故將來擬推導旋轉梁的運動方程式時應將配重考慮進去。參考文獻
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3
th Edition, John Wiley & Sons Inc, New Jersey, 2000.表一 無因次轉軸半徑
r 、傾斜角
、設定角
、預錐角
對穩態變形的影響r
U V W
10 － 0 0 ○
－ 90 0 ○
－ 0,90 0 ○ ○
－ 0 0 ○ ○
－ 90 0 ○ ○
－ 0,90 0 ○ ○ ○ ○
0 0 0 0 ○
0 0 0 ○ ○
0 90 0 ○
0 90 0 ○ ○
0 0,90 0 ○ ○
0 0,90 0 ○ ○ ○ ○
0 0 0 ○ ○
0 0 0 ○ ○ ○
0 90 0 ○ ○
0 90 0 ○ ○ ○
－ 0,90 0 ○ ○ ○ ○
○：有
：無
表二 不同斷面梁的細長比
b
a / L
T/ a n
yn
z橢圓斷面 10 50 1000 100
矩形斷面 0.05 60 10.39 207.85
0.05 200 34.64 692.82
0.06 166.67 34.64 577.35
0.1 100 34.64 346.4
0.25 40 34.64 138.56
I 型斷面 181.129 57.0563
30 10 W
十字斷面 118.707 42.0644
35 . 0 7 14
b t
d (in)
表三 旋轉梁不同預錐角的收斂性及準確性分析
(橢圓斷面a/b10，LT /a50， ny1000，nz100，r1， 0，k 0.005)
A50 A20 B10 C10 [19]
0 0 3.7247E-5 3.6863E-5 3.6207E-5 3.6207E-5 － Utip 2.0833E-5 2.0833E-5 2.0833E-5 2.0833E-5 －
) 1 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 . 0 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 7.4118E-3(2) 7.4143E-3(2) 7.4235E-3(2) 7.4235E-3(2) 7.4115E-3 K 2 2.8926E-2(2) 2.8939E-2(2) 2.8986E-2(2) 2.8986E-2(2) 2.89238E-2 K 3 3.6122E-2(3) 3.6122E-2(3) 3.6133E-2(3) 3.6133E-2(3) － K 4 6.9582E-2(2) 6.9597E-2(2) 6.9666E-2(2) 6.9666E-2(2) 6.95813E-2 K 5 1.2948E-1(2) 1.2950E-1(2) 1.2967E-1(2) 1.2967E-1(2) 1.29484E-1 K 6 1.9433E-1(4) 1.9468E-1(4) 1.9562E-1(4) 1.9562E-1(4) － K 7 2.0883E-1(2) 2.0888E-1(2) 2.0941E-1(2) 2.0941E-1(2) －
30 0 2.9609E-5 2.9374E-5 2.9911E-5 2.7155E-5 － ε b 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － ε c -1.9104E-3 -1.9098E-3 0.0000E+0 0.0000E+0 － Utip -3.2767E-4 -3.2766E-4 1.7075E-5 1.5625E-5 － Vtip 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － Wtip -2.4516E-2 -2.4516E-2 0.0000E+0 0.0000E+0 －
) 1 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 . 0 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 5.3467E-3(4) 5.3752E-3(4) 6.5460E-3(2) 6.1958E-3(2) 6.1847E-3 K 2 2.3980E-2(4) 2.4071E-2(4) 2.7760E-2(2) 2.7306E-2(2) 2.72575E-2 K 3 3.6208E-2(3) 3.6207E-2(3) 3.5869E-2(3) 3.5805E-2(3) － K 4 6.4159E-2(4) 6.4391E-2(4) 6.8260E-2(2) 6.7731E-2(2) 6.76638E-2 K 5 1.2367E-1(4) 1.2409E-1(4) 1.2813E-1(2) 1.2754E-1(2) 1.27378E-1 K 6 1.9345E-1(4) 1.9392E-1(4) 1.9560E-1(4) 1.9559E-1(4) － K 7 2.0362E-1(4) 2.0403E-1(4) 2.0779E-1(2) 2.0718E-1(2) －
60 0 1.2713E-5 1.2744E-5 1.4989E-5 9.0520E-6 － ε b 0.0000E+00 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － ε c -2.8734E-3 -2.8725E-3 0.0000E+0 0.0000E+0 － Utip -7.6266E-4 -7.6264E-4 8.3332E-6 5.2083E-6 － Vtip 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － Wtip -3.6671E-2 -3.6671E-2 0.0000E+0 0.0000E+0 －
) 1 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 . 0 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 *－ *－ 3.7804E-3(2) 2.1358E-3(2) 2.1239E-3 K 2 1.3089E-2(4) 1.3449E-2(4) 2.4699E-2(2) 2.3575E-2(2) 2.35570E-2 K 3 3.6298E-2(4) 3.6300E-2(4) 3.5280E-2(3) 3.5140E-2(3) － K 4 5.4349E-2(4) 5.5008E-2(4) 6.4876E-2(2) 6.3661E-2(2) 6.36274E-2 K 5 1.1394E-1(4) 1.1498E-1(4) 1.2447E-1(2) 1.2317E-1(2) 1.23038E-1 K 6 1.8959E-1(4) 1.9100E-1(4) 1.9556E-1(4) 1.9553E-1(4) － K 7 1.9753E-1(4) 1.9774E-1(4) 2.0398E-1(2) 2.0262E-1(2) －
