3-1 光子晶體
3-1-1 光子晶體簡介
早在二十世紀初，半導體產業快速興起，已發展為全球最大的產 業。在發展的同時，其半導體物理相關的理論已經相當成熟。而物理 學家瞭解到晶體中的電子，由於受到晶格中的週期性位勢分佈，部份 波段會因破壞性干涉而形成能隙(Energy gap)，導致電子的色散關係 (Dispersion relation)呈帶狀分佈，產生所謂的電子能帶結構。相 對的，光子晶體之概念在1987年首先由美國麻省理工學院教授
Yablonovitch以及John分別提出,光子晶體為在空間中,讓材料折射 率(介電常數)產生週期性變化的結構，在電磁波中製造接近其波長尺 度(100nm～1μm)之週期性排列的介質，類比於電子的物質波與原子 晶格的大小，簡單來說就是讓電磁波看到週期性變化的折射率，電磁 波在此巨觀排列的結構中有如電子在晶體中，由排列週期、空間結 構、和介質的介電常數等來控制，類似原子在固態晶體中的排列，所 以電子於固態晶體中有能帶結構，相對之下，在光子晶體中就產生光 子的能帶結構，電磁波經過散射後，在晶體中的電子若正好填滿能帶 中能量較低的價帶，使得電子難以越過能隙到達能量較高的導帶，則 電荷將無法在此半導體中傳輸。光子晶體也是利用類似的想法來解 釋，某波段的電磁波強度會因破壞性干涉而在頻譜上形成光子能隙，
將可使得某一波段內的光線在所有方向上都無法穿過此光子晶體，如 果週期性的排列中有一些瑕疵，會產生一些可穿透的頻道，可應用於 許多光電元件，光子晶體通常是由兩種或兩種以上不同介電值的材 料，在空間上做週期性變化而形成的結構。依照它在空間週期分佈的 維度，可分為一維光子晶體、二維光子晶體及三維光子晶體，判斷的 原則是看這個結構在幾個方向具有週期性排列而定，如圖3-1-1-1所 示[1]。
光子晶體的應用非常廣泛，在一維的結構即在一個維度上有週期 性變化的層狀介電結構，例如垂直共振腔面射型雷射中的布拉格反射 鏡(DBR)，分布回授雷射(DFB Laser)。如圖3-1-1-2所示[2]，布拉格 反射鏡是由一對不同折射率且厚度分別為四分之一波長的介電物質 所堆疊起來的，從圖3-1-1-3中我們亦可觀察到，410nm 到450nm 波 段的光在布拉格反射鏡中的反射率接近於一，利用光無法於其中傳播 的特性，這個波段區間也就是所謂的光能隙。此外還有光學實驗中做 為波段選擇器、濾波器或反射鏡等等。
圖3-1-1-1 一維，二維，三維光子晶體結構示意圖
圖3-1-1-2 文獻中的布拉格反射鏡側面圖
二維光子晶體方面更是多元化地發展，在應用方面通常可見於波 導、光子晶體光纖、以及光子晶體共振腔。首先是光波導介紹，一般 傳統的光學波導是製造一具較高折射率的區域，利用其與較低折射率 介質間形成的全反射，而將光侷限在高折射率介質中，因此光的能量 傳遞、色散效應、可彎曲程度等容易受到限制。利用光子晶體中製造 一通道，因為光能隙的關係，則光波將被強迫在此通道中前進，如圖 3-1-1-4所示[3]，有別於傳統之光學波導需受限於在高折射率的介質 中傳播，這種波導可以讓光波在折射率低的環境下傳播，重點是應用 於積體光學可以讓光波在極短距離內做大角度轉彎而僅有非常少的 能量損失，因此可大幅縮小元件的體積或面積。
圖3-1-1-3 文獻中布拉格反射鏡的反射率
圖3-1-1-4 文獻中光子晶體光波導SEM圖
二維光子晶體亦可應用在光子晶體光纖上，如圖3-1-1-5[4]，在 光子晶體光纖中，具有二維週期性排列的介質結構會形成光子能隙，
光在此通道中傳播遇到光子能隙時無法穿越而被反射回來，其原理如 同電子之於原子晶格的布拉格反射，在此能隙的光波波長無法在其中 進行傳播，因此光子的傳播被受限於此通道中，因此無色散效應的問 題。圖為週期性空氣洞於二氧化矽細絲形成的光子晶體光纖。
二維光子晶體亦可應用在光子晶體共振腔上，最理想狀態是形成一個 微腔半導體雷射的共振腔，如圖所示[5]，利用乾式蝕刻在三五族半 導體上產生空氣洞，並製造缺陷以侷限光，且在元件下方製作一個空 氣腔，這樣一來從主動層被激發出來的光在垂直方向是被上下空氣所 形成的全反射給限制住，在平面方向則是被光子晶體的能隙給限制 住，光子將被侷限在缺陷中，達到高出光能量的增益。
圖3-1-1-5 文獻中光子晶體光纖SEM剖面圖
三維光子晶體在空間中三個維度皆有著各自的週期變化，但由於 受限於製程的技術，大多只有自組性奈米小球製程，所以大部分的研 究仍著重於二維光子晶體的應用。
3-1-2 光子晶體理論基礎（波動方程式）
光子類似於電子，除週期性位能之外，電磁波所遵守的波動方程 式與薛丁格方程式是十分類似的，電子物質波與原子晶格的大小關係 導致的色散關係呈帶狀分佈，電磁波與光子晶體關係類同如此，電子 波在原子晶體內的運動遵守薛丁格(Schrödinger)方程式(3.1)：
) ( )
( ) 8 (
1 2
2 r V r E r
m
h Ψ + = Ψ
−
π ∗ (3.1)
m
*：電子的有效質量，Ψ(
r
) ：電子波函數，而光波在光子晶體中的運動則是由馬克斯威爾(Maxwell)方程式所描 述。以下將闡述其相似性在考慮沒有自由電荷
