以摻釹釩酸釔雷射晶體產生Laguerre-Gaussian模態疊加之研究

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(1)國立臺灣師範大學物理研究所碩士論文. 以摻釹釩酸釔雷射晶體產生 Laguerre-Gaussian 模態疊加之研究 Selective three-dimensional superposed Laguerre-Gaussian modes in c-cut Nd：YVO 4 laser cavities. 研究生：賀政浩指導老師：陸亭樺博士. 中華民國 103 年 06 月.

(2) 目錄摘要 ............................................... III 致謝 ............................................... VI 圖目 .............................................. VII 表目 ................................................. X. 第一章緒論 1.1 前言 ............................................ 1 1.2 研究動機 ........................................ 2. 第二章理論知識介紹 2.1 雷射形成要素 .................................... 4 2.2 固態雷射晶體 Nd：YVO 4 介紹 ...................... 6 2.3 雙折射晶體光學偏振特性 ......................... 10 2.4 穩定球形共振腔之介紹 ........................... 16 2.4.1 穩定球形共振腔之條件 ................................. 16 2.4.2 近軸近似之下的球形共振腔波函數 ....................... 18 2.4.3 不同坐標系之下高斯光束之疊加 ......................... 23 2.4.4 簡併共振腔之介紹 ..................................... 26. I.

(3) 第三章理論與實驗結果的討論 3.1 實驗架構 ....................................... 28 3.2 簡併共振腔下之環形模態實驗結果 ................. 32 3.3 環形模態相位差之分析 ........................... 35 3.4 六點環形模態理論分析與偏振特性 ................. 37 3.5 六點橢圓形模態之實驗結果 ....................... 44 3.6 複合模態之實驗結果 ............................. 48. 總結與未發展方向 .............................. 參考資料. 51. ....................................... 52. II.

(4) 摘要雷射共振腔系統提供了比傳統固態雷射更多元的變化性，藉由腔長與激發源 (pumping source)離軸變化可產生各式各樣的雷射本徵態。本論文主要研究的方向為 c-cut Nd：YVO 4 (摻釹釩酸釔)雷射所產生的三維六點環形模態。此種雷射模態為 Laguerre-Gaussian modes 疊加而成，其本徵態在特定的條件下，雷射模態在遠場時會產生左旋光(left-handed light)與右旋光(right-handed light)。而在近場時因為幾何光束會有重疊的情況，此時會產生單一光點同時擁有左旋與右旋光的現象。在單一的固態雷射系統能同時產生左旋光與右旋光是一件非常特別的情形，應用上能發展於冷原子系統(cold atom system)相關的研究中。. 雷射共振腔裝置可以從理論推知各種穩定簡併態的相位延遲 δ (phase retardation)。藉由 c-cut Nd：YVO 4 的雙折射特性，可以將 n e 與 n o 帶入雙折射理論公式計算出等效折射率 n eff ，如此一來即可了解相位延遲δ下的折射角θ值。理論上能符合簡併共振腔條件的折射角存在很多組，本實驗也確實完整找到每一組對照的相位延遲δ之圖像。藉由理論計算能先訂出實驗的目標，接著透過實驗去驗證理論上的計算。藉由四分之一波片與線偏振片的配合檢驗與多次實驗觀察，確定了三維六點環形模態同時具有「左旋圓偏振和右旋圓偏振」的模態。由計算得到實驗與理論的相位延遲δ值相互比較的結果發現實驗與理論計算相當吻合。並且確認了多組不同階數的情形。. III.

(5) 本實驗一併對不同三維模態進行觀察，在本文後段中將展現橢圓形或是複合形式的模態，並觀察其相關光學特性。藉由實驗與理論的相互印證，能更加的了解此種特殊的雷射模態形成的物理機制，在未來基礎科學的研究應用上能給予相當的貢獻與啟發。. 關鍵字：雷射共振腔、Nd：YVO 4 (摻釹釩酸釔)、Laguerre-Gaussian modes。. IV.

(6) Abstract The laser cavity system mentioned in the thesis is different from the traditional solid state laser. We can manipulate the pump offset to generate a variety of the laser beams with complex spatial structures. We investigate the geometric beams generated from a c-cut Nd:YVO 4 laser. The Nd:YVO 4 acts as a birefringence crystal. In this work, we focused on six spots of the circular geometric mode. In the far field, the structured laser beam is left-handed circularly polarized and right-handed circularly polarized at the same time. This particular property has many applications, like cold atom system. The phase retardation (δ) of a stable geometric mode can be derived by the birefringence theory. According to the birefringence property of Nd:YVO4, the effective refractive index n eff can be calculated by the coefficient n e and n o . It leads to get the refraction angle θ of the geometric mode. In the numerical simulation, we fit twelve orders of six spots of circular geometric modes and get the patterns. In the experiment we use the quarter-wave plate (QWP) and the linear plate(LP) to detect the laser polarization. Experimental results reveal that a geometric mode possesses circularly polarized states in opposite directions at the same time and the superposition of orthogonally polarized geometric beams can be generated systematically by controlling the off-axis magnitude. The numerical results have a good agreement with the experimental results. The research may make some contributions for the application of structured beams.. V.

(7) 致謝兩年的時光飛逝，當年那很擔心課業問題的新生，如今要畢業了。在這求學的最後階段，很高興能加入固態雷射物理實驗室的團隊，在這裡的學會了線性幾何光學分析、模態轉換機制，邊激發雷射等…光學相關知識，並且也認識許多新的朋友及同學。兩年的日子裡最感謝的還是我的指導教授陸亭樺教授，不管是實驗上還是人生經驗上，當遇到較低潮的時候，感謝老師的勉勵與鼓勵，讓我慢慢地回到正確的軌道上。實驗方面讓我們去探索能研究的方向，做自己想做的研究，加上光學模態的特殊圖形，讓兩年來的研究對我來說是非常有趣的。另外兩年間還很感謝實驗室的夥伴建豪、易哲、哲剛、仁璽、裕雯，有他們在使得實驗室更加的歡樂，彼此還能聊聊實驗以外的事物，讓兩年的研究生活中多添加了幾分色彩。還要感謝百忙之中抽空前來當口試委員的教授們，感謝你們的建議才能讓這本論文能更完整。求學生涯中有順風有逆風，不過一路上都有不錯的老師再提點著我，讓我能走在正確的道路上。最重要的還是要感謝我的家人，不管在任何情況下都能給予我鼓勵，讓我一步步往前邁進。最後感謝對這篇論文有幫忙的每一個人，有你們的幫助才有今日的這篇研究成果，謝謝各位。. VI.

(8) 圖目圖 2.1.1. 雷射基本構造圖. 圖 2.1.2. 三(四)能階雷射系統示意圖. 圖 2.2.1. Nd:YVO 4 晶體的吸收(螢光)光譜. 圖 2.2.2. c-cut Nd:YVO 4 晶體的軸向示意圖. 圖 2.3.1. 電磁波中，電場與磁場的傳遞關係圖. 圖 2.3.2. 各式偏振光示意圖. 圖 2.3.3. 45 度線偏振光(linear polarized light)入射示意圖. 圖 2.3.4. 非偏振光(unpolarized light)入射相位延遲片(phase retarder)示意圖. 圖 2.3.5. 光線通過二分之一波片(HWP)的偏振情況示意圖. 圖 2.3.6. 線偏振光(linear polarized light)通過四分之一波片(QWP)其偏振示意圖. 圖 2.3.7. 雙折射率晶體等效折射率示意圖. 圖 2.4.1. 穩定球形共振腔示意圖。. 圖 2.4.2. 穩定共振腔範圍示意圖. 圖 2.4.3. Hermite-Gaussian Modes 基態示意圖. 圖 2.4.4. Laguerre-Gaussian Modes 基態示意圖. 圖 2.4.5. 頻寬與模態係數示意圖. 圖 3.1.1. 雷射實驗系統概念架構圖. 圖 3.1.2. 雷射聚焦鏡筒示意圖. VII.

(9) 圖 3.1.3. 雷射實驗系統實際架構圖. 圖 3.1.4. 半導體雷射電流與功率曲線圖(I-P curve). 圖 3.1.5. 固態雷射系統電流與功率曲線圖(I-P curve). 圖 3.1.6. 雷射轉換效率圖(P-P curve). 圖 3.2.1. 雷射共振腔之六點環形模態軌跡示意圖. 圖 3.2.2. 六點環形模態第三階影像圖. 圖 3.3.1. 雷射光束在晶體內折射示意圖. 圖 3.3.2. 六點環形模態左旋光束軌跡和對應相位延遲 δ 示意圖. 圖 3.4.1. 六點環形模態在雷射共振腔內之光束軌跡示意圖. 圖 3.4.2. 六點環形模態模擬觀察近遠場變化. 圖 3.4.3. 六點環形模態實驗觀察近遠場變化. 圖 3.4.4. 三階六點環形模態偏振檢測結果. 圖 3.4.5. 六點環形模態近遠場與相位關係示意圖. 圖 3.4.6. 六點環形模態不同階數結果比較圖. 圖 3.4.7. 階數與環形半徑示意圖. 圖 3.4.8. 階數(Order)與六點環形半徑(Radius)相對關係圖. 圖 3.4.9. 階數(Order)與六點環形相位(Phase)相對關係圖. 圖 3.5.1. 六點左橢圓形模態. 圖 3.5.2. 六點左橢圓形模態在雷射共振腔內之光束軌跡示意圖. VIII.

