使用概念圖與心像在國中代數教學之行動研究

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(1)國立屏東教育大學數理教育研究所碩士論文. 指導教授：詹勳國博士. 使用概念圖與心像在國中代數教學之行動研究. 研究生：李宜倫中華民國一百零二年七月.

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(3) 使用概念圖與心像在國中代數教學之行動研究摘要本研究採用行動研究法，以國一生為對象，針對代數與代數文字題，進行兩階段的研究實施。第一階段為概念圖教學，全程以提問方式連貫，藉由師生互相問問題達到教學目標。第二階段透過心像與類心智圖，觀察 8 位不同層次個案的學習情況，來獲得教學反思與修正。研究結果顯示，概念圖對教師而言，是一項有效但困難的教學工具，教師在教學前必須要精熟概念構圖的能力、熟練多樣的形式變化，才能發揮其優點；概念圖對各層次學生而言，皆具有正向影響。中、高層次對它的接受度較高，使用於複習時有助統整舊經驗。可提升低層次學生的學習興趣與熱誠。心像與類心智圖，確實為一項新興的學習策略，同於其他不同管道下實施的研究，皆能分析出他們的迷思概念，作為診斷教學之用，對中層次的學生幫助最大；高層次學生利用類心智圖解題的意願比較低；對低層次學生的幫助比較少。. 關鍵字：代數、行動研究、概念圖、心像、類心智圖. I.

(4) Using Concept Map and Image on Algebra Teaching In Junior High School: An Action Research Abstract This study adopted action research as method. The subjects were the first grade students in junior high school. The study was mainly divided into two stages: First, a concept map teaching was implemented. We used the questioning approach as teaching method to achieve teaching objectives. The second stage we used the concept image and quasi mind map to observe eight students with different levels and to obtain teaching reflection and correction. The results show that the concept map for teachers is an effective but difficult teaching tool. In order to reach their advantages, teachers must be proficient in concept mapping instructional strategies and diverse forms. The concept map have positive impacts on all level students. Most medium and high level students accepted concept map teaching and used them in the review of old experiences to help integration. The concept map teaching can enhance the low-level students' interest and enthusiasm. The concept image and quasi mind map indeed are new learning strategies. Comparing different strategies of learning, they still can analyze students’ misconceptions as diagnostic teaching. They help the medium level students the most. High level students did not want to use the concept image and quasi mind map in problem-solving. The assistances for low-level students were relatively little.. Keywords: Algebra. Action research. Concept map. Image. Quasi mind map. II.

(5) 目次中文摘要...........................................................................................................I 英文摘要..........................................................................................................II 目次................................................................................................................ III 圖次................................................................................................................ VI 表次............................................................................................................... VII 附錄目次......................................................................................................VIII. 第一章、緒論第一節、研究動機 ....................................................................................... 1 第二節、問題背景 ....................................................................................... 3 第三節、焦點領域與待答問題................................................................. 4 第四節、名詞解釋 ..................................................................................... 5. 第二章、文獻探討第一節、提問 .............................................................................................. 7 第二節、代數學習之相關研究............................................................... 11 第三節、代數文字題之相關研究 .......................................................... 13 第四節、概念圖與心智圖 ....................................................................... 14 III.

(6) 第三章、研究方法第一節、研究設計 ................................................................................... 21 第二節、研究場域與對象 ....................................................................... 21 第三節、研究工具 ................................................................................... 23 第四節、研究步驟 ................................................................................... 31. 第四章、研究結果與討論第一節、概念圖教學之歷程與結果 ...................................................... 33 第二節、操作類心智圖解題之紀錄與結果 .......................................... 40 一、未知數已設定 ............................................................................... 40 二、倍數問題 ....................................................................................... 43 三、年齡問題 ....................................................................................... 48 四、雞兔同籠問題 ............................................................................... 50 五、有餘不足問題 ............................................................................... 52 六、成本折扣問題 ............................................................................... 54 七、數字問題 ....................................................................................... 56 八、速度與行程 ................................................................................... 56 九、無解與其他 ................................................................................... 58 IV.

(7) 第三節、研究討論 ..................................................................................... 60. 第五章、結論與建議第一節、結論 .............................................................................................. 63 第二節、建議 .............................................................................................. 64. 參考文獻一、中文部份 .............................................................................................. 65 二、英文部份 .............................................................................................. 67. V.

(8) 圖次圖 1 概念圖之結構......................................................................................15 圖 2 使用概念圖在代數教學舉隅............................................................16 圖 3 心智圖的架構......................................................................................18 圖 4 促進學生對代數式中文字符號語意理解改變的提問方法模型.....................................................................................................................24 圖 5 以一元一次方程式為學習目標之概念...........................................25 圖 6 以二元一次方程式為學習目標之概念圖.......................................26 圖 7 完整類心智圖示.................................................................................27 圖 8 類心智圖學習單一部份.....................................................................28 圖 9 提問教學之流程圖.............................................................................32 圖 10 心像到概念圖之關聯性...................................................................61. VI.

(9) 表次表 1 教師與學生在提問教學中的工作....................................................10 表 2 概念圖與心智圖之比較.....................................................................20 表 3 本行動研究之研究架構.....................................................................23 表 4 簡易的概念流程示範.........................................................................26 表 5 代數文字題的 9 類情境......................................................................28 表 6 提問中發生的認知衝突.....................................................................36 表 7 學生排斥對數學概念的舉例與譬喻...............................................38. VII.

(10) 附錄目次附錄一、代數相關資訊 ............................................................................. 70 附錄二、類心智圖學習單範例................................................................. 72 附錄三、代數文字題測驗題目................................................................. 73. VIII.

(11) 第一章、緒論本章共分四節，第一節說明研究動機，第二節說明問題背景，第三節擬定焦點領域與待答問題，第四節針對本研究所使用之相關名詞加以界定並提出說明與解釋。. 第一節、研究動機傳統教育範疇中，研究者對教室實務的了解是有限的（Clements & Ellerton, 1996）。「研究」一向被認定是大學教授、專家學者的工作，與教師無關。教師很少接觸到研究，他們通常根據專家制定的課程綱要授課、憑藉自身經驗以解惑，引導學生尋找答案。大部分教師認為專家並不瞭解現實世界中教師本身遇到的問題，因此專家研究的是「理論」，而理論與實務之間存在差距，所以認定研究結果無法改善教學成效。研究無法造成實務的改變，其中一個主要的原因是研究過程中教學者與研究者的角色分離。Kennedy(1997)在探究「研究不能明顯影響教學」時提出四項要因：教師沒有發現研究具有說服力或權威性；研究與實務無關，且沒有探討到教師的問題；研究發現沒有用教師能理解的方式表達；教育系統本身不能變革，或相反地說，它本身就具有不穩定性，易受到時勢影響。此四點可發現：教師是教育改革的主體與動力，更是教育最前線的守護者，教育改革首要目標必須先能夠獲得教師的認同，新的制度才得以紮根和發展得起來。在今天呈現價值多元、課程鬆綁、知識爆炸、環境快速變化的教學環境中，社會大眾逐漸要求教師應充份具備核心、重要之專業知能、堅定專業信念，並保持自我不斷學習、研究的態度，才能在教職生涯中永立威嚴。因此，教師必須發展自我專業，教育才得以革新，教育理念的落實需靠教師以厚實的專業知識與專業素養為基礎，加以實踐，才能收到預期的成果（林進材，1999）。教師專業發展主重「既利教師個人、又利整體教育革新」的雙贏工作，也是社會各界的共識與期待，現在，更多的教師主動爭取研究行動。而研究者同時身為「教師即研究者」，除了平日研究自身的教學實際、覺知研究問題以外，更期望將研究心得注入教學中，藉由觀察學生的學習情形、態度，並蒐集作業、教師日誌等第一手資訊，落實課程改革與修正教學，即融合教育理論與實務，達到相輔相成，以彰顯問題解決之成效，促進教師自我的專業成長。陳彥廷（2009）曾建構一個能引導學生達成對文字符號語意理解的提問模型，建議未來可將此模型落實於一般課室中，再進行模式之精煉；然而，研究者在歷經七年的教學觀察中，與國中資深數學教師在教育現場發現以下三點現象： (一) 教師欲全然掌握學生對代數的理解情形，單靠師生間之晤談是不夠的，因為學生在求學階段的語文表達能力尚顯不足，對陳述事務之詞彙認知有限，且在解題時易受命題之情境與文字敘述長短影響； (二) 傳統教學中，老師通常會幫學生整理重點，不厭其煩地提醒他們解題關 1.

