六點環形模態理論分析與偏振特性

實驗上利用雷射共振腔系統來呈現模態的真實情況，並且比對觀察到的結果 與理論是否吻合。腔長或離軸等…不同的條件可能使模態呈現簡併或非簡併態。

非簡併態的情況下雷射光束為最原始的模態，其波函數是由 Hermite-Gaussian equation(Laguerre-Gaussian equation)表示。但若共振腔是在簡併態的條件下，則 波函數會疊加，雷射軌跡將會符合古典軌跡(幾何光學)。本文的重點注重在一種 較複雜的三維模態的介紹「六點環形模態」。雖然在大多數的情況下，過往觀察 與統計的模態大多為一維或是二維模態，但是相關的背景資料因為能通用的關 係，所以相對的相當齊全。

六點環形模態是由 Laguerre-Gaussian modes 疊加所呈現的簡併態形式，其光 路軌跡也如同預測與古典軌跡相符，如圖 3.4.1 所示。藉由推算結果可以得知，

要得到六點環形模態其共振腔長大約會在L=7.5mm附近去做調整。

圖 3.4.1 六點環形模態在雷射共振腔內之光束軌跡示意圖。

圖 3.4.2 六點環形模態模擬觀察近遠場變化。(a) z = 0mm

(b) z = 1.1mm (c) z = 2mm (d) z = 4.5mm (e) z = 10.5mm (f) z = far field mm 將 3.4.1 與 3.4.2 相互比對後會發現預設的光束軌跡，與電腦模擬的情況相似，所 以進一步將實驗上所觀察到的結果與模擬的結果相互比較。圖 3.4.3 為實驗上六 點環形模態近遠場的變化，可以發現實驗上的結果與電腦所模擬結果相當符合，

這也更加證明了我們所預設的光束軌跡之正確性。

圖 3.4.3 六點環形模態實驗觀察近遠場變化。(a) z = 0mm

(b) z = 1.1mm (c) z = 2mm (d) z = 4.5mm (e) z = 10.5mm (f) z = far field mm

在實驗上檢測偏振形式，最簡單的方式就是雷射出光後加上一片線偏振片

藉由一系列的檢測與理論分析，我們整理出一套較完整的規則。從實驗上六 點環形模態近遠場變化的結果可知，圖形由六點開始變化，隨 z 軸延伸光點向外 移變成三點，在往後觀察會發現到圖形又會變為六點再變成三點，在遠場處呈現 六點的對稱環形。其變化性可以完整的建構出六點環形模態的光束軌跡如圖 3.4.5 所示

圖 3.4.5 六點環形模態近遠場與相位關係示意圖。

由圖 3.4.5 六點環形模態呈現出相當完整的環形排列，這也代表著每次光束 經過晶體時的角度幾乎完全對稱。一個完整循環的週期中光束必須經過晶體六次 (每次會造成相位延遲δ )，每個完整的循環後會再次回到出發點。這也表示相位 差為2π 的正整數倍，6δ = 2nπ,n = 1,2,3,…。在偏振檢測中得到光束部分可分 為左旋圓偏振光與右旋圓偏振光兩種，同偏振的光束在循環的過程中，會差兩次 與 四 次 的δ 。如果以左旋光(右旋光)當作例子，表示相位差 δ∆ 還 須 符 合

2n

δ π

∆ = 的規則。所以完整的相位關係式為

6 2 ,

3 n nπ

δ = π δ = n=3,6,9… (3.4.1)

因此六點環形模態又可以分成不同 n 值的環形，只要 n 為正整數並且為 3 的倍數 即可(不同 n 值即代表不同階數，其中可以相互換算 n=3 時為第一階、n=6 時為 第二階…以此類推)。

理論運算上不同階層亦為不同 n 值，而實驗中圖形上各階的差異，最明顯就 是環形半徑的不同，由圖 3.4.6 呈現了實驗上兩種不同半徑的六點環形模態。我 們也對這個現象做了一系列的紀錄，並且進行了相對應的數值對照。

圖 3.4.6 六點環形模態不同階數結果比較圖。

(a) 第 3 階 n=9 六點環形模態半徑為 11.8mm

(b) 第 8 階 n=24 六點環形模態半徑為 19.3mm

由圖 3.4.6 與 3.4.1 式配合，就能推測階數與環形半徑示意圖，如圖 3.4.7 所 示。由圖 3.4.7 中可以了解，理論上要產生階數越大的圖像時，其激發光源 (Pumping Source)的離軸承度也需要變大，如此一來入射角度的改變進階影響到 折射角與光路徑，配合雙折射晶體的概念就能解釋環形半徑與階數之間關係形成 原因 (亦能解釋相位差與階數之關係) 。

圖 3.4.7 階數與環形半徑示意圖。

圖 3.4.8 和圖 3.4.9 為實驗上觀察到的六點環形模態的相位、半徑與六點環形模態 階數的關係圖。觀測組數為十二組(無法向上量測原因為本雷射系統之極限)，結 果都呈現正比關係(模態半徑的測量位置，固定在晶體出光面後 17.5cm 處)。

圖 3.4.8 階數(Order)與六點環形半徑(Radius)相對關係圖。

(觀測由第一階至第十二階亦可解釋 n 值為 n=3 至 n=36 之間 3 的倍數)

圖 3.4.9 階數(Order)與六點環形相位(Phase)相對關係圖。

(觀測由第一階至第十二階亦可解釋 n 值為 n=3 至 n=36 之間 3 的倍數) 實驗上觀察由第一階至第十二階之圖形。從下表 3.4.1 所示可以發現不同區 段階數的相位、數值分析之誤差以及激發源的離軸程度∆r 等相關數值。較為特 殊的是激發源的離軸程度∆r 有部分非成正比關係，主要是因為同一模態可能在 不同的激發位置被激發，所以沒有遵守理論上的結果(實驗中只有少數不符合，

整體大多符合正比關係)。實驗整體觀察各區段階數之圖形其數值分析後的誤差 值皆低於 5%，這也能表示我們實驗的準確性。

表 3.4.1 實驗與理論誤差比較。(δ =相位差、 r∆ =離軸大小、

n=6 為第二階,n=36 為第十二階依此類推)