(10) 圖 3.5.3. 六點左橢圓形模態近遠場檢測. 圖 3.5.4. 偏左與偏右的六點橢圓形模態. 圖 3.5.5. 六點左橢圓形模態偏振檢測. 圖 3.6.1. 雷射光束 TEM 0.0 mode. 圖 3.6.2. 高階環形複合模態. 圖 3.6.3. (手錶形)複合式雷射模態. 圖 3.6.4. 手錶形複合式雷射模態分解圖. 圖 3.6.5. 手錶形複合式雷射模態近遠場檢測. IX.

(11) 表目表 2.2.1. Nd:YVO 4 晶體的物理特性. 表 2.2.2. Nd:YVO 4 晶體的光學特性. 表 2.2.3. Nd:YVO 4 雷射與 Nd:YAG 雷射特性比較. 表 2.2.4. Nd:YVO 4 雷射與 Nd:YAG 雷射最佳輸出功率比較. 表 3.4.1. 實驗與理論誤差比較. X.

(12) 第一章緒論 1.1 前言. 在當今的生活中，雷射被廣泛應用於各個角落，實用性方面大至飛彈定位、量測精密距離、物體的表面加工、切割，小至雷射筆、光碟機讀取頭、顯示器等…。理論性方面如結構性光場[1]、高能脈衝[2]等…都是目前研究發展的目標。近幾年來半導體雷射的發展進步迅速，使用半導體雷射(laser diode 簡稱 LD)作為激發源的固態雷射系統(diode pumped solid-state laser 簡稱 DPSSL)，也成為受矚目的焦點。半導體雷射具有體積小、高功率、穩定的單頻、窄的頻率線寬、高分辨率的光譜等優勢[3]。1992 年 S.J. van Enk 與 G.Nienhuis 利用量子力學的運算子 [4]，描述出簡諧振子與高斯光束的相位變化有著對應的關係存在，這使得波動光學與量子力學擁有相互轉換的機制。. 在波動光學的理論中提到，光波的相位差會造成波前錯位 (Wavefront dislocation)，使得光束具有角動量。在 1970 年時 Arthur Ashkin 發現了 optical trapping[5]的性質，利用光束角動量特性在應用上發展出了光學鑷子(optical tweezers)，可以應用在微小粒子的控制，從生物細胞到分子、原子都可有效操控 [6]。為了要更完整的理解光波角動量的機制，結構性光場其相位變化性質與機制相關研究是不可缺少的項目。. 1992 年光波的軌道角動量由 Allen 提出，文中表示角動量與光場具有高度的相關性，並且成功使用具有角動量的 Laguerre-Gaussian 光束和物質進行交互作用[7]。透過波動光學與量子力學的對照可以發現，球形共振腔下的波函數與薛丁格(Schrodinger)方程式之二維簡諧振子有著一樣的數學形式[8]。實驗上透過凹面鏡與具有鍍膜的增益介質搭配形成共振腔，使雷射光波符合共振腔的邊界條 1.

(13) 件，並且在近軸近似的條件下(Paraxial Approximation)，解得球形共振腔內的波函數為 Hermite-Gaussian 型式。而透過不同形式的增益介質或共振腔的形態就能解出不同形式的波動方程。在我們的研究裡可以看到量子力學與古典力學對應的情況，而這類的研究主要都在探討觀察尺度的變化，與其相對應的物理機制，統稱為介觀物理(mesoscopic physics)。而雷射共振腔的研究提供了一個良好的對應機制可讓大家研究學習。. 1.2 研究動機. 目前主流使用的雷射系統為固態雷射，當其輸出光強度較強時比早期使用的連續輸出(cw pump)閃光燈穩定。所以本次實驗選用半導體雷射作為激發光源，固態雷射晶體的部份選用 c-cut Nd：YVO 4 (摻釹釩酸釔)，作為增益介質，而共振腔的部分則選用凹平腔的組合。較特別的地方為放棄了傳統鍍膜的平面鏡，而是改以選擇端面上具有高反射率鍍膜的晶體。其主要的優點為減少實驗空間並能保留共振腔的可調製性。. 雷射共振腔具有高度的變化性，可透過不同的組合、腔長及離軸變化，輸出多樣的模態，如：TEM modes、Hermite-Gaussian modes，或是不同坐標系的 Laguerre-Gaussian modes 以及特殊腔長的簡併態(Degenerate state)等…變化相當多端。此領域的研究中，理論與實驗都對這類共振腔系統有著相當完善的背景知識介紹，如：魔梯現象(devil’s staircase)[9]、冷原子系統[10](cold atom system)或是混合偏振雷射光束(hybridly polarized vector beam)[11]。. 2.

(14) 對於 c-cut Nd：YVO 4 晶體，變化有二維的 N-mode、M-mode 以及在 c-cut 晶體中並不易觀察到的 Lissajous 圖形，和三維環形模態等…可觀察。幾何模態在空間分佈上維度越高結構越複雜，且在特殊腔長條件下會產生混合偏振態，所以本研究所觀察到的三維六點環形模態在未來實際應用上具發展性，如可調製角動量的光學鑷子。. 本實驗選擇三維六點環形模態為主要的研究模態，其模態為 Laguerre-Gaussian modes 疊加而成。經由實驗可以發現三維六點環形模態在遠場具有相互正交的圓偏振，分別為左旋光(left-handed circularly polarized state)與右旋光(right-handed circularly polarized state)。在單一激發光源與獨立共振腔的情況下能產生相互正交圓偏振模態是相當特別的。藉由偏振性質的檢測可以推測出模態形成原因。再透過實驗上的統計、觀察與電腦的理論計算來相互印證。. 3.

(15) 第二章雷射共振腔介紹在本章節將會介紹，如雷射基本原理、增益介質 c-cut Nd：YVO4 的晶體特性、光學偏振原理和本實驗最重要的一環，雷射共振腔原理以及腔內波函數的推算法，都將會有完整的說明。. 2.1 雷射形成要素雷射的發展需要追至 1958 年，Schawlow 和 Townes 提出的光波範圍的雷射現象，成功將其完成的就該歸功於 1960 年 Maiman，以紅寶石(Ruby)成功製成的固態雷射[12]。雷射的組成上可分為三大主要元素，分別是共振腔(Resonator)、激發源(Pumping Source)、增益介質(Gain Medium)，如圖 2.1.1 所示。激發源是給予增益介質能量，使其內部電子從基態(Ground State)躍遷到激發態(Emission State)，使高能階的電子數量大於低能階的電子數量，達到居量反轉(Population Inversion)的效應。一般情況下，低能階的粒子數會高於高能階的粒子數，為了較易達到居量反轉的效果在增益介質的選擇上，雷射實驗上都使用三能階與四能階的材料做為增益介質，如圖 2.1.2(a)和圖 2.1.2(b)所示。. R2 ~ 98 → 95%. R1 ~ 99.5%. Gain medium Laser output M1 圖 2.1.1. M2 or OC 雷射基本構造圖。包含共振腔(Resonator)、激發源(Pumping Source)、. 增益介質(Gain Medium)三大部分。. 4.

(16) 圖 2.1.2 (a) 三能階雷射系統示意圖。. 圖 2.1.2 (b) 四能階雷射系統示意圖。. 共振腔的部分，主要功用是使光子在共振腔內來回反射，產生多次的受激放射，將光子數目倍增。共振腔大多為兩面反射鏡組成，組合的形式很多元，有平平腔、平凹腔、凹凹腔、凸平腔等…，不同的鏡組組成可以觀察到的光斑也就不同 [13,14]。而一般鏡片與共振腔使用的鏡片最大的差別在於共振腔的鏡片，需要對特定波長做高反射率的鍍膜處理，如此一來在反射的過程中減少能量的散失。. 5.

(17) 2.2 固態雷射晶體 Nd：YVO 4 介紹固態雷射晶體，主要可分為活性離子(active ion)與基質(host material)兩個部份。而掺雜的活性離子為雷射出光主要的工作物質，提供雷射能階，並且使雷射產生不同的波長；基質可分為晶體與玻璃兩種，而其特性都是供給適當的陽離子空位(cation -site)，讓摻雜的離子填入，並且影響雷射的功率(optical output power)。釹離子(Nd3+)在雷射的使用上已經存在很長的一段時間，並且一直處在主流的狀態。主要是釹離子(Nd3+)在規則排列晶體中有極長的螢光生命(fluorescence life-time)和很窄的線寬(lindwidth)，並且同時產生雷射能量所使用的能階比基態能階高，因此得以在室溫下以連續波的方式操作。另外，釹離子(Nd3+)可以摻入不同的基質當中，如 CaWO 4、CaMoO 4、CaF 2、LaF 2 等… …，使其更具有潛力。釩酸釔(yttrium orthovanadate, YVO 4 )是一種非常有用的光電材料，粉末狀態的釩酸釔可應用於螢光物(phosphor)，晶體狀態則具有比一般材料更高的雙折射性(birefringence)，可製作偏光器(polarizer)、光隔離器(isolator)。它的理論密度為 4.22g/cm3 、莫氏(Mohs)硬度為 5 、熔點為 1810±25 ℃，400 nm 到 5000 nm 之間為其光學穿透帶，晶體結構屬於長方晶系(tetragonal)，晶格常數則為 a = b = 7.118Å ，c=6.289 Å [15]。摻釹釩酸釔(Nd:YVO 4 )晶體，擁有穩定的化學和物理加工性、較低的雷射閥值、較大的受激發射截面及高斜率效率以及寬帶的泵浦光吸收效[16]。此晶體的雷射大多為四階雷射，由於以上的特性使 Nd:YVO 4 晶體得到廣泛的應用並且比同樣發射 1064 nm Nd:YAG 雷射效益更高如表 2.2.3、2.2.4。而 Nd:YVO 4 在不同的偏振光下的吸收光譜中，如圖 2.2.1(a)所示，可知對 808nm 的波段吸收極佳，如此一來將能與本次實驗的激發源擁有良好的匹配性，從螢光光譜中可得知， Nd:YVO 4 可放射出 914nm、1064nm、1342nm 三種波長的光，其中又以 1064nm 的波段擁有較高的輸出功率，由 2.2.1(b)所示[17]。表 2.2.1 與表 2.2.2 則是介紹 6.

