調變a面氮化鎵銦/氮化鎵光子晶體極化特性以增強自發性輻射

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩士論文

調變 a 面氮化鎵銦/氮化鎵光子晶體極化特

性以增強自發性輻射

Manipulative Polarization of a-plane

InGaN/GaN Photonic Crystals for

Enhanced Spontaneous Emission

研

研

究

究

生

生

：

：

李

李

彥

彥

群

群

..

指

指

導

導

教

教

授

授

：

：

余

余

沛

沛

慈

慈

教

教

授

授

中

中華

華民

民國

國九

九十

十九

九年

年

七月

七

月

i

調變 a 面氮化鎵銦/氮化鎵光子晶體極化特性以增強自發性輻射

Manipulative Polarization of a-plane InGaN/GaN Photonic

Crystals for Enhanced Spontaneous Emission

研究生:李彥群 Student: Yen-Chun Lee

指導教授:余沛慈 教授 Advisor: Prof. Pei-Chen Yu

國 立 交 通 大 學

光電工程研究所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Deportment of Photonic

College of Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University

in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

In

Electro-Optical Engineering

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

i

調變 a 面氮化鎵銦/氮化鎵光子晶體極化特性以增強自發性輻射

Manipulative Polarization of a-plane InGaN/GaN Photonic Crystals

for Enhanced Spontaneous Emission

研究生:李彥群 指導教授:余沛慈 教授

交通大學光電工程研究所

摘要

本論文主要是在探討，利用光子晶體微共振腔的特性提高非極性氮化銦鎵/氮化鎵 量子井的自發輻射。在一般的假設下，自發性輻射速率的提高可以使用 Purcell factor 來 定義，而 Purcell factor 在定義上只與共振腔共振模態的品質因子(Quality factor)與等效模 態體積(effective modal volume)有關，本研究從費米黃金定律(Fermi golden rule)出發 推導 Purcell factor，推導的過程中發現，自發輻射速率的增強除了與品質因子(Q-factor) 以及等效膜態體積(effective modal volume) (Vm) 有關外，還與光源的自發輻射以及共振

模態的極化特性有關。 本文分兩大部分討論，第一部份討光子晶體共振腔的設計，我們討論光子晶體共振 腔的空氣柱的調變對品質因子(Q-factor)、共振模態的等效膜態體積(Vm) 以及共振模態 的極化特性的影響，並藉由空氣柱的調變將光子晶體共振腔做最佳化設計；第二部分討 論 a-plane 氮化銦鎵/氮化鎵單一量子井隨著調整不同的銦含量與量子井的厚度，其自發 輻射的電場極化特性將會有所改變，我們考慮自發輻射與共振模態的極化特性計算得到 自發輻射增強因子(Spontaneous emission enhancement factor, SpE factor)，與 Purcell factor 做比較，最後我們發現到在當自發輻射在低極化率下必須將 Purcell factor 因子做修正， 而在高極化率的情況下 SpE-factor 會與 Purcell factor 非常地接近。

ii

調變 a 面氮化鎵銦/氮化鎵光子晶體極化特性以增強自發性輻射

Manipulative Polarization of a-plane InGaN/GaN Photonic Crystals

for Enhanced Spontaneous Emission

Student: Yen Chun Lee Advisors: Prof. Pei-chen Yu

Institute of Electro-Optical Engineering

National Chiao Tung University

Abstract

In this article, we discussed the utilization of photonic crystal microcavity for the enhancement of spontaneous emission rate of the a-plane InGaN/GaN single quantum well by reducing threshold power of laser. In general assumption, spontaneous emission rate enhancement factor can be defined by Purcell factor, and Purcell factor is proportional to the quality factor of photonic crystal microcavity and inversely-proportional to effective modal volume of cavity mode. We derived the Purcell factor from Fermi golden rule. During the deriving process, we found the spontaneous emission rate enhancement factor is not only related to the quality factor and effective modal volume of cavity mode but also polarization characteristic of spontaneous emission rate and cavity mode.

In the first of the thesis, we discussed the influence of the quality factor, effective modal volume and polarization characteristic of cavity mode by tuning air holes of photonic crystal microcavity. And we optimize the photonic crystal microcavity by tuning air hole. In the second part, we discuss the variation of polarization characteristic of spontaneous emission rate of a-plane InGaN/GaN single quantum well by different indium composition and quantum well width. Finally, the calculated spontaneous emission enhancement factor considering polarization characteristic of spontaneous emission rate and cavity mode was

iii

compared with Purcell factor. We found the value of spontaneous emission enhancement factor in high polarization was closed to Purcell factor but the Purcell factor in low polarization ratio needed to be revised.

Keywords : photonic crystal microcavity, nonpolar, a-plane, InGaN , GaN, quantum well, spontaneous emission rate enhancement factor, Purcell factor, Polarization ratio.

iv

誌 謝

時光飛逝，兩年的碩士班生活就這樣一轉眼的就過去了，回想兩年前剛踏進交大校 園時興奮的心情，從什麼都不懂的碩一新生，到碩二迎接新進的學弟妹，而現在即將帶 著畢業證書離開學校踏入人生的下一個旅程，在這兩年的碩士生活，有歡笑，有憂愁， 有挫折，有快樂，這中間都要感謝家人，老師，學長，同屆和學弟妹的扶持陪伴與鼓勵， 才能讓我順利走完這兩年。 首先謝謝我的指導教授余沛慈老師，謝謝老師這兩年對我的包容與指導，當我每每 遇到困難時，老師都能不厭其煩的給我方向與我討論，並且訓練我以正確的邏輯與嚴謹 的方法自我學習以及解決問題的能力，這對我在未來的人生上會有莫大的幫助；感謝台 灣大學光電元件模擬實驗室的吳育任教授以及黃泓勛學長，由於老師與學長的協助讓我 能順利完成學業與研究，感謝學長在我遇到問題時都能夠給予幫助與建議；謝謝瑞晉學 長，感謝你在我進入實驗室時給我的關懷與照顧，學長在我對程式語言一竅不通的時候 給予我協助與教導，讓我在往後的研究生活中能夠順利度過，謝謝家華學長在這兩年聽 我瘋狂的囉說，並且給予我對於研究態度的建議，謝謝亭綱學長，你是我的攝影的師父， 這兩年感謝你承受我毫無邏輯性的發言，謝謝閔安學長在研究上和羽球上的指導，讓我 在研究所還有人可以一起打羽球，我的同屆，正宇、小邱，感謝你們這兩年的陪伴與照 顧，因為有你們的陪伴，一路走來我不會感到孤單，在研究上因為有你們不斷向前奔跑， 當我遇到挫折時，有動力與勇氣繼續往前邁進，很高興能認識你們，希望以後的人生你 們能更加順利。謝謝翁翁，你的出現讓我在光子晶體的研究上找到了一起奮戰的朋友， 也謝謝 Joseph、永吉、祥淇、阿飛、阿祥、獸皇、小新、依寧、惟雯、大偉、哭哭、以 及所有其他博士班的學長，因為認識大家讓我的生活亙多采多姿，閔翔你是個優秀的人 材，祝福你順利申請到你心目中理想的學校，峰瑜，冠霖，大頭，kaka，碩二的生活是 相當辛苦的，希望你們能夠堅持下去，這一年謝謝你們的陪伴。 在這邊我也要感謝我的大學好朋友，岳民，佳翰，明璽，宜育，因為有你們的經驗 讓我在碩士生涯中相對順利，在我遭遇到挫折時，有你們的關心與協助，給予了我莫大 的支持真的非常的感謝你們。 最後我要感謝我的家人，總在我背後支持我，鼓勵我，讓我沒有後顧之憂，專心在 課業與研究上奮鬥， 你們的養育之恩是我沒有辦法回報的。 學生 彥群 2010.07

v

目 錄

中文摘要………...……….…………...i 英文摘要 ...………..…………..………..ii 誌謝………,,,,,,,,,,,,,………...………iv 目錄…………...……….………...……….……...…..v 圖目錄………...vii 表目錄………...x 第一章 緒論...1 1-1 三族氮化物材料簡介...1 1-1-1 三族氮化材料(Ⅲ-nitride material)基本特性...1

1-1-2 Ⅲ-nitride material InGaN/GaN 量子井(Quantum well)特性...2

1-1-3 極性與非極性InGaN/GaN量子井...3 1-2 自發輻射與光子晶體...4 1-2-1 自發輻射...4 1-2-2 光子晶體...5 1-2-3 二維光子晶體共振腔...8 1-3 研究動機...10 第二章 原理與計算方法...12 2-1 光子晶體能帶理論...12

