第四章 結果與分析
第一節 傳統試題分析
本研究之「一年級數學學習困難篩選測驗」試題經過修正之後，在九十五 學年度第二學期（96 年 2 月）進行正式施測，茲將正式施測後，試題的各項資料 整理如下：
壹、試題難度及鑑別度指標分析
全測驗的試題難度指標介於 0.65~0.95 之間，平均難度指標為 0.85，顯示 這是一個比較容易的測驗，適合來篩選數學學習困難的學生。鑑別度指標介於 0.10~0.61 之間，平均鑑別度指標為 0.27，其中鑑別度指標最高的是 13 題為 0.61，最低的是第 1 題為 0.10，如表 4-1-1、4-1-2、4-1-3、4-1-4、4-1-5。
表 4-1-1 數數能力測驗正式試題難度鑑別度一覽表
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
高分組難度 1 1 1 0.99 1 1 1 1 低分組難度 0.90 0.80 0.86 0.68 0.88 0.84 0.84 0.88 難度 0.95 0.90 0.93 0.83 0.94 0.92 0.92 0.94 鑑別度 0.10 0.20 0.14 0.31 0.12 0.16 0.16 0.12
表 4-1-2 數大小工作記憶能力測驗正式試題難度鑑別度一覽表 題號 9 10 11 12 13 14 15 高分組難度 0.98 1 1 1 0.95 0.99 0.97 低分組難度 0.63 0.52 0.43 0.59 0.34 0.50 0.42 難度 0.81 0.76 0.72 0.8 0.65 0.74 0.69 鑑別度 0.34 0.48 0.57 0.41 0.61 0.49 0.55
表 4-1-3 理解能力測驗正式試題難度鑑別度一覽表 題號 16 17 18 19 20 21 高分組難度 0.99 1 1 1 0.92 0.99 低分組難度 0.76 0.87 0.82 0.88 0.68 0.89 難度 0.88 0.94 0.91 0.94 0.80 0.94 鑑別度 0.23 0.13 0.18 0.12 0.24 0.10
表 4-1-4 計算能力測驗正式試題難度鑑別度一覽表 題號 22 23 24 25 26 27 28 高分組難度 0.99 1 0.97 1 1 1 1 低分組難度 0.76 0.60 0.66 0.79 0.80 0.71 0.74
表 4-1-5 視覺區辨能力測驗正式試題難度鑑別度一覽表 題號 29 30 31 32 33 34 35 高分組難度 0.99 1 0.97 0.94 0.93 0.99 0.92 低分組難度 0.82 0.83 0.70 0.63 0.55 0.82 0.57 難度 0.90 0.91 0.83 0.79 0.74 0.90 0.74 鑑別度 0.17 0.17 0.27 0.31 0.38 0.17 0.35
貳、信度分析
在信度考驗方面，以 Cronbach α 內部一致性信度加以檢驗，如表 4-1-6 所示。
表 4-1-6 各分測驗及全測驗之 Cronbach α 信度
分測驗名稱 題數 信度係數
數數能力 8 0.81
數大小工作記憶能力 7 0.8
理解能力 6 0.54
計算能力 7 0.73
視覺區辨能力 7 0.63
全測驗 35 0.84
參、效度分析
本測驗之效度將以內容效度、專家效度、建構效度來檢測。
一、內容效度
根據表 4-1-7，可以確實檢查試題與欲測驗的數學基本素養內容相符合：
表 4-1-7 試題分配表
數學基本素養 題數 試題分佈
數數能力 8 1、2、3、4、5、6、7、8 數大小工作記憶能力 7 9、10、11、12、13、14、15 理解能力 6 16、17、18、19、20、21 計算能力 7 22、23、24、25、26、27、28 視覺區辨能力 7 29、30、31、32、33、34、35
本測驗是根據先前所提出的國小一年級數學基本素養來編製，故具有適當 的內容效度。
二、專家效度
本測驗編製完稿後，經由一位專家、一位特教老師及二位國小現職教師共 同檢視試題內容，綜合意見後再加以編修而成。
專家一：認知心理學、測驗研究專家