(18) Nd:YVO 4 晶體的物理特性與光學特性[18]。. 圖 2.2.1. (a) Nd:YVO 4 晶體的吸收光譜。. (b)Nd:YVO 4 晶體的螢光光譜。. 1.26 × 1020 atoms / cm 3(Nd 2.0%). 原子密度. 四方,空間群晶體結構. a= b= 7.1193A,c= 6.2892A. 密度. 4.22 g / cm 3. 莫氏(Moths)硬度. 4.5. = aa. 熱膨脹係數. = ac 11.37 × 10−6 / K  C : 0.0523W / cm / K ⊥ C : 0.0510W / cm / K. 熱傳導係數(300K). 表 2.2.1. 4.43 × 10−6 / K. Nd:YVO 4 晶體的物理特性。. 7.

(19) 1064nm ,1342nm. 放射波長. dno / dT = 8.5 × 10−6 / K. 熱光係數. dne / dT = 2.9 × 10−6 / K. 激發輻射截面. 25 × 10−19 cm 2 @ 1064nm. 螢光壽命. 90µ s (1%). 吸收係數. 31.4cm −1 @ 810nm. 內部損失. 0.02cm −1 @ 1064nm. 增益帶寬. 0.96nm @ 1064nm. 激發光效率. > 60%. 表 2.2.2. 參雜晶體 (atm%). Nd:YVO 4 晶體的光學特性。. σ. α. τ. (×10−19 cm 2 ). (cm −1). Pth. ηs. (µ s ). Lα (mm ). (mW ). (%). 0.32. 30. 52. 231. 45.5. 115. 38.6. Nd : YVO 4 (a − cut ). 1.0. 25. 31.2. 90. Nd : YVO 4 (c − cut ). 1.1. 7. 9.2. 90. Nd : YAG. 0.85. 6. 7.1. 230. 1.41. 表 2.2.3 Nd:YVO 4 雷射與 Nd:YAG 雷射特性比較。. 8.

(20) σ : Stimulated emission cross sec tion τ : Fluorescent lifetime Pth : Threshold power. α : Absorption Coefficient Lα : Absorption length η s : Conversion efficiency. 晶體. 尺寸 (nm 3 ). 激發功率. 輸出(1064nm). Nd : YVO 4 (a − cut ). 3×3×1. 850mW. 350mW. Nd : YVO 4 (c − cut ). 3×3×5. 15W. 6W. Nd : YAG. 3×3×2. 850mW. 24 mW. 表 2.2.4 Nd:YVO 4 雷射與 Nd:YAG 雷射最佳輸出功率比較。算出 n o 與 n e 的 Sellmeier 方程式如下[18]： n o 2=3.77834+[0.069736/(λ2-0.04724)]-0.010813λ2 n e 2=4.59905+[0.110534/(λ2-0.04813)]-0.012676λ2 C-cut Nd:YVO 4 晶體結構如圖 2.2.2 所示，針對不同方向還可分成 a-cut(同 b-cut)。c-cut 結構代表光束沿 c 軸方向入射，電場在 Nd:YVO 4 裡傳播時，電場沿 a 軸與 b 軸方向傳輸其折射率皆為 no，n= a. n= b. no 而沿著 c 軸方向傳輸的折射. 率為 ne ， ne = nc 。具有不同折射率的晶體，在光學特性上容易形成雙折射現象，所以又稱為雙折射晶體。. 圖 2.2.2 c-cut Nd:YVO 4 晶體的軸向示意圖。 9.

(21) 2.3 雙折射晶體的光學偏振特性光(light)具有波粒二向性，在一般的情況下，我們都使用波動來解釋光的基本特性，也就將光視為一種電磁波，可分為相互正交的電場和磁場方向，並且與光傳遞方向垂直，如下圖 2.3.1 所示。. 圖 2.3.1. 電磁波中，電場與磁場的傳遞關係圖。. 光在傳遞的過程中，電場作用的影響遠大於磁場。所以在偏振的討論中，也是對電場振盪進行討論。當電場振盪隨時間變化不具有任何的規律時，稱為非偏振光(Non-polarized light)，相反的當振盪隨時間的變化具有特定性時，稱為偏振光(Polarized light)。而偏振光主要又可以分為線偏振、圓偏振以及橢圓偏振三種偏振光。當電場振動方向固定在特定方向上時，稱為線性偏振光(linearly polarized light)，而隨著時間的改變，電場震盪呈現週期性的變化，可分為圓偏振光 (circularly polarized light)以及橢圓偏振光(elliptically polarized light)。從光源的角度去觀察，我們可定義一個直角坐標的空間，Z 方向為電場傳遞的方向。而 X 方向與 Y 方向，是電場振盪在 X 軸與 Y 軸的投影，其對應的強度 (也可視為振幅)可以用 E ox 和 E oy 來表示，在線偏振的情況，E ox 和 E oy 是固定的，相位差為 π 或是 2nπ。當與 Y 軸夾 a 度時，可成為 a 角度的線性偏振光，如圖 2.3.2(a)所示。圓偏振的振幅 E ox 和 E oy 是相等的，相位差為 π/2 的整數倍，如圖 2.3.2(b)所示。而橢圓偏振的振幅 E ox 和 E oy 是不相等的，而相位差為任意角度，. 10.

(22) 如圖 2.3.2(c)所示。圓偏振光與橢圓偏振光，因振盪方相變化的不同，皆分為左旋偏振光，如圖 2.3.2(b)所示與右旋偏振光，如圖 2.3.2(c)所示。. (a) 圖 2.3.2. (b). (c). 各式偏振光示意圖。(a)夾角為 a 的線偏振；(b)左旋圓偏振；(c)右旋橢. 圓偏振。偏振原件可產生偏振光，並且有些原件還擁有可改變原入射光的偏振型態，而原件種類大至可分為三種；線性偏振片(Linear Polarizer)、相位延遲片(Phase Retarder)、旋轉器(Rotator)。而以下將介紹本實驗會使用的，線偏振片與相位延遲片的部分，在本實驗中會需要判斷偏振的型態，所以在此會簡單介紹相關儀器原理。. 一. 線性偏振片(Linear Polarizer;LP)：此種偏振原件，只允許單一方向的電場振盪通過，所允許的傳遞方相需與傳遞軸(transmission axis；TA)平行。非平行的電場振盪會被偏振片吸收，如圖 2.3.3 所示，而穿透偏振原件的光束將會遵守 Malau’s Law[19]：. (θ為穿透電場振動方向與偏振片穿透軸 TA 的夾角。). 11.

(23) 圖 2.3.3. 45 度線偏振光(linear polarized light)入射示意圖。通過線偏振片. (polarizer)後，非平行振盪皆被吸收，只有平行振盪通過。. 二. 相位延遲片(Phase Retarder)，此偏振原件，會讓通過的電場被分成延著相位延遲片快軸(fast axis;FA)與慢軸(slow axis;SA)兩個方向的分量。這兩軸相互正交，當快軸電場振盪前進的速度大於慢軸時，兩軸因為行進的速度不同而產生相位差，如圖 2-3-4 所示，一般常用的相位延遲片可分為二分之一波片與四分之一波片兩種，而接下來將介紹，關於這兩種波片的特性。. 圖 2.3.4 非偏振光(unpolarized light)入射相位延遲片(phase retarder)示意圖。光會被分為延快軸(FA)與慢軸(SA)方向透射，並且傳遞速度將會不同。. 12.

(24) 二分之一波片(Half-Wave Plate;HWP)，此偏振原件的快軸與慢軸，之間相位差為二分之一波長的相位，也就是 2π ×. 1 =π。當線性偏振光入射二分之一波片 2. 時，其偏振角與慢軸(或是快軸)之間的夾角為θ，但當通過二分之一波片時，夾角將會變成 2θ，如圖 2.3.5(a)所示。實驗中如果為橢圓偏振光與圓偏振光通過時，其偏振角度將不會改變，但旋轉方向將會改變，原因是相位會差 π 所至，如圖所示 2.3.5(b)(c)。. (a). (b). (c). 圖 2.3.5 光線通過二分之一波片(HWP)的偏振情況示意圖。(a)線性偏振光的偏振角與二分之一波片(HWP)夾 θ ，但當通過二分之一波片(HWP)後，與原入射光夾角將相差 2θ 。(b)左旋橢圓偏振光通過二分之一波片(HWP)，將變為右旋橢圓偏振光。(c)右旋圓偏振光通過二分之一波片(HWP)，將變為左旋圓偏振光。. 13.

