第二章 理論知識介紹
2.2 固態雷射晶體 Nd：YVO 4 介紹
固態雷射晶體，主要可分為活性離子(active ion)與基質(host material)兩個部 份。而掺雜的活性離子為雷射出光主要的工作物質，提供雷射能階，並且使雷射 產生不同的波長；基質可分為晶體與玻璃兩種，而其特性都是供給適當的陽離子 空位(cation -site)，讓摻雜的離子填入，並且影響雷射的功率(optical output power)。
釹離子(Nd3+)在雷射的使用上已經存在很長的一段時間，並且一直處在主流 的狀態。主要是釹離子(Nd3+)在規則排列晶體中有極長的螢光生命(fluorescence life-time)和很窄的線寬(lindwidth)，並且同時產生雷射能量所使用的能階比基態
Nd:YVO4可放射出 914nm、1064nm、1342nm 三種波長的光，其中又以 1064nm 的波段擁有較高的輸出功率，由 2.2.1(b)所示[17]。表 2.2.1 與表 2.2.2 則是介紹
Nd:YVO4晶體的物理特性與光學特性[18]。
放射波長 1064nm,1342nm
: sec :
: :
: :
th
Stimulated emission cross tion Absorption Coefficient Fluorescent lifetime L Absorption length P Threshold power s Conversion efficiency
α
no2=3.77834+[0.069736/(λ2-0.04724)]-0.010813λ2 ne2=4.59905+[0.110534/(λ2-0.04813)]-0.012676λ2
C-cut Nd:YVO4晶體結構如圖 2.2.2 所示，針對不同方向還可分成 a-cut(同
2.3 雙折射晶體的光學偏振特性
光(light)具有波粒二向性，在一般的情況下，我們都使用波動來解釋光 的基本特性，也就將光視為一種電磁波，可分為相互正交的電場和磁場方向，並 且與光傳遞方向垂直，如下圖 2.3.1 所示。
圖 2.3.1 電磁波中，電場與磁場的傳遞關係圖。
光在傳遞的過程中，電場作用的影響遠大於磁場。所以在偏振的討論中，也 是對電場振盪進行討論。當電場振盪隨時間變化不具有任何的規律時，稱為非偏 振光(Non-polarized light)，相反的當振盪隨時間的變化具有特定性時，稱為偏振 光(Polarized light)。而偏振光主要又可以分為線偏振、圓偏振以及橢圓偏振三種 偏振光。當電場振動方向固定在特定方向上時，稱為線性偏振光(linearly polarized light)，而隨著 時間的 改變，電場震盪呈現 週期性的變化，可分為圓偏振光 (circularly polarized light)以及橢圓偏振光(elliptically polarized light)。
從光源的角度去觀察，我們可定義一個直角坐標的空間，Z 方向為電場傳遞 的方向。而 X 方向與 Y 方向，是電場振盪在 X 軸與 Y 軸的投影，其對應的強度 (也可視為振幅)可以用 Eox和 Eoy來表示，在線偏振的情況，Eox和 Eoy是固定的，
相位差為 π 或是 2nπ。當與 Y 軸夾 a 度時，可成為 a 角度的線性偏振光，如圖 2.3.2(a)所示。圓偏振的振幅 Eox和 Eoy是相等的，相位差為 π/2 的整數倍，如圖 2.3.2(b)所示。而橢圓偏振的振幅 Eox和 Eoy是不相等的，而相位差為任意角度，
如圖 2.3.2(c)所示。圓偏振光與橢圓偏振光，因振盪方相變化的不同，皆分為左 旋偏振光，如圖 2.3.2(b)所示與右旋偏振光，如圖 2.3.2(c)所示。
(a) (b) (c)
圖 2.3.2 各式偏振光示意圖。(a)夾角為 a 的線偏振；(b)左旋圓偏振；(c)右旋橢 圓偏振。