(12) 鍵，這使得學生常期處於被動狀態，當被問到問題時，常常會詞不達意，答非所問，甚至以幾句話草草交差了事； (三) 學生雖然能夠快速、準確地求出正確的答案，卻未必能夠真正地理解問題背後所潛藏之意義與數學概念（Brenner, Herman, Ho, & Zimmer, 1999; Cai, 2001; National Research Council, [NRC], 2001; Pesek & Kirshner, 2002）；部份學生依靠模仿的方式成功獲取答案，他們對獲得的知識並非真正的理解，這些知識只是零碎片段的記憶與背誦。顯然，教師在課室中使用「提問（questioning）」是影響學生思考的重要關鍵（陳彥廷，2009），卻仍然與教學成效的達成有些許落差，這使研究者在發展專業成長活動與推廣教學改革以增進教學技巧的路途上，遇到很大的阻礙：「提問，除了促進一般的教室對話外，主要的目的不是應該輔助學生建構一套正確的思考邏輯嗎？」而 1990 年代關於學生如何建構數學概念的研究曾指出：教學過程中不同因素（例如：教材、環境…等）都會影響學生概念改變（Maher, 1998; Maher & Martino, 1997; Maher,Martino, Davis, 1996; Martino & Maher,1999）。研究者開始思索在提問教學的過程中，是否有輔助學生思考的工具？在閱讀大量文獻後，研究者關注到許多有關概念圖（concept map）與心像（image）的資訊。概念圖的研究在國內外受到各級教師的極大關注，研究者不乏其人，主要集中於介紹教師如何利用概念圖講授語文、物理、化學、生物等學科，研究範圍涉及概念圖之結構、特徵、分類、編制過程等，而我國在數學學科上對概念圖的研究方式大多屬於準實驗研究，如陳欣宜（2010）的代數與幾何概念圖教學對國中生數學學習成效之研究；張徐尉（2012）運用概念圖於 WebQuest 對後設認知影響之研究等。呈現數學學科之概念圖教學法大多屬於合作學習法，如謝桐偉（2011）研究合作概念圖系統融入國小社會科教學對學生學習成效之影響；林千惠（1999）的概念圖合作學習應用於國中「三角形的性質」單元學習成效之研究。我們知道數學知識的特徵即具有網絡結構，若教師能在教學時能利用概念圖的架構，呈現簡明扼要的文字、圖像，網絡知識中相關概念、從屬關係，應能讓學生順利掌握每一單元之學習目標與方向，促進他們對程序性知識與概念性知識的理解。至於行動研究，比起準實驗研究，它更能幫助教師得到即時的反省與修正教學。因此，研究者對於利用行動研究方式導入概念圖教學的嘗試頗感興趣。另外，研究者曾修讀「數學教育文獻選讀」一門課，當中涉獵”Concept Image and Concept Definition in Mathematics with Particular Reference to limits and Continuity”，內容指出，多半學生在解題時並非使用教師傳授的概念定義來思考，而是先連結到自我建構的概念心像，如許多國一生很難理解” 5  8  3 ”，因為他們面對「減法」概念時會先想到「答案變小」、「大數減小數」、所以得到” 5  8  3 ”。 David Tall 與 Schlomo Vinner（1981）對概念心像做出研究，他們以「連續」與「極限」為例，發現： 1. 學生在掌握概念時，時常依賴的是心像而非概念定義。 2.

(13) 2.. 學生在進行思考時，常常遺忘概念定義。. 3.. 每位學生擁有個人獨特的概念心像，這些心像有時前後並不一致或連貫，而且學生的舊經驗會影響正在學習的新概念。. 數學是一門嚴格要求定義、精確講究數學符號與使用的科學，然而數學對概念賦予的嚴格定義，卻與個人對概念產生的心像，形成極為有趣的對比。雖然正式的概念定義可能是數學教學的最終目標，但學生在缺乏足夠的概念心像與數學知識相互對應下，將無法長時間留住這些重要的概念定義(David Tall & Shlomo Vinner, 1981)。現今已有許多專家開始對「心像」做出研究，對數學教育領域造成不少影響。為師想要瞭解一位學生的思維，判斷他是否具有某一種概念時，光指出某概念名稱是不夠的，應該試著瞭解他對該概念的心像為何，還要觀察其心像對於新問題、新情境所產生的認知衝突為何。本研究將試圖引導教師重新注意到正規概念與心像之間不可或缺的連結。概念圖與心智圖（Mind Map）對於國中數學學習過於複雜，因此本研究計畫使用修正相關的簡化版，採取比較不嚴格並且寬鬆接受學生任何相關的表徵，我們稱為「類心智圖」（quasi mind map），希望透過行動研究「它」來改善傳統教學中缺失（以教師為核心呈現知識），重新以學習者角度，自我操作概念與探索解題策略，促進學生的學習成效。. 第二節、問題背景代數概念包含符號、方程式、與運算結構，它建立於學生先前的數學經驗，其表徵與規則在日後廣泛應用到其他數學主題，是為國中理科概念的基本科學工具之一。在數學領域中，學生對於代數概念的學習感受，相較於數與量、幾何和統計而言，是比較抽象的。根據研究顯示，民國 82 年版的「國小數學課程標準」所納入的代數題材比較少，因而較容易造成學生進入國中後學習的不適應。為了銜接國中的代數教學，九年一貫課程綱要修訂在國小六年級出現代數教材，學生開始學習代數的思考模式與理解等量公理，並嘗試用未知數符號「x」代表「數」來列式以及解題。國小代數題材安排特色：一、能理解常用算術符號的使用方式，並用來列出日常問題的算式，以進行解題。例：關係符號如：＝, < , >；運算符號如：+, -, ×, ÷；未知數符號如： □, 甲, 乙。二、從整數到分數、小數，在具體情境中，了解各基本運算之性質，並用來簡化計算。例：加法交換律、結合律、乘法交換律、結合律、乘法對加法的分配律。加減互逆、乘除互逆。＝, < , >的遞移律。三、從最基本的加減問題開始，到四則混合計算，讓學生最後能獨立於生活與具體情境，在形式與程序上，流暢進行整數計算。 3.

(14) 四、. 協助發展對數學問題之解題策略。. 例：代入法、加減互逆、乘除互逆，反向思考解題、比例推理解題、比值解題，更複雜之混合策略解題（如傳統應用問題）。五、能理解等量公理。由於「算術」學習仍為國小數學學習的主體，所以教育部認為在解題策略的發展上，應盡量讓學生作多方探索，避免代數工具過早抑制學生的想像力。因此在國小的代數主題中，有關四則運算符號與性質的指標，只強調其檢查性，在教學與課本的安排上，併入數與量的教學中，強調運算的概念及技巧熟悉，對關係符號及運算符號能有所認識。然而，研究者在某次數學領域課程會議中，與其他國中數學老師聊到彼此任教國一班級的學習狀況，發現多半老師皆感慨：學生到了國一仍舊無法辨別未知數與已知數的關係，對於用”x ”來代表未知數以及求解的策略茫然以對，礙難理解，導致他們初遇國中數學就習得無助、成就低落，面對應用問題更是望之怯步。可見對學生而言，由算術過渡到代數的過程仍屬一項艱難任務，而教育部 (2008)在97年國民中小學九年一貫課程綱要指出：「抽象化能力始於能運用符號、記號、模型、圖形或其他數學語言、清楚傳達量化、邏輯關係」，此句話意謂著學習用符號來表示未知數時（即抽象化能力的起步），跟先備知識有著極大關係，若教師不能在教學中立刻讓學生連結先前的概念、澄清無法理解的困惑，必會對數學學習產生負面的挫敗感。為師需如何幫助學生克服代數學習的困難？學生學習代數時易受哪些因素干擾？教師使用「提問」技巧，能否發展出適合學生的概念圖教學，以改善現況？這些種種疑問，有待進一步探討之必要。基於上述理由，研究者背負行動研究執行者之使命與熱情，站在教職崗位的第一線，期待透過提問技巧，為教師找出適合代數教學的概念圖模型，並研究學生學習代數概念時的心像，幫助其修正思維。期間針對歷程中所遭遇的困境提出建議，作為未來教學之參考，改善職場教師教學成效，進可能發展對研究的積極態度，使教師不再是被動接受改革者，縮短研究與實際之間的差距。. 第三節、焦點領域與待答問題一、焦點領域本行動全程以「提問」技巧進行連貫，擬定研究焦點如下： (一) 探討概念圖融入國中代數課堂之教學實踐歷程，檢視概念圖教學之成效與可能遭遇之困境。 (二) 利用提問技巧，彙整各層次學生對代數概念的心像以及心智圖繪製情況，加以分析。 (三) 統整每次教學場域新發現的問答對話，精練此行動計畫，以作為未來教學之參考。. 4.