2-2 有限時域插分法 Finte different time domen (FDTD)...16

2-3 自發輻射與共振腔…...18

2-3-1 半導體雷射基本原理…...18

2-3-2 共振腔特性…...20

vi 第三章 光子晶體共振腔設計與調變...27 3-1 光子晶體共振腔結構設計...27 3-2 qL2光子晶體共振腔調變……….………...33 3-2-1 qL2共振腔水平空氣柱調變……….………...33 3-2-1.1 共振模態波長分析……….………...34 3-2-1.2 共振模態等效模態體積與Q-factor分析………...36 3-2-1.3 共振模電場分析………….……….………...42 3-2-2 qL2 共振腔垂直空氣柱調變………....………...44 第四章 A-plane InGaN/GaN SQW自發輻射控制...51 4-1 a-plane InGaN/GaN SQW 極化光特性分析...51 4-2 a-plane InGaN/GaN SQW 自發輻射增強結果與討論...55 4-2-1 自發輻射增強因子與Purcell factor之比較...55 4-2-2 自發輻射增強因子與極化率之關係...58 第五章 結論未來展望...61 參考文獻...62

vii

圖 目 錄

圖1-1 氮化鎵 wurtztie 結構...1

圖1-2 Ⅲ-nitride的能隙對晶格常數關係圖...2

圖1-3 (a) 同值介面結構 (b)異質介面結構...3

圖1-4 (a) GaN 分子結構示意圖 (b) QCSE效應...5

圖1-5 光子晶體週期結構示意圖...6 圖1-6 能帶邊緣型光子晶體雷射...7 圖1-7 線缺陷光子晶體結構圖...7 圖1-8 點缺陷光子晶體結構圖...8 圖1-9 光學共振腔...8 圖1-10 二維共振腔型光子晶體雷射的造結構...9 圖2-1 電子能帶與光子能帶形成示意圖...12 圖2-2 光子晶體能帶圖...16 圖2-3 Yee lattice 示意圖...18 圖2-4 半導體雷射模型...19 圖2-5 二能階模型示意圖...19 圖2-6 受激輻射增強示意圖...20 圖2-7 柱波形成示意圖...21 圖2-8 共振譜線...21 圖2-9 電偶極距輻射示意圖...23 圖2-10 光子能態密度示意圖...24 圖3-1 H1, L3, qL2 共振腔的共振模態...28 圖3-2 L3共振腔微調 Q-factor與Vm 對空氣柱的位移量變化...31 圖3-3 qL2 共振腔微調...33 圖3-4 光子晶體共振腔模擬結構...34

viii 圖3-5 水平調變共振模態變化示意圖...35 圖3-6 共振波長對R’關係圖...36 圖3-7 Mode-a mode-b 能量侷限示意圖...36 圖3-8 共振模態Q值與等效模態體積對R'關係圖...37 圖3-9 動量守恆全反射示意圖...38 圖3-10 電場邊界條件變化與動量變化分布圖...38 圖3-11 qL2共振腔mode-a Ey電場強度在動量空間的分布(R'=0.1)...39 圖3-12 R'縮減調變的電場水平動量分布圖...40 圖3-13 mode-a Ey電場剖面圖...41 圖3-14 電場能量對R'關係圖...42 圖3-15 光子晶體等效布拉格反射鏡示意圖...42 圖3-16 mode-b Ex電場剖面圖...43 圖3-17 光子晶體經由90度旋轉，電場極化方向互換示意圖...44 圖3-18 MqL2共振腔...45 圖3-19 共振波長對r'關係圖...46 圖3-20 mode-a電場能量對r'關係圖...46 圖3-21 mode-a Ex電場截面圖...46

圖3-22 mode-a 與 mode-b Q-factor 與 Vm 對r^'的關係圖...47

圖3-23 r'縮減調變的電場水平動量分布圖...48

圖3-24 mode-a 改變厚度(d)對波長、Q-factor、Vm關係圖...49

圖3-25 共振模態 mode-a 對 r'與R' 變化的關係...50

圖4-1 self-consistent model 計算流程圖...52

圖4-2 c-plane與a-plane InGaN bulk 價帶能帶結構圖...53

圖4-3 c-plane與a-plane InGaN/GaN SQW 自發輻射速率頻譜...53

圖4-4 a-plane InGaN/GaN SQW 極化率與能帶分裂能量差...54

ix

圖4-6 自發性輻射增強因子(Spontaneous Emission Enhancement factor )V.S r'與R'...57

圖4-7 GaN, InGaN 色散關係圖(n(λ))...58

圖4-8 波長、Q-factor 以及Vm 對晶格常數的變化...59

圖4-9 SpE factor 與 Purcell 對 In含量的變化...59

x

表 目 錄

表1-1 Wurtztie structure AlN, GaN, InN 特性...2

表2-1 薛丁格方程式與馬克斯威爾方程式...13

表3-1 H1, L3, qL2 共振模態特性...29

表3-2 H1, L3, qL2 共振腔比較...32

1

第一章 序論

1-1 三族氮化物材料簡介

1-1-1 三族氮化材料

(Ⅲ-nitride material)基本特性

現今的三五族半導體合金半導體材料大部份的結構都是以鋅閃結構(zinc -blende structure) [1]的形式出現在我們的世界中，其中以紅光材料砷化鎵 (GaAs)最具代表 性。還有一部分的合金半導體，其結構以三、七、三，堆疊而成的六角對稱的柱狀結構 (hexagonal structure)，稱為鎢材結構 (wurtztie structure) [2]，見圖1-1從45°角看 wurtztie structure 時，相當接近 zincblende structure 但是由於在空間上主軸的定義與比例有所差 異，一搬來說還是將 wurtztie structure 規範在 hexagonal structure 中，而在 hexagonal structure 中定義空間中的座標系主要有三個方向， c-面 (c-plane) (0001)、a-面 (a-plane) (1120) 以及 m-面 (m-plane) (1100)，圖1-1-(a) ~1-1-(c)，而這樣結構的合金半導體，大

部分為三族氮化物 (Ⅲ-nitride) 合金半導體，而 Ⅲ-nitride 合金半導體 wurtztie structure 以 氮化鎵 (GaN)、氮化鋁 (AlN) 以及氮化銦 (InN) 最為常見應用與研究，其主要原因 除了這三種材料都為直接能隙(direct band gap) 外，還有它們的能隙差距相當大，見表 1-1 [3]， InN 0.77 eV 、GaN 3.4 eV、 AlN 6.3 eV，由於這個原因，再搭配不同比例的 鋁 (Al)、銦 (In)、鎵 (Ga)

圖1-1 氮化鎵 wurtztie structure

2

其利用 direct band gap 所發出的光，其波長可從遠紅外光 (1550nm) 至紫外光

(200nm)，見圖1-2，因此氮化物材料在「發光二極體」(light emitting diodes)(LEDs)、「雷 射」(Laser diodes)(LDs)、「光偵測器」(photodetecors) 等半導體光電元件上被廣泛應用 與研究討論。

圖1-2 Ⅲ-nitride 的能隙對晶格常數關係圖[4]

1-1-2

Ⅲ-nitride material InGaN/GaN 量子井(Quantum well)特性

對於 Ⅲ-nitride 來說利用InGaN/GaN量子井結構所製作的發光元件是最常見的，當調整

In、Ga 的比例，發光範圍可以涵蓋整個可見光波段，回顧光電半導體的歷史，在發光 元件的一開始使用的為同質介面的 P-N jun -ction，但是由此技術所製作出來的發光元件 在順向偏壓下電子電洞對的複合效率極差，因此當時元件的發光效率也相對較差，直到 1963年，Kroemer 和 Alferov 提出雙異質接面的結構，將能隙較小的材料置入兩

表1-1 wurtztie structure AlN、GaN、InN 特性

Ⅲ-nitride AlN GaN InN

Band gap (eV) 6.28 3.425 0.77

Lattice constant a ( ) 3.112 3.191 3.545

Lattice constant c ( ) 4.982 5.185 5.803

3 塊能隙較大的材料中間，利用本身能隙的差異使得在中間能隙較小的地方產生量子井， 藉此將電子電洞侷限在量子井中增加複合機率，見圖1-3，使得原件發光效率提升，也 帶動了光電半導體的發展，使得光電元件能融入大眾的生活之中。但是雙異質結構 InGaN/GaN量子井應用在發光元件上還充滿了許多問題，像是 Ⅲ-nitride材料本身的特性 會有自發性的內建極化電場，或者因為長晶時，應力的不匹配，使得原件在磊晶的過程 充斥這局部的缺陷，又或者因為應力的關係造成元件內部有壓電場的存在，這種種的因 素，造成了電子電洞複合機率降低，因此為了要解決這些問題上，部分的研究團隊提出 了藉由長晶方向的不同，提出了非極性面 InGaN/GaN 量子井發光元件[5]。

1-1-3 極性與非極性InGaN/GaN量子井

前小節我們有提到，Ⅲ-nitride材料本身的特性會有自發性的內建極化電場，以氮化 鎵為例，會有這種情況的原因是由於 wurtztie structure 在c-plane的方向， 氮原子與上 面鎵原子距離和下面鎵原子的距離是不一樣的，圖1-4(a)，因此在總極距上不會相抵消， 而產生了內建極化場，不只是 GaN，InN 、AlN 等氮化系列都會有這樣的問。而除了 本身原子結構上所產生的內建極化場外，由於在磊晶成量子井的時候，由於晶格不匹配 產生應力擠壓的關係，因此也會有內建壓電場的產生，這些內建電場的產生始得量子井 能階變形，量子井內的電子電洞對在空間中波函數的重疊降低，電子電洞複合機率下降 [7]，圖1-4(b)，導致發光效率降低，這樣現象，稱量子侷限史塔克效應(Quantum confined

stark effect QCSE)。為了解決這個問題，科學家們開始將研究的重點放在非極化 (a) (b)

