本節中，我們將對其他的試驗項目進行探討。昭和六年(1931)台灣教育會曾針對修 畢中學校四年級第一學期的學生作了一次學力檢定。《台灣中等學校學力調查成績》一 書中提到，當時的數學科是由甲斐三郎先生命題，其範圍主要為代數，總共五題，每題 20 分，測驗時間為 50 分鐘。參加考試的人數分別是：臺北一中 198 人、臺北二中 82 人、基隆中 77 人、臺中一中 75 人、台中二中 73 人、臺南一中 81 人、臺南二中 90 人、
嘉義中 88 人、高雄中 90 人、臺北商業 115 人、臺北工業 105 人、臺中商業 83 人、嘉 義農林 74 人、屏東農業 65 人、宜蘭農林 85 人，其中職業學校的部分不列入本篇探討 的範圍。第一題的測驗主旨與測驗問題如下：
第一個問題，目的要測驗解決一次方程式的應用問題：「十年前成本為 125 元的貨 品，今日成本材料貴六成，薪資成本貴三成，總共是 188 元，則今日的材料費與薪 資成本為多少？」52
對於學生的錯誤，甲斐先生指出，沒有寫出假設代數的意義，是一項錯誤，答案寫 成十年前的價格也是一個錯誤，另外還有就是聯立方程組設立成
188
0.4 0.7 125 x y
x y
，其他錯誤則是沒有甚麼意義的式子。下面表格顯示中學校在這題答題的情況。答案採人工 閱卷，且甲斐先生對於解答的書寫有嚴格的要求，雖然不知道評分的標準為何，但是可 以知道，即使計算結果正確，甲斐先生也會仔細確認文中的假設是否正確，有沒有寫清 楚，所以該題能拿到滿分的人並不多，同時，也可發現 0 分的人佔了絕大多數。
52 本引文翻譯自 臺灣教育會，《臺灣中等學校學力調查成績》，臺北市：1931 年，頁 28-29。
32
33
34
35
36
37
38
理性判別卻造成分數以 W 的形狀分布。從上述考試結果，輔以及下一章筆者所討論數 學筆記的難度推斷，經考試篩選進入高等科的人是少數表現最優秀的學生，才得以在進 入高等學校之後，順利銜接上更加困難的數學課程。
表 3.13 為每一所學校的平均分數：
表 3.13 1931 各中學校代數成績平均
臺北 一中
臺北 二中
基隆中 新竹中 臺中 一中
臺中 二中
臺南 一中
臺南 二中
嘉義中 高雄中
31.3 34.0 28 23.9 22.4 35.4 17.4 32.2 18.9 31.2
有趣的是，「二中」的成績遠勝於「一中」，而一中主要的學生來源為日籍學童，而二中 的學生主要是非日籍學生。就像就像曹銘宗先生在他的著作中提到：
日治時代的中學校雖然以考試招生，但在台灣人看來，一樣有台灣人的中學和日本 人的中學之分。以台北為例，五年制的男子中學，台灣男生一般都念台北第二中學，
因為第一中學幾乎都是日本人念的。60
這也說明了，對當時中學校的學生而言，其實語言在數學學習上面沒有造成太大的障 礙。
60 曹銘宗，《自學典範─台灣史研究先驅曹永和》，聯經出版事業公司，臺北市：1999 年，頁 42。
39
第4章 高等科數學─代數
在《臺北高等學校一覽》裡，〈學科課程、編制及教科書〉第二節第十五條高等科 的數學校教材明定：
第十五條 數學ハ數理ヲ會得セシメ計算應用ニ熟セシメ思考ヲ精確ナラシ ムルヲ以テ要旨トス
數學ハ文科ニ在リテハ數學諸論ノ大要ヲ授ケ理科ニ在リテハ代數、立體 幾何、三角法、初等解折幾何、初等微積分及初等力學ヲ授クヘシ61
從上述的引文中可以看到，當時初期臺北高等學校高等科的數學教材中，主要幾個教學 的方向，包含代數、立體幾何、三角法、初等解析幾何、初等微積分及初等力學。除了 以上的要目之外，另外從王先生的筆記之中可以看到排列組合、機率統計等教材。文科 生只有在第一學年，每週三小時的數學課，而理科生除了三個學年每週四個小時的必修 數學課之外，到了三年級還有兩小時的選修數學課。以文科生為例，可以從李登輝先生 口中得到上課的描述：
不是教普通的微積分，是教數學的歷史和觀念。62 在理科生許振榮先生的口述中，也可以窺見當時的數學課程：
數學課程，第一年有代數(包括歸納法、排列組合)、三角和立體幾何；第二年 有解析幾何(大部分是平面的)，主要課程是微積分，是在兩年後修習。63 本章節引用許多王先生當時所作的筆記，其中文字的部分，原本是戰前所使用的日 文，筆者將其翻譯成中文以方便讀者們閱讀與參考。