(25) 四分之一波片(Quarter-Wave Plate;QWP)，特性類似二分之一波片，只是其快慢軸相差四分之一波長的相位 2π × 1 = π 。藉由這種相位差的特性，讓通過四 4. 2. 分之一波片的線偏振光，將可呈現線偏振(入射光與四分之一波片夾 0 或 90 度)、圓偏振(入射光與四分之一波片夾 45 度)和橢圓偏振(入射光與四分之一波片夾非 0、45、90 以外的角度)，如圖 2.3.6(a)(b)(c)所示。. (a). (b). (c). 圖 2.3.6 線偏振光(linear polarized light)通過四分之一波片(QWP)其偏振示意圖。 (a)線偏振光入射與四分之一波片夾 0 或 90 度，偏振型態將不變還是線偏振光。 (b)線偏振光入射與四分之一波片夾 45 度，偏振型態將變為圓偏振光。(c) 線偏振光入射與四分之一波片夾非 0、45、90 度，偏振型態將變成橢圓偏振光。. 實驗以 c-cut Nd:YVO4 來當雷射增益介質。c-cut 晶體顧名思義代表光束沿ｃ軸方向入射，電場可以分為 a、b 兩軸的分量。當電場在晶體內傳播時，沿 a 軸和 b 軸方向傳輸折射率皆為 no ，且 n= a. n= b. no ;沿 c 軸方向入射的折射率為. ne ， ne = nc 。此現象代表著在光路徑上折射率並非單一數值，而是擁有兩個折射率 no 和 ne 。光束在雙折射晶體內做傳輸時，會因晶體內部折射率不同，造成不同的光路徑而產生相位延遲(phase retardation)的現象[20]。. 14.

(26) 由於相位改變的關係，導致輸出雷射擁有不同的偏振型態。雷射光束射入與晶體 c 軸有夾角時，如圖 2.3.7 所示，兩個電場分別觀察到電場的折射率 no 和等效折射率 neff. neff =. ne × no (ne cos θ )2 + (no sin θ )2. (2.3.1). 兩個電場所傳遞的光路徑不相同，由相位延遲(phase retardation)公式[35]. δ =. 2π (seff neff − so no ). λ. (2.3.2). 由 2.3.1 和 2.3.2 可以了解相位延遲的原因(𝜆為入射光的波長、 so 為光束在晶體內行進的路徑長、seff 為等校光路徑)。在實驗的過程中我們將會針對模態張角的變化來觀察其相位的變化。配合程式的模擬與計算去相互對照，並且應證實驗所得之結果。. 圖 2.3.7 雙折射率晶體等效折射率示意圖. 15.

(27) 2.4 穩定球形共振腔之介紹本章節最重要的是介紹共振腔系統，首先我們必須了解穩定共振腔的條件。由光學理論得知雷射共振腔之波函數是由馬克斯威爾(Maxwell equation)的近軸方程所求得。而共振腔的近軸近似方程又和古典的二維簡諧振盪薛丁格 (Schrodinger)方程式有著一樣的型式[21]。球形共振腔在不同坐標系下，本徵態也會以不同形式來表現，在直角坐標系(笛卡爾坐標)下波函數為 Hermite-Gaussian equation；在柱狀坐標系下的波函數則是 Laguerre-Gaussian equation。. 2.4.1 穩定球形共振腔之條件雷射共振腔是兩面反射鏡所組成，相距的距離就稱為共振腔的腔長 L。反射鏡的選擇種類繁多，可以是平面鏡、凹面鏡，或是球面鏡。只要能將兩面反射鏡的球心連線形成光軸，讓系統成為軸對稱系統(共軸球面)就能稱為穩定共振腔 [22]，如圖 2.4.1 所示。兩個凹面鏡的曲率半徑分別為 R1 和 R2，而 O1 與 O2 為兩鏡的焦點，L 則為腔長。. 圖 2.4.1 穩定球形共振腔示意圖。兩個曲率半徑分別為 R1 和 R2 的凹面鏡組成的共振腔，其中 O1 與 O2 為兩鏡的焦點並形成光軸。. 16.

(28) 藉由 ABCD law(ray matrix)能了解共軸球形共振腔條件[23,24]。2.4.1 式中 g1 = 1 −. L L 而 g2 = 1 − (需特別注意當鏡面為凸面鏡時則負號需轉換為正號)。 R1 R2. 0 ≤ g1 g 2 ≤ 1. (2.4.1.). 當發生 g1 g 2 < 0 或是 g1 g 2 > 1 的情況時，代表非穩定共振腔。由圖 2.4.2 可看到以 g1 代表橫軸與 g 2 代表縱軸所建立的穩定共振腔範圍示意圖。圖中有顏色部分代表著穩定的情況，當然也包含著原點的位置。藉由圖 2.4.2 可以發現穩定共振腔的選擇非常多樣。不論是凹凹腔、凹凸腔、平凹腔等…。. 圖 2.4.2 穩定共振腔範圍示意圖。以 g1 g 2 作為 xy 軸，斜線區為為符合不等式 2.4.1 的穩定共振腔條件。[25]。. ∞ 所以帶在本篇論文中所選擇的穩定共振腔形式為平凹腔。 R1 > 0; R2 = 入 g1 = 1 −. L L L 和 g2 = 1 − 可得 0 ≤ 1− ≤ 1 代表著實驗的腔長 L 範圍是 R1 R1 R2. 0 ≤ L ≤ R ，在符合此規則的情況下，就會擁有幾何穩定條件。. 17.

(29) 2.4.2 近軸近似之下的球形共振腔波函數光是電磁波的一種，所以光在共振腔內傳遞時必定會受到邊界條件的規範。雷射共振腔的形式就會影響邊界條件的不同，各種受邊界條件限制的電磁波狀態稱為「模」(mode)。從雷射理論可知道模分為縱模(longitudinal mode)與橫模 (Transverse mode)兩種[26]。不同模態所對應的縱模與橫模，都存在著強度分佈上的不同或是振盪頻的差異。其中橫模的不同為光強度分佈，從雷射圖像(laser pattern) 可觀察出其差異性。但縱模的差異就無法單純由圖像中察覺其差異，需要觀察近遠場的變化才能了解。橫模大致可以分為兩類，一種是軸對稱型式如圖 2.4.3 所示通常稱為 Hermite-Gaussian modes(HG)，而另外一種則是旋轉對稱型式如圖 2.4.4 所示稱為 Laguerre-Gaussian modes(LG) [27]。產生圖像上的差異主要是因為坐標系的不同。 Hermite-Gaussian modes 是直角 ( 笛卡爾 ) 坐標系的波函數，而 Laguerre-Gaussian modes 是採用柱狀坐標系的波函數。接下來將從基礎的電磁學 Maxwell equation 出發，並外加近軸近似的條件，推導出上述兩種模態的電磁波。. 圖 2.4.3 Hermite-Gaussian Modes 基態示意圖。. 圖 2.4.4 Laguerre-Gaussian Modes 基態示意圖。. 18.

(30) 從 Maxwell equation 的近軸近似(Paraxial Approximation )條件做為起點，可以列出 2.4.2 式 ∇ × E = −µ. ∂ H ∂t. ∇ ⋅ E =0 ∂ ∇ × H =ε E ∂t ∇ ⋅ H =0. (2.4.2). 藉由 Helmholtz wave equation，電場形式可以表示為 ∇ 2 E − µε. ∂2 E= 0 ∂t 2. (2.4.3). 假設電場是單頻電磁波，則電場可以改寫成 = E E ( x, y, z ) ⋅ eiωt ，將式子帶回 2.4.3 可得 (∇ 2 + k 2 ) E ( x, y, z ) =0. (2.4.4). 上述 2.4.4 式中 k 為 wave vector，方向為光傳遞的 z 方向。 E= ( x, y, z ) u ( x, y, z ) ⋅ e − ikz z [. ∂2 ∂2 ∂2 ∂ + + − 2ik z + (k 2 − k z2 )]u ( x, y, z ) = 0 2 2 2 ∂x ∂y ∂z ∂z. 在近軸近似的條件下，. (2.4.5) (2.4.6). ∂2 u ( x, y, z ) 的值會遠小於其它項，所以可以省略此項來 ∂z 2. 得 2.4.7 式 [∇t2 − 2ik z 2 在上述 2.4.7 式中 ∇= t. ∂ + kt2 ]u ( x, y, z ) =0 ∂z. (2.4.7). ∂2 ∂2 2 和 k= + k 2 − k z2 ，將式子假設成 t 2 2 ∂x ∂y. u ( x, y, z ) = Ψ ( x, y )G ( x, y, z ) 其中 Ψ ( x, y ) 代表光束橫向變化的波函數；G ( x, y, z ) 代. 表高斯球形波的波函數，高斯球形波函數可以寫成. 19.

(31) x2 + y 2. − iω z [ ] ω0 −ik [ x 2+Ry z 2( z 2+ z R2 ) G ( x, y, z ) =R e ⋅e =⋅ ω ( z) z 2 + z R2 2. 2. ]. (2.4.8). 其中 ω0 代表的是光腰半徑最小值(z=0 的位置)； ω ( z ) 是任意位置的束腰半徑. ω= ( z ) ω0 1 + (. z 2 z ) ； R ( z ) 是代表曲率半徑； R( z= ) z[1 + ( R ) 2 ] ； z R 代表瑞利長 zR z. 度(Rayleigh range) ； z R =. πω02 ，將以上參數整理帶入 2.4.7 可得 λ. [∇t2 − 2ik z. ∂ + kt2 ]Ψ ( x, y )G ( x, y, z ) =0 ∂z. (2.4.9). 再使用代數運算的方法可以將 2.4.9 改寫成 ∂ )G ( x, y, z ) ∂z (k z )2 ( x 2 + y 2 ) = G ( x, y, z )[∇t2 + kt2 − z R2 = ]Ψ ( x, y ) 0 ( z + zR 2 )2 G ( x, y, z )(∇t2 + kt2 )Ψ ( x, y )(∇t2 − 2ik z. (2.4.10). 只單獨考慮橫向的波方程時，2.4.10 式可改寫成 4( x 2 + y 2 ) [∇ + k − ]Ψ ( x, y ) =0 ω ( z )4 2 t. 2 t. (2.4.11). f ( x) g ( y ) ，則可將 2.4.11 分成. 上述波函數還可以分成兩獨立部分 Ψ ( x, y ) = [. 4 x2 4 y2 d2 d2 2 2 + − ] ( ) = 0 [ + − ]g ( y ) = 0 ；kt2 = k x2 + k y2 k f x k ； x y dx 2 w4 ( z ) dy 2 w4 ( z ) − x2. 如果假設 f = ( x) ν ( x) ⋅ e w. 2. (z). 和ξ =. 2x 則微分方程可以改寫成 w( z ). k x2 w2 ( z ) d 2ν dν − 2 ξ + [ − 1]ν = 0 dξ 2 dξ 2. 20. (2.4.12).