4

(non-polar) 面上，a-plane 或者是 m-plane ，Ⅲ-nitride材料，在這兩個面上由於長晶方 向以及使得原子排列具有對稱性，以及應力非等向性的關係，使得內建電場對量子井的 影響大大的降低了，圖1-4(c)。

(a) (b) (c)

圖1-4，(a) GaN分子結構示意圖。(b)、(c) c-plane 與 a-plane GaN因為內建電場 使得導帶與價帶的波函數在空間上錯位。不易複合。

除了在電性上因為克服了QCSE效應使得在發光效率上有所改善外[8]，在1997年

[9][10][11] Domen 在把 m-plane GaN 長在m-plane 的SiC 用光機螢光系統量測後，發

現他所量測的光譜中具有極化光的現象。並且在 a-plane中也有相同的特性，只不過電 場的極化方向有所不太一樣，雖然使用non-polar的晶面長晶可以改善電性方面的問題並 且有極化光產生，但是由於長晶技術與成本的考量non-polar的元件缺陷多，成長不易， 尚未達到理想的狀態，還有許多問題有待解決，待克服後[12][13]，對於未來在照明[14]、 顯示器[15]、光通訊[16]、光儲存[17]、以及量子傳輸[18]等光電元件應用是相當有潛力。

1-2 自發輻射與光子晶體

1-2-1 自發輻射

自發輻射(spontaneous emission)為半導體光電元件中最基本的光源產生的機制， 但是由於物理特性與元件設計上的限制，使得自發輻射所產生的光源並沒有辦法有效的 Ga Ga N

_

+

+

_

+

_{_}

Electric dipole Net  electric  dipole Psp Psp Psp GaN InGaN GaN

Ec

Ev GaN InGaN GaN

Psp Psp Psp Ppz Ec Ev Electron wave    function Hole wave    function

5

被利用，對發光二極體(light emitting diodes, LEDs)來說，其主要的發光形式以自發輻射 為主，但半導體材料的折射係數與空氣差異甚大，以氮化鎵為例，折射系數 n=2.5，由 於全反射角大約只有 23.5 度，經由自發輻射所產生的光只有小於 23.5 度才能從半導體 中被萃取出來利用，而有將近 90%的光將以 guided mode 形式被困在半導體內，整體的 發光效率降因此而有所降低[19]也因此有許多的團隊嘗試的製作表面結構來增強光的萃 取率[20][21][22][23]；在光電元件中除了扮演了發光的基本特性外，對於雷射來說，自 發輻射偶與雷射模態的耦合，是雷射光來源的起因，但是大部分的自發輻射，卻與雷射 光的產生無關，只有少部分的自發輻射會與雷射模態進行耦合發出雷射光，也因此使得 產生雷射光的臨界電流(threshold current)提高，造成了電能的浪費，有鑑於此，物理學 家們開始對如何掌握與控制自發輻射產生濃厚的興趣，主要的目標為讓多餘不被利用的 自發輻射被抑制，而提升被需要的自發輻射，如此一來將可以大幅度的提升光電元件的 效率。 根據量子理論[24]，自發輻射形成原因為電子由激發態回到基態，且以光子的形式 與未被佔領的光學模態(optical modes)耦合後放出光子，而由激發態，回到基態發生的機 率會與光子能態密度(photonic density of state)與電場強度與位置有關，因此當我們想要 嘗試控制自發輻射，其實就是在控制光學模態的數目，以及控制電場在空間中的分布與 強度。而以目前來說最好的方法就是利用光子晶體光子能隙的特性來控制控制自發輻 射。

1-2-2 光子晶體

早在二十世紀初，半導體產業快速興起，已發展為全球最大的產業。在發展的同時， 其半導體物理相關的理論已經相當成熟。而物理學家瞭解到晶體中的電子，由於受到晶 格中的週期性位勢分佈，部份波段會因破壞性干涉而形成能隙(Energy gap)，導致電子的 色散關係 (Dispersion relation)呈帶狀分佈，產生所謂的電子能帶結構。相對的，物理學 家也在思考，當光子在介電質週期性結構中，是否有可有類似的現象出現，在 1987 年

6

美國UCLA 電機系的 Eli Yablonovitch 教授與加拿大University of Toronto 物理系的 Sajeev John 分別提出對於光子能隙 (photonic band gap)的看法，並且對有週期性的介電 質結構提出了光子晶體 (photonic crystal) 的概念 [25][26][27] 。 光子晶體是用介電值的材料，在空間上做週期性變化而形成的結構。依照它在空間 週期分佈的維度，可分為一維光子晶體、二維光子晶體及三維光子晶體，圖1-5，而光 在週期性傳遞時，與介質互相影響，而產生了光子能隙，所謂的光子能隙是指，當光的 頻率剛好介於光子能隙中，則此頻率的光將不能在光子晶體內傳播， 因此我們可以利 用光子能隙的特性來對光加以控制。 光子晶體應用層面相當的廣泛，以發光二極體為例，利用光子晶體的週期結構可以 將因為全反射被侷限在半導體內的光被翠取出來，在1999年 M.Boroditsky 首次在實驗 上證明了光子晶體能夠增加LED的發光效率[28] 其中光能隙的能量會隨著孔洞之間的 距離a(晶格常數)改變而改變，他們做了樣品ABC，其晶格常數分別為 a=600, 760, 900 nm， 然後量測其光輸出之頻譜及效率，和沒有作光子晶體之樣品做比較， PL之信號隨晶格 常數之增加而增加，當a=900 nm時，其量出之效率高達70%。在2005年，任教於 UCSB 的中村修二教授團隊，去量測有光子晶體結構，以及沒有光子晶體結構的LED，隨角度 變化的頻譜與場強，竟然可以量測到光子晶體的光子能隙圖，並且隨著光子晶體的設計 不同，遠場的分布也會有所不同 [29] ，或者可以利用光子能隙的特性製作抗反射層， 一般的面射型雷射的布拉格反射鏡就是最好的例子[30]，還有一些有趣的研究，利用

Distributed freed back的效應，當電磁波在光子能隙band edge時群速度會趨近於零，此時 電磁波以駐波的形式將能量儲存在光子晶體內，並且經由光子晶體繞射出來，利用此特

(a) 1D period (b) 2D period (c) 3D period

7

圖1-6 能帶邊緣型光子晶體雷射

性所發展的能帶邊緣型光子晶體雷射 Photonic crystal band edge laser，Photonic crystal band edge laser，圖1-6 最早由日本的 Noda 教授所提出來並且在1999年首次發表，利用

電激發驅動二維光子晶體脈衝雷射[31]，且於2004年成功的在室溫下連續操作紅光雷射

[32]，並且對於 Photonic crystal band edge laser 與布拉格繞射的關係做了深入的討論。 在2008年Noda教授團隊成功的製作了第一顆在室溫下電機發GaN的Photonic crystal band edge laser。 圖1-7 線缺陷光子晶體結構圖 光子晶體的研究與應用如此之多，但是其光子晶體最重要的研究與應用莫過於對光 子晶體結構做破壞，使光子晶體的能帶產生缺陷態(defect mode)，由於缺陷模態的頻率 落在光子能隙內，因此這種模態無法朝向四周具有週期性的方向傳遞出去而被侷限在缺 陷的部位，光子晶體的缺陷態主要根據形式的不同分為兩種，第一種設計為一個半開放 PRB, vol. 65 (2002)

In-plane coupling

Surface emission condition

k i kd kd=ki+K1 X Y Z Γ ki K1

8 圖1-8 點缺陷光子晶體結構圖 式的線缺陷(line defect) 圖1-7，由於缺陷模態落在光子能隙內，因此滿足缺陷態頻率的 光 只 能 沿 著 缺 陷 態 傳 遞 ， 而 我 們 可 以 利 用 此 特 性 製 作 像 波 導 一 樣 的 光 傳 播 媒 介 [33][34]。 第二種為點缺陷(point defect)我們可以在光子晶體上製造一個封閉的空間的設計如 圖1-8，可將缺陷模態的光能量侷限在此空間中，由於在點缺陷中光的能量因為光子能 隙的原因，被有效的被侷限在一定空間範圍內，因此我們可以利用其特性加以設計來製 作光學共振腔。

1-2-3 二維光子晶體共振腔

(a) Micro-disk (b) Micro-toroids (c) Micro-sphere 圖1-9 光學共振腔

微光學共振腔(optical micro-cavity)由於具有對光源的侷限以及選頻的功能因此在微 光學(micro-photonic)以及半導體雷射的領域中，一直是相當熱門的研究之一，對於光學 共振腔來說，其主要對於光源的侷限方式幾乎都是利用光在介質內的全反射，讓光的能 量聚集在介質內，根據設計的方法不同有分為micro-disk、micro-toroids 以及micro-sphere