(15) 二、待答問題 (一). 教師使用概念圖教學所遭遇的困境與歷程為何？是否確實協助學生發展其代數概念？ (二) 學生製作「類心智圖」所遭遇的困境與歷程為何？能否確實提升其在代數概念的發展？各層次（高、中、低）面對代數文字題之心像為何？ (三) 透過行動研究，為提升代數概念之教學成效，有何具體貢獻與建議？. 第四節、名詞解釋一、. 概念心像本研究使用Vinner & Dreyfus(1989)對於概念心像1的定義，是指當個體聯想到某個特定（數學）概念時，所產生的認知結構，包括心中對該概念名稱、符號、定義、性質、過程等。我們在數學中所談論的許多概念，大部分都會給予嚴格的正規定義，但個體在心中儲存正式定義以前，很可能已經透過自身的經驗或習慣，對此一概念產生了心像，如教師還沒. 二、. 三、. 有給予萬有引力的正規定義以前，學生早已透過經驗，瞭解水往低處流、樹上蘋果往地上掉的概念。概念定義對某個（數學）概念所給定的定義，或是某個操作中公認的數學原理，皆稱為此概念之概念定義。文字題文字題主要的特徵是藉由文字、數字的形式來敘述題目，以提供學生運用數學知識和計算能力於各種情境的機會，進一步解決在實際生活中所遭遇的問題。數學文字題又常被稱為”應用題，在問題的描述當中除了數學語言之外，還會包含許多日常生活的情境及語言。. 1. The set of all the mental pictures associated in the student's mind with the concept name, together with all. the properties characterizing them… (Vinner & Dreyfus, 1989, p. 356) 5.

(16) 6.

(17) 第二章、文獻探討本研究圍繞著提問、概念圖、心智圖與心像四項主題，目的在探討教學中融入概念圖對國中生的學習成效與學習態度的影響，以及檢視學生是否能成功完成類心智圖，並檢視其心像，提升代數解題效力。因此，本章共分為四小節：第一結論提問；第二節論代數學習之相關研究；第三節論代數文字題之相關研究；第四節論概念圖與心智圖，如下敘述。. 第一節、提問一、理論基礎「提問」即「問問題」，目前已被廣泛應用於各學科中，「提問」是否其必要性，以下分為兩向度而論： (一) 從東西歷史看提問早在東方社會中便有名訓，哲學家朱熹在《四書集注》曾說：「讀書無疑者須有疑，有疑者卻要無疑，到這裡方是長進」。而至聖先師孔子在「備學生」中用到方法有二：第一是「聽其言」，第二是「觀其行」。其中「聽其言」就是了解學生的重要途徑，因為「不知言，無以知人也」。而「聽其言」中，一是被動地聽，二是主動地與學生交談。為師者被動地聽，這在孔子的教學過程中不勝枚舉，主動與學生促膝長談，以便深入瞭解學生，在《論語》記載中也不乏其例。再看到西方社會，也同樣十分重視疑問。亞里士多德曾提出：「思維自驚奇和疑問開始」。蘇格拉底的「產婆術」則善於用問答式激發和引導學生自己尋找正確答案。愛因斯坦也認為：「單純提出和闡述一個問題，往往比解決問題更為重要……提出問題，從新的角度考慮問題，需要創造性的想像力。」每提出一個疑問，都推動著思維活動的深入開展；每解決一個難題，又更進一步將人的思維與認知推向更高境界。可見得，古代東西方學者皆認為積極思維是研究問題的內部動力，提問與對話更是學好一切的先決條件。 (二) 從各家學派看提問皮亞傑的認知發展理論中一個很重要的觀點是自我協調理論(self-regulation) (Piaget, 1964, 1971)。自我協調代表當人遭遇到不能理解的事物時，會產生一種主動找尋新的推動模式的認知本能。自我協調是促進孩童認知成長的原動力，也是人在學習及瞭解新事物時的認知模式（黃湘武，1980）。因此，個體是主動認識外在的世界，而非被動的吸收知識(Piaget, 1962)。早在兒童開始，思考就是一種衝突關係，藉由修改其既有的基模(schema)，延伸新的邏輯策略，精熟教師教導的概念以取得平衡狀態。這讓教師應用在教學實務中企圖讓學生自由提問，並適時提供刺激，藉由歷程擴大學生認知基模。 7.

(18) Vygotsky在社會文化建構論中，將語言視為一種文化工具，認為語言是人類與動物最大的區別之處，因為人類能善用語言，所以能發展出高層次心理功能，成為更有效率的問題解決者，因此語言著實扮演著重要的角色。語言成為一種橋樑，介於社會文化層面與個人心智功能之間，當個體利用語言符號與他人溝通時，透過不同觀點的互動辯證，因而深化為個人內在思想體系的一部份，這就是所謂語言的思考（陳淑敏，1996）。 Bruner依據其在1966年提出「發現學習論」觀點，在教學方面提倡「啟發性式教學法」(Discovery Teaching Method)，讓學習者在問題的情境中，主動探索問題的原理原則，以解決問題。啟發式教學法的實施條件（Bichler＆Sowman, 1986）亦中點出了「提出特定問題供學生討論（非結構式問題）……」。綜合上述歷史與理論主張，我們發現教學過程中若使用提問策略，不但能協助學生提取舊經驗，引導學生在新概念的學習，促進高層次認知的思考，同時亦可透過提問讓學生不斷地進行新舊概念之間的連結，或是原有認知架構和新概念之間進行互動，達成概念理解或重組的目標。二、提問類型鑑於提問能引導學生進入深層思考、精緻化想法，更關注於教師的教學內容，Mason（2000）提出三種數學提問類型： (一) 探索式（inquiring）提問：當學生的初始解題有錯誤或者學生遇到問題不知如何下手時，教師可用探索式的提問，幫助學生解題。探索式提問目的在提供學生一個思考方向，由學生「自己」去發現新的知識，以幫助其理解教學內容，刺激思考；聚焦式（focusing）提問：當教學過程中，教師要提醒學生注意到數學的規律性(pattern)、一般性(generality)或是某種數學特徵(feature)時，應採用聚焦式提問。教師針對討論的主題，提出有意義的問題，撇開不相干的訊息，目的要學生將注意力聚焦在中心議題上； (三) 檢驗式（testing）提問：檢驗式提問是爲了確實了解學生對問題理解的程度，所提出的檢驗問題。檢驗式提問往往比紙筆評量更具即時性與功能性。然而，當教師欲瞭解學生對數學概念的理解狀況時，若學生只是回應答案而未說明理由，則會使用檢驗式提問以檢視學生是否真正理解。 Robinson與Bartlett（1995）認為，以上提問方式若能伴隨著教學，可讓教師隨時偵測學生對所教數學概念的理解。至於教師在師生對話時要使用何種類型的提 (二). 問？在此並沒有特定答案，因為教師經常須依照教學目標與學生的反應，做修正與適度調整。因此，提問類型無法從問題本身而得知差異，應該依照學生當下的反應來做決定類型。三、提問技巧「問問題」不難，這在日常生活中是很常見的，當你買一杯珍珠奶茶，價目 8.

(19) 表上卻沒有標示價錢，此時你會問：請問一杯珍奶多少錢？如果你想將奶精改成鮮奶，你會再問店員需要補多少差額？諸多提問後才能喝到這杯「滿意」的珍珠奶茶。每人每天幾乎都會做的一件事情就是「問」，藉由「問」可以讓自己生活更加便利，然而，如何提出好問題，達到目的呢？在數學課室中的教師應該如何使用好的提問技巧來進行教學呢？ Watson and Mason(1998) 指出有些提問實屬假提問（pseudo questioning），例如「對不對？」、「是不是？」、「懂不懂？」等封閉式的問題，用意只是要學生同意發問人的觀點，而並未探求學生內心的真正想法。Dillon(1982)認為教師在提問題時，最好是問題簡短，讓學生提出疑問、意見和看法，以學生的思考與表達為主，否則學生多半是回答教師所想要的標準答案。Fishbein, VanLeeuwen & Langmeyer(1992)研究師生的問答過程中發現，因為採用教師控制或採用學生控制的方式不同，學生的學習結果也會有所差異。我們舉出Resnick(1995)提出數學提問的四個技巧，來做更詳盡的瞭解： (一) 複述(repeatition)：將學生的話再講一遍，具有接納學生所講內容的功能，同時可提高台下學生對台上學生說明的關注。而教師亦可透過個別學生的回答，給予其他學生作為判斷答案正確性的機會，也就是利用學生的回答作為討論的題材。 (二) 回應(revoicing)：指當學生的想法可能正確，卻尚未說明清楚或表達流暢時，教師修飾學生的說法或改述他們的回答內容，適時幫助學生表達想法，並藉學生的想法傳播給其他同學思考，讓全體有共同學習的機會。 (三) 追問(question)：指針對學生的說明內容有必要再深入澄清時，教師請他提出說明或解釋的策略。教師應該在聽完學生的說明之後，不以一種答案為滿足，而視需要再提出呼應原提問之延續性的問題，讓學生做更深一層的思考之外，也讓教師更確定學生在概念上的了解程度。 (四) 挑戰(challenge)：指對學生說明中有疑問的地方，或是需要澄清、擴展、深入的部份再提出質疑，引發學生的認知衝突，促進他們做更深一層的思考。四、提問教學法「提問」策略在教學中經常被使用，張靜文（1997）指出：「透過提問可以協助學生舊經驗的提取，也可以促進探究、質疑、挑戰或澄清概念。」「提問」能在教室中引發他人產生心智活動，並作反應的語言刺激。張玉成（1999）認為，提問可以引發學生的學習動機。Orlich et al.（引自林清山、張景媛，1994）認為若要激發學生的創造思考能力、組織統整能力以及口語表達能力，由師生互相問問題最能達到此項目的。Holliday與Benson（引自陳彥廷，2009）亦說：「提問可 9.