表四 旋轉梁不同預錐角的收斂性及準確性分析
(橢圓斷面a/b10，LT /a50，ny1000，nz100，r1， 45，k 0.005)
A50 A20 B10 C10 [19]
0 0 3.7247E-5 3.6863E-5 3.6207E-5 3.6207E-5 － Utip 2.0833E-5 2.0833E-5 2.0833E-5 2.0833E-5 －
) 1 1(
4.0011E-4 3.9867E-4 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 . 0 1(
7.2952E-4 7.2386E-4 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 8.2043E-3(2) 8.2066E(2) 8.2147E-3(2) 8.2147E-3(2) 8.2116E-3 K 2 2.9141E-2(2) 2.9154E(2) 2.9200E-2(2) 2.9200E-2(2) 2.91391E-2 K 3 3.5950E-2(3) 3.5951E(3) 3.5962E-2(3) 3.5962E-2(3) － K 4 6.9672E-2(2) 6.9687E(2) 6.9755E-2(2) 6.9755E-2(2) 6.96711E-2 K 5 1.2953E-1(2) 1.2955E(2) 1.2971E-1(2) 1.2971E-1(2) 1.29532E-1 K 6 1.9439E-1(4) 1.9474E(4) 1.9568E-1(4) 1.9568E-1(4) － K 7 2.0886E-1(2) 2.0891E(2) 2.0944E-1(2) 2.0944E-1(2) －
30 0 -8.8508E-7 -4.3688E-6 2.9911E-5 2.7155E-5 － ε b -4.6424E-3 -4.7343E-3 0.0000E+0 0.0000E+0 － ε c -9.9710E-4 -1.0018E-3 0.0000E+0 0.0000E+0 － Utip -7.6942E-2 -7.6804E-2 1.7075E-5 1.5625E-5 － Vtip -3.6469E-1 -3.6449E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 － Wtip -3.8462E-2 -3.8009E-2 0.0000E+0 0.0000E+0 －
) 1 1(
1.3120E-1 1.2901E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 . 0 1(
5.0744E-1 5.0028E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 8.0926E-3(4) 7.9713E-3(2) 7.2217E-3(2) 6.9059E-3(2) 6.9011E-3 K 2 2.0015E-2(4) 1.9993E-2(4) 2.7929E-2(2) 2.7477E-2(2) 2.74289E-2 K 3 2.9373E-2(4) 2.9068E-2(4) 3.5739E-2(3) 3.5675E-2(3) － K 4 6.7800E-2(4) 6.6820E-2(2) 6.8328E-2(2) 6.7800E-2(2) 6.77331E-2 K 5 1.2464E-1(4) 1.2307E-1(4) 1.2816E-1(2) 1.2758E-1(2) 1.27415E-1 K 6 1.7752E-1(4) 1.7860E-1(4) 1.9565E-1(4) 1.9564E-1(4) － K 7 2.0708E-1(4) 2.0465E-1(4) 2.0782E-1(2) 2.0720E-1(2) －
60 0 -1.7189E-4 -2.0149E-4 1.4989E-5 9.0520E-6 － ε b -8.7425E-3 -9.0663E-3 0.0000E+0 0.0000E+0 －
c U
ε -1.1539E-3 -1.1751E-3 0.0000E+0 0.0000E+0 －
tip -3.3690E-1 -3.3645E-1 8.3332E-6 5.2083E-6 － Vtip -6.8510E-1 -6.8547E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 － Wtip -1.5689E-1 -1.5463E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 －
) 1 1(
3.3898E-1 3.3596E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 . 0 1(
1.3666E+0 1.3550E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 7.9756E-3(4) 7.2931E-3(4) 4.1724E-3(2) 2.7711E-3(2) 2.7633E-3 K 2 1.2427E-2(4) 1.2068E-2(4) 2.4763E-2(2) 2.3641E-2(2) 2.36232E-2 K 3 2.7911E-2(4) 2.6040E-2(4) 3.5236E-2(3) 3.5096E-2(3) － K 4 6.1241E-2(4) 5.5405E-2(4) 6.4900E-2(2) 6.3685E-2(2) 6.36520E-2 K 5 1.0787E-1(4) 1.0125E-1(4) 1.2449E-1(2) 1.2318E-1(2) 1.23051E-1 K 6 1.3968E-1(4) 1.3943E-1(4) 1.9558E-1(4) 1.9555E-1(4) － K 7 1.9761E-1(4) 1.8485E-1(4) 2.0399E-1(2) 2.0263E-1(2) －
表五 旋轉梁不同預錐角的收斂性及準確性分析
(橢圓斷面a/b10，LT /a50，ny 1000，nz 100，r1， 90，
[
00 .