9 圖1-9[35]，在optical micro-cavity的領域來說，其表現與應用都相當卓越，但是當光學元 件越做越小後我們也希望optical micro-cavity也能夠變小，最好是與共振波長同等級，但 是隨著optical micro-cavity開始變小，對於光能量的侷限開始慢慢變弱，且在製作上也相 當有難度，光子晶體的出現解決了我們對於波長等級的共振腔 micro-cavity或著是 nano-cavity的需求，主要原因我們可以輕易的在光子晶體中製造一個點缺陷，在缺陷的 位置由於光子能隙的效應形成了波長等級的共振腔。而光子晶體共振腔當中水平方向對 光能量的侷限是由光子能隙，而在垂直方向是利用全反射的條件，光能量的損失主要也 由垂直方向所貢獻，而製作光子晶體共振腔主要是希望應用在雷射的製作上，始得雷射 元件能做到微米或者是奈米等級，二維光子晶體共正腔雷射的概念，在1994年由 P.R.Bermang [36]，但是實際的元件一直沒有被設計出來，直到1999年，加州理工學院 O.Painter 團隊成功了作出第一個光子晶體缺陷態雷射 [37]，圖1-10，他們利用電子束 微影技術在發光元件上製作二維光子晶體，再將底部利用濕試蝕刻的方法挖空此時水平 方向二維光子晶體對電磁波所侷限，而上下藉由光從密介質到疏介質會有全反射的發生 藉以侷限電磁波，由圖1-8-(b)我們可以明顯的看出電磁波的能量大部分集中在缺陷區。 (a) SEM俯視圖 (b)電場分布 (a) 結構圖 圖1-10 二維共振腔型光子晶體雷射的造結構。光在光子晶體共振腔內受光子能隙效應 的影響而產生共振的行為

10

而這幾年來各式各樣不同種類型式的光子晶體共振腔已經被許多團隊所研究與展 現，而對於光晶共振腔所討論的議題主要著重在高品質因子(Quality factor)、超小模態體 積(small modal volume)，就目前為止Prof. Notomi的團隊在理論計算上可得到Q-factor約

為5x109_{的光子晶體共振腔}

[38]，而實驗上Prof. Noda的團隊可以做到Q-factors 約3x106

的共振腔[39]，在另一方面Prof. T. Baba以及 Prof. Y. H. Lee 的團隊分別提出關於超小 modal volume (Vm)的光子晶體共振腔[40][41]。由於光子晶體共振腔具有high Q-factor以

及small Vm的特徵，因此我們有超高的Q/Vm 的值當Q/Vm 足夠大的時候我們可以觀察到

電子與光的交互作用(quantum electro -dynamics)，例如 Rabi splitting[42]，對於雷射元件

來說，設計具有high Q-factor以及small Vm的光子晶體共正腔可以達到抑制多餘不被利用 的自發輻射，提升被需要的自發輻射，以降低雷射的threshold current提升雷射元件的表 現。因為提高某個頻率的Q-factor就是在增加該頻率的光子模態數目；而降低Vm就是在 增強電場的強度。

1-3 研究動機

在1-2節中我們介紹了自發輻射的限制以及光子晶體的應用，並且提到了關於自發 性輻射的控制最佳的方法是利用光子晶體共振腔來操作，我們希望能夠藉由自發輻射的 控制藉達到抑制多餘不被利用的自發輻射，提升被需要的自發輻射，以降低雷射的 threshold current，如果雷射的 threshold power 太高，除了成本上的浪費外，元件會容易 過熱降低雷射效率，且易於損壞，因此在雷射的設計上我們希望能雷射的 threshold current 越低越好，而為了要達到低 threshold current的條件，因此在設計雷射時必須考 慮低損耗 (較高Q-factor)，單模(較小的模態體積 modal volume)，而光子晶體共振腔型 雷射就同時具有這種特性，因此大部分在研究光子晶體的學者都在設法提高光子晶體共

振腔的 Q-factor，以及降低Vm。 而在這方面的研究也有許多的研究團隊討論與設計，

其中以2002年Prof. Noda團隊的研究最具代表性，Prof. Noda團隊將共振腔的設計由原本 的在光子晶體的中心抽去三跟空氣柱(L3-cavity)且將L3共振腔左右兩邊的空氣柱向外移

11 發輻射。因此本文主要探討如何設計與調變quasi-L2(qL2)光子晶體共正腔以提升Q-factor 與降低Vm，並且將qL2光子晶體共振腔優化，我們在此名為modified qL2 (MqL2)，並且 討論自發輻射的變化，除此之外，自發輻射的增強與共振腔共振模態的極化方向以及增 益介質的極化率，也有明顯的相關性，這部分的討論將是本文第二個重點。 本文在第二章的部分將會介紹光子晶體的能帶理論以及共振腔，自發性輻射增強， 與雷射之間的關係，在第三章討論如何設計與選取光子晶體共振腔，第四章本文將會討 論極化率特性對於自發性輻射的增強的影響，第五章為本文的結論與未來展望。

12

第二章 原理與計算方法

2-1 光子晶體能帶理論

物理學家認為，在空間中讓材料不同的折射率 (介電常數) 作週期性變化的排列會 產生週期性的位勢，就像晶體 (crystal) 中，原子排列所產生週期性位勢一樣，而晶體 中的電子會受到週期性位勢的影響產生能隙與能帶，圖2-1(a)，用相同的道理，當電磁 波在不同折射率所產生的週期性位勢中傳遞時，電磁波也會受到位勢的影響產生建設性 或破壞性的干涉而形成光子能隙，圖2-1 (b)，而導致色散關係的帶狀分布，此帶狀分布 稱為光子能帶結構 (photonic band structure) 。而對於電子能隙與光子能隙的些微差異是 在於，晶體中的電子若正好填滿能帶中能量較低的價帶，使得電子難以越過能隙到達能 量較高的導帶，則電荷將無法在此半導體中傳輸。光子晶體能隙是指，當光的波段是落 在光子能隙中， 則此波段內的光線在所有方向上都無法穿過此光子晶體。 在思考光子晶體能帶問題時，一開始我們會用固態物理的物理模型去想像與解釋， 以方便我們對新領域的探討，光子類似於電子，介質週期性位能則類似原子週期性位能

，

由於兩者在物理模型上的描述極微的類似，因此解決兩者行為模式所用到的數學模型， 圖2-1，(a) 電子在週期位勢中傳遞產生電子能帶，(b) 光子在週期介電質中傳遞產生光 子能帶。 + + + + ‐ Electron Space Po te nt ia l Atom arrangement  induce the periodic  potential function Conduction Band Valence Band (a) Photon Space Po te nt ia l Periodic Index  Variation induce  the periodic  potential function _{Dielectric Band} Air Band (b) ε1ε2ε1ε2ε1ε2ε1ε2ε1

13 也是相當類似的。電子在晶體內的行為由薛丁格方程式描述，而電磁波在光子晶體內的 行為模式由馬克斯威爾方程式所推導的電磁波動方程式所描述，表2-1。 由表2-1可以發現到，描述電子行為的物理量是波函數(Ψ)，而波函數是一個純量， 而描述電磁波行為的物理量是電場(E)與磁場(B)，他們都是向量，因此在對於光子晶體 在數學上的處理與描述會顯得格外的複雜與繁瑣，也因為是向量場的關係，導致於會出 現不同偏振的電磁波會有屬於自己的光子能帶。 而在探討電子能帶的計算的時，我們會希望能夠將薛丁格方程式的時間項，作簡化 的動作，得到時諧頻域的薛丁格方程式，進一步的得到薛丁格特徵方程式 (eigen equation)， 這樣一來在數學上的計算將會方便許多，因此在解決光子能帶的問題時，我們利用相同 的技巧去處理電磁波動方程式，首先我們將電場，磁場用時諧方程式表示 (2.1)、(2.2) 使問題由時域 (time domain) 轉至頻域 (freq- uency domain) ，將上式代入馬克斯威

爾方程式，消去時間參數，得到時諧頻域的馬克斯(2.3) (2.4)，其中介電常數 是空間 的函數，c 是光速。 , (2.1) , (2.2) | | (2.3) | | (2.4) 表2-1薛丁格方程式與馬克斯威爾方程式

Schr dinger equation

, ,

Electromagnetic wave equation

, ,

14 由(1.3) (1.4)式中可以看出是一種特徵值(Eigenvalue)問題，其特徵值分別為 與 ，特徵算符 (operator) 分別為 與 ， 值得注意的是在計算特徵問題時會希望特徵值算符要為赫米特算符，且越單純越好，而 由電場或者電通量開始計算，其特徵方程式線性運算子並非符合赫米特運算，不能夠用 正交基底展開，且在ΤΜ波的情況下，有可能會出現邊界不連續的情況，增加計算困難 度，因此在這兩個特徵方程式計算選取上，我們大多從 (1.3) 出發，在解決了磁場在光 子晶體的關係，我們可以用馬克斯威爾方程式( )間接得到電場、電通量 與光子晶體的關係。 在討論完時諧頻域的波動方程式與特徵方程式的建立後，我們接著將介電常數隨空 間的變化考慮進去，光子晶體的精髓是在於週期性的介電常數，因此以週期函數表示， ，其中 是在實空間中的件電介質的週期向量， 為 1, 2 ,3 代表不同維 度的方向，再把每一個週期的介電質想像成為晶格點，因此我們同時定義 是原始晶格

