第三章 具邊緣裂縫矩形薄板之振動分析
3.3 收斂性分析
3.3 收斂性分析
數學上無限多項之允許函數構成ㄧ完備函數集合；故理論上
夠多的允許函數時，利用 Ritz 法求得之解當能收斂至精確解。於收斂性 分析中，吾人將考慮具不同裂縫長度之簡支和懸臂矩形板，以驗證解之正 確性及加入修正角函數 W )對解之影響。本文之數值解乃利用 Fortran 程 式語言，為求其精確之收斂解，以 128-bit 之變數撰寫電腦程式。所得之 數值結果僅列出前五個模態之無因次化之自然振動頻率值
−
=
y)為裂縫尖端之之(x,y)座標，α為裂縫與水平軸之夾角。
，當使用
c
A A
(
D h ρ a
ω 2 / ，而 其中所使用之參數a、b、cy、d、α可參考圖3.1。
表3.1~3.3 為具不同長度水平邊緣裂縫之簡支矩形板 (a/b=2 ,cy/b=0.5 , 的自然振動頻率收斂性分析。使用之
0.8 5 . 0 2 . 0
/a= 、 、
d ) Wc(r,θ)乃依式(3.12)
與(3.13)所定義者。表中第一欄代表振態數，S 及 A 分別表示對稱與反對 稱之振動模態。文獻之結果亦列於表中，其中Stahl and Keer (1972)精準 地求解Fredholm 積分方程。Yuan and Dickinson (1992)則是利用問題之對 稱性，將板切割成數區域，於各小區域內以 8×8 項的正交多項式函數建 構允許函數，各區間解之連續性則以加置人工彈簧方式處理。Liew 等人
(1994)則是使用 19×9 項正交多項式函數於各切割區域，並以積分方式強 制各區域連結處之位移與斜率連續，然而這樣的方式並無法滿足位移及斜 率處處連續。由於Yuan and Dickinson (1992)使用人工彈簧和 Liew 等人 (1994)之解無法滿足裂縫處位移及斜率處處連續之條件，他們的解無法保 證從上限收斂至精確解。
表 3.1 中所列的是裂縫d/a=0.2時之結果。在各模態首列是未加入任 何Wc所得的結果(N=0)，第一模態收斂至 49.35，與 Leissa (1969)所得四邊 簡支無裂縫矩形薄板之精確解相同，可發現多項式函數並無法知道裂縫之 存在。將Wc加入允許函數時可發現，隨著Wc中項數提高所得到的結果會 有明顯的改善。使用I = J =7及N =3(總項數55)時之結果，可達至少 3 位 有效位數之收斂值，而此結果也與Stahl and Keer (1972)所得者非常接近，
甚至相同。相較之下，本方法所得結果之準確度皆優於Yuan and Dickinson (1992)和 Liew 等人(1994)所得者。
在表 3.2 中所列的是裂縫長度比為d/a =0.5的數值。若以 Stahl and Keer (1972)為比較基準，本研究使用I = J =9及N =15(共 111項)允許函數 所得 果，皆優於Liew 等人(1994)所得者，並且也比 Yuan and Dickinson (1992)所得第一、四、五模態結果來的精準。
結
表 3.3 為本文所取之最長裂縫d/a=0.8的之收斂分析。當使用允數函 數最高項(I = J =9及N =20，共121項)，所得結果大致已收斂至三位有效 數字，皆大於Stahl and Keer (1972)之值；但第一、三、五模態頻率值則
等人(1994)之值。較表 3.1 與表 3.2 所得之結果差。
使用式(3.14)定義之 取代式(3.13)；當兩式 使用之總項數相等時(例:N=5 與
小於Liew
於表3.2 與 3.3 中，若使用更多之項數會造成病態矩陣(ill-conditioned matrices)。而觀察Wc中較高階之 r 所對應之特徵向量分量(eigenvector components)，可發現其明顯小於低階 r 所對應者。為降低 r 之階數以避免
數值計算上之困難，吾人提出 Wc
=2
N )，式(3.14)中所對應 r 之最高階數 2
/ ) 1 2
( N + 將小於式(3.13)中r 之最高階數(2N+1)/2。
表3.4~3.6 所考慮之問題分別為與表 3.1~3.3 者相同，但使用式(3.14) 所定義之Wc。與表 3.2 與 3.3 比較之，可發現表 3.5 與 3.6 中數值收斂速 度明顯地提高，且當使相同項數之Wc時，式(3.14)所致之結果明顯低於式 (3.13)所得者。比較表 3.5 與 3.6 中取N =5與表 3.2 與 3.3 中取 N=20之結 果，兩者所用Wc之項數皆相同(40 項)，而前者之數值明顯低於後者，且 與Stahl and Keer (1972)所得結果較為接近，且可達至少三位有效位數收 斂。再次顯示加入式(3.14)之Wc於允許函數能更有效率地加速數值解收 斂。比較表 與表3.4 可知，於表 3.1 中當裂縫較短(d/a=0.2)時，使用式 (3.13)所得之結果即有良好之收斂效果。
3.1
表3.7~3.9 為使用定義於式(3.14)之Wc，分析具水平中間裂縫(α = 0°且
c/b=0.5)懸臂方形板，在具不同裂縫長度d/a=0.2、0.5、0.8下所得之無因次化
振動頻率。觀察表3 ~3.9 之收斂情形，可發現使用較少項數之多項式函
數(I=J=3或 4)時，數值隨著Wc項數增加而下降之幅度較為明顯，而當多項
式函數較高時(I=J=7或 8)，大部分之數值皆可收斂至三位有效位數。表 3.7 之收斂情形最為快速，使用允許函數為I=J=7與
.7
=4
N 時各模態收斂值分別 為3.472、8.199、 .05、24.81、28.24。而表 3.8 與 3.9 收斂速度則較為緩 慢，分別於I=J=8及
21
=5
N 與I=J=8及N =8時方達三位有效位數收 此
之允許函數項數亦須提高。