0
k 5 )
A80 A50 B10 C10 19]
0 0 3.7341E-5 3.7247E-5 3.6207E-5 3.6207E-5 － U
2.93 E-2
1.29 E-1
2.0 2 2.0 2.0
tip
) 1 1(
2.0833E-5 2.0833E-5 2.0833E-5 2.0833E-5 － 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
0 1(
.1 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 8.9405E-3(2) 8.9407E-3(2) 8.9503E-3(2) 8.9503E-3(2) 8.9404E-3 K 2 2.9353E-2(2) 2.9355E-2(2) 2.9414E-2(2) 2.9414E-2(2) 528 K 3 3.5774E-2(3) 3.5774E-2(3) 3.5786E-2(3) 3.5786E-2(3) － K 4 6.9760E-2(2) 6.9761E-2(2) 6.9845E-2(2) 6.9845E-2(2) 6.97607E-2 K 5 1.2957E-1(2) 1.2958E-1(2) 1.2976E-1(2) 1.2976E-1(2) 580 K 6 1.9443E-1(4) 1.9446E-1(4) 1.9575E-1(4) 1.9575E-1(4) － K7 889E-1(2) .0889E-1(2) 947E-1(2) 947E-1(2) －
03
0 1.9488E-5 2.0151E-5 2.9911E-5 2.7155E-5 － ε b -6.0991E-3 -6.0944E-3 0.0000E+0 0.0000E+0 － ε c 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － Utip -9.4370E-2 -9.4368E-2 1.7075E-5 1.5625E-5 － Vtip -4.0707E-1 -4.0707E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 － Wtip
2.75 E-2
1.27 E-1
2. 2. 2.0 2.0
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
0 1(
.1 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 8.9063E-3(2) 8.9078E-3(2) 7.8486E-3(2) 7.5590E-3(2) 7.5498E-3 K 2 2.0900E-2(4) 2.0888E-2(4) 2.8096E-2(2) 2.7647E-2(2) 993 K 3 2.9070E-2(2) 2.9060E-2(2) 3.5607E-2(3) 3.5542E-2(3) － K 4 6.7739E-2(2) 6.7707E-2(2) 6.8397E-2(2) 6.7870E-2(2) 6.78022E-2 K 5 1.2565E-1(2) 1.2559E-1(2) 1.2820E-1(2) 1.2762E-1(2) 452 K 6 1.8296E-1(4) 1.8302E-1(4) 1.9570E-1(4) 1.9569E-1(4) － K7 0335E-1(2) 0326E-1(2) 784E-1(2) 722E-1(2) － 6
0 0 -2.8147E-5 -2.5714E-5 1.4989E-5 9.0520E-6 － ε b -1.1621E-2 -1.1614E-2 0.0000E+0 0.0000E+0 － ε c 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － Utip -3.5320E-1 -3.5320E-1 8.3332E-6 5.2083E-6 － Vtip -7.2507E-1 -7.2508E-1 0.0000E+0 0.0000E+0 － Wtip
2.36 E-2
1.23 E-1
1.9381E-1(2) 1.9346E-1(2) 2.0400E-1(2) 2.0264E-1(2) － 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
1 1(
0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － )
0 1(
.1 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 － K 1 8.7244E-3(4) 8.7308E-3(4) 4.5323E-3(2) 3.2881E-3(2) 3.2804E-3 K 2 1.3811E-2(4) 1.3804E-2(4) 2.4826E-2(2) 2.3707E-2(2) 893 K 3 2.8069E-2(2) 2.8024E-2(2) 3.5192E-2(3) 3.5051E-2(3) － K 4 6.2526E-2(2) 6.2378E-2(2) 6.4924E-2(2) 6.3710E-2(2) 6.36765E-2 K 5 1.1760E-1(2) 1.1736E-1(2) 1.2450E-1(2) 1.2320E-1(2) 063 K 6 1.4141E-1(4) 1.4147E-1(4) 1.9559E-1(4) 1.9556E-1(4) － K 7
表六 旋轉梁不同設定角不同轉速的準確性分析
(矩形斷面a /b0.05，LT /a60，r0.6667， 0， 0)
A20 a[23,24] b[23,24] c[23,24]
0 k 0 K 1 1.6916E-2(3) 1.6917E-2 － 1.6917E-2 K 2 1.0453E-1(4) 1.0303E-1 － 1.0273E-1 K 3 1.0597E-1(3) 1.0596E-1 － 1.0524E-1 K 4 2.9658E-1(3) 2.9668E-1 － 2.9722E-1 K 5 3.2831E-1(4) 3.2506E-1 － 3.2236E-1
K 6 3.3126E-1(2) － － －
K 7 5.8077E-1(3) － － －
30 k 1.078E-2
3. 9E-1 3. 0E-1 3.2 -1
1.437E-2
3. 8E-1 3. 0E-1 3.2 -1
1.796E-2
1.2 -1
3. 3E-1 3. 3E-1
5.9