向量(primitive lattice vector)，又因為 在空間上具有週期性，所以我們用傅立葉級數

將 再倒晶格空間展開，(2.5) 其中 為倒晶格向量， 的決定會與單位晶格體 積(unit cell)有關的，並且根據布洛赫理論可將(2.3)的解， ，假設為(2.6)，k 為布洛 赫波向量，而 為一個週期的週期性磁場的週期函數， 的表示會與單位晶格的 大小有關。 我們將，(2.6)帶入(2.3)並將其化簡可得(2.7)，其中 為化簡後的赫米特算符以(2.8) 示之，特徵頻率 為 的函數。 │ 〉 │ 〉 (2.7) · _(2.5) │ 〉 · │ 〉 (2.6)

15 (2.8) 由於(2.7)式，為特徵方程式、 為赫米特算符、 為週期場，因此我們可以將 用平面波當基底│ 〉作正交函數作展開， │ 〉 │ 〉 (2.9) │ 〉代表的是平面波，則可用 · 表示， 為倒晶格向量，將(2.9)帶入(2.7)作化簡 後得到(2.10)， 因此最後一開始的波動方程式，將會變成一個廣義的特徵值問題，其中 、 ， 與 都為 的矩陣且與 、 相關，Ν的大小與平面波基底的 個數相關，而 _, ，當然在正交基底理論中，如果基底取無限大，則所得到的 解會越準確，但是在數學計算上我們沒辦法計算無限大的平面波，如果我們只對低階向 有興趣，對於平面波各數的要求上，可以相對較少，最後我們可以由(2.10)，解出 與 得色散關係圖，以一為週期性光子晶體為例，最後化簡的式子為(2.11)， 解出的結果如圖2−2 一維光子晶體光子能帶圖。 由圖2-2 ，我們可以發現到在k為π/a的整數倍時，能帶有分裂的現象，這種現象形成的 原因就是前面所提到的光在光子晶體內破壞性干涉所造成的。由式(2.11)我們知道了 是 的函數，由圖2-2(a)可發現 具備週期性，因此 所得到的解應該要與 相同， 因此不需要把所有 對應的 全部解出來，舉例來說在圖2-2(a)，0∼π/a紅色線條的解其

實與-π/a~-2π/a藍色線條所代表的解是同一件是，因此我們只要考慮−π/a∼π/a之間的 ，

(2.10)

16

(a) 不考慮週期性光子能帶圖 (b) 考慮週期性光子能帶圖

圖2-2一維光子晶體光子能帶圖

就代表所有的解了我們將此區域定義為約化布里淵區 (irreducible Brillouin Zone)，圖 2-2(b)。由以上我們可以初略的了解光子晶體的光能隙的特性，理論，但是這個方法有 一個很大的問題，因為在解的過程中我們將時間項化減了，因此我們沒辦法得知在光子 晶體內，場與時間的關係，因此一搬來說處理光子晶體最常見的方法是有限時域差分法 (Finte different time domen)。

2-2 有限時域差分法 Finte different time domen (FDTD)

有限時域差分法 (finite-difference time-domain, FDTD) 是一種廣泛使用於電磁波模 擬的數值方法，其主要是將時域的馬克士威方程式 (Maxwell’s equa- tions) 從原本微分 方程式轉為差分方程式，進而程式化，以電腦模擬電磁波傳遞的情形 這個方法有推導 容易，適合計算複雜結構的優點。 Yee [44] 在1966年提出這個方法，雖然推導計算直接，但是相對的需要許多運算 資源，當時的電腦運算速度慢而且記憶體少，因此並未受到重視。隨著時代演進，電腦 在計算的速度與精確度不斷提升，FDTD才受到重視，也使有限時域差分法的模擬範圍 越來越廣，除了光子晶體外，從天線模擬、高頻電路、甚至用以聲波在聲子晶體的模擬 都可以用FDTD計算。 FDTD是從微分型式的馬克士威方程式推得，在真空中無源的馬克士威方程式 (2.12)。

ω

k

a π 2 − a π 2 a π a π − 0

ω

k

a π 2 − a π 2 a π a π − 0

17 (2.12) FDTD主要是將其中的法拉第定律以及安培定律由微分作差分化，先考慮一維以x方向傳 播的電磁波，並且電場極化方向在z方向(1.13) (2.13) 在離散化時使用中央差分(central difference)的技巧，將原本對時間以及對空間的微分轉 為差分(1.14) | / | / ∆ (2.14) / _| // | // ∆ 其中i是電磁場空間上第幾個切割點的位置，而 n 表示時間上第幾個時間格點，這樣表 示法稱 Yee’s notation =n∆ 、 =i∆ 因此先前微分型式的法拉第定律以及安培定律差 分化可得到式 (2.15) | | ∆ | / / _| // ∆ (2.15) | _// | _/. ∆ | | ∆ 式 (2.15) 就是一維的FDTD的演算式。將整個計算域的空間切割成許多的網格格點，而 每個格點如圖分布不同方向上的電磁場，這種格點叫Yee lattice，如圖2-3，而因為中央 差分的緣故，電磁場在時間上也是交錯的，因此整個FDTD在實作時

18 圖2-3 Yee lattice 之示意圖 將會是一個隨時間而變的疊代演算，計算整個空間的電場後，再計算下個時間點的磁場。 FDTD相對於其他的數值方法有著推導容易，並可以觀察電磁波隨著時間的變化情形的 優點，故本文採用此法來模擬，在不同高度的奈米柱狀結構，光由半導體材料內部發射 至空氣中，輸出光能量之變化。 由上述討論中我們可以清楚了解到，光子晶體的光能隙的特性，理論與計算方法，這兩 個計算方法在本文的討論中都會應用到，因此在這邊先作介紹。

2-3 自發輻射與共振腔

2-3-1 半導體雷射基本原理

在了解共振腔之前我們先來了解半導體雷射的基本原理[6]，以及為什麼半導體雷射 需要共振腔，雷射基本上是由四大部分所組成的，圖2-4，(1) 增益介質，具有將在此介 質的電磁波強度放大的功能。(2) 增益介質的幫浦系統，提供能量給增益介質，如電子、 電洞、光子，使得增益介質具有放大電磁波的能力。(3) 光學共振腔，提供雷射模態， 使得所增益的電磁波能夠有效率的轉換成雷射光。(4) 輸出耦合，可將共振腔內的雷射 輸出到共振腔外。增益介質為半導體雷射發光的主動層，主要產生光源，一般來說在半 導體主動層在不同維度對於載子的拘束可以分為，量子井，量子線，量子線點，而利用 幫浦系統將電子、電洞注入主動層後，電子與電洞將會在主動層內進行複合動作，

19

復合程主要有兩種，第一種為不會放出光子的非輻射複合，第二種為會放出光子的輻射

複合，在此我們可以使用「二階模型」來解釋輻射複合[46]如圖2-5，電子吸收光子能

量(hυ)從能階較低的E1躍遷到能階較高E2，圖2-5(a)，當電子從高的能階回到低能階且與

電動產生複合後，便會產生光子而這種發光形式可以分成兩種，第一種情況是電子自發 性的向低能階轉移，稱為自發輻射(spontaneous emission) 圖2-2(b)，第二種情況則是高 能階電子被一個光子誘發向低能階轉移，導致電子電洞複合，此過程光子的能量不會消 失，因此最後的光子會有兩個，稱為受激輻射(stimulated emission)，如圖2-2(c)，在自發 輻射中，電子、電洞在自發性復合後，所放出的光子沒有特定的方向，由於復合過程是 隨機產生的因此自發放射所產生的光子與光子之間的相位毫無關聯，一般的發光二極體 (LED)，所發出的光就為自發輻射，而受激輻射由於一開始需要一個光子做誘導，因此 所放出光子的能量大小、輻射方向、以及相位，皆與誘導的光子相同，因此受激放射可 以使光具有同調性，單光性，與指向性，由於受激輻射可以將一個光子變成兩個光子， 圖2-4 半導體雷射模型 (a) 電子吸收能量躍遷 (b) 自發性輻射 (c) 受激放射 圖2-5 二能階模型示意圖

