本章旨在分析具有內部裂縫之懸臂與簡支矩形薄板的振動(參考圖 可知，引入式(3.13)或(3.14)之 於允許函數，可有效加速
數值 內部裂縫之振動問題。本
章並將以正交多項式函數替代
4.1 允許函數
(4 處 正交多項式函數之方法，
可表示成：
i j
j i
ij
p x y a x y
W
1 1
) ( ) ( )
,
(
φ ψ
， (4.2a)其中， 與
4.1)。由前章經驗 Wc
之收斂特性。本章將修正該Wc，並用以處理
上章之一般多項式於允許函數中，以延遲病 態矩陣之發生。首先亦以收斂性分析，確認本章所提允許函數之效用；再 進一步探討不同邊界條件之裂縫長度、位置、角度等參數對振動行為之影 響。
如同前章，本章所用之允許函數亦表示成:
) , ( )
, ( )
,y W x y W * r θ x
W = p + c ， .1) 其中，Wp( yx, )為一正交多項式函數，Wc*為描述裂縫尖端應力奇異及裂縫
(
位移和斜率不連續之現象。依Bhat (1985)所提之 Wp
∑∑
= == I J )
i (x
φ ψj( y)分別為 x 向及 y 向之正交多項式函數，I 和 J 為多項式 之項數，aij 為待定係數；其為一符合邊界條件之完備多項式函數。φi (x)與
)
j( y
ψ 是經由 Gram-Schmidt 的演算程序(Bhat, 1985)所獲得之正交多項式函 數。
以建構 為例，考慮x=0 及 y=0 處簡支承；取
λ ，n=1,2,...(William (1952)漸近解之特徵值)。
上述之w~n,S與w~n,A之定義如下:
λn
(4.6a)、(4.6b)中乘上sin2(θj/2)，其不僅可限制函數(w~n,S、w~n,A、W~n,S
、W~n,A) 位移與轉角之不連續發生於跨越裂縫時，並維持函數(wˆ 、n,A wˆn,S、Wˆ 、n,A 原有
S
Wˆn, ) 之對稱與反對稱特性。另外，由於sin2(θj/2)函數之ㄧ階導函數於rj =0具 奇異性，因此乘上一函數rjk，其中取k ≥1.5以避免不適當之奇異性；而當
5 .
=1
k 時，式(4.5a)、(4.5b)、(4.6a)、(4.6b)不僅能描述ri →0附近之應力奇異
=0
rj 時之應力奇異性階數。
性，亦恰可滿足
而當式(4.3)中λn取為整數時，式中wˆn,A與wˆn,S為線性相依被多項式函數
展開，因此rjk中之k不取為偶數，而當k=1.5時亦同樣為w~n,S與wˆn,A於rj =0時 之應力奇異性階數。
4.2 收斂性分析
本節將使用式(4.3)或(4.6)之Wc∗配合式(4.2a)建構允許函數，除驗證Wc∗
之適用性並探討數值解之收斂特性。式(4.2a)配合式(4.3)與(4.6)所用之允許 函數總項數分別為I×J+4N 與 I×J+2N (N +3)。吾人考慮四邊簡支或懸臂之方 形板，其具中心水平裂縫(裂縫中心點設為x0 /a= y0/b=0.5，參考圖4.1)，考 慮具不同裂縫長度(d/a=0.2、0.5、0.8)之板，探討其解收斂特性。
表4.1~4.4 為裂縫長d/a=0.2與 0.8簡支方形板(a/b=1)之結果。該結果乃利 用式(4.3)之Wc∗配合不同之k(等於1.5與2.5)所得。表中最後一欄所列者為由 Stahl and Keer (1972)、Liew 等人(1994)所得之結果。
表4.1~4.2 考慮裂縫長度為d/a=0.2，分別列出取 =1.5與2.5之結果。表 4.1 中
k
使用至允許函數最高項(I = J =10及N =15，共 160 項)，所得結果為至 少三位有效數字收斂； 表而 4.2 使用允許函數最高項(I = J =11及N =15，共 181項)時，除第五模態明顯收斂較慢，其餘已達至少三位有效數字收斂。以 Stahl and Keer (1972)之結果為比較基準，表 4.1 與表 4.2 中除第五模態外，