K 1 2.2718E-2(3) 2.2700E-2 2.2718E-2 2.3167E-2 K 2 1.0603E-1(4) 1.0456E-1 1.0348E-1 1.0237E-1 K 3 1.1236E-1(3) 1.1205E-1 1.1237E-1 1.1314E-1 K 4 3.0320E-1(3) 3.0232E-1 3.0338E-1 3.0315E-1
K 5 3.3092E-1(4) 278 256 452E
K 6 3.3159E-1(4) － － －
K 7 5.8774E-1(3) － － －
k K 1 2.6331E-2(3) 2.6310E-2 2.6328E-2 2.6220E-2 K 2 1.0720E-1(4) 1.0572E-1 1.0387E-1 1.0452E-1 K 3 1.1708E-1(3) 1.1619E-1 1.1707E-1 1.1943E-1 K 4 3.0821E-1(3) 3.0537E-1 3.0835E-1 3.0818E-1
K 5 3.3178E-1(4) 299 261 631E
K 6 3.3305E-1(4) － － －
K 7 5.9309E-1(3) － － －
k K 1 3.0323E-2(3) 3.0279E-2 3.0333E-2 2.9812E-2 K 2 1.0870E-1(4) 1.0721E-1 1.0443E-1 1.0542E-1 K 3 1.2286E-1(3) 1.2094E-1 1.2284E-1 679E K 4 3.1445E-1(3) 3.0783E-1 3.1451E-1 －
K 5 3.3221E-1(4) 328 268 －
K 6 3.3568E-1(4) － － －
K 7 989E-1(3) － － －
0 3.7018E-4 － － －
Utip
-2.4202E-2 － － －
2.1369E-4 － － －
) 1 1(
-1.4837E-2 － － －
0 1(
.1) a : 二次項幾何非線性分析結果 b : 三次項幾何非線性分析結果
: 實驗結果 c
表七 旋轉梁不同設定角不同轉速的收斂性及準確性分析 (矩形斷面a/b0.05 ，LT /a60，r0.6587， 0， 22.5)
A10 A20 a[24] b[24] c[24]
60
k 3.592E-3
1.0 E-1
1.078E-2
1.1 E-1
3.0 3.0 3.0 -1 3.0 E-1
K 1 1.7369E-2(3) 1.7368E-2(3) 1.7330E-2 1.7330E-2 1.7420E-2 K 2 1.0453E-1(4) 1.0452E-1(4) 1.0281E-1 1.0296E-1 308 K 3 1.0665E-1(3) 1.0664E-1(3) 1.0657E-1 1.0660E-1 － K 4 2.9727E-1(3) 2.9720E-1(3) 2.9727E-1 2.9744E-1 － K 5 3.2012E-1(4) 3.2026E-1(4) 3.2260E-1 3.2258E-1 3.2290E-1
k K 1 2.0820E-2(3) 2.0832E-2(3) 2.0024E-2 2.0545E-2 2.2341E-2 K 2 1.0287E-1(4) 1.0289E-1(4) 8.7981E-2 1.0125E-1 1.0075E-1 K 3 1.1230E-1(3) 1.1239E-1(3) 1.1228E-1 1.1187E-1 242 K 4 2.7467E-1(4) 2.7547E-1(4) 2.8178E-1 2.9196E-1 －
K 5 212E-1(3) 233E-1(3) 252E 471 －
0 1.0982E-4 1.1180E-4 － － －
ε b -8.2093E-4 -8.2214E-4 － － －
ε c -7.6792E-3 -7.7020E-3 － － －
Utip -6.3999E-3 -6.4048E-3 － － －
Vtip -1.0789E-3 -1.0691E-3 － － －
Wtip
-2.6173E-2 -1.1681E-2 － － －
-1.0654E-1 -1.0658E-1 － － －
) 1 1(
-1.1639E-2 -1.1681E-2 － － －
) 1 . 1(
0
90
7.184E-3
1.437E-2
1.796E-2
3.3250E-1(4) 3.3316E-1 3.3308E-1 3.3296E-1
k K 1 1.8324E-2(3) 1.8318E-2(3) 1.8210E-2 1.8228E-2 1.8300E-2 K 2 1.0416E-1(4) 1.0412E-1(4) 1.0314E-1 1.0310E-1 1.0262E-1 K 3 1.0897E-1(3) 1.0898E-1(3) 1.0838E-1 1.0842E-1 1.0827E-1 K 4 2.9908E-1(3) 2.9897E-1(3) 2.9909E-1 2.9920E-1 2.9884E-1 K 5 3.2940E-1(4) 3.2937E-1(4) 3.2610E-1 3.2601E-1 3.2308E-1
k K 1 2.1797E-2(3) 2.1784E-2(3) 2.1569E-2 2.1551E-2 2.1766E-2 K 2 1.0228E-1(4) 1.0212E-1(4) 1.0296E-1 1.0294E-1 1.0093E-1 K 3 1.1804E-1(4) 1.1808E-1(4) 1.1569E-1 1.1573E-1 1.1745E-1 K 4 3.0442E-1(4) 3.0397E-1(4) 3.0541E-1 3.0552E-1 3.0243E-1 K 5 3.3201E-1(4) 3.3201E-1(4) 3.2974E-1 3.2967E-1 3.2793E-1
k K 1 2.3912E-2(3) 2.3900E-2(3) 2.3670E-2 2.3652E-2 2.4155E-2 K 2 1.0081E-1(4) 1.0056E-1(4) 1.0278E-1 1.0276E-1 9.9313E-1 K 3 1.2435E-1(4) 1.2441E-1(4) 1.2092E-1 1.2094E-1 1.2356E-1 K 4 3.0670E-1(4) 3.0584E-1(4) 3.0923E-1 3.0934E-1 3.0440E-1 K 5 3.3250E-1(4)
a : 二次項幾何非線性分析結果 b : 三次項幾何非線性分析結果
: 實驗結果 c
表八 旋轉梁不同設定角不同轉速的收斂性及準確性分析 (矩形斷面a/b0.05，LT /a60，r0.636， 0， 45)
A10 A20 a[23,24] b[23,24] c[23,24]
0
k 2.604E-3
3.1 -1 3.2 E-1 3.2 E-1 3.606E-3
4.508E-3
2. 2. 3.0 -1 3.0 E-1 3.2 E-1