幫浦系統

增益介質

量子井

,量子點

電子電洞注入

雷射光

雷射光

_反

射

鏡

R

2

反

射

鏡

R

1

共振腔

E

1

E

2

h

υ

E

1

E

2

h

υ

E

1

E

2

h

υ

h

υ

h

υ

20 因此可視為將光放大的功能，但是是否這樣就會有雷射光產生，其實就如同前面所說的 輻射的機制有兩種，雖然說在LED中主要的放光形式是以自發輻射為主，但是還是有各 種少量的受激輻射，受到自發輻射的影響所釋放，但是這些受激輻射量太過稀少而且方 向也不是固定的，因此沒有足夠的量去誘使大量的受激輻射釋放具有同調性，單光性， 與指向性的光子，此時，我們使用共振腔來選擇自發輻射的頻率，讓此頻率自發輻射的 光與共振腔中的共振模態耦合在一起，此時耦合在共振腔內的光子，不易損耗，在共振 腔內來回行走，進而誘發大量電子電洞對複合，產生受激輻射，只要在這部分的受激輻 射開始主導發光的過程，這時就會達到 threshold power 而放出雷射，圖2-6，。在下一 小節我們將簡單介紹共振腔的特性。 (a) 自發輻射主導發光過程 (b) 因為受到共振腔影響受激輻射量開始增加 (c) 受激輻射主導發光過程 圖2-6 受激輻射增強示意圖

2-3-2 共振腔特性

[46] 「共振腔」cavity 是能夠將波動能量儲存在空間中的一種設計，假設有一弦波在共振 腔內傳遞，在共振腔的邊界上波動的能量幾乎可以全部反彈回去，反彈回去的波動跟原 來的波動進行疊加後可以形成建設性干涉或者是破壞性干涉，如果形成建設性干涉，此 E2 反 射 鏡 反 射 鏡 E1 E2 反 射 鏡 反 射 鏡 E1 E2 反 射 鏡 反 射 鏡

21 (a) 平面波 (b) 經反射的平面波 (c) 破壞性干涉 (d) 建設性干涉 圖2-7駐波形成示意圖 時能量將會以駐波的形式儲存能量，而不會有所損耗，圖2-7，此時共振腔腔長 經由推導可知與1/2波長的整數倍有關 / N為整數，d為共振腔腔長，λ為共振波 長，因此當d只要固定，滿足此關係的波長都可以駐波的形式儲存在共振腔的內，我們 稱這些波長為此共振腔的共振模態。而由駐波關係式中可以告訴我們兩件事情，第一件 事如果我們將N固定，此時d與λ成正比，也就是隨著腔體的變長，對於同一個的共振模 態的共振波長會因此而改變，第二件事情我們將關係式，改寫成與頻率相關的式子且由 (Ν+1) −Ν，我們計算前後不同共振模態的頻譜差距可得 / ，由此我們可以知道 當共振腔長度越小，共振模態的頻率差距越大，因此如果希望能做單模的雷射，共振腔 在設計上，越小越好。 在圖2-8中我們可以看到， 函數的頻譜是由於完美的共振腔所造成的，橫軸是頻率， 縱軸是強度，但實際上所製作的共振腔不可能達到完美的地步，因此有部分輻射會從腔 體跑出，此時 函數的頻譜會擴展開來，而擴展的寬度將由輻射從腔中跑出的量來決定， 量越多寬度愈大，因此在不同的共振模態來應該會有自己的頻寬與高度，通常我們會取 模態強度的一半來定義譜線的寬度，我們稱之為半高寬(full-width half-maximum， FWHM )。因為半高寬是由輻射從共振腔中跑出的量來決定，因此我們可以藉由半高寬 來了解共振腔對於光侷限的能力好不好。 (a) 完美共振譜線 (b) 不完美共振譜線 圖2-8 共振譜線 frequency In ten si ty frequency In ten si ty

22

2-3-3 自發輻射控制

在2-3-1節與2-3-2，我們介紹了半導體雷射的基本原理與共振腔的特性，也了解到， 如果發光元件要能發出雷射光必須要使用共振腔選擇自發輻射的頻率，讓此頻率自發輻 射的光與共振腔中的共振模態耦合在一起，此時耦合在共振腔腔中的光子再去誘發受激 放射，在這邊產生了一個問題值得我們去討論，由於自發輻射所發出的光頻譜是寬頻譜， 且散亂沒有同調性的，因此自發輻射所放出的光子絕大部分是沒有用的，且也不會供獻 到共振腔模態進而產生雷射光，換個角度說，如果可以控制自發輻射，將屬於共振模態 的自發輻射增強變快，同時抑制不為共振模態的自發輻射，這時候我們就不會浪費多餘 能量在不屬於共振腔的自發輻射，而且屬於共振模態的自發輻射光能夠更大量且迅速的 與共振腔耦合，使得雷射的 threshold power 降低。在這邊我們可以定義自發輻射耦合 因子。 耦合到特定雷射模態的自發輻射 所有的自發輻射 (2.16) 當 =1時為最大值，表示所有的自發輻射只會放出一種模態的光子，而單一模態的性 質與雷射的同調光相似，因此不需要有threshold power的限制就可發出雷射，我們稱為 無閾值雷射。 在本小節一開始，本文提到了希望能夠控制並且增強共振模態的自發輻射，而最先 提出這個想法的是Prof. Purcell，他在1946年所發表的論文「物質與電磁場耦合的關係在 共振腔中如何調變」[47]中提到自發輻射的增強，與腔內的電場模態體積(modal volume) 以及共振腔的品質因子(quality factor)有關，這是由於材料內的輻射偶極距與共振腔內儲 存的電場產生了弱耦合，在此我們將模型簡化，用電偶極震盪來代取代電子電洞對複合， 考慮以下兩種情況，單一偶極距放置在真空中與放入具有單一共振模態的共振腔中，圖 2-9我們分別計算電偶極在真空中與在共振腔中的自發輻射速率，根據簡化費米黃金定 律 [48]，自發輻射速( )率可表示為(2.17) | · | (2.17) 式中 ， 為最後狀態，與初始狀態， 為電偶極距向量， 為電偶極距所在位置 的電場向量， 為光子能態密度，為在空間中，單位能量內有多少的模態數。

23 (a)電偶極放置真空中 (b)電偶極放置單模態共振腔內 圖2-9 電偶極距輻射示意圖[49] 符合共振腔的頻率將會倍束縛在腔體內不易損耗。 首先考慮在均勻介質， ， (2.18) 均勻介質中的電場的形式可以用平面波來表示 , , , (2.19) , 代表電場在空間不同位置強度的轉換因子，且滿足歸一條件，而當 , 時 ， 在 這 邊 假 設 電 場 在 空 間 最 大 值 與 電 偶 極 的 位 置 相 符 因 此 ，而電場可以使用光子的能量來做替代， | | (2.20) 因此在均勻介質V中，平面波電場的關係可以改寫成 (2.21) 因此 均勻介質中可令為 可表示為 | | | | (2.22) | | +q ‐q

V

m

24 式中1/3是假設在均勻介質中電偶極距平均分配在x, y, z，三個不同的方向。 接著我們來討論在共振腔內的自發輻射，由式(2.22)，我們可以了解到，在相同的 電偶極距下，如果自發輻射要有所改變會與「光子能態密度」、「電場強度」，還有電場 向量與電偶極距的夾角」有關，考慮共振腔只允許一種共振頻率ω 且定義共振頻率半高 寬為Δω，此時光子能態密度可由歸一化的勞倫茲函數表示，圖2-10， / / (2.23) 而在共振腔中，受到共振腔的影響 , 已經不是平面波，雖然我們還是可以類推出 與V的關係但是此時的V會與在共振腔中折射係數隨位置的變化有關，應此我們將 式(2.6)改寫 (2.24) 為等校模態體積，定義為 | | (2.25) 因此在共振腔內的自發輻射可寫成 | · | (2.26) | | | | (a) 均勻介質 (b) 單一模態共振腔 圖2-10 光子能態密度示意圖 hν

ρ

free hν

ρ

c

25 其中 為空間耦合因子，代表電偶極距向量與共振模態的電場向量耦合的程度，表示為 | · | | | | | (2.27) 由式中我們可以發現，當在空間中電偶極距與電場互相垂直，此時 則 此時 將會抑制電偶極距所擁有的自發輻射，這就是屬於自發輻射控制的一種，我們將 / 來比較電偶極距在共振腔中與均勻介質的差別經由化簡後可得 / / | | (2.28)

式(2.12)定義為自發性輻射增強因子(SpE Enhancement Factor) Q= / 為共振腔品質

因子，為了更方便了解這個式子，我們做了以下四點假設， 1. 電偶極距在共振腔內所放置的位置為電場的極大值 | | 2. 電偶極距與電場完美的耦合， 3. 電偶極距所發出的光與共振頻率完全相符 4. 電場的極大值位於的介質與均勻介質是同一種材料 因此(2.12)可簡化為 (2.29) 式(2.13)就是著名的Purcell Factor，因此，在滿足上面四點的假設下，自發輻射的增強就 會與共振腔的Q值還由共振腔的等效體積有關，當Veff越小且Q越大的情況下，對於共振 模態的自發輻射的增強效果也越好，藉由 我們也可以計算 (2.30) 由(2.14)可以發現當 越大 就越接近一，因此也就越接近無閾值雷射的條件。由以上 的介紹我們可以了解到共振腔與自發輻射的關係，還有如何達到無閾值雷射的條件， 但是這個理論自1946由Purcell提出來後，就很少有學者對於這塊領域有所鑽研，主要原 因是在於沒有一個良好的共振腔結構，可以讓我們輕易的調整與控制自發性輻射，一直 到 Prof. Yablonovith 利用調變光子晶體共振腔控制自發輻射[25]，並且發現我們可以藉 由簡單的方法去修改與設計不同的光子晶體共振腔，藉以調變Q值與Veff達到增強與控制

