Q x y 的 話 AQ
3
y
2x2 而 且AP AQ : AO AH :
23 2 3 3
x y
AP y
151
軌跡內文中，第一題沒有使用直角坐標系統，圖相較於其他題目，較為簡略，雖然 文字中提及擺線，但第二題這題沒有畫出軌跡，當時擺線對王先生來說可能有些繪圖上 的困難，且除了前 3 題之外，軌跡皆為圓錐曲線的範圍，也許在當時有更多的相關例題，
此處為王先生擷取較為困難的類題作為複習的內容。但這這樣的猜測之下，第 7 題就顯 得特別，因為直線方程式對高校學生來說應該是基礎的問題，也許當時教授在可堂上有 將這些題目做圓錐曲線的相關連結，使得這部分的筆記有分類以及規劃。
5.3.3 單振動
這個單元的筆記，主要是三角函數的應用，利用三角函數來描述簡諧運動，進而教 學疊合公式。但從王先生的筆記中可以看到，疊合運算的部分算是比較多的，在簡諧運 動的部分反而沒有深究其原理。引文中的一開始定義簡諧運動(文中為單振動)，定義的 方式是很奇怪的，沒有解釋要從哪個方向看，又或者說如何去看一個等速圓周運動。
把以一定週期重複一樣運動叫週期運動
等速圓運動就是週期運動，從很遠的地方看這種運動的話，看 上去像直線上的往返運動，把這種運動叫單振動。152
151 筆記內文原為戰前使用之日文，此為筆者翻譯之譯文。
152 筆記內文原為戰前使用之日文，此為筆者翻譯之譯文。
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雖然下面的引文將圓周運動的點投影到一直線上了，但是仍舊無法解釋上面引文中「從 很遠的地方看這種運動的話」是什麼意思。下面開始以方程式表示運動，說明符號象徵 的意義，若B是等速運動，那麼B就是單振動。
n
表示振幅，a
則是表示起始點的角度，b則是單位時間內經過的角度，周期就可以知道了。
圖 5.26 單振動 1
圖 5.27 單振動 2
B作等速運動的時候，
'
B 是單振動。
sin x t
（表現這種 和 t 的關係的式子叫運動）
（每單位時間的角速度）
所以表現單運動的式子為
sin
xn a bt
x sin a bt sin
n
a bt
﹝
n
是定數表示振幅，a
是定角而且表示運動 的出發點。因為b是每單位時間的角速度所以 從它得知周期。﹞153下面的表列，從較簡單的
x 3sin t
開始，說明周期、振幅以及簡諧運動的起點與週期，圖 5.27 是將前面圖 5.26
OB
與OA
的夾角變動與 x 的關係圖，是以下面前四項為依據所 繪，是前兩項與第四項起始點在 0 、180 ，第三項起始點在 90 ；第一項等速圓周運動 半徑為 3，第二項等速圓周運動半徑 2，第三項等速圓周運動半徑 5，但王先生的圖並 未依據其週期繪製也就是並未考慮 t 而是直接看 ，所以繪出的圖形週期皆為2 ，圖 5.29 為重製，函數由上而下分別為y
5sinx (紅色)、y
3sinx (紫色)、y
2 sinx (綠 色)、 3sin x
(黑色)。
153 筆記內文原為戰前使用之日文，此為筆者翻譯之譯文。
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問題 求下面單振動的運動式的振幅、週期及出發點。(但是單位是公分、弧度、秒)154
◎
x 3sin t
振幅 3 周期 2 秒 出發點 振動的中心◎
2sin x 4 t
2 8 秒 振動的中心
◎ 5sin
3 2 x
t
5 6 秒2
◎
x 3sin t
32 22 3
7
≒6.286秒
振動的中心◎ 3sin
x
t
6
3 2 秒6
圖 5.28 簡諧運動關係示意圖
圖 5.29 簡諧運動關係示意圖 2
154 筆記內文原為戰前使用之日文，此為筆者翻譯之譯文。
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4sin 3sin 5 sin cos cos sin
6 4 6 4 6 4 6 4
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第6章 結論與建議
6.1 結論
日治時期臺北高等學校的學生是臺灣的菁英，尤其是升上高等科的學生，臺灣沒有 其他同級機構可相提並論。學生的年齡相當與今日的高三至大二，學習的內容主要來自 於學校教授，但也有很多人是經由自己尋書探求。而書籍來源最大宗，應是學長的傳承 與學校圖書館的資源，但也不少學生到當時的書攤中搜尋。當時的數學教授大多畢業於 東北帝國大學、東京帝國大學，兩者皆為日本頂尖大學。
本文以中學校的數學課程內容，探討進入高等科以前的數學學習背景。其中，主要 課程包含「代數」與「幾何」，代數與幾何之後的課程是「三角法」。然而，部分的學生 雖然沒有學習「三角法」，仍可進入高等科就讀。代數主要的內容包含了一元二次方程 式、二元一次聯立方程組、開方法、等差級數、等比級數、指數、對數。幾何部分主要 有直線、相似形、多面體、圓錐、圓柱等單元。但從 1931 年學力檢定考題來看，還包 含了二元二次聯立方程組，且為解該問題必須使用特殊的解法。從該次考題內容與學生 表現可知，台籍學生(二中學生)比日本學生(一中)平均分數來得高，即使受語文因素影 響，台灣學生在學力測驗上的表現仍優於日本學生。事實上，無論日人或是台人，能夠 在 1931 年的試題中對答如流的中學校學生並不多，是少數。