W p -8.3804E-2 -8.3811E-2 － － －
K 1 1.7093E-2(3) 1.7094E-2(3) 1.7025E-2 1.7043E-2 1.7223E-2 K 2 1.0447E-1(4) 1.0447E-1(4) 1.0240E-1 1.0303E-1 1.0308E-1 K 3 1.0618E-1(3) 1.0618E-1(3) 1.0614E-1 1.0619E-1 1.0560E-1 K 4 2.9680E-1(3) 2.9674E-1(3) 2.9688E-1 2.9702E-1 2.9722E-1 K 5 3.1300E-1(4) 3.1325E-1(4) 976E 032 308
k K 1 1.7284E-2(3) 1.7289E-2(3) － － －
K 2 1.0421E-1(4) 1.0423E-1(4) － － － K 3 1.0635E-1(3) 1.0636E-1(3) － － － K 4 2.9681E-1(3) 2.9678E-1(3) － － － K 5 2.9892E-1(4) 2.9937E-1(4) － － －
k K 1 1.7537E-2(3) 1.7549E-2(3) 1.7294E-2 1.7330E-2 1.7707E-2 K 2 1.0371E-1(4) 1.0376E-1(4) 9.7158E-1 1.0285E-1 1.0219E-1 K 3 1.0653E-1(3) 1.0656E-1(3) 1.0650E-1 1.0664E-1 1.0578E-1 K 4 2.8404E-1(4) 2.8467E-1(4) 2.9722E-1 2.9763E-1 2.9848E-1 K 5 9671E-1(3) 9673E-1(3) 081E 473 380
ε c -5.4612E-3 -5.4680E-3 － － －
ti
90
5.388E-3
1.257E-2
1.616E-2
3. 3. 3.3019E-1 3.3 E-1
k K 1 1.7156E-2(3) 1.7154E-2(3) 1.6989E-2 － 1.7151E-2 K 2 1.0390E-1(4) 1.0386E-1(4) 1.0298E-1 － 1.0255E-1 K 3 1.0755E-1(4) 1.0756E-1(4) 1.0678E-1 － 1.0757E-1 K 4 2.9748E-1(3) 2.9739E-1(3) 2.9744E-1 － 2.9758E-1 K 5 3.2881E-1(4) 3.2877E-1(4) 3.3818E-1 － 3.2290E-1
k K 1 1.7828E-2(3) 1.7826E-2(3) 1.7187E-2 － 1.7959E-2 K 2 9.9162E-2(4) 9.8938E-2(4) 1.0152E-1 － 9.7876E-2 K 3 1.1570E-1(4) 1.1582E-1(4) 1.1140E-1 － 1.1494E-1 K 4 2.9853E-1(4) 2.9799E-1(4) 2.9986E-1 － 2.9632E-1 K 5 3.3190E-1(4) 3.3191E-1(4) 3.2764E-1 － 3.2739E-1
k K 1 1.7945E-2(3) 1.7952E-2(3) 1.7205E-2 － 1.7959E-2 K 2 9.5056E-2(4) 9.4660E-2(4) 1.0009E-1 － 9.3746E-2 K 3 1.2178E-1(4) 1.2196E-1(4) 1.1513E-1 － 1.2122E-1 K 4 2.9695E-1(4) 2.9583E-1(4) 3.0085E-1 － 2.9489E-1
K 5 3238E-1(4) 3238E-1(2) － 296
ε b -3.6295E-3 -3.6323E-3 － － －
Vtip -2.8298E-3 -2.8298E-3 － － －
a : 二次項幾何非線性分析結果 b : 三次項幾何非線性分析結果
: 實驗結果 c
表九 旋轉 角不同轉速不同 面的收斂性及準 性分析 (矩形斷
梁不同預錐 斷 確
LT /b10，r0 0 0 )
面 ， ，
A10 A20 A50 a[24] b[24]
15 a/b0.05
k 0
5.075E-3
1.015E-2
1.2773E-1(4) 1.2646E-1(4) 1.2617E-1(4) 1.2981E-1 1.2644E-1 K 1 5.0749E-3(3) 5.0749E-3(3) 5.0749E-3(3) － － K 3.1804E-2(3) 3.1803E-2(3) 3.1803E-2(3)2 － － K 8.9068E-2(3) 8.9046E-2(3) 8.9045E-2(3)3 － － 9.8303E-2(4) 9.8142E-2(4) 9.8120E-2(4) － － K4
1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) － － K5
k K 1 7.3443E-3(3) 7.4387E-3(3) 7.4444E-3(3) 7.4423E-3 7.4739E-3 K 3.3800E-2(3) 3.4159E-2(3) 3.4181E-2(3)2 3.4530E-2 3.4342E-2 K 3 6.2673E-2(4) 6.3179E-2(4) 6.3391E-2(4) 6.1479E-2 6.3871E-2 9.0285E-2(3) 9.1070E-2(3) 9.1126E-2(3) 9.2377E-2 9.1521E-2 K4
1.2868E-1(4) 1.2767E-1(4) 1.2741E-1(4) 1.3044E-1 1.2734E-1 K5
k K 1 1.1669E-2(3) 1.1976E-2(3) 1.1995E-2(3) 1.1908E-2 1.2036E-2 K 3.9516E-2(3) 4.0669E-2(3) 4.0738E-2(3)2 4.1642E-2 4.0912E-2 K 5.4287E-2(4) 5.5369E-2(4) 5.5811E-2(4)3 5.3530E-2 5.6365E-2 K 9.5355E-2(3) 9.7791E-2(3) 9.7966E-2(3)4 1.0033E-1 9.8277E-2 K 5
45 a/b0.06 0
3.045E-3
6.090E-3
7E-1(4) 1.6053E-1(4) 1.6013E-1(4) 1.6449E-1 1.6355E-1
k K1 6.0899E-3(3) 6.0899E-3(3) 6.0899E-3(3) － － 3.8164E-2(3) 3.8163E-2(3) 3.8163E-2(3) － － K 2