三、建構效度
（一）多特質－多方法分析法（multitrait-multimethod approach）
此法是研究測驗建構效度的一種理想方法，一份測驗要具有良好的建構效 度，必須要滿足聚斂效度（convergent validity）和區別效度（discriminant validity）（余民寧，2002）。
本測驗所測量的一年級數學學習困難篩選測驗包含了數數能力、數大小工
（二）因素分析法
因素分析是目前研究建構效度最常使用的實證方法之一。它的主要目的，
是用來確定心理學上或社會學上的潛在特質，藉著共同因素的發現，進一步確定 這些潛在特質是由哪些有效的測量試題所構成（余民寧，2002）。本研究的試題 分配，以國小一年級學生的數學基本素養為主，試題分佈以數數能力、數大小工 作記憶能力、理解能力、計算能力及視覺區辨能力為主軸，共 35 個試題，預期 以因素分析呈現學生在不同能力的分析。
將回收的 367 個有效樣本，使用 SPSS 套裝軟體來執行，以主成分分析並配 合最大變異法，取特徵值大於一的因素，結果在 KMO（Kaiser-Meyer-Olkin）與 Bartlett 檢定方面，KMO=0.820>0.5 且 Bartlett 球形檢定之 p 值=0.000 達顯著 考驗，表示該試題適合進行因素分析（如表 4-1-9）。
表4-1-9 KMO 與 Bartlett檢定
Kaiser-Meyer-Olkin 取樣適切性量數。 .820 近似卡方分配 3652.182
自由度 595
Bartlett 球形檢定
顯著性 .000
共萃取五個因素，解說總變異量為42.939（如表4-1-10）。
表4-1-10 解說總變異量
平方和負荷量萃取 轉軸平方和負荷量
成份 總和 變異數的% 累積% 總和 變異數的% 累積%
轉軸後的成份矩陣如表 4-1-11 所示，試題依呈現在各成份取決對值的最 大值，即歸屬於該成份，例如：試題 n8 呈現在因素一之數值為 0.709，因素三之 數值為 0.242，因素四之數值為 0.159，因素五之數值為 0.157，因此絕對值的最 大值為 0.709，試題 n8 歸屬於因素一。各試題歸屬的因素如下：
因素一：由試題 n1 到 n8 所構成的。
因素二：由試題 n9 到 n15 所構成的。
因素三：由試題 n22 到 n28 所構成的。
因素四：由試題 n29 到 n35 所構成的。
因素五：由試題 n16 到 n21 所構成的。
由以上的分析，所有試題皆按其類型聚集成一成份，即因素一為數數能 力，因素二為數的工作記憶能力，因素三為計算能力，因素四為視覺區辨能力，
因素五為理解能力，剛好符合之前表 4-1-7 試題分配表的分類。
表 4-1-11 因素分析矩陣
第二節 試題反應理論（IRT）模式分析
在本研究中只討論二分法計分之測驗試題（作答正確給 1 分，作答錯誤給 0 分），一般最常用於二分法計分資料的試題作答模式則有一參、雙參、三參數對 數模式（one-、two-、three-parameter logistic model）。因本研究樣本數小 於 500，不適合使用三參數模式來分析，以下就 logistic 一參和雙參模式來作 適合度檢定，分析其試題難度與鑑別度，並討論其試題特徵曲線。
壹、logistic 參數模式適合度檢定
本研究分別針對 IRT 模式中的 logistic 單參數模式和 logistic 雙參數模 式，以 BILOG-MG 程式進行分析。試題中的參數模式估計值如下表 4-2-1。當各試 題在單參數和雙參數模式下的χ2值小於.05 者，則表示該試題不符合此模式。
一、logistic 單參數模式適合度檢定
下表 4-2-1 是個別試題之模式適合度檢定結果，該表顯示單參數模式的第 10、11、13、14、15、20、32、33、35 等 9 題χ2檢定的 p-value 小於 0.05 的顯 著水準，單參數模式對上述 9 題的測驗資料來說並不符合。
二、logistic 雙參數模式適合度檢定
下表 4-2-1 顯示雙參數模式的第 9、10、11 題之χ2檢定的 p-value 小於 0.05 的顯著水準，雙參數模式對上述 3 題的測驗資料來說並不符合。
