第四章、 研究結果與討論
第二節、 操作類心智圖解題之紀錄與結果
一、 未知數已設定
1-1. 花生豆花每碗 x 元， 丁香吃了 3 碗，結帳時她拿出一張 500 元的鈔票付 錢，老板找她 416 元，則一碗花生豆花多少元？正解：28 元
小蓉
訪談 紀錄
1. 研究者：可以說說看圖畫中的意思嗎？用妳自己的話講。
2. 小蓉：ㄟ....花生 x 元，丁香吃 3 碗，拿 500 元付錢，找 416 元。
3. 研究者：誰是未知數？
4. 小蓉：花生豆花。
5. 研究者：妳的心智圖整理得不錯！不過，老師想請妳說明一下，
第四點（列）的地方？
6. 小蓉：（微笑）就是移項，把 416 移到左邊，算出 84。
7. 研究者：那妳的 3x 在移項的時候，跑去哪裡偷懶了？怎麼人間蒸 發了呢？
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8. 小蓉：ㄟ...3x＝84？
9. 研究者：嗯，老師知道妳的想法，但是老師希望妳能謹記方程式 的原理來自於天秤，所以當妳把 416 移動到左邊籃子以後，3x 要 麼仍然在左邊，不然就是被妳移到右邊了，不可能會消失。
（以下省略）
解題 結果
表示未知數的信心不足、等價概念不足。
從與小蓉的對話發現，小蓉能看懂題意，指出題目中未知數的部 份，並且列出關係式。但心像與類心智圖當中，小蓉皆有逃避寫出未知 數的現象，研究者認為小蓉在使用未知數時仍有些不確定，在解方程式 時會產生移項的錯誤；移項的錯誤多半是因為學生缺乏等號兩邊等值的 觀念，因此聚焦提問，讓小蓉回想操作物「天秤」，注意方程式應有的 規律、特徵與一般性，並要求小蓉，盡量列式完整、清楚，至於小蓉如 何將修正的知識應用在解方程式上，仍需多加練習。
其他個案的解題紀錄與結果：
小齊
解題 結果
心像正確、類心智圖正確，但不知道如何驗算。
當研究者要求小齊寫完後應該驗算時，小齊說：「怎麼驗算？」。
小君
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解題 結果
心像正確、類心智圖正確。
1-2. 小文心裡想了一個數 x，若他將此數乘以 3 所得的值減去此數的 一半，
得到的結果為 10，則 小文心裡想的數為何？正解：4 小蓉
訪談 紀錄
1. 研究者：可以說明一下圖畫的意思嗎？
2. 小蓉：x 乘以 3 所得的值減一半...會得到 10 3. 研究者：好，這個「一半」是指誰的一半？
4. 小蓉：所得的值去一半。
5. 研究者： 所以妳認為這個「一半」，是指所得的值。
6. 小蓉：嗯
7. 研究者：麻煩妳再讀一次題目，如果看到「此數」，就把他圈起 來。
8. 小蓉：(x 3) (x2)10，這樣嗎？
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9. 研究者：好，請妳繼續寫。
10. 小蓉：老師，
2
x
要怎麼算？11. 研究者：妳想要消掉分母嗎，試試看等量公理？
12. 小蓉：同乘以 2 嗎？
13. 研究者：好...
（以下省略）
解題 結果
題意不清、等量乘法、除法公理不熟悉
透過類心智圖的第二點（已知），研究者發現，小蓉無法成功解題 的主因之一是「題意不清」。學生不懂題意的原因通常有二：一是對於 文字表徵成數字符號進行運算時發生困難，二是學生無法了解題目所描 述的情境意義。小蓉將題意誤認為「將此數乘以 3，所得的值減去一 半」，屬於後者。研究者成功輔助小蓉釐清題意之後，又回到了數學問 題：等量公理，仍需要再強調
2
x
也就是x
2，方能完成解題。小齊
解題 結果
心像錯誤，但解題正確。
由小齊操作類心智圖結果可知，他能套用公式、定理解題目。當研 究者請他修正心像時，小齊回應：「我會算阿，可是說（畫）不出來」，
代表他其實對該題一知半解，這類題型在課堂上練習過，小齊很可能是 先「熟悉題型」，並非先「熟悉定義、定理」。