均與Stahl and Keer (1972)所得者非常一致；而 Liew 等人(1994)所得之第四 模態值明顯小於
(1994)
有加速數值收斂之傾向。
與
等 9
者為此處使用式(4.6) ( ) Stahl and
Stahl and Keer (1972)與本研究之結果，由此可看出 Liew 等
人 之方法無法保證數值由上界收斂之情形。從本案例中第一與第五模
態之結果可發現，取k=1.5
表4.3~4.4 為考慮裂縫長度為d/a=0.8，分別取k =1.5與2.5之結果。使用 允許函數至最高項(I=J=9及 N=20，共161項)時，各模態皆至少收斂至三位有 效數字。與文獻相比，各模態皆 Stahl and Keer (1972)之結果相近；而第 一、三、五模態小於 Liew 人(19 4)之結果。於本案例中，k值之不同並 未造成結果有明顯改變。
表4.5~4.10 為裂縫長d/a=0.2、0.5、0.8簡支方形板之結果，有別於表4.1~4.4 之Wc 並取不同之k 1.5與2.5。表最後一欄列出
Keer (1972)、Liew 等人(1994)、Hirano and Okazaki (1980)所得之結果。
∗
表 4.5~4.6 為考慮裂縫長度 d/a=0.2和分別取k =1.5與 2.5之結果。表 4.5
取 I=J=9 及N =6(共 189 項)之允許函數時，所得結果為至少三位有效數字收
斂，而表4.6 中使用I=J=11及N =6(共229項)之允許函數時，第一~第四模態 至少達三位有效數字收斂，第五模態則收斂稍為緩慢。與文獻值比較，表 4.5 中各模態值皆與 Stahl and Keer (1972)之結果非常一致，表 4.6 中除第五 模態外，其餘亦皆為一致。考慮以表4.5 中使用I=J=7及N =3(共85項)之結 果為基準，與表 4.1 中取 I=J=7及N 15= (共 109 之結果比較，發現前者所 得頻率值皆小於或等於後者，故可知式(4.6)加速數值收斂之效果較式(4.3) 優良。比較表 4.5 及 4.6 之結果可發現取 k=1.5更有利於第一
項)
與第五模態之 收斂
為考慮裂縫長度
。
表 4.7~4.8 d/a=0.5和分別取k =1.5 與 2.5 之結果。使用
I=J=9 及N =6(共 189 項)之允許函數時，各模態皆可達至少三位有效位數收
斂。與文獻值相比，各模態皆與Stahl and Keer (1972)之結果相近，其中第 一、三、五模態之值小於Liew 等人(1994)之結果，而第一~四模態大於 Hirano and Okazaki (1980)之結果。比較表 .7 及 4.8 之結果發現k=1.5更有利於第 一與第五模態之收斂。
表 4.9~
4
4.10 為考慮裂縫長度 d/a=0.8和分別取k=1.5與 2.5之結果。使用
I=J=9 及N =6(共 189 項)之允許函數時，各模態大致為至少三位有效數字收
斂。各模態之收斂值與Stahl and Keer (1972)之結果相近，而且其中第一、
三、五模態小於 Liew 等人(1994)之結果。於本案例中k值之改變並未造成 結果有明顯之變化。考慮表4.10 中使用 I=J=9及N =5( 161項)之結果，與 表 4
除第二模態外，
之結 共
.4 中使用 I=J=9及N 20= (共 161項)所得之值比較，可發現各模態值皆為
至少三位有效數字收斂，而 皆收斂至相同之值。
表4.11~4.16 為考慮裂縫長 d/a=0.2、0.5、0.8之懸臂方形板收斂性分析，
