臺北高等學校數學教育初探 ─以學生筆記為例

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授：洪萬生博士左台益博士. 臺北高等學校數學教育初探 ─以學生筆記為例. 研究生：黃美倫撰. 中華民國一○二年七月.

(2) 致謝歷經三年，接受了許多人的幫助。若沒有你們，這本論文就無法完成，我衷心地感謝你們。. 最感謝的，還是我的雙親，能夠讓我全心在我的學業上努力。感謝洪萬生老師細心指導，不厭其煩地看我的論文，且在上課的時候給我許多啟發和想法。碩士班在學期間，也受到左台益老師的照顧，給予我肯定和指導。口試時，感謝林炎全老師也給了我許多寶貴的意見，讓我的文章更加完善。. 蒐集文獻時，東奔西跑，也受了許多人的幫助。尤其是蔡錦堂老師以及他的學生徐聖凱博士，非常感謝他將寶貴的資料交給我處理。還有圖書館員，師大總圖的胡小姐是典藏的負責人，感謝他的耐心和協助，讓我很快能夠找到書，靜靜地在圖書館的一角翻閱舊籍善本。. 這本論文也受了學長姐的協助，尤其是黃學長，在指導上給了我許多的幫助。還有許學長，在我寫不下去的時候，再給我「兩巴掌」，讓我看清楚現實。還有一起讓口試能夠順利地進行的學長姐們，謝謝你們。另外，在翻譯文獻上，也感謝門田先生的協助。. 想要感謝的人還有很多，感謝你們支持著我。. I.

(3) 摘要本篇論文以台灣 1922 年 - 1945 年為歷史背景，探討日治時期台北高等學校之數學教學內容。在鋪陳歷史脈絡時，筆者得力於徐聖凱《日治時期台北高等學校之研究》，以及其他相關教育文獻譬如台北高校的教師簡介。此外，筆者根據台灣總督府出版的《公學校算術書》以及當時的入學試驗題目，也得以掌握高等學校尋常科、高等科入學試題所包含的數學教育面向。最後，筆者再利用王姓學生提供的數學筆記本，探討當時高等學校的數學教育內涵。在台北高等學校的授課要旨中，數學科必須要在計算應用上熟練，且能精確地思考。王姓學生的筆記的確反映了此一現象，亦即將數學視為工具來學習。譬如說吧，在每個單元標題之下，有簡單扼要的原理論述，但強調的重點並不放在數學理論本身，而是放在數學應用上。雖然當時的授課內容與日本官訂的內容相差甚多，王姓學生的筆記本又比課程綱要原本的內容來得少，但是，其中突顯出來的特色，仍然是理論的應用。我們也可以看出，當時高等科的數學教育並不是以數學知識本身的發展作為主軸，而是以「大學生」應學會的數學工具為出發點，因此，數學教學的角色如以「大學通識課程」來比喻，是相當恰當的。目前有關台北高校的許多研究當中，在教育制度史之外，雖有不少探討涉及台灣文學或藝術人才的養成與影響，但未見有教育現場內容進行細部的研究。本研究以王姓學生的數學筆記本為例，希望重建台北高校的數學教育現場，也冀望可以豐富台灣數學教育史的研究內涵。關鍵詞：臺北高等學校、臺灣數學教育史、台高、數學教育、日治時期. II.

(4) 目次摘要 ··································································································· I 目次 ·································································································III 表目錄 ······························································································· V 圖目錄 ······························································································ VI 第 1 章緒論·························································································1 1.1 研究動機 ····························································································1 1.2 研究問題 ····························································································2 1.3 文獻探討與研究方法 ··············································································2. 第 2 章日治時期臺北高等學校 ································································4 2.1 學校概況 ····························································································4 2.2 學生概況 ····························································································8 2.3 數學科教授 ······················································································· 11. 第 3 章數學科學習背景 ········································································15 3.1 公學校 ····························································································· 15 3.2 中學校 ····························································································· 19. 3.3 試驗問題 ·························································································· 22 3.3.1 臺北高等學校尋常科入學試驗 ······································································ 22 3.3.2 臺北高等學校高等科入學試驗 ······································································ 26 3.3.3 其他試驗問題 ·························································································· 31. 第 4 章高等科數學─代數 ······································································39 4.1 數學歸納法 ······················································································· 43 4.2 二項定理 ·························································································· 47 4.3 雜級數 ····························································································· 53 4.3.1 基礎問題 ································································································ 54 4.3.2 進階問題 ································································································ 58 4.3.3 級數ノ和ヲ求メル特殊ナ方法 ······································································ 65. 4.4 多項式 ····························································································· 67 4.5 近似值 ····························································································· 71. 第 5 章高等科數學─解析幾何及其他 ·······················································78 5.1 解析幾何 ·························································································· 78 5.1.1 圓 ········································································································· 78 5.1.2 拋物線 ··································································································· 79 5.1.3 橢圓 ······································································································ 83 5.1.4 雙曲線 ··································································································· 85. 5.2 区分求積法 ······················································································· 87 5.3 其他 ································································································ 92 5.3.1 連續的變化之考察處理··············································································· 93 III.