(32) 將 2.4.12 式與 Hermite polynomial 相比會發現其形式是相同的，可求得解. 1 2x 2y H m[ Ψ m , n ( x, y ) = ]H n [ ]e m + n −1 w( z ) w( z ) π m !n ! 2. − ( x2 + y 2 ) w ( z )2. (2.4.13). 藉由 2.4.13 式可以求得本徵值(Eigenvalues)為 2 2 (2m + 1) ；k y2 = (2n + 1) k x2 = 2 w( z ) w( z ) 2 而電磁波縱向(光軸)方向的分量為 kz = k −. 2 (m + n + 1) k z w( z ) 2. dx 1 x = tan −1 ( ) 的積分技巧，可以求得相位的部分。2.4.14 式中 2 x +a a a z −(m + m + 1) tan −1 ( ) 稱為 Gouy phase shift zR. 利用 ∫. 2. k z z = kz − (m + n + 1) tan −1 (. z ) zR. (2.4.14). 藉由以上各種的解析，可以得到直角座標系(笛卡爾坐標系)下的電場波函數. ω Ψ mn ( x, y ) ⋅ 0 ⋅ e E ( x, y , z ) = ω ( z). − ik z z ( x 2 + y 2 ) 2( z 2 + z R 2 ). 1 2x 2y 其中 Ψ mn ( x, y ) = H m[ ]H n [ ]e w( z ) w( z ) 2m + n −1π m !n !. ⋅e. − i[ kz − ( m + n +1) tan −1 (. z )] zR. (2.4.15). − ( x2 + y 2 ) w ( z )2. 。. 若要分析不同坐標系下的情形，式子必需要做一些修改。接下來將討論柱座標下 Laguerre-Gaussian equation 的情形。因為轉換至 Laguerre-Gaussian 形式只是單純的坐標系轉換，所以解析法將會和 Hermite-Gaussian equation 所使用方式相似。主要改變之處為(x,y,z)參數將會變成 (r , θ , z ) 。. 21.

(33) 如此一來從 2.4.6 式出發並改變其坐標系，則可得. [. ∂ ∂ 1 ∂ 1 ∂2 − 2ik z + kt2 ]u (r , θ , z ) = (r ) + 2 0 2 ∂z r ∂r ∂r r ∂θ. (2.4.16). k r2. ω0 −i 2 Rz ( z ) 1 ∂ ∂ 1 ∂2 經其中 ∇ = (r ) + ；u(r,θ ,z)=Ψ (r , θ )G (r , θ , z ) =Ψ (r , θ ) ⋅e r ∂r ∂r r 2 ∂θ 2 ω ( z) 2 t. 過類似直角坐標系的推導方式，並解 Laguerre polynomial 可得 r2. = Ψ p ,l ( r , θ ). − 2 p! 2r l l 2r 2 ω ( z )2 e ] ⋅ Lp [ ] ⋅[ ⋅ ⋅ eilθ 2 ((1 + δ 0,l )π ( p + l )!) ω ( z ) ω ( z). (2.4.17). 當 l = 0 則 δ o ,l = 1 ；如果 l ≠ 0 則 δ o ,l = 0 ，最後得到柱座標系下的電場波函數如 − ik z zr 2. ω E ( x, y , z ) = Ψ p ,l (r , θ ) ⋅ 0 ⋅ e 2( z ω ( z). 2. + zR 2 ). ⋅e. − i[ kz − (2 p + l +1) tan −1 (. z )] zR. (2.4.18). Hermite-Gaussian modes 中橫向的係數為 m, n ，而坐標系轉換過的 Laguerre-Gaussian modes 其橫向係數則為 l , p ，之間轉換的關係為. 2 p + l +1 = m + n +1. (2.4.19). 整理式子 2.4.17，並標出其代表之物理意義如下所示 -r2. 2 w E ( x, y , z ) = { 0 e w ( z ) }× E0 w( z ). - i[ kz -(2 p + l +1) tan -1 (. {e. z )] zR. ...振幅 }×. ...縱向相位. (2.4.20). 2. {e. - ik z r 2R( z). ... 橫向相位. }. 經過此小節的介紹過後可以更理解 Hermite-Gaussian 與 Laguerre-Gaussain 的基本型式。也發現這兩個式子相互轉換的規則，這對球形雷射共振腔系統而言是一個很重要的工具，讓實驗上分析與模擬圖形能夠更加便利。. 22.

(34) 2.4.3 不同坐標系之下高斯光束之疊加實驗的過程中所觀察到的模態是光束在共振腔內互相干涉的結果。所以能藉由波函數進行模擬並且比對實驗結果。首先可以將 2.4.13 帶入 2.4.15 中可得 1. ( HG ) E ( x, y= Φ= , z) m , n ,l − ( x2 + y 2 ). ⋅e. w ( z )2. ⋅. ω0 ⋅e ω ( z). 2. m + n −1. π m !n !. − ik z z ( x 2 + y 2 ) 2( z 2 + z R 2 ). H m[. 2x 2y ]H n [ ] w( z ) w( z ). (2.4.21). z − i[ kz − ( m + n +1) tan ( )] zR −1. ⋅e. z0 12 f − 12 λ z0 12 上述式子中 = ω0 (= ) ( ) ( ) 代表光腰(Beam waist)z=0 的情況。 π c π 由凹面鏡和平面輸出鏡組成的共振腔系統，其頻率 f (n, m, l ) 為橫向頻率  fT 和縱向頻率  f L 之總和 )  f L [l + (m + n + 1) × f (m, n, l=.  fT ]  fL. l 表示為縱模係數、 m, n 表示為橫模係數、橫模與縱模的頻寬比以. (2.4.22) P 表示[28]。 Q. P  fT 1 L cos −1 1 − = = Q  fL π R. (2.4.23). 之後將 2.4.21 修改變成 1. ) = Φ (mHG , n ,l. 2. ⋅e 如果頻寬比. w ( z )2. 1 2x 2y ⋅ H m[ ]H n [ ] w( z ) w( z ) π m !n ! ω ( z ) ⋅. (2.4.24). πz. −( x + y ) 2. m + n −1. 2. ⋅e. P x2 + y 2 − i ( )[ l + ( m + n +1)( )][ +1] L Q 2( z 2 + z R 2 ). P ( HG ) 是有理數的情況時，k=0,1,2,3,4…則 Φ m0 + pk , n0 + qk ,l0 + sk ( x, y, z ) 可組 Q. 成頻率的簡併態。條件為方程式 s + ( p + q ). P = 0 且各個係數皆為整數[29]。由方 Q. 程式可以得知 P+Q 需要為 Q 的整數倍，P+Q=kQ 且 k=0,1,2,3,4…。. 23.

(35) 由 Φ m0 + pk , n0 + qk ,l0 + sk ( x, y , z ) 所組合成的波函數，在波函數疊加後得到新的 ( HG ). 波函數如下 Φ mp 0,q,n, s0 ,l0 ( x, y, z; φ0 ) = ∑ k =0 eikφ0 Φ (mHG0 + pk) ,n0 +qk ,l0 + sk ( x, y, z ) M. (2.4.25). φ0 表示 z=0 的情況下 Hermite-Gaussian modes 的各個相位。2.4.25 又可以改寫成 Φ. p ,q ,s m0 , n0 ,l0. ( x, y, z; φ0 ) = Φ ( x, y, z; φ0 ) ⋅ e p ,q m0 , n0. −i (. πz L. )[ l0 + ( m0 + n0 +1)(. P x2 + y 2 )][ +1] Q 2( z 2 + z R 2 ). 其中 Φ mp 0,q,n0 ( x, y, z; φ0 ) = ( p + q ) tan −1 ( ∑ k =0 eikφ ( z )Φ (mHG0 + pk) ,n0 +qk ( x, y, z ) ； φ ( z ) = M. (2.4.26) z ) + φ0 zR. 根據以上的介紹，可以更加地了解球形雷射共振腔系統的波函數，可由馬克斯威爾方程式之近軸近似運算去解得 Hermite-Gaussian 或是 Laguerre Gaussian modes。另一方面 Laguerre-Gaussian modes 是可藉由 Hermite-Gaussian modes 轉換而成[9]，由 2.4.24 進行座標轉換可得到. Φ LG = ,φ , z) p , ( r. 2 p+. ∑e k =0. π. ik ( ) 2. B( p, , k )Φ 2HGp +  − k ,k ( x, y, z ) (2.4.27). 其中 B 為座標轉換係數(coordinate transformation coefficients)表示如下. B ( p , , k ) =. (−1) k 22 p + . (−1) s ( p + ) p !(2 p +  − k !)k ! ∑s s !(k − s)!( p +  − s)!( p − k + s)!. (2.4.28). 雖然坐標系不相同，不過 Gaussian beam 光強度分佈還是依照著高斯分佈。所以式子中還需加入分配係數，確保整體式子的完整性與理論上的正確性。最後加上疊加項如此一來才能模擬實驗上所觀察的六點環形模態，公式則是將會寫成 [30][31][32]. 24.