1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) － － K 3
1.0688E-1(3) 1.0685E-1(3) 1.0685E-1(3) － － K 4
1.1752E-1(4) 1.1732E-1(4) 1.1730E-1(4) － － K 5
k K1 6.3081E-3(3) 6.3955E-3(3) 6.4013E-3(3) 6.4298E-3 6.4180E-3 3.8179E-2(3) 3.8463E-2(3) 3.8483E-2(3) 3.8968E-2 3.8593E-2 K 2
6.8856E-2(4) 6.9228E-2(4) 6.9390E-2(4) 6.7808E-2 7.0659E-2 K 3
1.0613E-1(3) 1.0674E-1(3) 1.0679E-1(3) 1.0838E-1 1.0701E-1 K 4
1.4756E-1(4) 1.4650E-1(4) 1.4620E-1(4) 1.5008E-1 1.4806E-1 K 5
k K1 7.5191E-3(3) 8.3016E-3(3) 8.3465E-3(3) 8.3627E-3 8.3429E-3 3.5690E-2(4) 3.7019E-2(4) 3.7207E-2(4) 3.5757E-2 3.8502E-2 K 2
3.8078E-2(4) 4.0091E-2(4) 4.0262E-2(4) 4.3077E-2 3.9867E-2 K 3
9.9017E-2(3) 1.0521E-1(3) 1.0562E-1(3) 1.1722E-1 1.0595E-1 K 4
K 1.6225 a : 三次項幾何非線性分析結果
: MSC NASTRAN 結果 b
表十 旋轉梁不同轉速 收斂性及準確 析
(矩 斷面
的 性分
1 . 0 /b
a LT /a100，r 0
形 ， ， 0， 0， 15)
a b
A10 A20 A50 [24] [24]
k 0 K 1 1.0150E-2(3) 1.0150E-2(3) 1.0150E-2(3) － － K 2 6.3602E-2(3) 6.3600E-2(3) 6.3599E-2(3) － － K 3 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) － － K 4 1.7809E-1(3) 1.7805E-1(3) 1.7805E-1(3) － － 6.090E-3
1.9 1.9 1.9
K 5 1.9266E-1(4) 1.9235E-1(4) 1.9230E-1(4) － －
k K 1 1.2007E-2(3) 1.2020E-2(3) 1.2020E-2(3) － － K 2 6.5280E-2(3) 6.5321E-2(3) 6.5322E-2(3) － － K 3 9.6089E-2(4) 9.6217E-2(4) 9.6271E-2(4) － － K 4 1.7949E-1(3) 1.7956E-1(3) 1.7956E-1(3) － － K 5 958E-1(4) 896E-1(4) 882E-1(4) － －
0 1.6692E-5 1.6620E-5 1.6557E-5 － － ε c -2.8625E-3 -2.8667E-3 -2.8679E-3 － － Wtip
1.218E-2
2.1 2.1 2.1
-7.2949E-2 -7.2963E-2 -7.2966E-2 － －
k K 1 1.6502E-2(3) 1.6563E-2(3) 1.6566E-2(3) － － K 2 7.0120E-2(3) 7.0344E-2(3) 7.0354E-2(3) － － K 3 8.5152E-2(4) 8.5617E-2(4) 8.5809E-2(4) － － K 4 1.8361E-1(3) 1.8410E-1(3) 1.8414E-1(3) － － K 5 352E-1(4) 215E-1(4) 176E-1(4) － －
0 6.6210E-5 6.5346E-5 6.4666E-5 － － ε c -7.2870E-3 -7.3246E-3 -7.3357E-3 － － Wtip
2.030E-2
2.1 2.1 2.1 2.2432E-1 2.1852E-1
-1.5408E-1 -1.5413E-1 -1.5414E-1 － －
k K 1 2.3845E-2(3) 2.3978E-2(3) 2.3986E-2(3) 2.3815E-2 2.4054E-2 K 2 7.9346E-2(4) 8.0031E-2(4) 8.0192E-2(4) 8.0310E-2 8.1777E-2 K 3 8.2994E-2(4) 8.3691E-2(4) 8.3924E-2(4) 8.2505E-1 8.3084E-1 K 4 1.9480E-1(3) 1.9581E-1(3) 1.9588E-1(3) 2.0067E-1 1.9644E-1 K 5 718E-1(4) 525E-1(4) 470E-1(4)
0 1.8661E-4 1.8292E-4 1.7982E-4 － － ε c -1.2559E-2 -1.2721E-2 -1.2771E-2 － － Wtip -2.0095E-1 -2.0100E-1 -2.0102E-1 － － a : 三次項幾何非線性分析結果
: MSC NASTRAN 結果 b
表 旋轉梁不同轉速 斂分
(矩 ，
十一 的收 析
1 . 0 /b
a LT /a100 r1 0 0， 15)
形斷面 ， ， ，
A10 A20 A50
k 0 K 1 1.0150E-2(3) 1.0150E-2(3) 1.0150E-2(3)
K 2 6.3602E-2(3) 6.3600E-2(3) 6.3599E-2(3) K 3 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) K 4 1.7809E-1(3) 1.7805E-1(3) 1.7805E-1(3) 0.001
1.9 1.9 1.9
K 5 1.9266E-1(4) 1.9235E-1(4) 1.9230E-1(4)
k K 1 1.0276E-2(3) 1.0276E-2(3) 1.0276E-2(3)
K 2 6.3714E-2(3) 6.3712E-2(3) 6.3712E-2(3) K 3 1.0127E-1(2) 1.0127E-1(2) 1.0127E-1(2) K 4 1.7820E-1(3) 1.7816E-1(3) 1.7816E-1(3)
K 5 273E-1(4) 241E-1(4) 237E-1(4)
0 1.3771E-6 1.4016E-6 1.4159E-6
ε c -2.5005E-4 -2.5029E-4 -2.5035E-4
W 0.005