偏振原件可產生偏振光，並且有些原件還擁有可改變原入射光的偏振型態，
而原件種類大至可分為三種；線性偏振片(Linear Polarizer)、相位延遲片(Phase Retarder)、旋轉器(Rotator)。而以下將介紹本實驗會使用的，線偏振片與相位延 遲片的部分，在本實驗中會需要判斷偏振的型態，所以在此會簡單介紹相關儀器 原理。
一. 線性偏振片(Linear Polarizer;LP)：此種偏振原件，只允許單一方向的電 場振盪通過，所允許的傳遞方相需與傳遞軸(transmission axis；TA)平行。非平行 的電場振盪會被偏振片吸收，如圖 2.3.3 所示，而穿透偏振原件的光束將會遵守 Malau’s Law[19]：
(θ為穿透電場振動方向與偏振片穿透軸 TA 的夾角。)
圖 2.3.3 45 度線偏振光(linear polarized light)入射示意圖。通過線偏振片 (polarizer)後，非平行振盪皆被吸收，只有平行振盪通過。
二. 相位延遲片(Phase Retarder)，此偏振原件，會讓通過的電場被分成延著 相位延遲片快軸(fast axis;FA)與慢軸(slow axis;SA)兩個方向的分量。這兩軸相互 正交，當快軸電場振盪前進的速度大於慢軸時，兩軸因為行進的速度不同而產生 相位差，如圖 2-3-4 所示，一般常用的相位延遲片可分為二分之一波片與四分之 一波片兩種，而接下來將介紹，關於這兩種波片的特性。
圖 2.3.4 非偏振光(unpolarized light)入射相位延遲片(phase retarder)示意圖。光會 被分為延快軸(FA)與慢軸(SA)方向透射，並且傳遞速度將會不同。
二分之一波片(Half-Wave Plate;HWP)，此偏振原件的快軸與慢軸，之間相 位差為二分之一波長的相位，也就是
2
2π×1=π。當線性偏振光入射二分之一波片
時，其偏振角與慢軸(或是快軸)之間的夾角為θ，但當通過二分之一波片時，夾 角將會變成 2θ，如圖 2.3.5(a)所示。實驗中如果為橢圓偏振光與圓偏振光通過 時，其偏振角度將不會改變，但旋轉方向將會改變，原因是相位會差π所至，如 圖所示 2.3.5(b)(c)。
(a) (b) (c)
圖 2.3.5 光線通過二分之一波片(HWP)的偏振情況示意圖。(a)線性偏振光的偏振 角與二分之一波片(HWP)夾
θ
，但當通過二分之一波片(HWP)後，與原入射光夾 角將相差2 θ
。(b)左旋橢圓偏振光通過二分之一波片(HWP)，將變為右旋橢圓偏 振光。(c)右旋圓偏振光通過二分之一波片(HWP)，將變為左旋圓偏振光。四分之一波片(Quarter-Wave Plate;QWP)，特性類似二分之一波片，只是其 快慢軸相差四分之一波長的相位
2 4
2π×1=π 。藉由這種相位差的特性，讓通過四 分之一波片的線偏振光，將可呈現線偏振(入射光與四分之一波片夾 0 或 90 度)、
圓偏振(入射光與四分之一波片夾 45 度)和橢圓偏振(入射光與四分之一波片夾非 0、45、90 以外的角度)，如圖 2.3.6(a)(b)(c)所示。
(a) (b) (c)
圖 2.3.6 線偏振光(linear polarized light)通過四分之一波片(QWP)其偏振示意圖。
(a)線偏振光入射與四分之一波片夾 0 或 90 度，偏振型態將不變還是線偏振光。
(b)線偏振光入射與四分之一波片夾 45 度，偏振型態將變為圓偏振光。(c) 線偏 振光入射與四分之一波片夾非 0、45、90 度，偏振型態將變成橢圓偏振光。