(36) = Φ LG p0,l 0. N. 1 2. N. ∑. K =0. N! ⋅ eikφ ⋅ Φ LG p0,l0 +α K ( N − K )! K !. (2.4.29). 在 Hermite-Gaussian(或是 Laguerre Gaussian)體系下的模態，其共振腔的本徵模態(eigenmodes) 在特殊腔長時會有疊加的情形發生，形成特殊簡併態。這些本徵態符合古典的軌跡，可藉由幾何光學來進行圖像的重建[33]。在下一章的實驗中將會觀察到前面提及的波動方程式和量子諧振子的相應關係，結果也將會比對古典(幾何光學)的模擬情形。. 25.

(37) 2.4.4 簡併共振腔之介紹在前一章 2.4.3 小節中提到，當縱向模態與橫向模態的頻寬比呈現一個有理數比時，其 Hermite-Gaussain modes 或是 Lagurre-Gaussain modes 會疊加成為一些特殊的簡併態。在本小節中我們將對縱向模態與橫向模態的頻寬比和相對印的能量做相關的介紹。首先將縱向模態與橫向模態的總頻寬比 f (m, n, l ) 進行改寫 f (m, n, l= )  f L [l + (m + n + 1) ×.  fT ]  fL. (2.4.30). f c P 1 之後縱模頻寬 ∆f L = 和 T= = cos −1 g1 g 2 帶入 2.4.30 做替換可得 2L  f L Q π. f (m, n,= l). c 1 [l + (m + n + 1) × cos −1 g1 g 2 ] 2L π. (2.4.31). 其中 m, n 為橫模係數 ; l 為縱模係數 1 以本論文主要實驗為例介紹，三維六點環形模態其 Ω = 代表著 3 ∆fT : ∆f L = 1: 3. (2.4.32). 又由於愛因斯坦能量公式 E = nhf 可得知光能量與頻率成正比，所以可得 E ∝ f (m, n, = l ) [ f L × l + (m + n + 1) × fT ]. (2.4.33). 而簡併共振腔代表著，光束在共振腔內反射出光後，每個疊加的模態(modes)其能量都會相同的情況。也可以解釋成 2.4.32 式頻率參數 m, n, l 不管如何變化，最後疊加出來的總值必定是相同的。. 26.

(38) 1 以的簡併共振態三維六點環形模態為例，我們已知 ∆fT : ∆f L = 1: 3 ，所以 3. ∆fT =1; ∆f L = 3 ，如果令 n=0 則 2.4.32 可改寫為 E ∝ f (m, n, l ) = [3 × l + (0 + m + 1) ×1]. (2.4.34). 圖 2.4.5 頻寬與模態係數示意圖。由圖 2.4.5 縱座標軸代表能量強度，橫坐標軸代表頻率，下方數值代表著係數. ( m, n, l ) 由上方的假設中訂出 ∆fT =1; ∆f L = 3 和 n=0 的條件。當 m 係數增加 3 時，則 l 係數就要少 1。如此可保持著式子 2.4.33 的能量保持相同。以左方第一排數列為例。假設其中一組係數為 (10, 0, l ) 其狀態屬於在 1/3 的簡併態，下一組的係數就該為 (13, 0, l − 1) 可以按此規則推出無數組數值。而當多組數值疊加的情況下就會形成腔長為 1/3 的簡併態，此時的共振腔也可稱為簡併共振腔。. 27.

(39) 第三章理論與實驗結果 3.1 實驗架構實驗架構的部分，主要可以分為四大類部份分別為：半導體雷射激發源 (Pumping supply)、雷射共振腔 (Laser cavity)、檢測與過濾用濾片(Filter)和光偵測器(Detector)如圖 3.1.1 和圖 3.1.3 所示。. 圖 3.1.1 雷射實驗系統概念架構圖。. 圖 3.1.2 雷射聚焦鏡筒示意圖。(鏡筒組成鏡片分別為焦距 F=50mm(左)與 F=25mm(右)的平凸透鏡，型號分別為 LA1131-A 和 LA1951-A). 28.

(40) 圖 3.1.3 雷射實驗系統實際架構圖。現在就要來各別介紹實驗中使用的元件。首先在雷射激發源的部份，採用半導體雷射作為激發光束型號為 K81S09F，其電流與功率曲線圖(I-P curve)如圖 3.1.4 所示。因為光纖半導體雷射出光後發散速度過快，所以會在出光處外接上一個聚焦鏡筒組進行縮束(如圖 3.1.2)聚焦於晶體上(鏡組組合為焦距 F=50mm 與 F=25mm 的平凸透鏡，型號分別為 LA1131-A 和 LA1951-A)。共振腔方面選為凹平腔，此方式能減少實驗所需的空間並保有一定的可調製性。前鏡曲率半徑 R=10mm 並且單面鍍膜 HR=99.8%(BK7)。增益介質為 c-cut Nd:YVO 4 晶體，Nd 離子參雜濃度為 2%，晶體出光面有做單面鍍膜 HR808nm 和 PR1064nm99%。整體固態雷射系統的 I-P curve 與雷射轉換效率圖(P-P curve)分別如圖 3.1.5 和 3.1.6 所示，從圖中可以發現實際出光的情形為線性規則。. 29.

(41) 圖 3.1.4 半導體雷射電流與功率曲線圖(I-P curve)，閥值電流約為 1.1A，圖中黃色實線為擬和結果。. 圖 3.1.5 固態雷射系統電流與功率曲線圖(I-P curve)，閥值電流約為 1.65A，圖中黃色實線為擬和結果。 30.

(42) 圖 3.1.6 雷射轉換效率圖(P-P curve)，藉由擬和的方式可以得到其轉換效率(曲線斜率)約為 7.6%。六點環形模態需符合. P 1 = 之條件，所以實驗上腔長就控制在 7.5mm(細節 Q 3. 的部份在第 3.2 節有所提及)。晶體部分還有進行溫度控制，因為溫度過高或過低都會對出光效率產生影響(低溫時效率較好反之較差，由居量反轉(Population Inversion 公式. N2 = e − ( E2 − E1 )/ kBT 得知)，讓其保持在室溫 25 度的條件下是最 N1. 符合的情況。檢測元件的部份，晶體出光後我們使用了 1064nm 的濾波片來純化紅外光束(過濾絕大多數 808nm 波長的光束)，之後使用物鏡與三軸移動平台的組合來觀察光束在近遠場與共振腔內的變化，藉由 1/4 波片與線偏振片的配合使用來達到檢驗偏振的效果，最後我們使用的偵測器為 Cannon 450D 內部感光元件為 CMOS。. 31.

(43) 3.2 簡併共振腔下之環形模態實驗結果 Laguerre-Gaussian modes 之疊加態能與類似古典軌跡的模態對應。六點環形模態經過波函數疊加和干涉後，腔內軌跡與幾何光學相互吻合。六點所在的位置剛好能呈現一個環形的圖樣，而在幾何結構上它呈現出一個三維立體結構，如圖 3.2.1 所示(此圖為俯視圖)。由圖 3.2.1 還可以了解其近遠場的變化，在 z=0 時為立體的三點，隨腔長變長依序變成六點、三點，最後至遠場的位置時為六點。運用波函數之疊加，可以重現六點環形模態。波函數的選擇為本文第二章有所提及的 Laguerre-Gaussian equation 為主，模擬出雷射共振腔的情形。程式部分是使用 Mathematica2012 的程式繪圖功能來完成模擬。. 圖 3.2.1 雷射共振腔之六點環形模態軌跡示意圖。六點環形模態的橫模是三維展開的簡併共振態，所以參數為 p, 。而 Laguerre-Gaussian equation 能由 Hermite-Gaussian equation 轉換得到。其中橫向模態系數的相對應關系為 m =. 2p +  − k,n =. k, =. s ，在以下的範例中. p = 0 。腔長的部分，為了呈現完整且穩定的六點環形模態，腔長 = L. 3 = R 4. P  fT 1 L 1 = cos −1 1 − = 7.5mm ，觀察縱模與橫模頻寬比可得到 = Q  fL π R 3. 所以我們可以得知 Q = 3 (程式部分 Mathcad 程式語言會附錄在本章節後)。. 32.

(44) 圖 3.2.2 (a)為六點環形模態的模擬影像，此狀態為第三階且疊加次數 N = 7 、縱模係數  = 54 ；(b)為實驗上所觀察之圖形。圖 3.2.2 中也可以發現六點光點會組合成一個近似完全對稱的環形結構，所以此模態才以六點環形模態相稱。接下來幾個章節將會介紹關於六點環形模態的相位關係、近遠場、階數關係、偏振狀態等…相關的實驗結果與電腦模擬的情況。. 圖 3.2.2 六點環形模態第三階影像圖，疊加次數 N = 7 、縱模係數  = 54 。 (a)電腦模擬結果、(b)實驗觀察結果. 33.

(45) 附錄此為 Mathematica2012 模擬繪圖程式碼的部分. (開頭有畫底線的空缺的地方，為可視系統的不同來調整個參數). 34.