(20) 以有效引導學生專注於教學內容」。問問題是藉由師生口語互動的方式來檢視教師的教學技巧和學生的學習成效，因此，教師若能有效運用提問技巧，將可有效激發學生不同層次之心智活動。研究者將上述文獻整理為表1，為教師與學生在提問工作中之比較：表 1 教師與學生在提問教學中的工作（研究者整理自上述文獻) 角色. 教師. 學生. 歷程. 示範. 1. 連結概念知識時提問. 1. 說明與回憶先備知識. 階段. 2. 探索時提問. 2. 臆測、推理、瞭解教學內容. 提示. 3. 聚焦時提問. 3. 注意數學規律、特徵、一般性. 階段. 4. 檢驗時提問. 4. 質疑答案的適切性、說明理由. 獨立. 5. 澄清時提問. 5. 回應、釐清語意. 階段. 6. 創造討論風氣. 6. 批判與挑戰. 五、教室對話提問教學的策略中，不單是老師說給學生聽、或學生說讓老師聽，這是一種相互的歷程 — 「教室對話」。教學是師生互動的過程，而課堂上的對話尤是教學中重要媒介，Wood, Cobb, & Yackel(1991)指出：「提供問題讓學生解決，學生有機會和老師、同儕產生互動的時候，他們會說出他們的想法，為他們的解法解釋或辯護」。因此，學生在教室中與同儕討論或與老師對話而學習數學，幫助自己澄清迷思概念，引發不同層次的思考，促進數學解題能力之成長。透過教室中的對話，學生才有機會重新建立對問題的概念，擴展他們的概念結構，吸收不同解題方式（巫正成，2000）。 Rorty(1979)指出：「對話」不但支持人類的現實，還支持了知道（Knowing）與知識（Knowledge）。他又說：對話是最終的脈絡，在此脈絡中知識被理解。 Collingwood(1944)也認為：不論問題是由誰提出的，知識的成長需要參與問與答的對話過程。可見「對話」一直是現代哲學討論的中心要素。透過共同語言談論一件事 — 「教室對話」即是如此，是一種表徵、一種思維、一種表達同意與不同意的方式（NCTM, 1991）。總而言之，教室中的對話不但能促進學生對數學概念之理解，還能藉對話達到師生彼此間溝通、互動。對話蘊含了知識論與哲學觀之基礎。教師在對話中置入「問句」，能使學生產生有目地性的思考，再經由教師適時地做對話引導，協助學習鷹架之搭建，可期許學生本身找出解題之途徑，達到潛在發展水準。 10.

(21) 第二節、代數學習之相關研究我國國小數學課程多半以能執行具體操作的數學知識為主，透過計算與練習，習得知識。直到國中，進入形式運思期，才以邏輯與抽象思考為主，側重文字符號的運用，此種依照皮亞傑的認知發展順序而編排的數學課程，使得教材和教法上有明顯的不同。學生從其熟悉的具體算術學習方式，改變為注重邏輯順序的抽象思考方式，代數扮演著重要的橋樑。在思考轉換的歷程中，國中生常使用直覺的方式面對抽象數學知識，自然就帶有比較重的迷思概念（misconception）。許多數學與科學教育的研究都指出：各年級的學生在解決數學和科學的問題時，常常有他們自己另類的、非正式的想法或迷思概念，這表示學生在接受正式的學校教育前，已經發展出他們自己對自然界現象的看法（謝貞秀、張英傑，1993）。Stavy & Tirosh 等人(1996)提出的直覺規律理論（the theory of intuitive rules）則解釋與預測學生對於解決數學或科學問題上的反應。這套自己的解決方法往往比老師所教授的方法更自然，但學生若長時間使用直覺的思考方式面對國一數學中極為關鍵之課程―代數，將容易犯周密性不足，不夠嚴謹等問題，處理較複雜的問題時，則容易產生錯誤(Fischbein & Schnarch, 1997)。呂溪木（1983）認為學生迷思概念的產生有可能是來自於學生日常生活經驗，也有些是來自於學生在上課時模仿老師的解題過程以應赴考試，對老師機械式教學其實是一知半解。學生獲得數學新知，決定於數學新知識和舊經驗交互作用產生的結果。至今大多數的認知心理學家都肯定先備知識會影響新學習，而且錯誤概念如在早期產生，是很難加以修正的。國內外關於學生對於代數學習的研究，已有許多成果。以下列出學生在代數學習表現之相關發現。英國倫敦大學的 CSMS 研究小組曾探討英國青少年對代數的了解，將探討目標分類為二：代數中基本的文字符號、等號、簡易的四則運算等，學生的了解情況為何；代數基本概念的了解，對同一年齡的學習者,是否可將理解建構為一組層次？如果層次可分，那麼教學上就能依層次循序漸進來教。他們將測試題目由易到難設定成四個階層，分別測試了 13 歲及 15 歲的學生，結果顯示大部份 13 及 15 歲的學生，無法將文字符號的使用當作未知數；15 歲的學生表現不如預期，而 13 歲和 15 歲達到四個層次的比率依序為(50%，23%，15%，2%)和(30%，23%， 31%，9%)，進一步分析造成學習落差的成因為：一、文字符號認知上的差異；二、記號，制約認知上的差異；三、解題過程受舊經驗影響。許秀如（2006）在探究國中生對文字符號及運算法則的原有概念與解題想法時，發現：一、不同年級的國中生，在視文字符號為「可算出值」、「可忽略不用」、 11.

(22) 「某物件代號」、「特定未知數」及「一般化數字」這五種概念使用層次的理解與運用上，具顯著差異；二、各年級在理解「文字符號可當作變數」的層次與運用上皆存在學習困難；三、隨著年級的成長、練習時間、所學習的課程多寡，國中生文字符號的運算表現與其概念的認知，可達顯著提升，且文字符號概念的使用層次亦增加，二、三年級學生表現比一年級好，尤其從一年級到二年級更是顯著增強；四、學生因本身閱讀能力的限制，不懂得把語言訊息轉換成符號來運算，而以直觀或臆測的方式解題，易造成忽視或遺漏題目的數據與資料。五、學生在理解與使用文字符號概念方面的學習需再延長時間，相關能力才能充分獲得發展。林光賢、林福來與郭汾派（1989）指出當題目情境含有較大數值、或符號逐漸複雜的情況下，學生的答題準確度就會下降。多數的學生對代數題型無法有意義的閱讀與利用代數符號，如：3+2x 是 2 先乘上 x 後，再加 3 ；（－b）＋a 與 a－b 是等價的。陳盈言（2001）針對國二學生變數概念的成熟度，研究發現，學生在面對一個方程式時，出現一種平衡差錯的錯誤類型，也就是學生認為等號左邊加(減)，右邊須減（加）同一個數，方程式才能平衡，例如 a＋b＝43  a＋b＋2＝43－2 ＝41。洪有情（2007）探討我國青少年對代數運算，從數、記號到文字符號的運算概念發展情形，分析出學生主要的錯誤類型有十一點：一、數字與符號的加、乘混用；二、不同類項隨意合併；三、括號隨意省略；四、刮號的了解不清楚；五、不了解文字符號當作一般數,認為不同文字符號代表不同數；六、對於除法的意義不甚了解,尤其文字符號的除法問題,在學生的觀念裡,除法就是大數除以小數,所以 x÷y 和 y÷x 都一樣；七、數字與文字分開運算,且忽略係數 1；八、將甲,乙,丙,…..看成 1,2,3,……；九、不能分辨係數與指數；十、對於數與分數的乘法不甚了解,影響到文字符號的運算。十一、不能分辨符號與物品。相關研究（陳慧珍，2001；許正諭，2005；謝和秀，2000）還指出學生常犯代數運算上的錯誤類型有：一、運算結果表達不當；二、加、乘算混淆或係數和指數錯置；三、錯誤類比推廣； 12.