61 第十五條 數學以領會數理而熟悉計算應用而把思考精確為要旨。數學在文科，教授數學諸論的大要，
在理科教授代數、立體幾何、三角法、初等解析幾何、初等微積分及初等力學。
62 徐聖凱，《日治時期台北高等學校之研究》，頁 137。
63 引自臺灣大學數學系，《國立台灣大學理學院數學系簡介》，〈許振榮先生訪問記〉，1988 年，頁 27。
40
41
42
43
44
45
46
47
上述例 2、例 4 除了在「數學歸納法」單元的證明之外，筆記之中尚有其他不需要 數學歸納法的證明方法，部分是置於「雜級數」中幾個題目的其他解法。筆記中數學歸 納法中，最重要的觀察和臆測，並沒有出現，不過，可以確定的是，一題多解應該也是 當時強調的技能。數學歸納法標題下的內容，只占筆記一頁的篇幅。簡言之，筆記之中 數學歸納法並不是很重要的教學內容，若再與下面將要討論的二項定理作比較，篇幅顯 然較少，筆者推測，可能是數學歸納法無法使用在其他理科之故，而二項定理卻可用於 許多計算與計算過程中。
二項定理 4.2
這單元筆記的一開始，就對二項定理提出證明，事實上，筆記中在每個單元的最前 面，都會寫上對這單元重要的結論。譯文如下：
n
是正整數時， x a
n展開以降冪排列，這就是二項定理。70接著是對下列多項式作展開，其中
x a
4的a
一項，換成了四個不同的項。這樣的呈 現在教學上，可以更清楚掌握二項定理係數的變化：
4 3
1 2 3 4 1 2 3 4
2
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4 1 2 3 1 2 4 1 3 4 2 3 4 1 2 3 4
x a x a x a x a x a a a a x
a a a a a a a a a a a a x a a a a a a a a a a a a x a a a a
的結果
首項係數
1
第二項係數
a1, a2, , a3 的和第三項係數
a a1 2, a a1 3, 如文字表示積其所有的和 第四項係數
a a a1 2 3 如文字表示積其所有的和 同上故兩項的因式
n
個，所以
70 筆記內文原為戰前使用之日文，此為筆者翻譯之譯文。
48
49
50
51
52
1000 1000 3 1000 2 10000
53
二項定理的單元中，分別在筆記的前後兩段，分開教學，目前尚不清楚二項式定理 主要學習的目標，除了在基礎範圍中，展開的過程中就可以學習到其代數結構，包含巴 斯卡三角形以及計算上的速記。「二項定理的擴張」只有一頁的篇幅，相較於基礎的內 容，更有貼近計算、估計的特色。因為當時沒有計算機，所以教學中出現這樣的估計方 法，這就像印證了時代的變遷。
雜級數 4.3
「雜級數」就是今日「級數」，也包括了少許無限概念的練習題。筆記中，以這個 單元─「雜級數」為主題的內容非常地分散，散布在筆記中三處。筆者分類為─「基礎 問題」、「進階問題」以及「級數ノ和ヲ求メル特殊ナ方法」。基礎問題與進階問題的差 別在於，基礎問題可以看出題目中等差或等比的關係，而進階問題則沒有或是不明顯。
最後「級數ノ和ヲ求メル特殊ナ方法」獨立出來的原因是因為，這小段放在筆記的後面 幾頁，與前面的內容相隔非常地遠，可能較沒有相關。筆記的開頭就如同其他的單元，
整理了相關的解法以及要點。下面的引文中，解法 1 是將已知的題目分解成適當且好解 的形式，乘以適當的值再相減導出級數和，或用二項式定理，解法 2 採用數學歸納法，
解法 3 為遞昇(降)法：
解法 1. 根據方法分解已知的級數 イ 分解已知的級數
ロ 對兩邊同乘上某個適當的數，導出級數。
ハ 分解
1 11 111
or 0.10.010.001 並解答 ○ニ 分解一般項，全部導出一般項的形式。○ホ 利用二項式定理。
解法 2. 數學歸納法(但是是結果知道時) 解法 3. 遞降(昇)法79
79 筆記內文原為戰前使用之日文，此為筆者翻譯之譯文。
54
55
56
57
58