(5) 5.3.2 軌跡 ······································································································ 94 5.3.3 單振動 ··································································································· 99. 第 6 章結論與建議 ············································································104 6.1 結論 ·······························································································104 6.2 建議 ·······························································································107. 參考文獻 ··························································································108 附錄一 1922 臺北高等學校尋常科入學試驗及翻譯 ···································· 111 附錄二 1924 臺北高等學校尋常科入學試驗及翻譯 ···································· 114 附錄三 1926 臺北高等學校尋常科入學試驗及翻譯 ···································· 115 附錄四 1929 臺北高等學校尋常科入學試驗及翻譯 ····································120 附錄五 1930 臺北高等學校尋常科入學試驗及翻譯 ····································121 附錄六 1931 臺北高等學校尋常科入學試驗及翻譯 ····································123 附錄七 1927 臺北高等學校高等科入學試驗及翻譯 ····································124 附錄八 1930 臺北高等學校高等科入學試驗及翻譯 ····································125 附錄九 1937 臺北高等學校高等科入學試驗及翻譯 ····································126 附錄十解析幾何─圓部分筆記 ·····························································127 附錄十一圓錐曲線─拋物線部分筆記 ·····················································128 附錄十二解析幾何─橢圓部分筆記 ························································129 附錄十三圓錐曲線─雙曲線部分筆記 ·····················································130 附錄十四極限問題 ············································································131 附錄十五單振動例題 ·········································································132. IV.

(6) 表目錄表 3.1 公學校與小學校數學授課內容 ··················································································· 16 表 3.2 中学校数学教授要目 ······························································································· 21 表 3.3 第一題統計表 ········································································································ 32 表 3.4 第一題統計圖········································································································ 32 表 3.5 第二題統計表········································································································ 34 表 3.6 第二題統計圖········································································································ 34 表 3.7 第三題統計表········································································································ 35 表 3.8 第三題統計圖········································································································ 35 表 3.9 第四題統計表········································································································ 36 表 3.10 第四題統計圖······································································································· 36 表 3.11 第五題統計表 ······································································································ 37 表 3.12 第五題統計圖 ······································································································ 37 表 3.13 1931 各中學校代數成績平均 ···················································································· 38 表 4.1 王先生筆記目錄 ····································································································· 40 表 4.2 高等學校高等科臨時教授要綱 ··················································································· 41 表 4.3 階差數列示意········································································································ 64. V.