(23) 四、公因子迷思等。彙整上述文獻，本研究在進行教學時，研究者會注意到學生對代數概念易犯的錯誤類型有哪些，並注意學生對符號認知的層次給予提示。對於代數文字題中含有特殊數學詞彙，若學生對於該詞彙的定義不熟悉，研究者會舉實際的例子來幫助學生回憶數學概念，刺激學生檢視自我心像，得到正確的代數概念，獲取新知。. 第三節、代數文字題之相關研究國中生在學習代數文字題時，必須透過方程式來解答。此種解答方法與在國小的解答方式不同。國中的概念理解與複雜的認知歷程相關，如對問題的瞭解、所用的解題策略等都需要有正確的數學知識。許多專家學者在代數文字題做了許多研究，他們發現以文字敘述鋪成的應用問題一直是學生最頭痛的數學單元。數學教育學者不斷的思考「如何教」，才能直接教導學生發展數學閱讀能力或理解能力，希望提出較為具體有效的結果，以便對於學生的數學學習有較大的助益。 Yancy (1981)提出十項描述應用題特徵的敘述，說明應用題的困難分別是：一、題目中未將需要計算的資料依次列出；二、有很多無關資料夾雜在題目中；三、題目呈現時，並未伴隨輔助圖表出現；四、必要的資料，需從題目中推論出來；五、需借用許多步驟，才能得到答案；六、有很多線索字，需特別注意；七、字彙通常適用於或高於學生的閱讀程度；八、題目內容通常不為學生所熟悉的；九、計算過程較複雜與沉悶；十、題目中，通常不用“數字”表示觀念。 Muth(1991)的研究指出：學生對於數學文字題的解題能力會因文字題中無關訊息的干擾而無法解決問題。學生們的觀念中都認為文字題中的所有訊息都應被使用，因而造成學生問題整合上的困難。 Larkin（引自謝哲仁、謝和秀，2000）認為學習者對代數運算感到複雜無法理解的原因是無法看到式子的內在架構及意義，所以容易忘記規則或誤用而造成各種錯。數學文字題涉及的不僅是計算能力，它還涉及到學生的概念理解能力。不論是計算能力或概念理解能力，都容易使學生犯迷思概念。尤其計算能力方面，學生通常會犯下有系統性的錯誤，這種錯誤除了粗心之外，也有可能是錯誤概念與技能造成的。 Clement, Lochhesd & Monk(1982)指出，即使是大學生，在轉譯簡單句子成方程式方面，也有很大的失敗比例。 Mayer 對數學解題歷程做出研究後，提出解題時有四項重要的部份：一、問題轉譯―運用到語言知識； 13.

(24) 二、問題整合―運用到基模知識；三、解題計畫和監控―運用到策略知識；四、以及解題執行―運用到程序知識。此四項成份已獲得數學教育學者的認可並深入研究。 Wollman(1983)進而為 Clement 等人的研究作更深入的探究，他發現學生文字題轉譯錯誤的成因，有下列四點：一、做得太快。二、列完方程式時沒有立即檢驗。三、未根據題目的意思列式。四、未使用文字符號來列式。張景媛（1994，引自謝哲仁、謝和秀，2000）再按照 Mayer 的四項解題歷程知識來探討國中學生文字題的錯誤概念，她發現學生在每一部份知識都有很多的錯誤概念以及知識不足的現象。一、不瞭解對題目中的關鍵字；二、缺乏做出假設的基模知識；三、不瞭解假設是為了列式以解決問題；四、思考模式和基模知識有功能固著的現象五、策略知識不足以致無法採取適當的策略解題；六、解方程式所需的程序性知識也出現了系統性錯誤。彙整上述文獻，研究者在使用「類心智圖」分析個案時，會注意到他們常犯錯誤有哪些，在類心智圖的六個階段中，以提問技巧，瞭解個案是否受語言、基模、策略、或程序等知識影響，產生錯誤概念。透過類心智圖學習單，研究者希望建構出「預防勝於治療」的教學策略，幫助學生思考問題並建構正確的數學概念。. 第四節、概念圖與心智圖一、概念圖介紹概念圖（concept map）是指兩個概念可以上階、從屬或是舉例的關係連結（Novak & Gowin, 1984）；它是一種表示關於知識主題結構的圖形，是一種組織和表徵知識的工具，最初由美國康乃爾大學的教授 Joseph D. Novak及其同僚所發展。它通常將某一主題的相關概念置於圓圈或方框之中，將相關的概念和命題以線連接，並在連線上標明兩概念之間的意義關係（圖1），形成關於該主題形象的概念或命題網絡。. 14.

(25) 主要概念連結. 一般性概念. 一般性概念. 概念. 連結次要概念. 例子. 連結例子. 一般性概念. 連結. 連結概念. 連結. 連結. 連結例子. 特定概念. 特定概念. 圖 1 概念圖之結構資料來源：整理自楊明儒（2009）。探索教學法在氣墊船製作之科技概念學習成效。高雄師範大學工業科技教育學系碩士論文。. 二、概念圖教學當概念之間彼此聯繫，先前知識（prior knowledge）便是學習新知識的基礎框架（framework），而 Novak 在《習得學習》（Learning to Learn）中說到：「有意義的學習，涉及在既有認知架構中，將一新概念與命題的同化」，可見先備知識在概念圖當中佔不可取代的重要性。學習者必須利用既有概念，組成概念圖，把新概念置於其中，在這樣的「地圖」中，概念與概念間的上下級關係得以明確顯露，概念被賦予了更多的含義，有利於學習者透過已知概念來掌握新概念。概念圖使用在教學上的行動研究相關文獻並不多，與概念圖相關的實驗研究倒是非常豐富，林姵君（2005）透過準實驗研究法，肯定概念圖合作學習可以提昇學習興趣、增加概念理解。她還發現概念圖合作學習對學生在數學概念學習時確有助益，亦能增加學生自我肯定度，使得數學學習變的更輕鬆、更有效率。蘇耿興（2004）使用概念圖教學，在研究國三學生數學科的學習成就後指出，接受概念圖教學的實驗組學生在數學學習態度後測平均得分高於傳統式教學的控制組學生，且接受概念圖教學的實驗組學生在問題解決能力平均得分高於傳統式教學的控制組學生。魏淑卿（2003）曾實施概念圖教學感受問卷及訪談，探討概念圖教學對國中生數學合作學習成效研究，她發現：大部分學生起初對概念圖的感受是很生疏的，直到接觸後認為不難理解，因而受益良多；她還認為學習者自學習過程中得到概念圖的幫助而喜歡上概念圖，也提昇學習的自信心。綜合上述相關研究的探討，教學中使用概念圖，對學生的學習過程具有正向的影響。研究者嘗試使用以上的概念圖想法在教學上，在國一上學期時先介紹一般性概念（代數式），又連結次要概念（代數式的簡記與將問題表示成代數式），之後陸續完成對代數的教學概念圖，如圖 2。. 15.

(26) 圖 2 使用概念圖在代數教學舉隅. 一、心智圖介紹心智圖（Mind Map），又稱腦圖、心智地圖、腦力激盪圖、心智圖、靈感觸發圖、概念地圖、樹狀圖、樹枝圖或思維地圖，最初是 20 世紀 60 年代英國心理學家 Tony. Buzan 創造的一種紀錄筆記方法。他在研究大腦力量與潛能的過程中，意識到偉大藝術家達芬奇之所以擁有超級頭腦的秘密：達芬奇在筆記中經常使用圖畫、代號、以及連線。這使 Tony. Buzan 反思傳統筆記方法存在著四大缺點：不易記憶、浪費時間、埋沒關鍵詞和不能有效刺激大腦與行為連結，因此提出了採用簡潔的圖形表示方法來紀錄筆記。相對於概念圖，心智圖是對發散性思維的表達，側重過程的多向、跳躍、與綜合性而非結果，是打開大腦潛能的金鑰匙，可以使用手繪，如會議或是演講的粗略筆記。也有一些軟體可以用來繪製心智圖， 2007 年 8 月在英國最暢銷的平裝本小說：由伊恩·藍欽（Ian Rankin），所著的《The Naming of the Dead》（en:The Naming of the Dead），書裡也特別提到探員 Rebus 利用心智圖來解決犯罪事件。徐旭萍（2012）在《小學時代（教師）》文中指出：「心智圖是一種新的思維模式，不僅成為輔助思考的工具，貫穿大腦信息加工的各個階段，同時成為有效處理知識及學習知識的新方法，直接應用到知識學習過程中」。Buzan 宣稱心智圖是一個深奧優秀的筆記方法，因為心智圖不會導致像其他筆記方式的「半睡眠的恍惚」（semi-hypnotic trance）狀態。Buzan 也主張心智圖全方位利用左右腦的大腦皮質技術，平衡大腦，開發 99%斷言尚未使用的智力潛能以及直覺。三、心智圖效用心智圖能夠幫助人們在認識事務方面擁有一個整體、全局化的觀念。它注重表達與核心的主題有關聯的內容，並可展示其層次關係以及彼此之間的關係。心智圖是一種放射狀的輻射性的思維表達方式。所表達的觀念之間通過與中心的核 16.

