第四章、 研究結果與討論
第二節、 操作類心智圖解題之紀錄與結果
二、 倍數問題
x
要怎麼算？11. 研究者：妳想要消掉分母嗎，試試看等量公理？
12. 小蓉：同乘以 2 嗎？
13. 研究者：好...
（以下省略）
解題 結果
題意不清、等量乘法、除法公理不熟悉
透過類心智圖的第二點（已知），研究者發現，小蓉無法成功解題 的主因之一是「題意不清」。學生不懂題意的原因通常有二：一是對於 文字表徵成數字符號進行運算時發生困難，二是學生無法了解題目所描 述的情境意義。小蓉將題意誤認為「將此數乘以 3，所得的值減去一 半」，屬於後者。研究者成功輔助小蓉釐清題意之後，又回到了數學問 題：等量公理，仍需要再強調
2
x
也就是x
2，方能完成解題。小齊
解題 結果
心像錯誤，但解題正確。
由小齊操作類心智圖結果可知，他能套用公式、定理解題目。當研 究者請他修正心像時，小齊回應：「我會算阿，可是說（畫）不出來」，
代表他其實對該題一知半解，這類題型在課堂上練習過，小齊很可能是 先「熟悉題型」，並非先「熟悉定義、定理」。
二、倍數問題
2-1. 林家姐妹每月的零用錢總和是 6000 元，已知大姐零用錢的 2 倍是小妹零
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用錢的 3 倍，則大姐每月的零用錢有多少元？正解：3600 元 小蓉
訪談 紀錄
1. 研究者：小蓉，你自己的圖和題目敘述，有相吻合嗎？
2. 小蓉：嗯
3. 研究者：如果題目改成：「老師的錢和你的錢總和是 100」，只有 這句話，那你會怎樣畫圖？
4. 小蓉：（畫出兩包袋子，袋子上用括號連接寫出 100）
5. 研究者：嗯，所以你要不要在看看你的圖？好好思考怎樣改正 才對。
6. 小蓉：（還是畫不出來...）
7. （研究者介入製圖...（心像右下方））
8. 研究者：你的第四點（列）中，3x2y怎麼來的？
9. 小蓉：大姐的 2 倍是小妹 3 倍。
（以下省略）
解題 結果
無法分類情境中其他資訊、缺乏操縱符號的專業知識。
這題現象極為有趣，小蓉呈現錯誤心像，卻在第四點（列）列式正 確。研究者認為：教師在教學時為幫助學生思考而使用圖示的方法未必 對學生有效。小蓉看懂題目的意思而列式，畫圖時卻受到其他關係文字 而干擾，小蓉連「自己的心像」都不清楚了，更何況想要理解「老師的 心像」。在此研究者提供平行解題教學，讓小蓉身歷其境，思考生活中 兩人錢數總和為 100 的心像，藉以釐清題意。
數學式子是透過日常生活及科學中的言談或描述而形成的，如「大 姐的 2 倍」在數學式指「大姐的零用錢數乘以 2 倍」，看到「比、為、
式、恰好」的文字敘述應該對應到運算符號「＝」，在隱含運算符號的
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文字題中，學生會因為對詞彙定義或敘述的不熟悉，使得列式的表現較 差，這也顯示出學生要能夠正確列式，不但要對問題敘述了解之外，對 於問題敘述當中數學詞彙或敘述所代表的意義也要能夠理解，否則他們 也無法將已知的敘述轉換為數學符號。最典型的例子就是「6s=p 的教 授學生數」題(Clement, Lochhesd & Monk, 1981)，將「學生人數(S)是教授 人數(P)的六倍」的敍述轉譯成錯誤方程式時「6S = P」，被稱為「逆轉 (reversal)」的錯誤。
其他個案的解題紀錄與結果：
小齊
解題 結果
未標示聯立的符號、計算粗心、不熟悉移項法則。
小齊將第一式乘以 2 倍時，忽略右式也要乘以 2。研究者詢問小齊 為何不用加減消去法，小齊說「第二式無法移項」，認為「右邊沒有數 字不合理」，所以拒絕將 3y 移到左邊。
小君
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解題 結果
心像正確、類心智圖正確。
2-2. 阿鴻和 美秀兩人共有 1600 元，若 阿鴻給 美秀100 元後， 阿鴻的錢為 美秀的 3 倍，求 阿鴻原有多少元？正解：1300 元
小齊
訪談 紀錄
1. 研：說明一下吧！
2. 齊：我不會寫～是這樣嗎？（手指著圖畫....）
3. 研：3y+100 的意思是？
4. 齊：美秀的三倍
5. 研：你的美秀，是給 100 元之前的美秀？還是給 100 元之後的美秀？
6. 齊：之後（小聲）
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7. 研：所以是「誰」的 3 倍？
8. 齊：美秀阿
9. 研：可以解釋你的式子後方為何「＋100」？
10. 齊：美秀多 100 元，沒錯阿！
11. 研：你的寫法會翻譯成「美秀原本錢數的 3 倍，再加上 100 元」
12. 齊：所以...(把括號位置改掉)
13. 齊：（開始繼續寫出未完成的部份）....
（以下省略）
解題 結果
心像錯誤，但解題正確。任意省略括號。
研究者原先預設此題的迷思概念應為「缺乏因果關係」，「因」為 阿鴻 給 美秀100 元後，使 美秀多出 100 元的結「果」，猜想學生只記得 阿鴻少 100 元，忘記 美秀多 100 元。但小齊的錯誤在他認為「美秀＋100」之後 乘以 3 倍時不用加括號。從小齊的心像，研究者繼續深入追問有關分配 律的計算問題，可想而知，小齊對4(x3)4x12亦有諸多不解。有 時他算4(x3)4x12，有時又算4(x3)4x3。
其他個案的解題紀錄與結果：
小勳
解題 結果
缺乏因果關係
小勳先是寫出x100y，再寫出x3y，代表她將 阿鴻給 美秀100 元、 阿鴻的錢為 美秀的 3 倍 當作兩句話，此亦為忽略因果關係所致。
可見小勳雖瞭解題意，卻無法將題目中的條件加以表徵和組織成完整的 方程式。此情況看類心智圖的第二點（已知）與第四點（列）便可發現。
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