旋轉梁結構在日常生活中有很多實際上的應用，像是吊扇、渦輪的葉 片、直升機的旋轉翼、風力發電機的葉片、衛星的支臂、飛機的螺旋槳和 機械手臂。振動分析在旋轉梁的設計與分析上扮演著很重要的角色，文獻 上在這方面已經有很多的研究。
在文獻上旋轉梁結構主要包含繞其軸心旋轉之柱和剛接在其上的梁。
如圖一、圖二所示，設一剛接在圓柱的右手參考座標系統，其原點取在旋 轉梁斷面的形心軸與旋轉圓柱的交點(即 O 點)， 軸與旋轉軸垂直且交於
A
點， 軸與旋轉軸垂直、 軸與旋轉軸平行。但旋轉梁結構往往因為製 造上的誤差或本身設計上的考量，梁斷面的主軸面不ㄧ定與旋轉軸平行或 垂直，梁以O
點為圓心繞 軸旋轉一個角度為設定角(setting angle)X
1X
2X
3X
1
；梁軸之延長線不ㄧ定垂直旋轉軸，梁以
O
點為圓心繞 X
2軸旋轉一個角度為 預錐角(precone angle)
；梁軸之延長線不ㄧ定與旋轉軸相交，梁繞 軸旋 轉一個角度為傾斜角(inclination angle)X
3
，如圖三所示。旋轉梁結構在現實中通常會具有預錐角，文獻[1,2]分別回顧 1981 年前 及 1984 年前關於旋轉梁結構的振動分析，發現很少有文獻會去探討預錐角 對旋轉梁的影響，1984 年後的文獻也很少有探討預錐角的情形。文獻 [3-7,9-17]考慮預錐角為 時，不同傾斜角與設定角對旋轉梁的影響，其中 文獻[3-7,9-11]只有考慮傾斜角為 的情況；文獻
[18,19,21-27]
考慮不同預錐 角的情形。當旋轉梁預錐角為 且設定角為 或 時，若傾斜角為 ，穩 態變形僅包含軸向變形[9-11]
，若傾斜角不為 ，穩態變形包含軸向變形及 一個側向位移[12,13]
，但文獻[14]
僅考慮軸向變形，文獻[9-14]
只考慮旋轉 梁的二維振動；當預錐角為 且設定角不為 或 時，若傾斜角為 ，穩 態變形僅包含軸向變形及軸向扭轉[15,16]
，但文獻[4]
僅考慮軸向變形，若 傾斜角不為 ，穩態變形包含軸向、扭轉位移及兩個側向位移[18]
，但文獻0
0
0
0
0
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90
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0
0
[14]
僅考慮軸向變形，文獻[15-17]
考慮旋轉梁的三維振動。當旋轉梁預錐角 不為 時，若設定角為 或 且傾斜角為 ，穩態變形包含軸向變形及一 個側向位移，若設定角為 或 且傾斜角不為 ，穩態變形包含軸向變形 及兩個側向位移，若設定角不為 或 ，穩態變形包含軸向、扭轉位移及 兩個側向位移[18,19]
，但文獻[18,19]
僅考慮軸向變形，文獻[18,19,21-27]
只 考慮旋轉梁的二維振動。0
0
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90
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0
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90
文獻
[3] Schilhansl
在考慮離心力，但忽略科氏力的情況下，導出了設定角不為 之等速旋轉梁振動的微分方程式，並以迭代法去求解。文獻
[4]Lee
與Kuo
以級數解探討了設定角不為0
之旋轉尤拉梁，對其旋轉軸的中心半 徑、設定角及轉速對旋轉梁彎矩振動自然頻率的影響。文獻[5]Yokoyama
分 析不同設定角之旋轉Timoshenko
梁，將旋轉慣量及剪變形、旋轉軸的中心 半徑和設定角合併到有限元素的模式中，探討其對自然頻率的影響。文獻[6]Lee and Lin