2.0 2.0 2.0
tip
K1
-6.4687E-3 -6.4688E-3 -6.4689E-3
k 1.3024E-2(3) 1.3047E-2(3) 1.3048E-2(3)
K 2 6.6251E-2(3) 6.6339E-2(3) 6.6342E-2(3) K 3 9.2846E-2(4) 9.3089E-2(4) 9.3190E-2(4) K 4 1.8030E-1(3) 1.8048E-1(3) 1.8049E-1(3)
K 5 378E-1(4) 292E-1(4) 270E-1(4)
0 3.3079E-5 3.3381E-5 3.3525E-5
ε c -4.3695E-3 -4.3865E-3 -4.3915E-3
W 0.01
2.1 2.1 2.1
tip
K1
-1.0032E-1 -1.0036E-1 -1.0037E-1
k 1.9270E-2(3) 1.9354E-2(3) 1.9357E-2(3)
K 2 7.3788E-2(3) 7.4140E-2(3) 7.4157E-2(3) K 3 8.3593E-2(4) 8.4315E-2(4) 8.4608E-2(4) K 4 1.8742E-1(3) 1.8819E-1(3) 1.8825E-1(3)
K 5 523E-1(4) 352E-1(4) 303E-1(4)
0 1.3198E-4 1.3193E-4 1.3145E-4
ε c -1.0262E-2 -1.0379E-2 -1.0415E-2
Wtip -1.8068E-1 -1.8077E-1 -1.8080E-1
表十二 旋轉梁不同轉 收斂性及準確性分析 (矩形斷面
速的 2
. 0 /b
a 5 ，LT /a40，r0 ， 0， 0， 45)
A10 A20 A50 a[24] b[24]
k 0 K 1 2.5372E-2(3) 2.5372E-2(3) 2.5372E-2(3) － － K 2 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) － － K 3 1.5889E-1(3) 1.5889E-1(3) 1.5889E-1(3) － － K 4 4.4448E-1(3) 4.4396E-1(4) 4.4384E-1(4) － － 1.015E-2
4.4 4.4 4.4
K 5 4.4475E-1(4) 4.4438E-1(3) 4.4437E-1(3) － －
k K 1 2.5774E-2(3) 2.5783E-2(3) 2.5784E-2(3) － － K 2 1.0098E-1(4) 1.0101E-1(4) 1.0102E-1(4) － － K 3 1.5969E-1(3) 1.5971E-1(3) 1.5971E-1(3) － － K 4 4.4451E-1(3) 4.4447E-1(3) 4.4446E-1(3) － － K 5 657E-1(4) 548E-1(4) 527E-1(4) － －
0 2.0771E-5 2.0030E-5 1.9536E-5 － － ε c -4.0653E-3 -4.0672E-3 -4.0676E-3 － － Wtip
1.523E-2
4.5 4.4 4.4
-8.7615E-2 -8.7621E-2 -8.7622E-2 － －
k K 1 2.7265E-2(3) 2.7308E-2(3) 2.7312E-2(3) － － K 2 9.8390E-2(4) 9.8496E-2(4) 9.8542E-2(4) － － K 3 1.6067E-1(3) 1.6080E-1(3) 1.6081E-1(3) － － K 4 4.4272E-1(3) 4.4294E-1(3) 4.4297E-1(3) － － K 5 177E-1(4) 975E-1(4) 923E-1(4) － －
0 3.5447E-5 3.1556E-5 2.8999E-5 － － ε c -8.7473E-3 -8.7561E-3 -8.7585E-3 － － Wtip
2.537E-2
4.6 4.6 4.6 4.9632E-1 4.8460E-1
-1.8198E-1 -1.8200E-1 -1.8201E-1 － －
k K 1 3.3904E-2(3) 3.4086E-2(3) 3.4106E-2(3) 3.4845E-2 3.4729E-2 K 2 8.9777E-2(4) 9.0130E-2(4) 9.0281E-2(4) 8.8163E-2 8.8829E-2 K 3 1.6510E-1(3) 1.6573E-1(3) 1.6578E-1(3) 1.7949E-1 1.6617E-1 K 4 4.3669E-1(3) 4.3797E-1(3) 4.3811E-1(3) 4.8843E-1 4.4087E-1 K 5 610E-1(4) 150E-1(4) 019E-1(4)
0 5.5604E-5 3.0022E-5 1.2731E-5 － － ε c -1.9881E-2 -1.9938E-2 -1.9954E-2 － － Wtip -3.6386E-1 -3.6390E-1 -3.6391E-1 － － a : 三次項幾何非線性分析結果
: MSC NASTRAN 結果 b
表十 旋轉梁不同轉速
(矩形斷面 ，
三 的收斂分析
25 . 0 /b
a LT / a40，r1， 0， 0， 45)
A10 A20 A50
k 0 K 1 2.5372E-2(3) 2.5372E-2(3) 2.5372E-2(3)
K 2 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) 1.0130E-1(2) K 3 1.5889E-1(3) 1.5889E-1(3) 1.5889E-1(3) K 4 4.4448E-1(3) 4.4396E-1(4) 4.4384E-1(4) 0.001
4.4 4.4 4.4
K 5 4.4475E-1(4) 4.4438E-1(3) 4.4437E-1(3)
k K 1 2.5393E-2(3) 2.5393E-2(3) 2.5393E-2(3)
K 2 1.0132E-1(2) 1.0132E-1(2) 1.0132E-1(2) K 3 1.5892E-1(3) 1.5891E-1(3) 1.5891E-1(3) K 4 4.4451E-1(3) 4.4396E-1(4) 4.4385E-1(4)
K 5 475E-1(4) 440E-1(3) 440E-1(3)
0 9.1540E-7 9.3287E-7 9.4312E-7
ε c -1.2452E-4 -1.2464E-4 -1.2467E-4
W 0.005
4.4 4.4 4.4
tip
K1
-2.5720E-3 -2.5720E-3 -2.5720E-3