在 35 題正式試題的分析中，不符合 logistic 單參數模式的有 9 題，不符
表 4-2-1 logistic 二種參數模式適合度檢定
貳、logistic 雙參數之難度、鑑別度估計值的分析
表 4-2-2 是各試題的 logistic 雙參數模式估計值，得到的平均難度參數為 -2.37，平均鑑別度參數為 1.27。
表 4-2-2 logistic 雙參數模式估計值
題號 難度 鑑別度 題號 難度 鑑別度 題號 難度 鑑別度 1 -3.04 1.35 13 -0.82 1.40 25 -2.06 1.82 2 -1.92 2.52 14 -1.21 2.21 26 -2.08 1.95 3 -2.66 1.19 15 -1.01 2.05 27 -1.61 2.51 4 -1.61 1.94 16 -2.45 1.02 28 -1.88 1.68 5 -2.56 1.63 17 -2.41 1.88 29 -2.89 0.99 6 -2.18 1.88 18 -2.04 2.16 30 -2.55 1.21 7 -2.20 1.84 19 -3.22 1.08 31 -2.55 0.93 8 -2.12 2.85 20 -2.17 0.63 32 -2.45 0.48 9 -1.84 1.29 21 -4.13 0.70 33 -1.58 0.66 10 -1.32 1.88 22 -2.75 0.99 34 -3.08 0.93 11 -1.09 1.49 23 -1.74 1.23 35 -1.89 0.57 12 -1.47 1.78 24 -2.00 1.07
在難度分析方面，平均難度參數為-2.37，但因本測驗旨在篩選數學學習 困難的學生，所以試題會較簡單。
表 4-2-3 正式試題鑑別度統計表 鑑別度範圍 題數 評鑑程度
0 0 無
0.01~0.34 0 非常低 0.35~0.64 3 低 0.65~1.34 13 適中 1.35~1.69 5 高
>1.70 14 非常高 正無限大 0 完美
參、試題特徵曲線（item characteristic curve, ICC）
為了進一步探討試題的特性，本研究根據上面 logistic 雙參數模式估計值 用 EXCEL 軟體繪製各題之試題特徵曲線（見附錄四）。所有的試題之「試題特徵曲
線」皆呈現遞增 S 型曲線（即先成凹向上後，成凹向下，且有一個反區點之曲線），其
主要特性為對中間區段的能力值範圍受試者，其鑑別度特別高；此份測驗的各試題對低 能力值的鑑別度較高。例如：第 2 題、第 17 題、第 34 題。（如圖 4-2-1、4-2-2、4-2-3）
0.6 0.8 1
p(theta)
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
theta
p(theta)
圖 4-2-2 試題 17 之試題特徵曲線
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
theta
p(theta)
圖 4-2-3 試題 34 之試題特徵曲線
肆、測驗特徵曲線（test characteristic curve, TCC）
在 two-parameter model 中 P 值=1/（1+EXP（-a（theta-b））），利用表 4-2-2 logistic 雙參數模式估計值帶入公式中。
先 算 出 一 個 能 力 值 theta=-1 下 的 每 一 題 試 題 正 確 作 答 機 率 （ the probabilities of correct response）。加總每一題的試題正確作答機率就得到 theat=-1 的真實分數（True Score）為 27.35（圖 4-2-4）。
將各個能力值（-4≤theta≤4）為橫座標，每個能力值所得到的真實分數為 縱座標，用 EXCEL 軟體繪製本測驗特徵曲線如下圖（圖 4-2-4）。從圖中可以看出 theta 值＜0 的部分，TCC 線的曲線較陡，表示對於低能力值的受試者，本測驗較 有較高的鑑別度，意即更適合用來篩選數學困難的學生。