用線性梁理論去推導不同設定角之旋轉Timoshenko
梁的運動方程式，再以級數解求出旋轉梁的自然頻率，並探討旋轉速度和質量慣
性矩
(mass moment of inertia)
的耦合效應、設定角和旋轉速度對彎矩自然頻率的影響。文獻
[7]Eick and Mignolet
探討傾斜角為 之旋轉梁在不同旋轉 軸中心半徑與旋轉梁長度之比值下，其受軸向壓應力挫屈時之臨界轉速。文獻
[3-7]
均用線性梁理論推導旋轉梁的運動方程式，且在作其振動分析時都不考慮科氏力，但均無討論其適當性或影響，在文獻
[8]Simo and Vu-Quoc
提到在分析旋轉結構需要用幾何非線性梁理論(
至少取到二次項)
才能適當 的計算離心力對彎矩剛度的影響，若用線性梁理論(
只取到一次項)
將會產生 虛假的彎矩剛度流失，所以文獻[3-7]
中推導的旋轉梁之運動方程式及所求 得之振動的自然頻率應是不正確。0
0
文獻
[9,10]
利用非線性梁理論的一致線性化、虛功原理和d’Alembert
原 理在旋轉座標上推導設定角為 或90
之旋轉Timoshenko
梁正確的線性運動方程式，文獻
[9,10]
在分析時考慮了軸向變形及科氏力。旋轉梁的自然振 動是指以其穩態解為平衡點的微小振動，故須先求出其穩態解。文獻[9,10]
提出旋轉梁之自然頻率的級數解法及計算其自然頻率的數值計算程序，並 探討科氏力對旋轉梁之自然頻率的影響。文獻
[10]
洪以細長比很大的Timoshenko
梁模擬尤拉梁探討科氏力對其的影響，發現在低轉速時，科氏力對細長比很大之旋轉梁的自然頻率影響不大，但文獻
[9,10]
中並無高轉速 的結果，因在高轉速時，文獻[9,10]
的數值方法對細長比很大的旋轉梁無法 收斂。文獻
[11]
周分析設定角為 或 的旋轉尤拉梁，利用虛功原理與d’Alembert
原理，配合非線性梁理論的一致線性化，在旋轉座標上推導旋轉尤拉梁正確的線性運動方程式，文獻
[11]
周將旋轉梁分成數段，每段稱為一 個元素，每個元素用一個級數解來表示其自由振動，文獻[11]
周發現當細長 比很大時，在高轉速下僅用一個元素無法求得正確的自然頻率，需將旋轉 梁分成兩個以上的元素，才能求得精確的自然頻率，但文獻[11]
周並未探討 其原因。文獻[12]
顏用級數解、虛功原理、d'Alembert
原理及幾何非線性梁 理論的一致線性化，推導設定角為0
或 與不同傾斜角之旋轉尤拉梁的二 維運動方程式。當設定角為 時，旋轉傾斜尤拉梁的側向穩態解為零；當 設定角為 時，旋轉傾斜尤拉梁之側向穩態變形不為零。旋轉梁所受離心 力為與結構變形位置相關的外力(configuration dependent load)
，但文獻[12]
顏以旋轉梁變形前所受的離心力求其軸向及側向穩態變形，所以當旋轉梁 的側向穩態變形不是很小時，必須考慮幾何非線性，才能得到可靠的側向 穩態變形。文獻
[12]
顏在細長比很大、高轉速時，比較使用雙精度實數(double precision, 64 bits/per real)
與四倍精度實數(quadruple precision, 64 bits/per real)
計算行列式值的結果，結果發現當細長比很大時，在高轉速下僅用一個元 素以雙精度實數無法求得較高的自然頻率及僅有一個元素使用四倍精度實0
90
90
90
0
數與多個元素使用雙精度實數所計算出的自然頻率相同，所以使用多個元 素可改善僅用一個元素之雙精度有效位數不夠的問題。
文獻
[13]
周以共旋轉有限元素法(Co-rotational finite element formulation)
探討設定角為 、不同傾斜角之旋轉傾斜梁的穩態變形及自然振動頻率，考慮旋轉梁所受的離心力為與結構變形位置相關的外力，文獻
[13]
