qL2共振腔為將六角晶格的光子晶體其中兩根空氣柱向外縮減而產生的點缺陷，如 圖3-3，本文的模擬以FDTD為主，所設定的空氣柱大小為r，r為0.3a，a為光子晶體的晶 格常數，在這邊我們設定a為140µm，薄片的厚度設為dslab，dslab=0.7a，這邊的參數設定 主要是希望之後的調變能夠接近a-plane InGaN/GaN量子井的發光波長，為了要使的光子 晶體共振腔發揮光子能隙的效應，使得共振腔在水平方向對光有強大的侷限能力，因此 我們的光子晶體的數量不能設太少，在這邊我們用8x8大小的光子晶體，其詳細模擬結 構與參數見圖3-4，水平方向調變的空氣柱設定為R′，R′的變化由0.275a~0.1a。計算結果 如圖示。
圖3-3 qL2共振腔
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3-2-1.1 共振模態波長分析
圖3-5為共振模態隨著R′的變化，由計算的模態可以了解到對於每一個共振模態來說，
在水平面上都會有兩個方向分量的電場(Ex與Ey)，而當 Ey的分量大於Ex我們稱此模態為 mode-a，反之稱為mode-b，圖3-6為mode-a與mode-b的波長隨著R′的變化，由圖3-6我們 可以發現到隨著R′變小，不管mode-a或者mode-b的共振波長都會有紅移的現象，我們可 以由前面所推導的駐波關係式說明，由於R′的改變使得共振腔的腔長變長了，對於同一 種模態，共振腔長度正比於共振波長，因此在這邊mode-a與mode-b的波長都有紅移的現 象，值得注意的是，由mode-a與mode-b的波長紅移的量，可以發現調變水平方向的空氣 柱時，mode-a的波長變化量比mode-b波長變化量還來的劇烈，圖3-7 mode-a 與mode-b 能 量被侷限範圍示意圖，虛線的部分代表能量被侷限的範圍，由圖中可以發現當水平邊界 條件發生改變後 mode-a電場擴散的程度比mode-b還來的劇烈，導致於mode-a 所看到的 等效共振腔變化比 mode-b 看到的等效共振腔變化還來的大，因此mode-a的波長變化量
Periodic (a) 0.14(µm) r 0.3*Periodic
Nslab 2.5
Dslab 0.7*Periodic Dimensional X -1.1~1.1(µm) Dimensional Y -1~ 1(µm) Dimensional Z 0.28(µm)
圖3-4 光子晶體模擬結構圖 X
Y
Dimensional X
Dimensional Y
Dimensional Z dslab
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R′/a
mode-a mode-b
Ex Ey Ex Ey
0.275
0.250
0.200
0.150
0.100
0
圖3-5 水平調變共振模態變化示意圖
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比mode-b波長變化量還來的劇烈 而在此我們也可以定義，對於mode-a來說主要能量侷 限方向為水平方向的空氣柱，也是mode-a的主要邊界，對於mode-b來說主要能侷限方向 為垂直方向的空氣柱，也是mode-b的主要邊界。
3-2-1.2 共振模態Vm
與Q-factor分析
圖3-8為FDTD所計算的Vm與Q-factor對R′變化的關係圖，對於不同的R′會對應到不 同的Vm與Q-factor，首先對Vm做分析，圖中可以發現到不管mode-a或者是mode-b當變動 R′的時候都找到一個極小值的Vm，由於Vm為共腔對共振腔模態的包覆程度，在理想的 情況下，共振腔越小Vm越小，但是有時過小的共振腔會擠壓到共振模態，當擠壓程度
圖3-6 共振波長對𝐑𝐑′關係圖 R’/a 0.25 0.15
Mode-a
Mode-b
圖3-7 mode-a mode-b 能量侷限示意圖
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35
0.36 0.37 0.38 0.39 0.40
λ
µm
)R'/a
x-mode y-mode
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0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 500
1000 1500 2000
2500 Q-factor
modal volume
R'/a
0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0