使用式(4.6)之Wc∗配合取不同之 k(等於 1.5與 2.5) 果。表 4.11~4.14 所示 為考慮裂縫長度d/a=0.2及0.5者。使用I=J=9及N =6(共189項)之允許函數時，
各模態皆為至少三位有效數字收斂。比較表 4.11 和 4.12 及比較表 4.13 和 4.14，可發現取k=1.5較有利於第四模態之收斂。表 4.15 和 4.16 為考慮裂縫 長度d/a=0.8者，發現使用I=J=9及N =6(共189項)時，第一~四模態為至少三 位有效數字收斂，第五模態收斂速度則較為緩慢。取k=2.5有利於第五模態 之收斂。
4.3 數值分析
在收
果。於本 臂方形板，探
討不同裂
表 =0.5
且 =
斂性分析中已驗證使用式(4.6)之Wc 對於數值解收斂有較佳之效 節中，吾人將其用於分析具有內部裂縫之簡支與懸
縫位置、角度及長度對振動行為之影響。
4.17 為具有內部裂縫之簡支方形板，考慮不同之裂縫中心(x0/a 0.5與0.75)、裂縫角度( ° ° ° °
∗
=0、15、30、45
α )與長度(d/a=0.1~0.6)之影響。
b y0/
當考慮水平裂縫之中心點位於板正中央且d/a≦0.3時，取I=J=9及N =5(總項
)及 k=1.5進行分析；d/a≧0.4時，則取 I=J=9與
數 161項 N =6(總項數 189項)
=2.5 例取 I=
且 k 進行分析。其餘之案 J=9與N =4(總項數 137項)，k值之取法
。本表所得大部分結果至少可達三位有效數字之收斂。表 4.18 與 分別為表
如前所述
表4.20 4.17 與表 4.19 所列結果相對於完整板(無裂縫者)之無因次
頻率折減量比，其定義為：
無裂縫 裂縫 無裂縫
ω ω ω
=ω
−∆ ；
其中，ω無裂縫為完整板無因次化頻率值
，
ω裂縫為具裂縫板之無因次化頻率 值。觀察表4.17 與表 4.18 可發現:(1) 如所預期，頻率值因裂縫增加(d/a=0.1~0.6)而下降(因勁度減小之 故) 。 當 d/a=0.1 時 ， 各 案 例 之
∆
ω 小 於 2%。 隨 裂 縫 角 度 (α =0°、15°、30°、45°)之增加，發現前四模態頻之∆
ω均隨之增加，而 第五模態則呈相反趨勢。隨裂縫位置(y0 /b=0.5與 0.75)之改變，0 /b=0.5之第一與第三模態之
y
∆
ω較大，第四模態呈相反趨勢，第二與第五模態則較無明顯之趨勢。
(2) 觀察裂縫角度 (α =0°、15°、30°、45°)對頻率值之影響。發現第一、二 及四模態有隨角度增加而下降之情形，而第三與第五模態則呈相反 之趨勢。
(3) 比較水平裂縫位置(y0 /b=0.5與 0.75)對頻率值之影響。y0 /b=0.5者 在第二、四及五模態之值皆大於y0 /b=0.75者，而第一與第三模態
則呈相反趨勢
(4) 比較位於板內部(y0 /b=0.5者)與邊緣(表 3.10 中 者) 之水平 裂縫對頻率值之影響。當裂縫位於板邊緣(表 3.1
b cy/ =0.5
0)時，第一、二、
大，而第 表
為水平時
五模態頻率值為較 三與第四模態則為相反。
4.19 為具內部裂縫懸臂方形板，考慮之參數如同表 4.17 者。當裂縫
，取 I=J=9 及N =5(總項數 161 項)，當裂縫非水平時，則取 I=J=9
=4
及N (總項數137項)，其中 k值皆取為2.5。本表所得大部分結果至少可達 數字之收斂，觀察表4.19~4.20 整理如下:
三位有效
(1) 觀察頻率隨裂縫增加(d/a=0.1~0.6)之折減量。各案例中 d/a=0.1 之
∆
ω 均小於 1%。隨裂縫角度(α=0°、15°、30°、45°)之增加，發現第一~三模 態之∆