(7) 圖目錄圖 2.1 1922 年教育制度示意圖............................................................................................................................. 5 圖 2.2 1931 年臺北高等學校................................................................................................................................. 6 圖 2.3 1929 年臺北高等學校本館......................................................................................................................... 6 圖 2.4 臺北高等學校講堂 ..................................................................................................................................... 7 圖 2.5 昭和四年臺北高等學校平面圖 ................................................................................................................. 8 圖 2.6 1927 學年度尋常科授課時數 ................................................................................................................ 10 圖 2.7 1927 學年度高等科文科每週授課時數 ................................................................................................ 10 圖 2.8 數學教師任職示意圖 ............................................................................................................................... 11 圖 2.9 1927 年 5 月 1 日 ...................................................................................................................................... 13 圖 3.1 1929 年臺南州立臺南第一中學校要覽(部分) ........................................................................................ 20 圖 3.2 1926 年考題 .............................................................................................................................................. 24 圖 3.3 1929 年考題 .............................................................................................................................................. 25 圖 3.4 1926 年考題 .............................................................................................................................................. 25 圖 3.5 1930 年考題 .............................................................................................................................................. 27 圖 3.6 1937 年考題 .............................................................................................................................................. 27 圖 3.7 1927 年考題 .............................................................................................................................................. 28 圖 3.8 1930 年考題 .............................................................................................................................................. 28 圖 3.9 1930 年考題 .............................................................................................................................................. 28 圖 3.10 1937 年考題 ............................................................................................................................................ 29 圖 3.11 1927 年考題............................................................................................................................................. 29 圖 3.12 1930 年考題 ............................................................................................................................................ 29 圖 3.13 1937 年考題 ............................................................................................................................................ 30 圖 3.14 1927 年考題 ............................................................................................................................................ 30 圖 3.15 1937 年考題 ............................................................................................................................................ 30 圖 4.1 二項式定理展開速記法 ........................................................................................................................... 50 圖 4.2 堆垛 ........................................................................................................................................................... 63 圖 4.3 y  x 12  x  ............................................................................................................................................ 69 2. 圖 4.4 誤差函數圖............................................................................................................................................... 73 圖 4.5 誤差函數圖............................................................................................................................................... 75 圖 4.6 誤差函數圖............................................................................................................................................... 76 圖 4.7 俯瞰示意圖............................................................................................................................................... 77 圖 5.1 圓 ............................................................................................................................................................... 79 圖 5.2 拋物線 1.................................................................................................................................................... 80 圖 5.3 拋物線 2.................................................................................................................................................... 81 圖 5.4 拋物線 3.................................................................................................................................................... 81 圖 5.5 拋物線 4 .................................................................................................................................................... 82 圖 5.6 拋物線 5.................................................................................................................................................... 82 VI.

(8) 圖 5.7 橢圓........................................................................................................................................................... 83 圖 5.8 雙曲線....................................................................................................................................................... 85 圖 5.9 曲線下面積............................................................................................................................................... 87 圖 5.10 橢圓面積................................................................................................................................................. 88 圖 5.11 高等立體幾何學第 111 頁 ...................................................................................................................... 89 圖 5.12 球表面積完整筆記 ................................................................................................................................. 89 圖 5.13 球表面積................................................................................................................................................. 89 圖 5.14 四角錐體積............................................................................................................................................. 90 圖 5.15 方錐臺體積............................................................................................................................................. 91 圖 5.16 拋物面下體積 ......................................................................................................................................... 91 圖 5.17 曲面下體積............................................................................................................................................. 92 圖 5.18 擺線......................................................................................................................................................... 95 圖 5.19 阿基米德螺線 ......................................................................................................................................... 95 圖 5.20 拋物線軌跡 1.......................................................................................................................................... 96 圖 5.21 拋物線軌跡 2.......................................................................................................................................... 96 圖 5.22 橢圓軌跡................................................................................................................................................. 97 圖 5.23 橢圓軌跡 2.............................................................................................................................................. 98 圖 5.24 直線軌跡................................................................................................................................................. 98 圖 5.25 圓軌跡..................................................................................................................................................... 99 圖 5.26 單振動 1................................................................................................................................................ 100 圖 5.27 單振動 2................................................................................................................................................ 100 圖 5.28 簡諧運動關係示意圖 ........................................................................................................................... 101 圖 5.29 簡諧運動關係示意圖 2 ........................................................................................................................ 101 圖 5.30 簡諧運動關係示意圖 3 ........................................................................................................................ 103 圖 5.31 簡諧運動關係示意圖 4 ........................................................................................................................ 103. VII.