(27) 心主題的遠近來體現內容的重要程度，它在了解人們的思維圖譜方面的作用積極有效。心智圖強調是人們的思想發展的過程的多向性、綜合性和跳躍性。謝佳叡（2001）在探討國中生「用配方法解一元二次方程式」單元之學習歷程中，發現關於思維的啟動與轉化現象，證明了學生在等價、邏輯、微觀全貌、形式程序等思維的運作上，皆受到教師教學的影響而產生啟動或轉化的現象，而許多學生也由於教師教學過度強調程序性而阻礙數學思維的恰當發展，可見學生的思維與教師期待的思維有著許多落差。因此，教師不應該茫然地灌輸學生無法吸收的數學概念，導致徒勞無功，如能在課堂教學時，透過學生的心智圖即時抓住他們真實需要的關鍵資訊，便能掌握正確有效的教學方法。洪瑤琪（2008）從多種角度探究心智圖的優點： (一) 從認知角度來看，心智圖呈現出一個思維過程，學習者能夠可以通過流程圖釐清思維脈絡，借助心智圖提高思維能力，並可供自己或他人回顧整個思維過程。 (二) 從製作方式來看，心智圖往往從一個主要概念開始，隨著思維的不斷深入，逐步建立一個有序導圖。 (三) 從表示形式來看，心智圖著重焦點應該清晰集中在一個主要概念上，只允許層次關係。同一層次的項目體現思維的廣度，不同層次的項目體現思維的深度，呈現的是一種樹狀結構。 (四) 從狀態性質來看，心智圖是動態的，反應思維的活動過程。 (五) 從評價來看，心智圖形式活潑，繪製結構由個人思路而定，方便個人記憶提取為主，主觀性強，邏輯性較弱，卻不適合評價。 (六) 從應用領域來看，心智圖借助視覺化手段促進靈感的產生和發散性思維的形成。綜合上述文獻，教師若能根據學生的心智圖做出好的診斷，適當結合概念教學，就可發揮其最大功能並達到有效促進教學的目的。三、製作心智圖製作心智圖的過程其實就是學生進行創造的過程，學生擁有較為寬泛的想像空間，因此彼此設計的心智圖會不盡相同。心智圖能高效使用大腦，充分發揮人類潛能，在製作心智圖時必須遵守一些重要的規則，並非要限制使用者的思考，而是希望學習者善用一致的特定技巧與大腦（工作與學習方式）連結，有助更快速地提升其學習力、記憶力以及創造力。曲智男（2010）在《圖謀職場：思維導圖實戰手冊》中繪製思維導圖（心智圖）並歸納步驟為七點： (一) 寫下中心主題：從圖開始。 (二) 擴展層次：延伸分支。 (三) 專注關鍵詞：採摘智慧的果實。 (四) 連線：記憶與聯想的橋樑。當大腦透過聯想寫出子題並作連結時，子題將「附著」於中央思想。注意線線必須相連。如果連線斷裂，思維、記憶和創造也 17.

(28) 會產生斷層，那麼在回憶的時候，思維也會跟著「斷掉」，從而導致記憶的斷層。 (五) 增加顏色：增加視覺節奏。我們在「備忘錄」中常用紅色表示緊急事件，用藍色表示需要與他人聯繫支持，用綠色表示已完成事項，對於相關的概念或想法，心智圖也用同一種顏色來分類標記。色彩可增強記憶，刺激我們的大腦引發各種思想。同時，心智圖中加入色彩還可以提高學生回顧主題的意願達到複習的功效。 (六) 使用箭頭和符號。 (七) 利用感官技巧觸發更多的記憶和靈感。下圖3為心智圖的架構：次子題1. 子題5. 子題1 關鍵詞. 關鍵詞. 次子題2. 思考的主題關鍵詞. 關鍵詞子題4. 子題2. 關鍵詞子題3. 圖 3 心智圖的架構資料來源：整理自許麗齡（2009）。心智圖的概念及應用。取自 http://www2.ntin.edu.tw/project/98%E6%95%99%E5%AD%B8%E5%93%81%E8%B3%AA%E6%A1%88/ 1%E5%BF%83%E6%99%BA%E5%9C%96%E7%9A%84%E6%A6%82%E5%BF%B5%E5%8F%8A%E6 %87%89%E7%94%A8.pdf. 學生製作心智圖的目的在於解題，研究者考慮數學的學習時效與使用心智圖之便利性，將繪製重點簡化、整理如下： (一) 起點：開始於一個圖像或符號，或一段文字。 (二) 連線：連接子題與起點圖像、符號、或文字。 (三) 關鍵詞：連線上可填入單一個關鍵詞，它通常是簡明扼要的名詞。 (四) 善用圖像：運用圖像可以完美提升記憶力，增加創造性思考的效率，增強我們解決問題、交流和感知的能力等。老師在具備清晰的解題概念之餘，引導學生構建對於數學的思模型已是決定學生學習效率高低的關鍵。學生在學習數學概念時，若能根據自己的先備知識反覆回憶教師課堂給予的引導（教師發問、或概念圖之提供），繪製出心智圖，不 18.

(29) 但能改善傳統教學中缺失（以教師為核心呈現知識），還能重新以學習者角度，自我操作概念與探索解題策略，促進其學習成效。. 四、概念圖與心智圖之比較概念圖與心智圖皆是建構數學概念的優良工具。傳統的講述教學法中，教師時常努力為學生準備一套思路清晰的解題步驟，苦口婆心在講台說得天花亂墜，換來的卻是學生的一知半解，無法學以致用；更嚴重的，是將學生教成跳針機器般的盲目練習者。研究者亦擔心概念圖教學後的學生仍然無法獨立完成思考、學以致用。徐旭萍（2012）探究其成因為：教師往往「弱化」與「粗化」學生建構模型的過程。鑑於此，好老師的關鍵不僅是給予正確的數學概念（概念圖），更需要有效引導學生建立屬於「自己」的數學模型（心製圖）。閱讀大量文獻後，研究者發現雖然此兩類圖形的研究者不乏其人，在具體教學實踐中，許多老師卻對二種圖的意義與目的有所混淆。雖然兩者確實有許多類似之處，但欲善其事，必先利器，唯有釐清彼此間之差別，才能發揮兩圖最大效用。經過兩圖比較（表2），研究者發現以下四點： (一) 老師擁有一套完整的概念圖，屬於「專家」層次；學生存在的概念心像通常與正式概念定義不同，心像亦有可能隨時發生改變，因此學生的目標在於成為「專家」，但學生不是專家，實際上應該屬於「學習者」層次。 (二) 老師要建造一個清晰的知識網路，使學生理解知識，因此使用概念圖；學生在每次解題當下留下思維過程，希望透過隻字片語等思維證據，促進靈感產生。 (三) 以製作方式來看，概念圖是先羅列所有的概念，然後建立概念與概念之間的關係，一幅概念圖中可以有很多主要概念；心智圖往往是從一個主要概念開始，隨思維的不斷深入，逐步建立起一個有序的圖，它是思維過程的導向和紀錄。 (四) 老師若強調學生必須利用具有嚴謹架構的概念圖完成應用問題的解答，或許太過理想。因此，研究者堅持教師使用概念圖、學生繪製任何形式的類心智圖（繪製方法不限，可能是放射狀、或階級狀），利用此兩種圖來實踐教學研究。. 19.

(30) 表 2 概念圖與心智圖之比較. 內容. 概念圖. 心智圖. 英文. Concept Maps. Mind Maps. 定義. 組織和表徵知識的工具. 一種筆記方式. 起源. J.D. Novak 博士 1972 年首創. Tony. Buzan 在 60 年代所創. 理論基礎. 奧蘇貝爾的有意義學習理論. 認知心理學. 用途. 理解知識，提高學習質量. 有效使用大腦，促進靈感產生. 目標. 建造一個清晰的知識網絡. 呈現一個思維過程. 組成要素. 概念、命題、層次、連接詞. 顏色、線條、圖形、聯想、想像力. 表現形式. 形式嚴謹、網狀結構. 形式活潑、有標號的樹狀結構. 因此，本行動研究計畫將提問教學落實於一般課室中，在呈現教學概念圖後，引導學生繪製類心智圖以及觀察心像，企圖精練此行動研究，期盼提高教師在代數教學之成效。. 20.