ω亦增加，而第四與第五模態則為呈相反趨勢。隨裂縫位置 (y0 /b=0.5與 0.75)之改變，可發現前三模態之∆
ω均小於 1%，而5 . 0
0 /b=
y 者之第一與第四模態之
∆
ω較大，第二與第三模態則為相 反，第五模態無明顯趨勢。(2) 觀察裂縫隨角度增加(α=0°、15°、30°、45°)對頻率值之影響，發現前三 模態頻率值隨角度增加而下降，而第四與第五模態則有相反之趨 勢。
(3) 觀察裂縫位置(y0 /b=0.5與0.75)對頻率值之影響，發現y0 /b=0.75者 第四模態之值皆大於y0 /b=0.5者，而其餘模態則無明顯之趨勢。
(4) 比較位於板內部(y0 /b=0.5者)與邊緣(表 3.11 中 =0.5者) 之水平
(5)
b cy/
裂縫對頻率值之影響。發現第二~五模態之頻率值皆大於邊緣裂縫 者(表 3.11)，而邊緣裂縫因裂長度增加而造成頻率之下降亦較為明 顯。
與簡支矩形裂縫板(表 4.17)比較，發現第一、二、三、五模態頻率 值隨裂縫增加(d/a=0.1~0.6)而下降幅度小於表 4.17。
圖4.3 為具內部裂縫簡支方形板之節點線圖(考慮 = 0 、15°、45°° 及裂縫 為
(1) a
=0.5 者之前四模態圖形非常雷同； =0.75 者之前三模 α
長度 d/a=0.2與0.6)，可觀察到：
圖形隨裂縫長度增加(d/ =0.2~0.6)於各模態有不同之變化。其中水平
裂縫且y0/b y0/b
態圖形亦非常雷同，而第四與第五模態圖形則為互換。非水平裂縫 者(α=15° 、45°)，在前四模態圖形皆為相似，於第五模態有較明顯之 變化。
(2) 當 °與45°且x0/ =a y0/ =0.5b 時， 為有雙軸對稱之板。α= 0°之節
點線對稱於水平與垂直軸； °
= 0
α 其
α= 45 之節點線則對稱於兩對角線。
°
α=15 則破壞其對稱性，且出現較多彎曲之節點線。
比 較 y0/ =0.5b 者 與 y0/ =0.75b 之 節 點 線 圖 ， 得 知 當 裂 縫 較 小 時
(d/a=0.2)，前四模態節點線圖不隨裂縫位置改變而明顯改
(3)
變，且呈現 簡單線條型式。d/a=0.6之前三模態圖形較為相似。
(4) 以水平裂縫且 =0.5 者與水平邊緣裂縫(圖 3.4 中 =0.5 者)比
圖
b
y0/ cy/b
較。當d/a=0.2時，第一與第四模態圖形很雷同，第二與第三模態圖
形互換，第五模態則有明顯差異。d/a=0.5與0.6時，第一與第二模態 圖形很雷同，第三與第四模態節點線由直線轉為彎曲，第五模態則 為不同。
4.4 為具內部裂縫懸臂方形板之節點線圖，僅列出表 4.18 中α= 0°、 5°且裂縫長度為d/a=0.2與 0.6之圖形。可觀察到：
觀察圖形隨裂縫長度增加(d/a=0.2~0.6)之變化，發現前四模態圖形皆 為雷同；而除水平裂縫y0/ =0.5b 者，其餘案例之第五模態圖形皆為 分離之曲線。
15°、4 (1)
，節點線產生較多彎曲。觀 (2) 水 平 裂 縫 且 y0/ =0.5b 者 具 有 對 稱 性，其 節 點 線 對 稱 於 一 軸
(y0/ =0.5b )。而非水平裂縫破壞其對稱性
察非水平裂縫(α= 0°~45°)圖形之變化，可發現α= 45°者圖形圖形差 異性最為顯著。
以y0/ =0.5b 之節點線圖為基準，與y0/ =0.75b 者
(3) 比較，發現前四模態
圖形皆為相似，在五模態中，原交會之兩線轉為分離且彎曲。
) 以水平裂縫且 =0.5 者與水平邊緣裂縫(圖 3.5 中 =0.5 者)比
較。當 d/a=0.2 時，可發現各模態圖形皆為相似，隨裂縫長度增加
a=0.5與0.6)，可發現第三與第四模態圖形有類似互換之情形。
(4 y0/b cy/b
(d/