(46) 3.3 環形模態相位差之分析本實驗所使用的雷射增益介質為出光波長 λ =1064nm；晶體厚度為 1 mm；單面鍍膜； = ne. 2.1652, = no 1.9573 的 c-cut Nd:YVO 4 晶體。若要產生擁有兩. 組相互正交的圓偏振的六點環形模態，其左旋與右旋之間的相位差 δ 必須為. n π (n = 1,3,5) ，同偏振態間相位差為 2nπ 。六點環形模態中每個 δ 值都能對應到一個張角 θ ，透過已知的雙折射晶體兩種折射率 ne ,no 可以反向推出對應的 θ 值： a 軸和 b 軸方向的折射率： n= a c 軸方向的折射率： n= c. 等效折射率： neff =. 相位差： δ =. n= b. n= 1.9573 o. n= 2.1652 , e. ne × no (ne cos θ )2 + (no sin θ )2. 2π (seff neff − so no ). λ. Nd:YVO 4 晶體擁有兩種折射率 ne ,no ，導致光束在晶體內傳播時會發生折射的現象，產生不同的光束軌跡和折射角，如圖 3.3.1 所示，光束會在晶體內部受折射率影響分開，軌跡因此也具有差異性。藉由以上現象配合司乃耳定律(Snell's law) na sin θa = nb sin θb 可以推導出相對應的 θ. = θeff. −1 sin θ sin ( ),θo =. neff. 35. sin −1(. sin θ. no. ). (3.3.1).

(47) 圖 3.3.1 雷射光束在晶體內折射示意圖。由 3.1 節便可以了解到，雙折射晶體會造成相位延遲(phase retardation)最重要原因在於雷射光束的傳遞方向必須要與 c 軸的夾角θ不是 0 度。符合此條件推算出的 neff 帶入 δ 才會有值，並且每次經歷一次夾角θ就會產生一次 δ 。由圖 3.3.2 可以觀察出，六點環形模態光束軌跡與對應的相位關係，以及其立體結構的組成。光束在共振腔內一趟完整的循環，會經過晶體六次(每次會造成相位延遲 δ )，經過完整的循環後會再次回到起始點。這也表示相位差為 2π 的正整數 = 6δ 倍，. 2= n π ,n 1,2,3,…，經過移項又可以推得 6δ =. 2= n π ,δ. nπ 3. 圖 3.3.2 六點環形模態左旋光束軌跡和對應相位延遲 δ 示意圖。. 36. 。.

(48) 3.4 六點環形模態理論分析與偏振特性實驗上利用雷射共振腔系統來呈現模態的真實情況，並且比對觀察到的結果與理論是否吻合。腔長或離軸等…不同的條件可能使模態呈現簡併或非簡併態。非簡併態的情況下雷射光束為最原始的模態，其波函數是由 Hermite-Gaussian equation(Laguerre-Gaussian equation)表示。但若共振腔是在簡併態的條件下，則波函數會疊加，雷射軌跡將會符合古典軌跡(幾何光學)。本文的重點注重在一種較複雜的三維模態的介紹「六點環形模態」。雖然在大多數的情況下，過往觀察與統計的模態大多為一維或是二維模態，但是相關的背景資料因為能通用的關係，所以相對的相當齊全。六點環形模態是由 Laguerre-Gaussian modes 疊加所呈現的簡併態形式，其光路軌跡也如同預測與古典軌跡相符，如圖 3.4.1 所示。藉由推算結果可以得知，要得到六點環形模態其共振腔長大約會在 L = 7.5mm 附近去做調整。. 圖 3.4.1 六點環形模態在雷射共振腔內之光束軌跡示意圖。. 37.

(49) 圖 3.4.2 六點環形模態模擬觀察近遠場變化。(a) z = 0mm (b) z = 1.1mm (c) z = 2mm (d) z = 4.5mm (e) z = 10.5mm (f) z = far field mm 將 3.4.1 與 3.4.2 相互比對後會發現預設的光束軌跡，與電腦模擬的情況相似，所以進一步將實驗上所觀察到的結果與模擬的結果相互比較。圖 3.4.3 為實驗上六點環形模態近遠場的變化，可以發現實驗上的結果與電腦所模擬結果相當符合，這也更加證明了我們所預設的光束軌跡之正確性。. 圖 3.4.3 六點環形模態實驗觀察近遠場變化。(a) z = 0mm (b) z = 1.1mm (c) z = 2mm (d) z = 4.5mm (e) z = 10.5mm (f) z = far field mm 38.

(50) 在實驗上檢測偏振形式，最簡單的方式就是雷射出光後加上一片線偏振片 (LP)，藉由旋轉偏振片的角度去判斷可能呈現的偏振型態，檢測結果如同預期圖形幾乎毫無變化，所以判斷其偏振應該為圓偏振形式。圓偏振的檢測，須利用. 1 4. 波片(QWP)使光束產生相位差[34]，將圓偏振光轉變成線偏振光，在後面再加上線偏振片去檢測，藉由旋轉線偏振片觀察光斑圖形變化去分化出左旋光與右旋光。 1 藉由波片與線偏振片夾角為 0° ,45° ,90° ,135° 的檢測中，可以發現夾角為 0° 4. 時光點都存在，但是當夾角為 45° 時就會發現其中三點光點已消失，代表著此三 1 點光束為圓偏振光，夾角為 90° 時光點又全部出現，接著當線偏振片與波片夾 4. 135° 時可以發現另外三光點消失，且消失三點與夾角為 45° 時消失的三點為完全對稱的光點，如圖 3.4.4 所示。此現象就可以完全的斷定出六點環形模態具有一組相互正交的圓偏振(左旋圓偏振與右旋圓偏振)。. 圖 3.4.4 三階六點環形模態偏振檢測結果，環形半徑為 11.8mm。 1 1 1 1 (a) 波片+LP 0° (b) 波片+LP 45° (c) 波片+LP 90° (d) 波片+LP 135° 4 4 4 4. 39.

(51) 藉由一系列的檢測與理論分析，我們整理出一套較完整的規則。從實驗上六點環形模態近遠場變化的結果可知，圖形由六點開始變化，隨 z 軸延伸光點向外移變成三點，在往後觀察會發現到圖形又會變為六點再變成三點，在遠場處呈現六點的對稱環形。其變化性可以完整的建構出六點環形模態的光束軌跡如圖 3.4.5 所示. 圖 3.4.5 六點環形模態近遠場與相位關係示意圖。由圖 3.4.5 六點環形模態呈現出相當完整的環形排列，這也代表著每次光束經過晶體時的角度幾乎完全對稱。一個完整循環的週期中光束必須經過晶體六次 (每次會造成相位延遲 δ )，每個完整的循環後會再次回到出發點。這也表示相位 = δ 差為 2π 的正整數倍，6. 2= n π ,n 1,2,3,…。在偏振檢測中得到光束部分可分. 為左旋圓偏振光與右旋圓偏振光兩種，同偏振的光束在循環的過程中，會差兩次與四次的 δ 。如果以左旋光 ( 右旋光 ) 當作例子，表示相位差 ∆δ 還須符合 ∆δ = 2n π 的規則。所以完整的相位關係式為. = 6δ. n π ,δ 2=. 40. nπ 3. n=3,6,9…. (3.4.1).

(52) 因此六點環形模態又可以分成不同 n 值的環形，只要 n 為正整數並且為 3 的倍數即可(不同 n 值即代表不同階數，其中可以相互換算 n=3 時為第一階、n=6 時為第二階…以此類推)。理論運算上不同階層亦為不同 n 值，而實驗中圖形上各階的差異，最明顯就是環形半徑的不同，由圖 3.4.6 呈現了實驗上兩種不同半徑的六點環形模態。我們也對這個現象做了一系列的紀錄，並且進行了相對應的數值對照。. 圖 3.4.6 六點環形模態不同階數結果比較圖。 (a) 第 3 階 n=9 六點環形模態半徑為 11.8mm (b) 第 8 階 n=24 六點環形模態半徑為 19.3mm. 由圖 3.4.6 與 3.4.1 式配合，就能推測階數與環形半徑示意圖，如圖 3.4.7 所示。由圖 3.4.7 中可以了解，理論上要產生階數越大的圖像時，其激發光源 (Pumping Source)的離軸承度也需要變大，如此一來入射角度的改變進階影響到折射角與光路徑，配合雙折射晶體的概念就能解釋環形半徑與階數之間關係形成原因 (亦能解釋相位差與階數之關係) 。. 41.

(53) 圖 3.4.7 階數與環形半徑示意圖。圖 3.4.8 和圖 3.4.9 為實驗上觀察到的六點環形模態的相位、半徑與六點環形模態階數的關係圖。觀測組數為十二組(無法向上量測原因為本雷射系統之極限)，結果都呈現正比關係(模態半徑的測量位置，固定在晶體出光面後 17.5cm 處)。. 圖 3.4.8 階數(Order)與六點環形半徑(Radius)相對關係圖。 (觀測由第一階至第十二階亦可解釋 n 值為 n=3 至 n=36 之間 3 的倍數). 42.

(54) 圖 3.4.9 階數(Order)與六點環形相位(Phase)相對關係圖。 (觀測由第一階至第十二階亦可解釋 n 值為 n=3 至 n=36 之間 3 的倍數) 實驗上觀察由第一階至第十二階之圖形。從下表 3.4.1 所示可以發現不同區段階數的相位、數值分析之誤差以及激發源的離軸程度 ∆r 等相關數值。較為特殊的是激發源的離軸程度 ∆r 有部分非成正比關係，主要是因為同一模態可能在不同的激發位置被激發，所以沒有遵守理論上的結果(實驗中只有少數不符合，整體大多符合正比關係)。實驗整體觀察各區段階數之圖形其數值分析後的誤差值皆低於 5%，這也能表示我們實驗的準確性。. 表 3.4.1 實驗與理論誤差比較。( δ =相位差、 ∆r =離軸大小、 n=6 為第二階,n=36 為第十二階依此類推). 43.