(9) 第1章緒論. 1.1 研究動機. 臺灣地區除了原住民外，本島外鄰近的國家，像是漢人、日本人都來過臺灣，到了十七世紀初，荷蘭人佔領臺灣。接著，西班牙人短時間占領臺灣本島北部地區，後來更因為商港開放，來了更多其他國家的人。在 1858 年的天津條約簽訂後，1880 年代傳教士為臺灣帶來了近代數學教育體系，1可能帶來了些許的影響。除此之外還有劉銘傳設立的西學堂可能也引進西方的數學知識體系，2 本篇論文更重視的，是在 1985 年馬關條約之後日本政府引進的學校教育。當馬關條約簽訂後，日本政府接收臺灣，政權從清國轉到日本。日本接收的初期因為臺灣群眾的抗爭，尚無法真正實行殖民的目的。因此，直到 1898 年才由地方經費設立六年制的公學校。3但是，清國留下的教育體制也尚未完全消失，而是慢慢地被日本政府規劃的學校教育所取代。4 日治時期後期，臺灣發展出比較完整的數學教育體系，包含從幼兒到成人的教育機構及學術專業學校。其中，於 1922 年設立了臺北高等學校、1928 年設立臺北帝國大學，對日後臺灣數學界或是其他學術研究的發展皆有重要的影響。儘管當時的臺北帝國大學尚未設置數學系，且過去台灣教育史的研究中，對於數學部份的內容著墨不深，然鑒於數學教育對於現代科技發展的重要性，臺北高等學校的數學教育內容，是台灣數學教育史不可或缺的篇章。. 1 2. 3 4. 黃政芳、張勝彥、吳文星，《臺灣史》，臺北市：五南圖書，2011 年，頁 152。連橫提到：「聘西人為教習，擇全臺聰慧之子弟而教之，以英、法之文，地理、歷史、測繪、算術、理化之學。又以中國教習四名，分課漢文及各課程。生皆給官費，每年約用一萬餘兩。成效大著。臺灣教育為之一新。」其中算術仍須釐清是中國算學還是西學，以及教材和教師。引自連橫著，《臺灣通史》，卷十一教育誌，頁一九四。黃政芳、張勝彥、吳文星，《臺灣史》，頁 199。黃政芳、張勝彥、吳文星，《臺灣史》，頁 237。 1.

(10) 1.2 研究問題. 1922 年，在臺北高等學校創立之後，當時的臺北高校學生，學習了哪些數學知識內容？這些內容有何特色？而這些內容可能反映了日本數學教育的哪一些現代化目的。. 1.3 文獻探討與研究方法. 目前關於日治時期的研究，因前人的努力已有相當的成果，也因此在數學教育史的描述上才可以有所依據。概觀臺灣數學教育史這個領域，尚未有完整的基礎研究。筆者先就目前可及的臺灣史文獻，擷取與本研究相關的史料，論述當代數學教育背景與歷史脈絡。其中，主要以黃秀政、張勝彥、吳文星所編著於的《臺灣史》，作為重要歷史事件發生年代的參考依據。5接著，筆者參考由何憶如、張耀宗、彭煥勝、曾素秋、葉憲峻等人編著的《台灣教育史》，以了解當時的教育制度。然而，此書中關於臺北高等學校的內容並不多，故再參考林茂生(1929)的相關研究成果。6此書，除了有助於了解當時日本在臺灣所推行的教育制度，也可從中看到文化與衝突的原因與影響。林茂生是當代的留美學者，此論文發表的年代正值日本統治時期，故書中也為臺灣人在受教機會上的弱勢，作了一些評論。另外一篇參考資料為《日治時期台灣教育史》7。然因此文著作年代離日治時期的教育現場較為久遠，論述立場也與林茂生(1929)不同，故筆者同時參考兩篇文獻，更客觀地從不同面向來看待並還原當時的教育現場。另一方面，從徐聖凱的《日治時期台北高等學校之研究》，可以更深入地了解當代學術人才的養成教育，尤其該論文為當代臺北高等學校作了詳盡的論述，也提供了非常. 5 6. 7. 2011 年出版林茂生著；林詠梅譯，《日本統治下臺灣的學校教育：其發展及有關文化之歷史分析與探討》，臺北市：新自然主義，2000。原書為英文著作 Public Education in Formosa under the Japanese Administration A Historical and Analytical Study of the Development and the Cultural Problems，而作者林茂生(1887-1947)為哲學博士。派翠西亞⋅鶴見(E. Patricia Tsurumi)著 ; 林正芳譯，《日治時期台灣教育史》，仰山文教基金會，宜蘭縣宜蘭市：1999 年。 2.

