第二章 文獻探討
2.2 傳染病傳播模型
對流行病學而言，一種病毒、細菌或原生動物(protozoan)如何穩定地於一群 宿主間傳播並造成大流行是非常重要的課題[18]。傳染病傳播動態模型提供我們 研究此類問題的重要工具。此種模型主要分為兩大類，一為歷史較悠久的倉室 模型(compartmental model)，一為近幾年來廣泛被研究的 individual-based model。在這些模型裡，最被流行病學家所關注的就是傳播門檻-R0值。R0值是 指一個已遭受病原體感染的宿主，在一個未遭受感染且對此病原體無免疫力之 群體中，已感染宿主所能夠感染的個體數[1]。而當 R0≤ 1，傳染病不會爆發，
反之 R0>1，傳染病則會爆發大流行(pandemic)。以新型流感感染人類宿主為例，
R0不只會受新型流感病毒本身的特性影響，例如病毒毒性，也會受到人類對此 病毒株的免疫力、氣候、地理環境與人際間的接觸網路(contact network)等因素 影響。以下將簡介上述的兩大模型。
2.2.1 倉室模型(Compartmental Model)
倉室模型在傳染病傳播動態的探討已被廣泛使用，而最基本
S(t)、I(t)、R(t)各代表於時間 t，群體處在 Susceptible、Infectious 與 Removed 三 種狀態的個體數，公式 4 則表示群體的大小為常數 N，不隨時間改變。β 為傳染 率(transmission rate)，也就是當群體皆處於易受感染狀態(Susceptible)下，一個具 有傳染力的個體(Infectious)於單位時間內會將疾病傳染給幾個易受感染狀態下 (Susceptible)的個體，公式 1 則表示隨著疾病的蔓延，易受感染狀態下(Susceptible) 的個體數在群體中所佔比例會逐漸式微，一個具有傳染力的個體(Infectious)單 位時間所能傳染的個體數也會依著 S/N 比例下降。γ 為個體從具有傳染力的狀態 (Infectious)轉變成康復或死亡狀態(Removed)的平均機率值，而公式 2 有個假 設，就是具有感染力的個體(Infectious)轉變成(Removed)狀態的機率隨著時間呈 指數-γ 遞減，由此推得 1/γ 則為個體處在具有傳染力狀態(Infectious)的平均時
間。綜合以上，我們可以推得 。
在倉室模型中，狀態(state)的數目與狀態間流程結構可依傳染病的特性或應 用的目的而有所變更。例如流感(Influenza)這類傳染病，通常病患具有潛伏期 (Exposed)，所以在原本 SIR 模型加上此狀態，成為 SEIR 模型[1](圖 2-1)。另外，
Lipsitch 等人[13]用來模擬 2003 年新加坡 SARS 疫情的模型，為了探討公衛政策 對當時疫情的影響，額外增加隔離(quarantined)狀態。總而言之，倉室模型會隨 著應用的目的而變得很複雜。
圖 2-1 倉室模型(Compartmental model)示意圖
但是倉室模型由於過度簡化卻忽略了幾個要素[12]：(1)個體間的接觸網路
結構並不是均相的(Homogeneous)，例如我們每個人每天所能夠接觸的人數並不
2.2.2 Individual-based Model
Strogatz 指出網路結構(Network Structure)特性會影響複雜網路(Complex Network)的動態(dynamic)過程[33]。在流行病學裡，將宿主視為節點(Node)，個 體間的關係則以連結(Edge)來表示，連結可以代表個體間的性關係或是接觸關係 等，若一個宿主遭受感染，疾病可以透過連結所代表個體間的關係傳染給不同 的個體，這樣的複雜網路就是 Individual-based model。
近年來，關於網路結構特性的研究蓬勃發展。Watts 與 Strogatz[34]發現許多 自然界的網路結構與人造網路結構存在有小世界(Small-World )現象，例如神經 網路(Neuron Network)、食物鏈網(Food Web)、人際間熟識網路、電力輸送網與 網際網路等。小世界網路結構具有兩種特性，高群聚度與低分隔度。高群聚度 路正是介於正規網路(Regular Network)與隨機網路(Random Network)之間。正規
網路中的節點只與相鄰的節點有連結，使其具有高群聚度，但若任取兩節點，
Barabási 與 Albert[32]則進一步提出無尺度網路(Scale-free network)，意指網 路節點的度分配(Degree Distribution)遵循冪次法則(Power -law)，P(k)~k-γ，k 為 節點的邊數，P(k)為任一節點有 k 個邊之機率，也就是所謂的度分配(degree distribution)，指數γ 為正數。冪次分佈與卜瓦松分佈(Poission Distribution)有一 個重要差異，就是前者發生偏值的機率相對比後者高，也就是說遵循冪次分佈 的無尺度網路擁有極具連結性節點的機率較大。舉例而言，網際網路與全球資 訊網(World-Wide Web)等都屬於無尺度網路。Barabási 與 Albert 進一步指出，在 網路形成過程中，若新加入的節點傾向與連結性較高的節點產生連結，網路就
連結滲透(Bond Percolation)。前者討論在所有連結皆開的狀態下，至少要多少比 例開的節點(代表 Susceptible)，才有較高的機會形成與群體大小同等規模的聚 落；後者則表示在所有節點皆開的狀態下，要多少比例開的連結，才有較高的 機會形成與群體大小同等規模的聚落，而這樣的比例就是所謂的門檻值[10]。而 透過數學推導，我們可以知道門檻值與節點度分配有著緊密關係[12]。
另一方面，Pastor-Satorras 與 Vespignani[16]利用 mean-field theory
來探討網路結構如何影響傳染病傳播門檻。他們以 SIS 模型描述個體的感染歷
黃崇源等人[2]，提出以”分身”概念結合二維晶格的方式建構雙層的人際