(31) 第三章、研究方法本研究採行動研究法，以一個班級為研究對象，分兩方面進行，第一方面主要為概念圖教學示範。第二方面為個案晤談、探究類心智圖解題情形與心像改變。. 第一節、研究設計「行動研究」(action research)大約始於第二次世界大戰的美國，一直引發許多質疑與批判，2007 年潘世尊的的「行動研究能否建構教育理論」一文有詳細的介紹。行動研究的最終目的在於改良師生兩者的生活。以往，班級教師經常對教學研究採取悲觀的態度，因為歷史上，許多教學研究未能和班級實務，以及師生得經驗連結，今日的行動研究備受重用，因為它納入教師每日的班級實務，讓教師總對他們的實務採取反思與批判。本研究依照行動研究理論，強調繪製學生的類心智圖，探討國一生初由算術領域進入代數領域遇到的學習困難與教師如何進行補救措施，依循四個步驟：界定焦點領域；蒐集資料；分析與解釋資料；設計行動計畫，由研究者直接進入國中數學教室，提取教室中有用的資訊，如教師提問之後學生現場的反應、上台演示、平時作業、教師觀察，與測驗結果、思維導向晤談等，期望獲得更有效的教學策略以提供教師未來教學時的參考。研究者專注於數學專業與持續的教學改良，參與合作的教師則提供教學過程中觀察到具參考價值的事實，彌補單一來源未必可靠之嫌，並使用三角交叉法驗證。然而實務情境總是複雜多變，所以需透過紀錄與反省之反覆循環執行，最後再調整以及重構結果，力求符合建構理論要素以及一致性與合理性。本研究之時間配合國一數學課程之教學進度，於西元 2012 年 12 月 5 號展開行動，預計於 2013 年 5 月 10 日結束本行動研究，給予回饋、評鑑與總結。. 第二節、研究場域與對象一、研究場域考量方便性與經費限制，本研究場域為屏東縣一所大型學校，採 S 型編班，班級之間的數學平均分數差異不大，其中三班美術班，是以術科能力編入，因此在學科上亦與其他班級無分別。研究者任教三個班級，成員特色多屬於活潑外放型，大部分同學上課踴躍發言，少部份同學雖然數學成績不算優異，卻喜愛上台演示課堂練習與發表意見（但是答對率不高），與老師互動大致良好。在 S 型編班制度下，研究者有利取得較多元且全面性的訊息。. 二、參與研究者 21.

(32) 本行動研究中之參與者包括研究者、協同教師，資深教師群，參與學生包括研究者任教班級之學生與 8 位個案，介紹如下：（一）研究者(R1) 目前為屏東縣某公立國中之導師，正式教學經驗近 7 年，三個年級的數學皆有任課，有感學生在課程單元中遇到數學迷思總是花好長時間才能釐清觀念，甚至始終無法解決認知衝突，於是經常思考如何在首輪教學當下，即學生一開始接觸到某一概念的時候，成功誘發學生的概念心像，瞭解衝突的認知所在，當下解決問題，期望降低學生在第一次學習該單元時所感受到的困難。研究者在執行本研究前，已修習過行動研究法、數學教育概論等相關課程，也在去年透過行動研究，發表了有關「根式化簡」學習之教育期刊，因此研究者確實具備執行本計畫之能力。在本次研究中，研究者希望透過自身教學的改變，期待對學生的學習狀況做更進一步瞭解，因為研究者深信一信念：身為好教師的首要之務為瞭解學生的需要，進而因材施教。此外，研究者亦執行計畫之設計與批判，與合作教師（R2）共同建構有系統、偏向實務的研究計畫，針對學生的學習過程與結果，提出適切的見解，並在資料分析時檢驗原案分析的適當性，是三角校正的一環，亦同時負責執筆完成本研究報告。（二）洪老師(R2) 參與此次行動觀察之合作教師。洪老師在實習時曾為研究者之指導學生，與研究者在班級教學中已具備足夠默契。洪老師現今在四個國一班級中任課，與國一生普遍接觸，具有場域優勢，在此研究計畫中擔任行動研究觀察與紀錄者，透過教師彼此間的對話辯證，協助研究者作行動後的反思與修正，為研究提供有價值的資源。（三）參與班級由於本研究之焦點在探究運用概念圖教學之歷程與回饋，以及學生製作類心智圖解題之情形，故選取研究者（R1）現今任教之國一班，採便利取樣。以下詳述說明：該班成員來自於屏東縣某公立國中一年級，有男生 16 人，女生 16 人，樣本數共 32 人。樣本中有 1 位男生為情緒障礙者，由於家長不希望老師要求學習，並且大部分時間需要到特教班上課，因此無法比較其學習成效是否提升，因此予以扣除，最後選取男生 15 人，女生 16 人，共樣本數 31 人進行分析。根據全校國一前兩次數學段考平均之百分比，樣本中有 6 人為全校前 27%；12 人為全校後 27%；其餘 13 人為中間 46%。此班學生多半為個性開朗、活潑，約有. 22. 1 以上 3.

(33) 1 的學生專心度不夠，上課容易發呆、分心，需 3 要老師提醒；雖然部份學生喜歡問問題，但理解能力尚待加強，對於老師提問的問題答對率不高，對於課本例題需要老師去解釋計算步驟而不是數學概念。該樣本表現出學習意願尚可、但先備知識需再加強、計算能力稍顯薄弱。的同學會於課堂中發問，但常有. (四) 參與個案為瞭解學生在概念圖教學法後之實際應用情形，研究者依照上述全校平均，先將樣本分出高(H)、中(M)、低(L)三層次，再篩選自願接受課後教學之個案，八人，簡稱為小陸（H 男）、小君（H 女）、小榆（M 女）、小勳（M 女）、小齊（M 男）、小聖（L 男）、、小怡（L 女）、小蓉（L 女），並經過該班導師同意於每週三到五的午休時間進行晤談，瞭解類心智圖學習情形與心像；. 第三節、研究工具本行動研究架構如下（表 3）：. 表 3 本行動研究之研究架構樣本. 參與樣本. 研究. 教學法層次分類. 晤談代號. 工具媒介. 概念圖教學高H. 中M. 概念圖、提問模型低L. 全校國一生前兩次段考平均. 小陸（H 男）小榆（M 女）小聖（L 男）晤談逐字稿小君（H 女）小勳（M 女）小怡（L 女）小齊（M 男）小蓉（L 女）. 繪製類心智圖. 分析各層次製作類心智圖的情形，並做比較. 類心智圖學習單. 心像. 分析各層次之心像. 類心智圖學習單. 本行動研究之工具有：一、提問模型 23.

(34) 貫徹全部教與學過程。本研究承接陳彥廷（2009）建構的促進學生對文字符號語意理解改變的提問模型。分析為二步驟（資料來源：整理自陳彥廷，2009， pp. 210-213）： (一) 提問策略命名進階理解方面：(1). 詢問題意；(2). 詢問運算技巧；(3). 以特定數值讓學生確認；(4). 是非型；(5). 選擇型；(6). 確認型；(7). 逐步引導型；(8). 要求說明理由；(9). 協助轉譯表徵。降階理解方面：(1). 詢問可能數值；(2). 提供新情境；(3). 逐步引導；(4). 要求檢視；(5). 回憶經驗；(6). 數學算式的運算。 (二) 繪製促進學生對代數式中文字符號語意理解改變的提問方法模型（圖4）. 圖 4 促進學生對代數式中文字符號語意理解改變的提問方法模型資料來源：陳彥廷（2009）。運用提問方法促進中學生對代數式中文字符號語意理解之研究：提問模型建構。科學教育學刊，17(3)， 203-231。225-226。. 二、概念圖作為教師引導文字題解題概念之教學工具。國中生學習代數文字題的課題，包含了一元一次方程式、二元一次聯立方程式，及一元二次方程式等單元，研究者在進行本行動研究時，首先遇到的問題是要選擇一元一次方程式單元，還是二元一次聯立方程式單元、或者其他與文字符號相關之單元呢？研究者請教學校資深教師意見，並與洪老師討論後，認為此研究探討是以「教學」為主，應該先以一元一次方程式單元出發，瞭解學生的起點行為，或說學生對代數認識的初衷，方能獲得最大收益。雖然根據研究者的經驗，當學生學習到以二元的方程式來解文字題時，普遍學生會反應，用聯立方程式的列式比一元一 24.