0 5 10 15 20 25 30 35
True Score
第三節 試題檢討
示，鑑別度最低的試題是第 21 題，鑑別度是 0.70，根據 Baker 的評鑑標準（見 表 2-5-2），仍屬適中的試題。而第 8 題在傳統試題分析鑑別度只有 0.12，但在 IRT 雙參數模式分析結果顯示，該題的鑑別度 2.85，是所有試題中鑑別度最高的 試題。所以，各試題仍有其保留的必要。
第四節 篩選過程
251 -1.37907 24 208 -1.77014 20
1 -1.38227 23 293 -1.79762 20
150 -1.38537 23 126 -1.80379 19
183 -1.41817 25 311 -1.81775 20
45 -1.43318 25 339 -1.94893 21
176 -1.44896 23 355 -2.09419 16
31 -1.45577 22 279 -2.1956 15
143 -1.52365 23 214 -2.25675 16
354 -1.62513 23 317 -2.27554 15
210 -1.63191 24 58 -2.28177 12
62 -1.65405 20 300 -2.29936 15
177 -1.67483 19 164 -2.42779 16
314 -1.70929 22 348 -2.82378 10
34 -1.72136 21 38 -3.23233 7
在表 4-4-1 中，學生編號 62 和 311 的答對題數同為 20 題，其所得到的能 力值並不同，原因是他們答對的題目不同，而各題的難度不同，所得到的能力 值就不同。也就驗證了當代測驗理論中所提到同時考慮受試者的反應組型與試 題參數等特性，因此在估計個人能力時，除了能夠提供一個較精確的估計值 外，對於原始得分相同的受試者，也往往給予不同的能力估計值（余民 寧,1991）。
第五節 常模建立
本測驗建有中部地區一年級普通班學生的百分等級常模（如表 4-4-1 所示）。 所謂「百分等級（Percentile Rank， PR）」就是指各百分點（即把一個團體分 成一百個等分的等分點）以下包含有多少百分比的人數，意即落在某一個原始分 數以下人數百分比（郭生玉，2000）。假定有位國小一年級學生在「國小一年級 數學學習困難篩選測驗」的原始分數為 24 分，對照表 4-4-1 之百分等級為 8。這 個結果表示這位學生只贏過 8%的國小一年級學生。
若欲篩選出「國小一年級數學學習困難」的學生，研究者依據數學學習困難 學生的能力值，建議採用原始分數 24 分（百分等級為 8），做為切截的分數。因 為此種方法較簡易，不失為國小基層教師篩選數學困難學生時的另一種參考。意 即若甲生的測驗原始分數 24 分，等於 24 分，他就是數學學習困難的學生。若乙 生的測驗原始分數 20 分，小於 24 分，他也是數學學習困難的學生。
表 4-5-1 中部地區國小一年級百分等級常模 原始分數 百分等級（PR） 原始分數 百分等級（PR）
35 95 26 11 34 82 25 9 33 66 24 8 32 50 23 6
31 38 21-22 5
第五節 個案分析
研究者在篩選出的 30 位數學學習困難學生中，訪問了其中三位數學學習困 難學生的老師，以了解學生在生活上和學習上的狀況。
個案一：
在整份測驗中各個分測驗的通過率分別為 88％、14％、100％、71％及 71
％，其中數大小工作記憶分測驗的通過率最低 14%，理解能力最高 100%，能力值 為-1.37425，原始分數為 24 分，篩選為數學學習困難的學生。
研究者和個案一導師訪談後，導師告知該生在課堂的學習專注力很差，上 課總是玩自己的東西，或和同學聊天講話。又吃飯時會吃到一半突然停住不動，
不知在想什麼，需要導師叫他，他才會繼續吃。因該生的語文能力和理解力都不 差，九九乘法背誦的很好，所以導師很疑惑，為什麼他的數學成績總是較其他學
不知在想什麼，需要導師叫他，他才會繼續吃。因該生的語文能力和理解力都不 差，九九乘法背誦的很好，所以導師很疑惑，為什麼他的數學成績總是較其他學