(55) 3.5 六點橢圓形模態之實驗結果本論文主要研究於六點環形模態，但是在三維模態上尚有四點矩形模態、六點橢圓模態、複合式模態等…各式各樣的立體模態。所以在本論文中將使用相同實驗系統(雷射增益介質 c-cut Nd:YVO 4 、共振腔系統同第三章)，在單獨改變激發源離軸的情況下，個別介紹兩種具有特色的簡併模態。分別是六點橢圓形模態與複合式模態，並且做實驗上的分析及討論，未來的理論計算便朝這些模態上努力，並與實驗結果相互分析比較。在相同的實驗條件下，為了呈現完整且穩定六點環形模態，腔長需要 = L. 3 = R 4. 7.5mm. ，也就是縱模與橫模的頻寬比符合. P  fT 1 L 1 的條件。在特定的離軸條件下可以觀察到六點環形 = = cos −1 1 − = Q  fL π R 3 模態，但是當離軸稍作改變時，可以清楚的發現六點不再是對稱的環狀結構，而是具有偏轉角度的橢圓，在實驗上我們稱為六點橢圓形模態如圖 3.5.1 所示. 圖 3.5.1 六點左橢圓形模態。. 44.

(56) 在結構上六點橢圓模態與六點環形模態極具相似，唯一不同的在於環形結構代表著光束在共振腔內部傳遞時每次反射的角度都相同，而在橢圓結構時是因為激發源的離軸不在特定位置上，導致反射角無法達到每次均相等的條件所以使圖形由環形轉變為橢圓形。由圖 3.5.2 可發現與第三章結構圖的差異之處，其反射角度不太相同. 圖 3.5.2 六點左橢圓形模態在雷射共振腔內之光束軌跡示意圖。為了要驗證圖 3.5.2 的正確性，我們藉由物鏡配合移動平台來觀察光束的近遠場結構。結果發現圖形由六點開始變化，隨 z 軸延伸光點向外移變成三點，在往後觀察會發現到圖形又會變為六點再變成三點，在遠場處呈現六點橢圓形。其現象與六點環形模態近遠場變化相似，如圖 3.5.3 所示(以左橢圓形模態展示)，藉由實驗的檢測我們更加確定了，我們所假設之六點橢圓形模態結構的正確性。. 45.

(57) 圖 3.5.3 六點左橢圓形模態近遠場檢測。(a) z = 0mm (b) z = 1.1mm (c) z = 2mm (d) z = 4.5mm (e) z = 10.5mm (f) z = far field mm. P.S(實驗上六點橢圓形模態可因為離軸方向改變產生偏左邊的橢圓與偏右邊的橢圓)，如圖 3.5.4 所示. 圖 3.5.4 偏左與偏右的六點橢圓形模態。. 46.

(58) 偏振型態的部分，一開始我們使用線偏振片來做檢測，可是得到的結果卻是 1 沒有變化。這也代表其偏振為圓偏振，所以一樣在雷射出光後加上一片波片， 4. 並且再加上線偏振片去檢測。藉由旋轉線偏振片觀察光斑圖形的變化，發現偏振分別為左旋圓偏振與右旋圓偏振，以左橢圓為例檢測，如圖 3.5.5 所示. 圖 3.5.5 六點左橢圓形模態偏振檢測。 (a). 1 1 1 1 波片+LP 0° (b) 波片+LP 45° (c) 波片+LP 90° (d) 波片+LP 135° 4 4 4 4. 在偏振上也與六點環形模態相似，遵守著共振腔基本條件光束能在內部來回震盪，光束行走的路徑會遵循著某一個循環。而影響相位關係的主因是雙折射晶體所造成的相位延遲 δ 以及內部反射次數的不同所致。為了符合幾何上的分析， = δ 所以相位差依然為 2π 的正整數倍，6. 2= n π ,n 1,2,3,…，但是將正交圓偏振. 的實驗結果加入考量，也就說明 n 必須為 3 的正整數倍。在此條件下才能產生穩定的雷射簡併模態，式子能改寫成 6δ =. 2= n π ,δ. nπ 3. n=3,6,9…. 完整的實驗過程中，藉由相位分析可以知道到在六點橢圓形模態與六點環形特性相似。唯一的差異性在於光束結構的不同，其原因可能是光束在晶體內部的反射多了一些偏向角的存在，所以才呈現出橢圓形的光點排列。形成原因可能有激發光源的離軸程度、入射光源的水平程度以及晶體內部的平整性等…才造成光束在共振腔內反射角不相等的問題。. 47.

(59) 3.6 複合模態之實驗結果在前面的章節中，介紹了兩種立體模態分別為六點環形模態與六點橢圓形模態，從結構上看來皆為單一模態。不過雷射模態有時也可能出現複合式的情形，形成原因很可能為激發能量充足到允許支撐兩種或以上的模態。所以在本論文的最後一節，將介紹給各位一個以六點橢圓形模態為基礎的複合式雷射模態。首先介紹單一模態與複合模態圖像上的差異。「單一模態」代表光學幾何結構上的簡單獨立性，如圖 3.6.1 為雷射系統上能量需求最低的模態為光軸激發的 TEM 0.0 mode，其光束幾何結構只允許被單一幾何光學路徑分析。. 圖 3.6.1 雷射光束 TEM 0.0 mode。「複合式模態」則代表光學幾何結構能被分開討論，如圖 3.6.2 可以明顯發現斜線的模態與環形模態共存，其光束幾何結構就能被兩種光學路徑拆開解釋。. 圖 3.6.2 高階環形複合模態。. 48.

(60) 實驗設計上系統依然維持不變。因為此複合式模態以六點橢圓形模態作為基礎，所以腔長的需求仍是 = L. 3 = R 4. 7.5mm ，縱橫模的頻寬依然保持著. P 1 = 的 Q 3. 條件。在激發源特定的離軸條件下配合較高強度的電流功率，就可以觀察到複合式模態，如圖 3.6.3 所示。從模態圖形的外觀上看似一隻手錶，所以有時候又稱為「手錶形複合式雷射模態」。. 圖 3.6.3 (手錶形)複合式雷射模態。如果仔細分析此模態可以發現，其實結構上可以分成為兩組模態。使用遮蔽法由可以清楚看到分為兩組具有不同偏向角的六點橢圓形模態，如圖 3.6.4. 圖 3.6.4 手錶形複合式雷射模態分解圖。. 49.

(61) 手錶形複合式模態是以兩組六點橢圓形模態所組合成，其相位和偏振的分析就與六點橢圓形模態相似。光束循環週期為經過晶體六次，相位關係式依然是 6δ =. 2= n π ,δ. nπ 3. n=3,6,9… 。在偏振檢測上圖片較難使用淺顯易懂並且明確. 的方式呈現所以在本論文中並不呈現相對應的偏振檢測圖。不過因為模態基底為六點橢圓形模態，偏振上可以分為左旋圓偏振光與右旋圓偏振光兩種，這是能直接預期的(實驗上的確可以發現手錶形複合式雷射模態偏振形式是與兩組六點橢圓形模態的偏振形式組合而成)。為了能更加地確定手錶形複合式模態是由兩組六點橢圓形模態所組合而成，我們量測近遠場的變化如圖 3.6.5 所示。可以發現其近遠場的變化可與兩組不同偏向角的六點橢圓形模態做疊合，如此一來便可以確認手錶形複合式模態是由兩組六點橢圓形模態所組成此一推論的正確性(由圖 a 近場圖形能更簡單的理解)。. 圖 3.6.5 手錶形複合式雷射模態近遠場檢測。(a) z = 0mm (b) z = 1.1mm (c) z = 2mm (d) z = 4.5mm (e) z = 10.5mm (f) z = far field mm. 50.

(62) 總結與未來發展方向本論文主要的重點都著重在六點環形模態，但是在雷射模態的研究中曾經觀 1 察過了許許多多不同形式的模態，其中包含基本的 TEM m,n 、腔長為時三點橫 3 向排列的 N-mode、或是腔長. 1 時，雷射光斑近場八點，遠場四點的四點方形模 4. 態等…，而它們的偏振可能是線偏振或是圓偏振，也有可能為橢圓偏振。而本文主要結論可歸納為以下五項一、六點環形模態為三維結構且由 Laguerre-Gaussian modes 疊加而成。二、簡併共振腔中六點環形模態具有相互正交的圓偏振現象。三、操作激發源的離軸變化可得到不同階數之六點環形模態。 1 四、腔長為系統下能觀察到其他相似特性的混和偏振態如:六點橢圓形 3 模態、手錶形複合式模態。 1 五、六點環形模態為腔長系統下六點系列混合式偏振模態之理論基底。 3 未來發展方向上，實驗方面可以將複合式模態去做更深入的分析，如觀察不同腔長下的複合式模態與其幾何結構等…，再將每種觀察到的複合式模態做偏振和理論背景的分析。應用方面可以將立體模態應用至光學鑷子上，如六點系列模態應用在光學鑷子上，以達到多點控制並且能決定供給軌道角動量的大小。實驗上有時也有無法呈現理論所分析的圖像，如數值模擬中六點環形模態階數分析可以接近無限大，可是實驗上卻相對會受到硬體設備的限制。在當今的研究環境中，雷射模態領域並不算是一個很熱門的研究方向，不過其研究成果卻對基礎科學的貢獻度極大，希望本論文的研究能對此領域的發展做出貢獻，也希望未來能有更多的新血加入雷射模態研究的行列。 51.

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