(35) 次方程式的列式容易得多，但在解二元一次聯立方程式同時，亦有不少同學因為對一元方程式中等量公理、移項法則的不瞭解、與符號認知不清而犯錯，因此，研究者決定選取一元方程式單元為起點，執行概念圖教學之行動研究，再以二元方程式單元，持續追蹤學生概念之轉變或延伸情況，直至 2013 年 5 月 10 日，完成所有學習單，因此，學生在解答學習單的試題時並不限於一元解法，亦可以使用二元一次聯立方程式的解法。教學前，配合九年一貫能力指標，研究者先將課程中的主要知識脈絡，整理成概念圖 5、圖 6，分別為「以一元一次方程式為學習目標之概念圖(圖 5)」、「以二元一次聯立方程式為學習目標之概念圖(圖 6)」；因為初學者對代數概念並不熟悉，更不瞭解類心智圖之操作，故在教學中，研究者先分析解題流程，設計一套方便操作的簡易概念流程作為示範，如表 4，讓學生觀察並發問，引導他們發現解題脈絡中所需關鍵，爾後再轉化成一張較完整的類心智圖供學生使用（圖 7），其架構可以依解題需要，連結次要概念、特定概念等分支。. 代數式依情境分類. 多項式. 方程式. 定義：含有符號的等式，稱為方程式. 連結一元一次式一元一次方程式運算規則連結：具體物天秤的操作乘法運算. 舉例：. 2x  3  6x. 加減運算. 等量公理. 舉例：. 移項法則. 2 x+3+4x  2  6 x  1. 圖 5 以一元一次方程式為學習目標之概念圖. 25.

(36) 代數式. 依情境分類. 多項式. 方程式. 定義：含有文字符號的等式，稱為方程式. 二元一次式. 求值. 延伸：兩條以上的二元一次方程式並列在一起. 二元一次方程式. 化簡. 舉例：. 2 x +3 y +4x  2 y  6 x  y. 求解. 圖形. x=m的圖形. y=n的圖形. 二元一次聯立方程式. 求聯立解. 解與圖形. y=ax+b的圖形. 圖 6 以二元一次方程式為學習目標之概念圖. 表 4 簡易的概念流程示範題目：阿明、春嬌兩人今年分別是 20 歲與 16 歲，則幾年前阿明的年齡是春嬌的 2 倍？概念流程 1.想知. 我想知道…. 我想知道…. (目標). 2.已知. 幾年前阿明的年齡是春嬌的 2 倍我已知道…. 我已知道…. (事實). 3.設. 兩人今年分別是 20 歲與 16 歲如何假設？. 如何假設？ (問題數學化) 4.列. 大多時候，可從「想知」著手，因此假設 x 年前，阿明的年齡是春嬌的 2 倍列出關係. 列出關係 (表徵、推理). (20-x)=2  (16-x) 20-x=32-2x -x+2x=32-20 x=12. 5.解結果(解)是…. 結果（解）是： 12 年前，當時的阿明年齡是春嬌年齡的兩倍。. 26.

(37) 6.合需合乎題意. 需合乎題意 12 年前的阿明應為 8 歲 ; 春嬌應為 4 歲所以符合「當年阿明是春嬌年齡的兩倍」題意. 圖 7 完整類心智圖示範. 三、類心智圖學習單為了瞭解學生在進行概念圖教學之後，學生對重要數學概念的理解程度與所遭遇到的困難等，挑選出8位個案，分析製作類類心智圖（附錄一）的情況。參考相關文獻與過去的教學經驗，研究者改良原本心智圖製作上的繁瑣與不易，設計出本研究所使用的類心智圖學習單（圖8），將解題流程歸納為六句口訣：想知、已知、設、列、解、合。當中，「想知」的概念相近於「設」的概念，但仍有些許差異，如分宿舍問題：「一群學生分配住宿舍，若8人住一間，則有4人無宿舍可住；若14人住一間，則會空下4間。請問學生共有多少人？」，「想知」學生多少人，可以從「假設宿舍有x間」之後開始搜尋彼此關係，並非要從「假設學生為x人」開始，故將「想知」與「設」分離。此外，解題的關鍵概念很多時候不是在第一時間被喚起，當學生在解題過程中因為「需要」而產生「想要、想知」，另一段流程才會被誘發（evoked）而產生，故在圖8的「4.列出關係」中，預備一條分支，提供學生思維的延伸，激發更廣泛的心智流程。. 27.

(38) 圖 8 類心智圖學習單一部份. 1. 我想知道.... 2. 我已知道.... 3.假設(未知數). 4.列出關係. 5. 結果(解). 6.合乎題意?. （想知）. （已知）. （設）. （列）. （解）. （合）. 4-1. （想知）. 4-2. （已知）. 4-3. （設）. 4-4. （列）. 4-5. （解）. 在代數文字題的分類方面，Hinsley, Hayes and Simon（1977）曾給予受測學生一連串代數文字題，包含三角形、平均、距離-速度-時間、面積、混合、水流、工作、級數、物理及數字等18類不同表徵的問題，要求其分類，發現他們的分類結果具高度一致性；他們也發現學生對問題基模的判定會影響學生如何閱讀問題。由此可知兩點：第一、學生知道自己遇到的是何種題型，經由閱讀來辨別並自我分類；第二、縱使學生辨別出文字題題型，他們在解題的時候未必擁有一套適當的工具或基模。認知心理學家Mayer(1981, 1982)分析一些具代表性的中學代數教科書中的文字題，發現代數題型大約有100 種，其中各類型問題又包含了多種變型，如「距離-速度-時間」問題就至少有12 種變型，包括「追趕」、「終止」、「來回」、「改變速度」及「反向」等。教科書中各類型出現的比例不甚相同，因此，本研究為了把時間投入在大量質的「深入分析」，而不是質的「歸納整理」，在挑選試題時，先鎖定翰林、康軒、南一三家教科書100～102年版，以及96～102年歷屆基測試題中，常出現的代數文字題，再選取出現頻率較高的題型，依照情境向度分為9類，每一類型精選2小題，共18題，分類理由如表5。由於學校上課時數有限，所以請個案每週回家完成兩題，以不限時間的方式要求學生留下較完整的心像，研究者於次日後逐一對個案實行晤談，其中解題與晤談的間隔時間不超過一個禮拜。表 5 代數文字題的 9 類情境. 情境向度未知數已設定. 題目內容 1-1. 花生豆花每碗x元，丁香吃了3. 分類理由. 該題中的未知數已由題目自碗，結帳時她拿出一張500元的鈔票行設定，學生只需要依照題意付錢，老板找她416元，則一碗花生找出相等的關係，列出一元一豆花多少元？次方程式，進而求解。 28.

(39) 1-2. 小文心裡想了一個數x，若他將題型出處：此數乘以3所得的值減去此數的一半，得到的結果為10，則小文心裡想的數為何？. 倍數問題. 2-1. 林家姐妹每月的零用錢總和是. 年齡問題. 3-1. 阿明、阿嬌兩人今年分別是20 歲與16歲，則幾年前阿明的年齡是阿嬌的2倍？. 96年第二次基本學測、 98年第一次基本學測、 99年第一次基本學測、 100年第一次基本學測、 101年基本學測。. 情境中涉及因果關係。Ａ給Ｂ 6000元，已知大姐零用錢的2倍是小某些物品之後，Ａ變少而Ｂ變妹零用錢的3倍，則大姐每月的零用多。錢有多少元？題型出處： 2-2. 阿鴻和美秀兩人共有1600元，翰林102版一上、若阿鴻給美秀100元後，阿鴻的錢為南一101版一上美秀的3倍，求阿鴻原有多少元？題型出處：翰林102版一上南一101版一上. 3-2. 已知兄弟兩人今年年齡和為40 歲，且哥哥的年齡比弟弟年齡的2 倍多4歲，則弟弟今年幾歲？雞兔同籠. 4-1. 雞與兔共12隻，腳共40隻，求. 雞兔同籠問題指情境中涉及. 問題. 雞有多少隻？ 4-2. 文龍到水果店買禮盒，他想用. 兩種單位元素，如隻數和腳數、水果個數和金額、AB套餐總數和金額等。. 蘋果和水梨共10個裝成一份水果禮盒，結帳時一共是500元。已知蘋果一個40元，水梨一個65元，求這盒題型出處：禮盒裡有幾個水梨？翰林102版一上（譯：點餐問題）有餘不足問題. 5-1. 學生分配宿舍，若8人住一間，指情境中涉及兩種單位元素則有10人無宿舍可住；若10人住一以外，還加入不同分法之比間，則剩餘宿舍一間。較。求宿舍有多少間？ 5-2. 陳老板買了5箱蘋果請員工，若題型出處：每人分5個蘋果，則有5個人沒有拿翰林102年版一上到；若每個人分4個蘋果，還剩下40 康軒100年版一上（譯：人數個。求：問題） (1)員工共多少人？南一101版一上（譯：盈餘不 29.