從昭和十七年(西元 1937 年)至第二次世界大戰所用的教授綱要中，指明當時首要 的數學教學方針，是將數學當成科學進步的根基，主要在於活用數學，以及重點放在與 其他科目的連結使用，同時也強調作圖以及讀圖的能力，二維與三維空間的處理圖像能 力。若單就課綱的要目與今日相比，類似現今大專院校理工學院所用到的數學，而非高 中的課程內容。
在臺北高等學校的授課要旨中，也提到數學科必須要在計算應用上熟練，且精確地
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思考。相較於當局的要目。從王先生的筆記內容的確可以看出，當時數學學習符合上述 要旨所述，主要將數學作為使用工具的目的。特別地，雖然在每個單元裡，都針對原理 論作了簡單扼要的論述，但是強調的重點並非放在數學知識本身，而是放在相關數學知 識的使用上。雖然當時的授課內容與日本官訂的內容相差甚多，也因為戰亂的關係，王 先生的筆記又比原本要授課的內容少了許多，但是，突顯出來的特色仍是在於理論的應 用。當時的數學課強調作圖以及讀圖的能力，王先生筆記之中，所呈現出的精細手工繪 圖可為此佐證。當時圖學放在數學科教授，應是授與透視圖的繪圖技術，可惜王先生的 筆記之中的透視圖畫法有誤，無法從中得知透視圖繪圖教學情況。從王先生的筆記我們 也可以看出，當時高等科的數學教育，是針對「大學生」應學會的數學工具做為出發。
整體來說，王先生的筆記從單元開始，將整個核心的解題過程、條件寫在最前面，
概括全篇內容。由簡而繁的代數運算表現在例題的編排。且在多項式的部分，顯示出當 時高等科數學科學習，著重於數學知識之應用層面。
數學歸納法的部分，主要的命題放在正整數的等式，且沒有強調觀察和臆測。而數 學歸納法雖然獨立為一個單元的標題，在筆記內容中，實為一解題的方法和技巧。二項 式定理基礎的部分，引入的部分清楚的過程可使人清楚了解選擇的過程，在組合數進來 時不易產生誤解。而在進階的部分介紹了巴斯卡三角形，更有一組利用巴斯卡的速記的 法則。除此之外還有非正整數的處理，但最主要並非學習理論，而是在實際上的數字做 展開，也可以看出當時因為計算工具的選擇不多，對於計算處理的要求與今相比，更為 強調。
雜級數中，等差和等比屬於基礎知識，沒有特別引介。解題過程中除了遞昇法今在 教材中不見之外，另有階差數列的探討，但只有給出解法。另有許多計算上需技巧的題 型，也有堆垛的相關問題。當時處理無限級數時，當作有限來處理有好幾例，可能是教 學上產生的迷思，亦可能在時代背景的下，使得教學上將無限的情況簡單帶過。多項式 中可以看見當時級數展開式是為了計算近似值所產生的，多項式中也可以看見處理勘根
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的手法與今日牛頓法類似，但事實上，因為缺少微分的部分，有可能的是受到當時老師 引進日本和算的傳承算法。
幾何的部分，因中學校前學習的內容著重於古典綜合幾何，到了高等科才開始解析 幾何的教學，從最簡單的直線開始教起，文中開始圓錐曲線之部分，採離心率的分類圓 錐曲線主要依序圓、拋物線、橢圓、雙曲線來討論，其中內容除了基本的定義介紹之外，
還針對許多切線的問題作探討，且在離心率的部分有比較結構性的總結。代數的部分證 明完整，也利用代數運算證實繪圖的可能性，含有非常濃厚的幾何教學。另外在拋物線 切線部分已有使用微分的手法。
「区分求積法」從平面至立體的分割求積，可以說是極限的應用。其中的問題曾在 高須鶴三郎與加藤平左ヱ門共同的著作─《高等立體幾何學》出現，經比對確認在繪圖、
證明過程一致，顯示當時授課的老師很有可能就是加藤先生。軌跡的部分算是對解析幾 何的探討和練習，雖然介紹了史上重要特別的擺線，但筆記中並未深入介紹只當作是例 題，大部分依然是圓錐曲線的軌跡方程式。而單振動的部分應只是將簡諧運動的物理融 入數學教學的內容，沒有深入探討簡諧運動，著重的部分仍是在三角函數的疊合運算。
目前有許多台灣史研究探討了日治時期的文學、藝術發展與教育制度，但未見貼近 當時實際教學內容的基礎研究，雖有不少回憶錄描寫臺北高等學校當時的教育情況，但 缺乏一手文獻佐證之下，不免失真。本研究以當時（數學）筆記內容與考題作為研究材 料，恰可補其不足，更真切地貼近並論述當代的教育現況。
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建議 6.2
本篇論文從高等學校中的個案，討論當時的數學教學。但當年的教育體制下，從小 學校、公學校至台北帝國大學，都尚未有人以此探討。所以本篇的論點不免有偏差，希 望未來能夠得到更多適當的文獻來還原當時的情境。
本篇論文從高等學校中的個案，討論當時的數學教學。但當年的教育體制下，從小 學校、公學校至台北帝國大學，都尚未有人以此探討。所以本篇的論點不免有偏差，希 望未來能夠得到更多適當的文獻來還原當時的情境。