(11) 多的線索可以追溯，是本研究所參考的重要二手文獻。雖然該書對於學校概況有詳細而完整的介紹，但是關於數學教學的內容並未特別描述，也不容易看出數學在教育中扮演的角色。儘管如此，本論文中對於日治時期臺北高等學校的相關論述，仍以《日治時期台北高等學校之研究》作為主要參考資料。除此之外，由國立臺灣師範大學台灣史研究所，舉辦的「台北高等學校創立 90 週年國際學術研討會」，8與會學者提供了許多當代史料以及相關研究成果。而國立臺灣師範大學出版中心所出版的《國立臺灣師範大學館藏臺北高等學校圖書目錄》，亦將當時留下的圖書館書籍做了詳細的目錄，其中包括當時臺北高等學校的數學教授加藤平左ヱ門的著作，也是當時學生的參考書目。上述二手文獻有助於筆者了解當時的歷史脈絡和教育制度，然本研究關切的是當代的數學教育，除了制度面之外，離不開學生的學習內容與處理的數學問題。經探訪下，當時高等學校高等科授課的內容由授課的老師決定。9雖然圖書多半藏於今國立臺灣師範大學圖書館，但卻無法清楚辨識出哪一本為當時的教科書。所以就當時學生的筆記而言，是最能貼近當時教學現況之一手文獻。10除了筆記之外，筆者先就公學校算術教科書(共六冊)，概述當時 6~12 歲學齡的兒童所學習的算術，接著再分析當時刊載在台灣日日新報上的入學考題，以了解當年公學校及中學校學生進入臺北高等學校前的數學背景知識，其中包含臺北高等學校的尋常科以及高等科之考題。筆者僅擷取較具代表性的題目，來探討當時的考試內容。接著利用 1931 年文省部為了制度改革而做的調查結果，用以說明當時中學校的學生在代數上的表現。最後再以當時高等學校學生之筆記，還原當時教學的部分內容，希望有助於了解當時教育政策下的數學教育。. 8. 於 2012 年 10 月 11、12 日，在國立台灣師範大學圖書館 B1 國際會議廳，由國立台灣師範大學台灣史研究所主辦。 9 筆者詢問台灣史的專家─蔡錦堂教授─，討論有關當時授課的情形，他向筆者說明，當時台北高學校教授授課時，方式接近現在大學授課的情況，由教授自選授課內容，與調整上課進度。 10 在拜訪蔡錦堂教授請教關於臺北高等學校相關背景時，蔡教授不吝將辛苦蒐集到的這本筆記，交與筆者研究。 3.

(12) 第2章日治時期臺北高等學校臺北高等學校是 1922 年由日本政府在臺灣創辦的學校，是為了居住在臺灣的人民建立的第一所銜接初等教育以及大學教育的七年制中等學校。當時的初等學教育包含兩種學校，分別是為了日本人設置的「小學校」以及為了臺灣人而設置的「公學校」，學齡應是由 6 歲至 12 歲。而初等教育銜接中等教育的路徑較為複雜，包含高等小學校、中學校、高等女學校、實業學校、師範學校、實業補習學校。11小學校以及公學校的男學童，都有機會進入到臺北高等學校就讀，再直升至臺北帝國大學。12其他的中等教育路徑，並非不能經由升學考試的門檻進入，只因為門檻實在太高： ……因高校前景較佳，意外吸引多數的醫專、專門學校、師範學校學生報考。結果錄取台北一中一年級修畢者 35 名、二年級修畢者 2 名、台南一中 2 名、(日本)濱松中 1 名；醫專、師範等校報考者全數擢落。13. 2.1 學校概況. 日本起初設立公學校，主要的目的是為了統合台灣的人民語言以方便管理，但學校教育並非只有日語的教學，所以對於想要繼續升學的學生，畢業後需要有中等教育的承接，在一開始尚未完善的制度中，主要還是培養初等教育師資、工業技術、醫務人員等，後來在 1915 年時才成立了第一所臺灣籍學生可就讀的中學校，也就是臺中中學校。14除中學校外的升學管道，從林茂生的《日本統治下臺灣的學校教育─其發展及有關文化之歷史分析與探討》中可知，尚有高等小學校、高等女學校、實業學校、師範學校、實業補習學校。在 1922 年頒布臺灣教育令前，基本上臺灣人與日本人是分開就學，但事實上，即使頒布以後，臺灣人與日本人之間，仍有差別待遇。15. 11 12 13 14. 15. 林茂生著‧林詠梅譯，《日本統治下臺灣的學校教育─其發展及有關文化之歷史分析與探討》，頁 194。徐聖凱，《日治時期台北高等學校之研究》，頁 89。轉引自徐聖凱，《日治時期台北高等學校之研究》，頁 91。朱珮琪，《臺灣日治時期菁英教育的搖籃─以台中一中為例》，國立清華大學歷史研究所碩士論文，2000 年，頁 40。其論文表示，在 1907 年設立了總督府中學校，1914 年設立臺南總督府中學校，但並非為臺灣人所設置。黃政芳、張勝彥、吳文星，《臺灣史》，頁 235。 4.

