在本小節我們拿目前比較常 H1、L3還有qL2[50][51] 三種共振腔來比較，以選擇 出較符合我們所期待的的共振腔，再加以優化，這三種共振腔結構都為三角晶格排列，
不使用四方晶格排列的共振腔是因為在四方晶格中不易有光子能隙產生，為了了解這三 種共振腔共振模態的基本特性，我們首先從平面波展開法著手，而在參數的設計上必須 考量未來元件設計的需求。在光子晶體理論中，r/a 的比例會影響光子能隙寬度 r 為 空氣柱的半徑 a 為 晶格常數 ，較大的光子能隙寬度，對光的侷限效果也相對明顯，
但是也不是比例越大越好，因為 r/a 的比例是有一定的限制的，除了過大的 r/a 會使空 氣柱佔據太多面積使得原件在製作上容易損毀，還有就是當 r/a 過大時光子能隙的反而 會變小，因此我們在模擬計算上選取較權衡的數值 r/a=0.3，除了可以避免上述的問題，
未來在調變空氣柱的大小時 (r) 所容許的可調變量相對來說可以比較大。我們所使用的 材料為GaN折射係數設為2.5，因此經由上述的設定我們可以計算出三種不同共振腔的共 振模態，如圖3-1
。
圖3-1(a)-(c)分別為 H1 L3 以及 qL2 共振腔結構與共振模態電場分 布，圖中上方為三種不同共振腔的形式，藍色部分的為GaN材料的部分紅色為空氣柱的 部分，而下方為不同共振模態的電場強度分布圖|Et|2，其中|Et|2 = |Ex|2+ �Ey�2，由於 往後的討論自發性輻射的控制將與電場有關，因此在此我們就不討論磁場的分布情況。由圖3-1中我門可以發現H1有兩個共振模態，L3有五個共振模態，qL2有三個共振模 態，利用平面波展開法計算共振模態時，我們也可以同時知道共振波長，我們將共振模
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(a) H1型共振腔 (b) L3型共振腔 (c) qL2型共振腔
圖3-1 H1、L3、qL2共振腔與共振模態
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態的順序由長波長到短波長排列，這邊值得注意的是，由於H1共振腔為完美的對稱 結構，因此 H1共振腔所擁有的兩個共振模態為簡併態，為了要完全了解三種共振腔共振 模態的特性因此利用有限時域差分法(FDTD)分別針對這三種共振腔做初步計算，計算結 果如表3-1。表3-1 為 H1、L3、qL2共振腔的共振模態的Q-factor，Vm以及在水平面上 不同極化方向的能量比例分配。
表3-1(a) H1共振腔
Q-factor Vm (λ/n)3 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐱𝐱|𝟐𝟐 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐲𝐲|𝟐𝟐 H1 mode A 406 0.401 0.31 0.69 H1 mode B 164.5 0.385 0.75 0.25
表3-1(b) L3共振腔
Q-factor Vm (λ /n)3 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐱𝐱|𝟐𝟐 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐲𝐲|𝟐𝟐 L3 mode a 833.32 0.66 0.4 0.6 L3 mode b 124.03 0.78 0.79 0.21 L3 mode c 260 0.51 0.57 0.43 L3 mode d 310.5 1.6 0.24 0.76
L3 mode e X X X X
表3-1(c) qL2共振腔
Q-factor Vm (λ /n)3 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐱𝐱|𝟐𝟐 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐲𝐲|𝟐𝟐 qL2 mode a 1476 0.346 0.31 0.69 qL2 mode b 334.9 0.66 0.87 0.13
qL2 mode c X X X X
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其中Q-factor 的定義為
𝑸𝑸 ≡ 𝟐𝟐𝟐𝟐在共振頻率下所儲存的時間平均能量 在共振頻率下一週期所消耗的能量 將共振腔儲存之能量U寫成時間的函數
𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = −
𝝎𝝎𝟎𝟎
𝑸𝑸 𝒅𝒅 其解為
𝒅𝒅(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅(𝟎𝟎)𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆(−𝒅𝒅/𝝉𝝉𝒆𝒆𝒑𝒑) 3.1