150 300 450 600
750 Q-factor modal volume
R'/a
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圖3-9 動量守恆全反射示意圖
結構，由於光子能隙的關係，在X、Y平面上對於光能量的侷限相當的好，但是對於Z方 向，侷限光能量是靠全反射的效果，而全反射僅發生在入射光與法線的夾角大於臨界角 的條件下，圖3-9，因此共振腔內能量的流失主要來自於Z方向小於臨界角的入射光能量 如果我們能提升入射角大於臨界角的能量比例，也就是將入射光的水平動量提升，降低 Z方向的動量，此時共振腔在Z方向漏光的情況會改善，而共振腔的Q-factor就會因此提 升。而在本章一開始的時候有提到Prof. Noda對於Si L3共振腔的調變就是基於這個理念，
Prof. Noda 認為Q-factor會提升的原因，在於當空氣柱向外移動的時候TE偏振的電場在 共振腔旁邊的空氣柱附近的邊界會變化的較平緩，因此能夠將水平動量提升，而減少了 較低水平動量的比例，圖3-10[43]。由動量守恆得知，如果將水平動量的提升，則可降 低Z方向的動量，因此可以增加全反射光的比例，能量將不易從共振腔流失因此
圖3-10 電場邊界條件變化與動量變化分布圖 Transmit,
Leaky
Reflect, Confined TIR
PBG PBG
K//
K⊥ K⊥
K//
θc
θc
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Prof. Noda 的團隊利用了空氣柱位移的方式，將水平動量提升而提高了共振腔的Q-factor。
而本文所探討qL2共振腔的空氣柱縮減有異曲同工之妙，我們同樣的經由空氣柱的縮減 可以增加水平動量，由圖3-8可以得知隨著共振腔水平空氣柱的調變，Q-factor會有所改 變，而且會有一個最好的Q-factor，為了近一步了解Q-factor隨著R′的變化，我們利用三 維FDTD計算出共振模態在水平方向上的電場分布，並且對電場做傅麗葉轉換，得到電 場在動量空間的水平分量，圖3-11為mode-a在R′=0.1a的Ey電場進行傅麗葉轉換結果，圖 中我們看到白色的圈圈是光錐，光錐是三維的斯乃爾定律所定義出來的全反射邊界，在 光錐內的光由於水平動量較小，Z方向動量較大，不滿足臨界角的要求，只要動量落在
圖3-11 qL2共振腔mode-a Ey電場強度在動量空間的分布(𝐑𝐑′=0.1)
圈內的光都會從共振腔內漏出角的要求，因此只要動量落在圈內的光都會從共振腔內漏 出，我們會希望在光錐內的動量強度越少越好，這樣共振腔整體的Q-factor才會提升，
圖3-12為R′縮減調變時mode-a與mode-b電場在動量空間變化的情，為了能清楚了解縮減 調變對動量的變化我們只看光錐內部的區域，我們可以觀察到除了在R′=275a以外，隨 著R′的縮減，對於光錐內的動量開始增加，以結果與之前我們所計算的Q-factor相當一致。
以mode-a來說在R’=275a 的動量分布與計算的Q-factor不一樣的原因在於，對qL2共 振模態來說cavity mode的形成是由band edge mode所演變而來的在R′=0.275a的時候
Max
0
40
mode-a mode-b
Ex Ey Ex Ey
𝐑𝐑′=0.275a
𝐑𝐑′=0.225a
𝐑𝐑′=0.175a
𝐑𝐑′=0.125a
圖3-12 𝐑𝐑′縮減調變的電場水平動量分布圖
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(a) 𝐑𝐑′/a=0.25 (b) 𝐑𝐑′/a=0.15 圖3-13mode-a Ey電場剖面圖
cavity mode 所表現的特徵不夠明顯，此時共振機制還是由band edge mode 所主導，而 band edge mode的共振形範圍是含了整個光子晶體，因此當光子晶體的層數不夠多的時 候，能量就會從側向流竄出去造成Q-factor下降，
在圖3-12中我們可以發現到對於mode-a Ey動量的變動比Ex動量變動大很多，Ex的 動量分布幾乎沒什麼變化，其原因在於變動的邊界為水平邊界，而對於mode-a主要侷限
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有部分的Ex電場與R′空氣柱有所影響，因此在於Ex的電場比例遠大於Ey，且Ex的電場與 R′空氣柱有所影響下，則不難想像為什麼對mode-b來說Ex動量的變動量大於Ey動量的變 動量。