k 2.6009E-2(3) 2.6012E-2(3) 2.6012E-2(3)
K 2 1.0114E-1(4) 1.0115E-1(4) 1.0116E-1(4) K 3 1.5952E-1(3) 1.5953E-1(3) 1.5953E-1(3) K 4 4.4474E-1(3) 4.4465E-1(4) 4.4458E-1(4)
K 5 570E-1(4) 478E-1(4) 468E-1(4)
0 1.9849E-5 1.9806E-5 1.9749E-5
ε c -3.0032E-3 -3.0069E-3 -3.0080E-3
W 0.01
4.5 4.5 4.5
tip
K1
-6.1197E-2 -6.1201E-2 -6.1202E-2
k 2.8700E-2(3) 2.8752E-2(3) 2.8757E-2(3)
K 2 9.7445E-2(4) 9.7590E-2(4) 9.7652E-2(4) K 3 1.6113E-1(3) 1.6130E-1(3) 1.6132E-1(3) K 4 4.4229E-1(3) 4.4262E-1(3) 4.4266E-1(3)
K 5 385E-1(4) 155E-1(4) 094E-1(4)
0 5.3907E-5 4.8758E-5 4.5189E-5
ε c -1.0625E-2 -1.0650E-2 -1.0657E-2
Wtip -2.0494E-1 -2.0497E-1 -2.0498E-1
表十四 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表十五 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表十六 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表十七 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表十八 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
(矩形斷面a b 0.05，LT a60，r 1，
0，
45，N 50)15
30
k 0.0000E+0 1.0000E-3 5.0000E-3 1.0000E-2 1.0000E-3
8.4353E-7
-6.8932E-2 -1.5445E-5 -6.7582E-6
表十九 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十一 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十二 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十三 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十四 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
* : 發散不穩定(divergence instability)
表二十五 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十六 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
(I 形斷面W1030，LT dnom 25，r 1，
45，
22.5，N 50)0
5
k 0.0000E+0 1.0000E-3 5.0000E-3 1.0000E-2 1.0000E-3
1.3351E-6
-9.5951E-3 -1.7979E-6 -2.0992E-3
表二十七 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十八 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表二十九 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十一 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十二 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十三 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十四 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
(十字斷面dbt1470.35，LT d 10，r 1，
0，
22.5，N 50)0
5
k 0.0000E+0 1.0000E-3 5.0000E-3 1.0000E-2
0 0.0000E+0 0.0000E+0 -6.7892E-4 -2.6635E-3 1.1560E-5 -3.3359E-5 0.0000E+0 0.0000E+0 -3.5169E-3 -1.3719E-2 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 0.0000E+0 2.9944E-2(4) 2.8050E-2(4) 5.7220E-2(4) 5.6875E-2(4) 8.3926E-2(3) 8.5247E-2(3) 1.7230E-1(4) 1.7149E-1(4) 1.8638E-1(4) 1.9024E-1(4) 2.8977E-1(4) 2.9318E-1(4) 4.1610E-1(4)
表三十五 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十六 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十七 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十八 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表三十九 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表四十 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表四十一 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表四十二 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率
表四十三 旋轉梁不同傾斜角不同轉速的振動頻率