實驗以 c-cut Nd:YVO4 來當雷射增益介質。c-cut 晶體顧名思義代表光束沿ｃ 軸方向入射，電場可以分為 a、b 兩軸的分量。當電場在晶體內傳播時，沿 a 軸 和 b 軸方向傳輸折射率皆為n ，且o na = nb = no;沿 c 軸方向入射的折射率為 n ，e ne = nc 。此現象代表著在光路徑上折射率並非單一數值，而是擁有兩個 折射率n 和 o n 。光束在雙折射晶體內做傳輸時，會因晶體內部折射率不同，e 造成不同的光路徑而產生相位延遲(phase retardation)的現象[20]。
由於相位改變的關係，導致輸出雷射擁有不同的偏振型態。雷射光束射入與
2.4 穩定球形共振腔之介紹
本章節最重要的是介紹共振腔系統，首先我們必須了解穩定共振腔的條件。
由光學理論得知雷射共振腔之波函數是由馬克斯威爾(Maxwell equation)的近軸 方 程 所 求 得 。 而 共 振 腔 的 近 軸 近 似 方 程 又 和 古 典 的 二 維 簡 諧 振 盪 薛 丁 格 (Schrodinger)方程式有著一樣的型式[21]。球形共振腔在不同坐標系下，本徵態 也會以不同形式來表現，在直角坐標系(笛卡爾坐標)下波函數為 Hermite-Gaussian equation；在柱狀坐標系下的波函數則是 Laguerre-Gaussian equation。
2.4.1 穩定球形共振腔之條件
雷射共振腔是兩面反射鏡所組成，相距的距離就稱為共振腔的腔長 L。反射 鏡的選擇種類繁多，可以是平面鏡、凹面鏡，或是球面鏡。只要能將兩面反射鏡 的球心連線形成光軸，讓系統成為軸對稱系統(共軸球面)就能稱為穩定共振腔 [22]，如圖 2.4.1 所示。兩個凹面鏡的曲率半徑分別為 R1 和 R2，而 O1 與 O2 為 兩鏡的焦點，L 則為腔長。
圖 2.4.1 穩定球形共振腔示意圖。兩個曲率半徑分別為 R1 和 R2 的凹面鏡組成的 共振腔，其中 O1 與 O2 為兩鏡的焦點並形成光軸。
藉由 ABCD law(ray matrix)能了解共軸球形共振腔條件[23,24]。2.4.1 式中
2.4.2 近軸近似之下的球形共振腔波函數
光是電磁波的一種，所以光在共振腔內傳遞時必定會受到邊界條件的規範。
雷射共振腔的形式就會影響邊界條件的不同，各種受邊界條件限制的電磁波狀態 稱為「模」(mode)。從雷射理論可知道模分為縱模(longitudinal mode)與橫模 (Transverse mode)兩種[26]。不同模態所對應的縱模與橫模，都存在著強度分佈 上的不同或是振盪頻的差異。其中橫模的不同為光強度分佈，從雷射圖像(laser pattern) 可觀察出其差異性。但縱模的差異就無法單純由圖像中察覺其差異，需 要觀察近遠場的變化才能了解。
橫 模 大致可以 分為 兩 類， 一種是 軸 對稱 型式如 圖 2.4.3 所示 通常稱 為 Hermite-Gaussian modes(HG)，而另外一種則是旋轉對稱型式如圖 2.4.4 所示稱為 Laguerre-Gaussian modes(LG) [27]。產生圖像上的差異主要是因為坐標系的不 同 。 Hermite-Gaussian modes 是 直 角 ( 笛 卡 爾 ) 坐 標 系 的 波 函 數 ， 而 Laguerre-Gaussian modes 是採用柱狀坐標系的波函數。接下來將從基礎的電磁學 Maxwell equation 出發，並外加近軸近似的條件，推導出上述兩種模態的電磁波。
圖 2.4.3 Hermite-Gaussian Modes 基態示意圖 。
圖 2.4.4 Laguerre-Gaussian Modes 基態示意圖。
從 Maxwell equation 的近軸近似(Paraxial Approximation )條件做為起點，可以列
藉由 Helmholtz wave equation，電場形式可以表示為
度(Rayleigh range) ；
2
將 2.4.12 式與 Hermite polynomial 相比會發現其形式是相同的，可求得解
藉由 2.4.13 式可以求得本徵值(Eigenvalues)為
