1.1 研究動機與方法
板殼元件是工程結構上常見的一種構件，被廣泛的應用在航太、飛彈、
機械及土木工程上。目前常用來分析板的理論有三種；分別是古典薄板理 論(CPT)、一階剪力變形板理論(FSDPT)及高階剪力變形板理論(HSDPT)，
各都有其重要性。
在板結構之設計上，常會面臨奇異點(singularity)之問題，而其發生的 原因有：(1)幾何形狀之不連續，如裂縫尖端處或邊界條件所造成之不連續；
(2)載重，如集中載重或衝擊載重；(3)材料性質，如複合材料之性質陡變。
當所分析之結構元件含有奇異點時，須找到能夠正確描述奇異點特性之漸 近解，方能得到準確之解。例如於一般有限元素法中，使用奇異元素(singular element)，或在 Ritz 法中將角函數(corner function)帶入允許函數(admissible function)中。
Ritz 法自提出後就被廣為用於求解板之振動問題，因其具有完整之數 學理論背景與較佳之精確度。本文亦將利用此方法，以古典板理論為基礎，
分析具裂縫矩形板之振動行為。於所需之允許函數序列中，引入可正確描 述裂縫尖端特性之函數，加速解之收斂性及準確性。
1.2 文獻回顧
關於具有裂縫矩形板之研究，大部分文獻探討靜態行為，即用各種方 法求取不同載重情況之應力強度因子(stress intensity factor)，僅有少數研究 振動行為者。
利用半解析(semi-analytical)法求解垂直於邊界之直線裂縫簡支矩形板 振動問題， Lynn 和 Kumbasar(1967)用 Green 函數來表示板之位移分量，推 導得齊性Fredholm 第一型積分方程，再求解；Stahl 和 Keer(1972)則利用對 偶 級 數 方 程 得 齊 性 Fredholm 第二型積分方程來解決同樣的問題。而 Aggarwala 和 Ariel(1981)應用 Stahl 和 Keer(1972)之方法，求解方形板具有 位於中心點十字型裂縫或兩組(水平與垂直)對稱於中心點之邊緣裂縫振動 問題。Hirano 和 Okazaki(1980)亦針對一對邊界是簡支承之裂縫矩形板，利 用 Levy 的解求解振動問題，並進一步以加權餘數法(weighted residual method)來滿足邊界條件。另外，Neku(1982)則是修正 Lynn 和 Kumbasar(1967) 之方法，以Levy 解建立所須 Green 函數。Solecki(1983)利用將 Navier 解配 合描述裂縫處位移和轉角的不連續函數之Fourier 轉換，進而求解裂縫板振 動問題。
有限元素法與 Ritz 法可被用於分析不同邊界條件之矩形裂縫板振動問 題。在有限元素法中，若使用古典板理論，則須使用較難建立之C1-type 形
狀函數，僅兩篇論文探討裂縫板振。Qian 等人(1991)為了發展一有限元素的 解法，對含裂縫尖端的元素，經由對應力強度因子(stress intensity factor)的 積分，建構元素的勁度矩陣(stiffness matrix)。Krawczuk(1993)則提出類似於 Qian 等人(1991)的解決方式，唯一不同的是對裂縫尖端元素勁度矩陣，採用 解析解的表示式。
在 Ritz 法中，使用適當的允許函數可快速精確求解振動問題。考慮裂 縫板之振動問題，其允許函數需滿足：(1)能描述裂縫尖端之應力奇異行為；
(2)滿足跨越裂縫轉角與位移之不連續。而目前利用 Ritz 法研究裂縫矩形板 之振動，僅有三篇相關之文獻。Yuan 和 Dickinson(1992)則將矩形板分成數 個區塊，並加置人工彈簧於各區塊連結之邊界上；因此，可用傳統的允許 函數(regular admissible functions)於各區域來求解，不必用特別的函數來描 述裂縫。用類似於Yuan 和 Dickinson(1992)之切割方法，Liew 等人(1994)則 僅要求各區塊之允許函數於兩區塊交接處，以積分形式滿足允許函數及其 一階微分之連續性，然而這樣的方式並無法滿足位移與斜率處處連續。可 知Yuan 和 Dickinson(1992)與 Liew 等人(1994)所用之分析方法不能正確描述 裂縫之不連續行為，其所得之結果亦不具有 Ritz 法由上界(upper-bound)收 斂至真解之特性。Khaddem 和 Rezaee(2000)利用 Levy’s solution 建立所謂修 正比較函數(modified comparison functions)，作為 Ritz 法所中的允許函數 (admissible functions)，分析具水平裂縫簡支承矩形板於不同裂縫長度、深
度與位置時之振動。然而，因為Khadem 和 Rezaee(2000)使用之允許函數較 為特殊，其僅適用於處理至少一對邊是簡支承(two opposite edges simply supported)之裂縫矩形板振動問題。
本研究使用 Ritz 法並將考慮裂縫尖端之奇異性，提出適合描述裂縫處 位移及斜率不連續之特殊函數，將其引入允許函數中以正確求解振動問題。
1.3 內容概要
本論文共分為五章，其內容如下：
第一章 說明本文研究動機與目的，提出相關文獻之回顧並指出研究之方法 與內容。
第二章 簡述於古典薄板理論中，引入 Williams(1952)推導之漸近解(角函 數)，得符合裂縫尖端處之應力奇異性。
第三章 以 Ritz 法求解邊緣裂縫矩形板之振動，於允許函數中引入本文提出 之函數，除驗證本方法之優點，並用於分析不同案例之振動問題。
第四章 以 Ritz 法求解內部裂縫矩形板之振動，於允許函數中引入本文提出 之函數，除驗證本方法之優點，並用於分析不同案例之振動問題。
第五章 本研究之結論與建議。