26 自發輻射，其中目前又以二維的光子晶體共振腔效果最好，而在第一章節我們也介紹過 了二維光子晶體，到此為止我們所討論的自發輻射的控制與增強因子 是經過四個完美 的假設所得到的結果而其中有兩個假設是與共振腔中的電場還有電偶極距有關的， 1. 電偶極距在共振腔內所放置的位置為電場的極大值 | | 2. 電偶極距與電場完美的耦合， 這兩個假設的精髓在於共振模態的電場極化方向為單一方向，且電偶極距的所發出的光 及化方向與共振模態完全的相同，電場振幅完全集中在電偶極距上，但是實際的情況卻 不是這個樣子，共振模態的電場極化方向不一定是單一方向，尤其是像二維光子晶體共 振腔，對於同一個共振模態，至少會又兩個極化方向的電場Ex Ey，不同極化方向的電 場比例會不一樣，而在空間中不同位置的電場其強度是也不一樣的，我們可以藉由設計 光子晶體去對共振腔內的電場做調變，因此在計算自發輻射增強因子時我們必須考慮共 振腔內電場能量在不同方向的比例，與電場在空間中的實際分佈。 除了考慮共振腔電場的問題外，材料本身電偶極距的方向性也是考量的重點之一， 因為不同方向的電偶極距會發出不同方向的極化光，而不同方向的極化光比例發生改變 後，自發輻射增強因子也會有所改變，因此在本文中往後的討論會將上述與電場相關的 假設抽去，並且討論共振模態的電場與極化光對於自發性輻射的影響

27

第三章 光子晶體共振腔設計與調變

在前面的章節中我們有介紹到自發輻射的控制與共振腔的Q-factor，Vm，還有與共 振模態的極化方向與 a-plane InGaN 電偶極的耦合率有密切的關係，因此在本章節中我 們將設計符合 a-plane InGaN 發光材料的光子晶體共振腔，並且討論共振腔在調變的過 程中，共振頻率、Q-factor，等效模態體計，與共振模態電場的變化。

3-1 光子晶體共振腔結構設計

在本小節我們拿目前比較常 H1、L3還有qL2[50][51] 三種共振腔來比較，以選擇 出較符合我們所期待的的共振腔，再加以優化，這三種共振腔結構都為三角晶格排列， 不使用四方晶格排列的共振腔是因為在四方晶格中不易有光子能隙產生，為了了解這三 種共振腔共振模態的基本特性，我們首先從平面波展開法著手，而在參數的設計上必須 考量未來元件設計的需求。在光子晶體理論中，r/a 的比例會影響光子能隙寬度 r 為 空氣柱的半徑 a 為 晶格常數 ，較大的光子能隙寬度，對光的侷限效果也相對明顯， 但是也不是比例越大越好，因為 r/a 的比例是有一定的限制的，除了過大的 r/a 會使空 氣柱佔據太多面積使得原件在製作上容易損毀，還有就是當 r/a 過大時光子能隙的反而 會變小，因此我們在模擬計算上選取較權衡的數值 r/a=0.3，除了可以避免上述的問題， 未來在調變空氣柱的大小時 (r) 所容許的可調變量相對來說可以比較大。我們所使用的 材料為GaN折射係數設為2.5，因此經由上述的設定我們可以計算出三種不同共振腔的共 振模態，如圖3-1

。

圖3-1(a)-(c)分別為 H1 L3 以及 qL2 共振腔結構與共振模態電場分 布，圖中上方為三種不同共振腔的形式，藍色部分的為GaN材料的部分紅色為空氣柱的 部分，而下方為不同共振模態的電場強度分布圖|E_t|2，其中|E_t|2 = |E_x|2+ �E_y�2，由於 往後的討論自發性輻射的控制將與電場有關，因此在此我們就不討論磁場的分布情況。 由圖3-1中我門可以發現H1有兩個共振模態，L3有五個共振模態，qL2有三個共振模 態，利用平面波展開法計算共振模態時，我們也可以同時知道共振波長，我們將共振模

28

(a) H1型共振腔 (b) L3型共振腔 (c) qL2型共振腔

29 態的順序由長波長到短波長排列，這邊值得注意的是，由於H1共振腔為完美的對稱 結構，因此 H1共振腔所擁有的兩個共振模態為簡併態，為了要完全了解三種共振腔共振 模態的特性因此利用有限時域差分法(FDTD)分別針對這三種共振腔做初步計算，計算結 果如表3-1。表3-1 為 H1、L3、qL2共振腔的共振模態的Q-factor，Vm以及在水平面上 不同極化方向的能量比例分配。 表3-1(a) H1共振腔 Q-factor Vm (λ/n)3 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄_𝐱𝐱|𝟐𝟐 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄_𝐲𝐲|𝟐𝟐 H1 mode A 406 0.401 0.31 0.69 H1 mode B 164.5 0.385 0.75 0.25 表3-1(b) L3共振腔 Q-factor Vm (λ /n)3 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄_𝐱𝐱|𝟐𝟐 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄_𝐲𝐲|𝟐𝟐 L3 mode a 833.32 0.66 0.4 0.6 L3 mode b 124.03 0.78 0.79 0.21 L3 mode c 260 0.51 0.57 0.43 L3 mode d 310.5 1.6 0.24 0.76 L3 mode e X X X X 表3-1(c) qL2共振腔 Q-factor Vm (λ /n)3 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄_𝐱𝐱|𝟐𝟐 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄_𝐲𝐲|𝟐𝟐 qL2 mode a 1476 0.346 0.31 0.69 qL2 mode b 334.9 0.66 0.87 0.13 qL2 mode c X X X X

30 其中Q-factor 的定義為 𝑸𝑸 ≡ 𝟐𝟐𝟐𝟐在共振頻率下所儲存的時間平均能量 在共振頻率下一週期所消耗的能量 將共振腔儲存之能量U寫成時間的函數 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝝎𝝎𝟎𝟎 𝑸𝑸 𝒅𝒅 其解為 𝒅𝒅(𝒅𝒅) = 𝒅𝒅(𝟎𝟎)𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆⁡(−𝒅𝒅/𝝉𝝉𝒆𝒆𝒑𝒑) 3.1 其中𝝉𝝉_{𝒆𝒆𝒑𝒑} = 𝐐𝐐/𝝎𝝎_𝟎𝟎 3.2 利用FDTD可得光子在共振腔內的衰減時間𝝉𝝉_{𝒆𝒆𝒑𝒑}，在此利用計算存在共振腔模態之能量以 指數方式衰減的速率，可求出在共振頻率下光子晶體共振腔的Q值。Vm我們可以利用式 (2.25)來計算，而在水平面的電場比例，我們將所得到的電場做歸一化的動作使得 ∭ 𝜺𝜺(𝒓𝒓)|𝑬𝑬|𝟐𝟐_{𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏} 在半導體雷射共振腔的製作上，我們會希望共振模態的數量要少最好是單模，且共 振模態的Q-factor要大，Vm要小，除此之外，為了要搭配 a-plane InGaN 的極化特性， 我們還會希望共振模態的極化要為Y方向的極化，由表3-1中可以發現到雖然H1型的共振

腔的共振模態數較少，而且有一個共振模態具有電場Ey方向主導，但是由於共振模態的

Q值太小且Vm稍大因此在這裡我們不考慮H1型的共振腔。

而L3型的共振腔具有五種不同的共振模態，每種共振模態的特性列於表3-1(b)，由

表3-1(b)中我們可以發現有兩個共振模態是由電場Ey方向主導L3 mode-a與L3 mode-d，其

中L3 mode-d 我們可以發現其Ey電場分配到的比例相當的多，但是此共振模態的 Q-factor太小而且Vm太大並不符合我們的需求，而另外一個 Ey主導的L3 mode a共振模 態具有較高的Q-factor，但是由於Y方向電場能量所分配到的比例較少，大約只有57%， 因此我們推測，如果發光元件是利用具有Y方向極化特性InGaN量子井，將會因此降低 雷射的自發性輻射速率增強因子，這部分我們將會在之後計算自發性輻射速率增強因子 時證明，這邊有一個問題還必須釐清，如果能夠提高共振腔的Q-factor是否可以彌補因