周採用共 旋轉有限元素法、d'Alembert
原理、虛功原理，配合幾何非線性梁理論的一 致線性化，推導出非線性運動方程式。文獻[13]
周發現旋轉梁的側向穩態位 移隨傾斜角、無因次轉速及細長比增加而變大，且以穩態解為平衡點的振 動都是軸向與側向耦合的振動，且其耦合的程度隨傾斜角、無因次轉速及 細長比增加而增加。0
文獻
[14]
視梁為單一元素以級數解探討不同設定角與傾斜角之旋轉梁 自由振動。當設定角不為 或 時，旋轉梁之軸向、兩個側向位移與扭轉 的穩態解都不為零，但文獻[14]
僅考慮軸向位移的穩態解對自然頻率的影 響，忽略了兩個側向位移及扭轉影響，故自然頻率可能不準確。0
90
文 獻
[15]
黃 考 慮 傾 斜 角 為 及 不 同 設 定 角 且 具 軸 對 稱 之 三 維 旋 轉Timoshenko
梁，利用共旋轉有限元素法和虛功原理配合非線性梁理論的一致線性化，推導梁元素節點慣性力與節點變形力。具雙軸對稱之三維旋轉
Timoshenko
梁的穩態解包含軸向和扭轉變形，文獻[15]
黃保留軸向和扭轉變形的穩態解到二次項及扭轉率到三次項。文獻
[15]
黃探討旋轉速度和設定角 對三維旋轉Timoshenko
梁之穩態變形及自然頻率的影響。文獻[16]
何採用 傾斜角為 及不同設定角之尤拉梁取代文獻[15]
黃之Timoshenko
梁，以共 旋轉有限元素法推導出三維旋轉尤拉梁運動方程式，其穩態解包含軸向和 扭轉變形，探討旋轉速度和設定角對三維旋轉尤拉梁之穩態變形及自然頻 率的影響。0
0
文獻
[17]
蔡以共旋轉有限元素法探討具不同設定角與傾斜角之旋轉傾斜梁的穩態變形及自然振動頻率，考慮旋轉梁所受的離心力為與結構變形 位置相關的外力，文獻
[17]
蔡採用共旋轉有限元素法、d'Alembert
原理、虛 功原理，配合幾何非線性梁理論的一致線性化，推導出非線性運動方程式。發現當預錐角為 、設定角不為 或 ，若傾斜角不為 時，以穩態解為 平衡點的振動是軸向、扭轉及兩個側向耦合的振動，且耦合的程度隨著傾斜 角、無因次轉速和細長比的增加而增加，而當傾斜角為 且設定角不為 或 時，穩態解僅有軸向、扭轉的變形，且這個扭轉變形會與軸向變形產生耦 合作用。
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90
文獻
[18,19]
視梁為單一元素以級數解探討不同設定角與預錐角之旋轉梁的自由振動與發散不穩定
(divergence instability)
產生的情形，文獻[18]
使 用的是Bernoulli-Euler
梁，文獻[19]
則使用的是Timoshenko
梁，僅考慮軸 向的穩態變形對自然頻率的影響，文獻[18]
軸向的穩態變形沒考慮軸向拉伸 變形，文獻[18,19]
忽略了扭轉與側向位移之穩態解且沒考慮到科氏力的影 響，故自然頻率與發散不穩定產生的情形都可能不正確。文獻
[21]
探討預扭角、預錐角、設定角、科氏力與幾何非線性梁理論中的變形及其微分取到二次項對旋轉懸臂梁之穩態變形、自然頻率、與模態 振型
(mode shape)
的影響，flap-lag-extensional
運動的統御耦合方程式包含有 大預錐角的影響跟保持幾何非線性梁理論中的變形及其微分取到二次項，位移以非旋轉正規振態
(nonrotating normal modes)
表示，用Galerkin
法去解 非線性穩態方程式跟線性擾動方程式，利用各參數代入方程式中的結果與代入
MSC NASTRAN[20]
所得到的結果做比對驗證幾何非線性梁理論的變形及其微分取到二次項的正確性，在小厚比
(thickness ratio
，葉片厚度與寬 度的比)
之葉片的預錐角高達45
及 /
1 1 (
為角速度，
1為非旋轉梁在形及其微分取到二次項的正確性，在小厚比