ρ
與自由電流J的情況 下，馬克斯威爾方程式(3.2~3.5)可表示成如下圖 3-1-1-6 文獻中微腔半導體雷射的共振腔示意圖
) r為空間位置向量，t為時間，μ0表真空的導磁係數(Permeability)，
ε0表真空的介電常數(Relative dielectric constant)，而E與H表電 場強度與磁場強度，D與B為電通與磁通密度，μ(r)與ε(r)則是空間位 轉成時諧方程式(3.6)(3.7)，使問題由時域(time domain)轉至頻域 (frequency domain)，亦即將電場與磁場寫成
e jwt 上式可以看出是一種特徵值(Eigenvalue)問題，意即磁場強度向量
H
(r
)的解對應於線性運算子θ
的特徵向量，其線性運算子θ
的定義 開法（Plane-wave expansion method）[6]，時域有限差分法（Finite-difference time-doamin method）[7][8]，傳遞矩陣法
（Transfer-matrix method）[9]
Schrödinger方程式與Maxwell方程式二者之間的比較[10]
3-2 元件設計
光子晶體一般用來增加外部出光效率的方式是利用光子晶體的 能隙，在均勻介電材料中製作許多規則性排列的孔洞(柱)，這些孔洞
（柱）會使通過的光波在不同方向產生建設性或破壞性干涉。若事先 計算與設計這些孔洞（柱）的週期性排列，將可使得某一波段內的光 線在所有方向上都無法穿過此光子晶體，此波段稱為光子能隙。如果 將此晶體結構稍加改變，例如擴大或填滿其中一個孔洞（柱），如同 半導體材料中加入不同摻雜以改變電子的運動特性，則光波的傳播特 性將會被改變，最簡單的方式即移除特定區域的孔洞（柱）以形成光 子能隙波段的共振。因為光子晶體優異控制光的能力，應用方面，在 一維光子晶體中，多層膜可當作反射鏡，使得光反彈再利用，可用以 取代金屬反射層;而重點在於二維光子晶體結構應用，例如設計一高Q 值共振腔（microcavity）或缺陷使得光能夠侷限在內部形成共振，
因為發光區被光子晶體結構包圍，如此可使得原本一些限制在晶體 內，或散逸在外而沒有利用到的光聚集起來控制往一方向發出，此外 缺陷可依照設計而有所變化，如H1缺陷，H2缺陷，CHIRPED缺陷，
Hetero-Structure等方法，增加共振腔Q值，詳細內容在介紹描述，
可在結構上利用光子晶體增加外部出光效率。
圖3-2-1 文獻中利用二維光子晶體能隙結構增加外部 出光效率，有非常顯著的效果
為發展矽基發光光源，除了因為矽的間接能隙造成的低發光效 率，我們將利用奈米矽晶材料的高內部量子效率克服之。對於外部出 光效率，一般而言，利用光子晶體增加外部出光效率的方式有兩種：
第一種方式為利用光子能隙波段，如圖3-2-1所示[11]，文獻上利用 二維光子晶體結構，主要是將光侷限在共振腔內部的方式，在光子晶 體中的缺陷將會在能帶圖中的能隙產生對應的能階，這個能階就是此 缺陷所對應到能捕捉的特定能量的光，當光落在能隙波段即可在共振 腔壁完全被反射，使得能量侷限在內部，只要角度小於臨界角光就能 從共振腔內發射出去，將可大量增加出光效率，此外判斷一個共振腔 好壞的參數為Q factor:
λ λ
= Δ
Q ，λ為共振腔發光波常，Δλ為其半 高寬，當然Q值越高代表共振腔越好。
一般光子晶體通常在水平方向製造了週期性的結構，第一種方法 為藉由選擇出光的頻率在能隙中，可侷限光往水平方向傳播，而使之 共振增加出光強度，增加垂直方向出光效率﹔但對於垂直方向光侷限
圖3-2-2 文獻中利用光子晶體繞射光，使出光特定峰值增強的示 意圖與能帶圖
的探討，為光子晶體增加外部出光效率第二種方式的思想核心。
此一概念最早在1994年提出[12]，此種方式為利用光子晶體繞射光的 能力，在2006年B. Cluzel等人即利用將週期性結構直角座標方形柱 製作於矽於二氧化矽上(Silicon on insulator)，使光致光激發螢光 出光強度增強到125倍，如圖3-2-2[13]，以光子晶體的能帶圖來看，
能帶是由許多點所組成，而每一點表示能存在光子晶體內對應的特徵 值解，對應特定的空間向量以及波向量，在能帶圖光錐(light line) 以上的膜態(mode)表示此波段位置的光不會侷限在內，因為將平行平 面波向量k帶入空氣中波向量的公式ω=ck∥，可得到ω>ck，表示平行 平面波向量k小於k∥，如以三維k向量空間圖3-2-3來看[14]，為了讓 波傳到空氣中，其總能量k必符合ωn /c，n=1定義為k0，為了相位傳
能帶是由許多點所組成，而每一點表示能存在光子晶體內對應的特徵 值解，對應特定的空間向量以及波向量，在能帶圖光錐(light line) 以上的膜態(mode)表示此波段位置的光不會侷限在內，因為將平行平 面波向量k帶入空氣中波向量的公式ω=ck∥，可得到ω>ck，表示平行 平面波向量k小於k∥，如以三維k向量空間圖3-2-3來看[14]，為了讓 波傳到空氣中，其總能量k必符合ωn /c，n=1定義為k0，為了相位傳