(13) 圖 2.1 1922 年教育制度示意圖資料來源：林茂生著《日本統治下臺灣的學校教育─其發展及有關文化之歷史分析與探討》，頁 194。. 臺北高等學校是一所七年制的中等學校，分為前四年的尋常科以及後三年的高等科，學生入學年齡約在 12 歲，畢業年齡約為 19 歲，大致是今日七年級至大學二年級的學子年齡。1922 年臺灣總督府初創立「臺灣總督府高等學校」16時，校舍尚未完工，是借用當時位於龍口町的臺北一中(今位於台北市立建國高級中學)的校舍。當年四月開學時，招收第一批的尋常科學生，由當時的臺北一中支援臺北高等學校的校務。17到了 1926 年完成部分的校舍，才讓學生們遷入位於古亭町的校區(今位於國立台灣師範大學校本部)。圖 2.2 可以看到校區前方的大片田地以及其他的建築物，主要的建築物在照片中間偏右的地平線上，再由圖 2.3 可看校舍本館全貌。. 16 17. 林礽乾，〈孕育臺灣上一代菁英的搖籃─臺灣師大前身台北高等學校〉《師大校友》第 328 期，頁 6。徐聖凱，《日治時期台北高等學校之研究》，頁 27。 5.

(14) 圖 2.2 1931 年臺北高等學校資料來源：臺灣舊照片資料庫，原圖由臺大總圖書館收藏。擷取日期：2012/9/18 http://photo.lib.ntu.edu.tw/pic/db/detail.jsp?dtd_id=32&id=969&2&pk=seq&showlevel=2. 圖 2.3 1929 年臺北高等學校本館資料來源：2012/9/18 擷取自《臺灣教育會雜誌》暨《臺灣建築建築會誌》影像資料庫。原圖收藏於國立中央圖書館臺灣分館。《台灣建築會誌》，第一卷第一期，社團法人臺灣建築會。. 6.

(15) 圖 2.4 臺北高等學校講堂資料來源：李玉瑾主編，館藏臺灣學研究書展專輯二○○八年，國立中央圖書館台灣分館出版，頁 55。. 學校的校舍與講堂由臺灣總督府營繕課課長井手薰設計，外牆由紅磚砌成，帶歐式的風格而非日本古典建築，參照 1922 年臺北市每人每年平均花費三十圓，18開辦臺北高等學校花費所費不貲：「......其中千萬元的花費應是概算設立高等學校在內的費用，是以翌年度的總督府預算，核定新設七年高等學校費計 6 萬餘圓，......」。19除此之外，工程建設也耗費了約 81 萬圓。20今日的師大行政大樓，當時稱為「本館」一樓作為行政之用，而今普字樓，當時叫做「普通教室」，做為教學之用。除了普通教室之外，當時還有另外一棟樓大約是今日體育館的位置，做為「理化教室」(已拆除)，而當年的學生宿舍─七星寮，則是大約位於今日的誠、正大樓。今日禮堂雖經過整修，但是位置沒有變，而文薈廳則是當年的「生徒控所」。當年的建設還包含體育館、游泳池，都已經拆除。在昭和四年度的《臺北總督府台北高等學校一覽》中，還可以看到學校的平面圖。. 18 19 20. 田原天南，〈物價調節と公設市場（九）五、臺灣の市場（三）〉，《臺灣日日新報》，1922/10/25 第 3 版。引自徐聖凱，《日治時期台北高等學校之研究》，頁 20。黃俊銘、黃天祥(2012 年 10 月)，〈日治時期台北高等學校之研究〉，發表於台北高等學校創立 90 週年國際學術研討會，臺北：國立台灣師範大學。 7.