其中𝝉𝝉𝒆𝒆𝒑𝒑 = 𝐐𝐐/𝝎𝝎𝟎𝟎 3.2
利用FDTD可得光子在共振腔內的衰減時間𝝉𝝉𝒆𝒆𝒑𝒑，在此利用計算存在共振腔模態之能量以 指數方式衰減的速率，可求出在共振頻率下光子晶體共振腔的Q值。Vm我們可以利用式 (2.25)來計算，而在水平面的電場比例，我們將所得到的電場做歸一化的動作使得 ∭ 𝜺𝜺(𝒓𝒓)|𝑬𝑬|𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏
在半導體雷射共振腔的製作上，我們會希望共振模態的數量要少最好是單模，且共 振模態的Q-factor要大，Vm要小，除此之外，為了要搭配 a-plane InGaN 的極化特性，
我們還會希望共振模態的極化要為Y方向的極化，由表3-1中可以發現到雖然H1型的共振 腔的共振模態數較少，而且有一個共振模態具有電場Ey方向主導，但是由於共振模態的 Q值太小且Vm稍大因此在這裡我們不考慮H1型的共振腔。
而L3型的共振腔具有五種不同的共振模態，每種共振模態的特性列於表3-1(b)，由 表3-1(b)中我們可以發現有兩個共振模態是由電場Ey方向主導L3 mode-a與L3 mode-d，其 中L3 mode-d 我們可以發現其Ey電場分配到的比例相當的多，但是此共振模態的 Q-factor太小而且Vm太大並不符合我們的需求，而另外一個 Ey主導的L3 mode a共振模 態具有較高的Q-factor，但是由於Y方向電場能量所分配到的比例較少，大約只有57%，
因此我們推測，如果發光元件是利用具有Y方向極化特性InGaN量子井，將會因此降低 雷射的自發性輻射速率增強因子，這部分我們將會在之後計算自發性輻射速率增強因子 時證明，這邊有一個問題還必須釐清，如果能夠提高共振腔的Q-factor是否可以彌補因
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為Ey電場分量不足的問題，這個答案是肯定的，對於L3-a mode共振模態的研究已經有 很多的研究團隊做過了，其中以日本 Prof. Noda 所率領的團隊在2003對於L3共正腔的
對於L3 mode-a共振模態來說，由於Ey電場極化所分配到的比率過低、Q值不夠大，Vm
比H1共振腔模態還大，也不太符合我們的需求，而且L3共振腔的共振模態過多，因此 在本論文中我們不使用L3型的共振腔來增強a-plane InGaN/GaN 量子井的自發輻射，
qL2[50][51]型的共振腔為日本的Prof. T.BaBa 所提出的H0型[40]共振腔為基礎加以
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Q-factor modal volumeR'/a
Q -fa c to r
0.60 0.75 0.90
m o d a l v o lu m
(λ /n
) 332
是將光子晶體的其中兩個空氣柱之間移出一個位置，而在此本文在這邊先不討論最佳化 的qL2共振腔而是先將qL2共振腔的特性做初步的了解，計算結果列於表3-1(c)，由表 3-1(c) 我們可以發現到qL2型的共振腔主要有兩個共振模態，這與我們利用平面波展開法所計 算的結果有所出入，其主要原因是因為FDTD的模擬為三維模擬，需要考慮光子晶體的 厚度，而平面波展開法是假設在厚度的部分為無限大，而光子晶體的厚度的不同會造成 原本因該存在的高階共振模態，在垂直方向無法對光有較好的侷限的能力而無法共振，
因此我們利用FDTD的計算共振模態時，無法找到第三個較高頻的共振模態，經由FDTD 所計算的結果，我們可以發現qL2共振腔的兩個共振模態其中之一為Ey電場所主導我們 稱為 mode-a，其Ey電場比例大約為0.68，Q-factor在還未最佳化的情況下已經其值就大 約有1476，而且qL2共振腔的Vm與H1共振腔的Vm差不多大約為0.34(λ/n)3，對於另外一 個由Ex電場所主導的共振模態模態我們稱為mode-b可以發現，Ex電場所佔據的分量高達 0.89，其Q值約350，雖然說沒有像Ey電場所主導的mode-a共振模態有將近1700的Q值，
但是相對於L3具有高極化電場分量的模態來說，qL2共振腔由Ex電場所主導的mode-b共 振模態其Q值的表現算是還可接受。最後，表3-2說明三種不同的共振腔以Ey電場所主導 的共振模態(mode-a)比較結果。
表3-2 光子晶體共振腔比較表
共振模態數 Q factor Vm 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐲𝐲|𝟐𝟐
L3 5 大 大 小
H1 2 小 小 大
qL2 2 大 小 大
如果要符合半導體雷射共振腔的製作需求，又要滿足極化具有強烈Ey電場所主導的 共振模態，由表3-2可以告訴我們qL2型的共振腔比較符合我們的需求，因此本文在往後 將以qL2共振腔為出發點，並且討論共振腔調變，對Q值、Vm，以及共振模態電場的影 響。
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