2 2 標下 Laguerre-Gaussian equation 的情形。因為轉換至 Laguerre-Gaussian 形式只是 單純的坐標系轉換，所以解析法將會和 Hermite-Gaussian equation 所使用方式相 似。主要改變之處為(x,y,z)參數將會變成( , , )r θ z 。
如此一來從 2.4.6 式出發並改變其坐標系，則可得
過類似直角坐標系的推導方式，並解 Laguerre polynomial 可得
經過此小節的介紹過後可以更理解 Hermite-Gaussian 與 Laguerre-Gaussain 的基 本型式。也發現這兩個式子相互轉換的規則，這對球形雷射共振腔系統而言是一 個很重要的工具，讓實驗上分析與模擬圖形能夠更加便利。
2.4.3 不同坐標系之下高斯光束之疊加
由 爾方程式之近軸近似運算去解得 Hermite-Gaussian 或是 Laguerre Gaussian modes。
另一方面 Laguerre-Gaussian modes 是可藉由 Hermite-Gaussian modes 轉換而 成[9]，由 2.4.24 進行座標轉換可得到 其中 B 為座標轉換係數(coordinate transformation coefficients)表示如下
2
雖然坐標系不相同，不過 Gaussian beam 光強度分佈還是依照著高斯分佈。所以 式子中還需加入分配係數，確保整體式子的完整性與理論上的正確性。最後加上 疊加項如此一來才能模擬實驗上所觀察的六點環形模態，公式則是將會寫成 [30][31][32]
在 Hermite-Gaussian(或是 Laguerre Gaussian)體系下的模態，其共振腔的本徵 模態(eigenmodes) 在特殊腔長時會有疊加的情形發生，形成特殊簡併態。這些本 徵態符合古典的軌跡，可藉由幾何光學來進行圖像的重建[33]。在下一章的實驗 中將會觀察到前面提及的波動方程式和量子諧振子的相應關係，結果也將會比對 古典(幾何光學)的模擬情形。
2.4.4 簡併共振腔之介紹
在前一章 2.4.3 小節中提到，當縱向模態與橫向模態的頻寬比呈現一個有理 數比時，其 Hermite-Gaussain modes 或是 Lagurre-Gaussain modes 會疊加成為一 些特殊的簡併態。在本小節中我們將對縱向模態與橫向模態的頻寬比和相對印的
以1
3的簡併共振態三維六點環形模態為例，我們已知∆fT :∆ =fL 1: 3，所以 1; 3
∆fT = ∆fL = ，如果令 n=0 則 2.4.32 可改寫為
E∝ f m n l( , , )= × + + + ×[3 l (0 m 1) 1] (2.4.34)
圖 2.4.5 頻寬與模態係數示意圖。
由圖 2.4.5 縱座標軸代表能量強度，橫坐標軸代表頻率，下方數值代表著係數 (m n l 由上方的假設中訂出, , ) ∆fT = ∆1; fL =3和 n=0 的條件。當 m 係數增加 3 時，則l係數就要少 1。如此可保持著式子 2.4.33 的能量保持相同。以左方第一 排數列為例。假設其中一組係數為 (10, 0, )l 其狀態屬於在 1/3 的簡併態，下一組 的係數就該為 (13, 0,l−1)可以按此規則推出無數組數值。而當多組數值疊加的
由圖 2.4.5 縱座標軸代表能量強度，橫坐標軸代表頻率，下方數值代表著係數 (m n l 由上方的假設中訂出, , ) ∆fT = ∆1; fL =3和 n=0 的條件。當 m 係數增加 3 時，則l係數就要少 1。如此可保持著式子 2.4.33 的能量保持相同。以左方第一 排數列為例。假設其中一組係數為 (10, 0, )l 其狀態屬於在 1/3 的簡併態，下一組 的係數就該為 (13, 0,l−1)可以按此規則推出無數組數值。而當多組數值疊加的