31 為Ey電場分量不足的問題，這個答案是肯定的，對於L3-a mode共振模態的研究已經有 很多的研究團隊做過了，其中以日本 Prof. Noda 所率領的團隊在2003對於L3共正腔的 左右的兩個空氣柱往外微調最具代表性[43]，該團對成功的將L3共振腔的Q值拉高到 45000，但是該篇論文是討論的結果是針對矽在紅外波段的討論，矽在紅外波段的折射 率大約為3.7，但是本文所討論的光子晶體材料是GaN且波段在藍光，折射率為2.5，因 此所提升的Q值是否會像用矽所做的L3共振腔這麼的大我們抱持著懷疑的態度，因此在 此我們在這裡也對GaN的材料的L3共振腔微調，我們同時計算微調過程中的Q-factor， Vm以及Ey電場的變化，計算結果如圖3-2，由圖 3-2我們可以發現Q-factor從833上升到約 1600但是由於空氣柱向外擴展的關係迫使，Vm變大了Ey電場的分量變小，最後所得到 的自發輻射速率增強因子，增強的幅度不會太明顯，在這邊我們也發現到對於 GaN L3 共振腔的微調後Q值的提升並不會像對 Si L3共振腔微調後差距這麼大，主要原因為Q值 變化對於較低折射率的反應不像高折射率一樣怎麼明顯，礙於篇幅的關係，我們在這邊 不討論此問題，不過在2007年已有國外的團隊針對這個問題做探討了[52] 圖3-2 L3-a共振腔微調 Q-factor與Vm 對空氣柱的位移量變化 對於L3 mode-a共振模態來說，由於Ey電場極化所分配到的比率過低、Q值不夠大，Vm 比H1共振腔模態還大，也不太符合我們的需求，而且L3共振腔的共振模態過多，因此 在本論文中我們不使用L3型的共振腔來增強a-plane InGaN/GaN 量子井的自發輻射， qL2[50][51]型的共振腔為日本的Prof. T.BaBa 所提出的H0型[40]共振腔為基礎加以 改制而設計的結構，其主要的缺陷結構不像H1或L3型的共振腔，是將空氣柱填滿，而

0.0

0.1

0.2

0.3

750

1000

1250

1500

1750

Q-factor modal volume

R'/a

Q

-fa

c

to

r

0.60

0.75

0.90

m

o

d

a

l v

o

lu

m

(

λ

/n

) ₃

32 是將光子晶體的其中兩個空氣柱之間移出一個位置，而在此本文在這邊先不討論最佳化 的qL2共振腔而是先將qL2共振腔的特性做初步的了解，計算結果列於表3-1(c)，由表 3-1(c) 我們可以發現到qL2型的共振腔主要有兩個共振模態，這與我們利用平面波展開法所計 算的結果有所出入，其主要原因是因為FDTD的模擬為三維模擬，需要考慮光子晶體的 厚度，而平面波展開法是假設在厚度的部分為無限大，而光子晶體的厚度的不同會造成 原本因該存在的高階共振模態，在垂直方向無法對光有較好的侷限的能力而無法共振， 因此我們利用FDTD的計算共振模態時，無法找到第三個較高頻的共振模態，經由FDTD 所計算的結果，我們可以發現qL2共振腔的兩個共振模態其中之一為Ey電場所主導我們 稱為 mode-a，其Ey電場比例大約為0.68，Q-factor在還未最佳化的情況下已經其值就大 約有1476，而且qL2共振腔的Vm與H1共振腔的Vm差不多大約為0.34(λ/n)3，對於另外一 個由Ex電場所主導的共振模態模態我們稱為mode-b可以發現，Ex電場所佔據的分量高達 0.89，其Q值約350，雖然說沒有像Ey電場所主導的mode-a共振模態有將近1700的Q值， 但是相對於L3具有高極化電場分量的模態來說，qL2共振腔由Ex電場所主導的mode-b共 振模態其Q值的表現算是還可接受。最後，表3-2說明三種不同的共振腔以Ey電場所主導 的共振模態(mode-a)比較結果。 表3-2 光子晶體共振腔比較表 共振模態數 Q factor Vm 𝛆𝛆(𝐫𝐫)|𝐄𝐄𝐲𝐲|𝟐𝟐 L3 5 大 大 小 H1 2 小 小 大 qL2 2 大 小 大 如果要符合半導體雷射共振腔的製作需求，又要滿足極化具有強烈Ey電場所主導的 共振模態，由表3-2可以告訴我們qL2型的共振腔比較符合我們的需求，因此本文在往後 將以qL2共振腔為出發點，並且討論共振腔調變，對Q值、Vm，以及共振模態電場的影 響。

33

3-2 qL2光子晶體共振腔調變

在本節中我們將對qL2的共振腔做調變研究，調變的方法有分為兩種，第一種為水 平空氣柱的調變，第二種為垂直空氣柱的調變，在調變的過程中我們討論共振模態的頻 率、電場、Q-factor 以及 Vm 化，並且我們會發現到qL2共振腔在水平空氣柱與垂直空 氣柱都有變動的情況下將有最好的表現，在水平與垂直空氣柱都有變動qL2共振腔，我 們稱之為MqL2共振腔 (Modified qL2 Cavity)，本文所模擬的結構為GaN的獨立式板狀結 構 (freestanding slab structure)，而使用這種結構的原因在於，獨立式板狀結構在垂直方 向上利用介質與空氣折射率的差別，使得垂直方向因全反射的原因讓光侷限能力變好。

3-2-1 qL2共振腔水平空氣柱調變

qL2共振腔為將六角晶格的光子晶體其中兩根空氣柱向外縮減而產生的點缺陷，如 圖3-3，本文的模擬以FDTD為主，所設定的空氣柱大小為r，r為0.3a，a為光子晶體的晶

格常數，在這邊我們設定a為140µm，薄片的厚度設為dslab，dslab=0.7a，這邊的參數設定

主要是希望之後的調變能夠接近a-plane InGaN/GaN量子井的發光波長，為了要使的光子 晶體共振腔發揮光子能隙的效應，使得共振腔在水平方向對光有強大的侷限能力，因此 我們的光子晶體的數量不能設太少，在這邊我們用8x8大小的光子晶體，其詳細模擬結 構與參數見圖3-4，水平方向調變的空氣柱設定為R′，R′的變化由0.275a~0.1a。計算結果 如圖示。 圖3-3 qL2共振腔

34

3-2-1.1 共振模態波長分析

圖3-5為共振模態隨著_R′的變化，由計算的模態可以了解到對於每一個共振模態來說， 在水平面上都會有兩個方向分量的電場(Ex與Ey)，而當 Ey的分量大於Ex我們稱此模態為 mode-a，反之稱為mode-b，圖3-6為mode-a與mode-b的波長隨著R′的變化，由圖3-6我們 可以發現到隨著R′變小，不管mode-a或者mode-b的共振波長都會有紅移的現象，我們可 以由前面所推導的駐波關係式說明，由於_R′的改變使得共振腔的腔長變長了，對於同一 種模態，共振腔長度正比於共振波長，因此在這邊mode-a與mode-b的波長都有紅移的現 象，值得注意的是，由mode-a與mode-b的波長紅移的量，可以發現調變水平方向的空氣 柱時，mode-a的波長變化量比mode-b波長變化量還來的劇烈，圖3-7 mode-a 與mode-b 能 量被侷限範圍示意圖，虛線的部分代表能量被侷限的範圍，由圖中可以發現當水平邊界 條件發生改變後 mode-a電場擴散的程度比mode-b還來的劇烈，導致於mode-a 所看到的 等效共振腔變化比 mode-b 看到的等效共振腔變化還來的大，因此mode-a的波長變化量 Periodic (a) 0.14(µm) r 0.3*Periodic Nslab 2.5 D_slab 0.7*Periodic Dimensional X -1.1~1.1(µm) Dimensional Y -1~ 1(µm) Dimensional Z 0.28(µm) 圖3-4 光子晶體模擬結構圖 X Y Dimensional X D im en sion al Y Dimensional Z dslab

35 R′_/a mode-a mode-b Ex Ey Ex Ey 0.275 0.250 0.200 0.150 0.100 0 圖3-5 水平調變共振模態變化示意圖

36 比mode-b波長變化量還來的劇烈 而在此我們也可以定義，對於mode-a來說主要能量侷 限方向為水平方向的空氣柱，也是mode-a的主要邊界，對於mode-b來說主要能侷限方向 為垂直方向的空氣柱，也是mode-b的主要邊界。

3-2-1.2 共振模態V

m

與Q-factor分析

圖3-8為FDTD所計算的Vm與Q-factor對R′變化的關係圖，對於不同的R′會對應到不 同的Vm與Q-factor，首先對Vm做分析，圖中可以發現到不管mode-a或者是mode-b當變動 R′的時候都找到一個極小值的Vm，由於Vm為共腔對共振腔模態的包覆程度，在理想的 情況下，共振腔越小Vm越小，但是有時過小的共振腔會擠壓到共振模態，當擠壓程度 圖3-6 共振波長對𝐑𝐑′關係圖 R’/a 0.25 0.15 Mode-a Mode-b 圖3-7 mode-a mode-b 能量侷限示意圖

0.10 0.15 0.20 0.25 0.30

0.35

0.36

0.37

0.38

0.39

0.40

λ



µm

)

R'/a

x-mode y-mode