第三章 具邊緣裂縫矩形薄板之振動分析
3.4 數值分析
邊界之振動行為，探討不同裂縫位置、角度及長度 對振動行為之影響。
3.10 為具有邊緣裂縫四邊簡支承(SSS
斂，由 可知當裂縫長度增加時，所用
於3.3 節收斂性分析中已驗證使用式(3.12)與(3.14)於允許函數中可有 助於數值收斂產生極佳之效果。於本節，吾人將其用於分析具有邊緣裂縫 之矩形板於簡支與懸臂
表 S)方形板，考慮不同之裂縫
位置(cy/b=0.5與 0.75)、角度(α =0° ,15° ,30°)與長度(d /a=0.1~0.6)。表中列
出為前五個模態之無因次化頻率值 根據收斂性分析的結果，所用允許 函數項數之方式如下：當 / 0.3
，而
≤ a
d 時，取為 I=J=7與N =5(總項數為89項)；
當d/a≥0.4時，取 I=J=8 與N =6(總項數為 118項)。觀察表 3.10 之結果，
列現象:
可發現下
(1) 第一列之五個模態振動頻率值，與 Leissa (1973)所得無裂縫板之 振動頻率值19.74、49.35、49.35、78.96、98.70 ，其中n=2、5、5、
較短時(d
明顯。
(2) 觀察水平裂縫隨位置
(nπ2
8、10)非常相近。裂縫 /a=0.1)，其各模態頻率值受裂縫引 起的改變很小，即因裂縫導致勁度降低量較不
(cy/b=0.5與0.75)變化頻率值下降之情形，發 現cy/b=0.5之前兩模態頻率值隨裂縫增加下降幅度較cy/b=0.75 者大，而第三~第五模態則呈現相反趨勢。
(3) 比較各模態頻率值隨角度增加(α =0° ,15° ,30°)之變化情形。首先固 定裂縫長度為 d/a=0.2，發現第一與第二模態頻率值隨角度增加而 下降，第三模態則呈現相反趨勢(隨角度增加而增加)，第四與第 五模態者則無趨勢。若固定較長之裂縫d/a=0.5時，發現第一與第
表 3.11 為具邊緣裂縫之懸臂矩形之板無因次化振動頻率值。所考慮 之參數為：矩形板之長寬比(a/b=1與2)、裂縫之角度
三模態頻率值隨角度增加而下降，第二與第四模態則為相反趨 勢，第五模態無趨勢。
(α=0°、15°、30°、45°)、 位置(cy/b=0.2、0.4、0.5、0.75)及裂縫長度(d/a=0.1~0.7)。使用允許函數方式
為： d/a≤0.4時，取為 I=J=7與N =5(總項數 89 項)；當d/a≥0.5時，取 與
當
為I=J=8 N =6(總項數118項)。可發現:
(1) 與表3.10 類似，本研究中所得d/a=0.1之值與 d/a=0之值非常相近，
而d/a=0亦為Leissa (1973)所得無裂縫懸臂矩形板之結
(3) 觀察水平裂縫隨位置不同
果。
(2) 如所預期，各頻率值隨裂縫長度增加(d/a=0.1~0.6)而下降之。但水 平裂縫(α= 0°)案例中第一模態頻率隨d/a改變變化很小。
(cy/b=0 /a=0.2
.2、0.4、0.5、0.75)而造成頻率值 變化之情形。固定裂縫為d 時，發現cy/b=0.2者各模態(除第 一模態)頻率皆為最大者，而cy /b=0.5 則為最小者。固定裂縫為
d/a=0.6 時，發現cy/b=0.2 第二、四、五模態頻率值為最大者，第
三模態為最小者，cy/b=0.5則恰為相反趨勢。發現當邊緣裂縫位 於中間(cy /b=0.5)與最遠離中間者(cy/b=0.2)，會有最大及最小之 頻率值。
(4) 觀察頻率值隨裂縫角度增加(α=0°、15°、30°、45°且 .75)之 變化。固定裂縫 d/a=0.2，發現
= b cy / 0 45°
=
α 者第二、四、五模態有最大
值，α=0° 者第三模態有最大值。當固定裂縫為 d/a=0.5時，α=0°
之第三與第五模態有最大值， 四模態有最小值；α=45° 之 第二與第四模態有最大值，第三模態有最小值。當裂縫較長時
第二與第
(d/a=0.5)，發現頻率之最大與最小值集中於角度最小(α=0° )與最 大者(α=45° )。
(5) 比較a/b=1與2中當裂縫位於cy /b=0.5之頻率值。發現除第一模態
以外，兩者在各模態中隨裂縫增長之變化情形各有不同。a/b=2之 第 三 模 態 頻 率 值 隨 裂 縫 長 度 增 加 而 下 降 之 幅 度 極 微 小(低 於 0.5%)，而其第二模態下降幅度為最大(超過 50%)。
(6) 比較表3.10 與表 3.11 中cy /b=0.5之水平裂縫方形板。觀察裂縫由
d/a=0.1增至 0.6頻率值之下降幅度，表 3.1 態下降幅
度極小(低於0.3%)，第二~第五模態下降幅度皆大於表 0 者。可 知因裂縫增加導致勁度下降之影響於懸臂邊界條件有較明顯之趨
1 中除第一 3.1
勢。
表
長寬比( °
模
3.12 為裂縫位於頂端之懸臂矩形板，各考慮之參數為：矩形板之
a/b=1與 2)、裂縫之角度(α=90 、30° )、位置 及裂縫
長度(d/a=0.1~0.6)。使用允許函數方式為：當
(cx/a=0.5、0.75) 3
. 0 /a≤
d 時，取為 I=J=7 與
=5
N (總項數 89項)；當d/a≥0.4時，取為 I=J=8與N =6(總項數 118項)。
可發現:
(1) 為基準，比較a/b=1與 2頻率值隨裂縫增加(d/a=0.1~0.6)而 下降之情形。發現 a/b=1 中第一~四中頻率值下降幅度皆較 a/b=2 以α=90°
來得大，而第五模態則為反之。
為基準，與表3.1 中以1 a/b=1、
(2) 以a/b=1、α=90° 且cx/a=0.5 α=0°
且cy/b=0.5 者比較之。發現表 3.11 中第一與第三模態頻率值隨裂
縫增加(d/a=0.1~0.6)而下降幅度較表 3.12 小，而第二、四、模態之
降幅則較表3.12 大。
(3) 比較表 3.11 與 3.12 中α=30° 者，發現表 3.11 中除第一模態頻率 值隨裂縫長度增加(d/a=0.1~0.6)之下降幅度明顯較小(2%)外，其於 模態降幅皆大於表3.12 者。即裂縫交於板之 x=a 處者似乎較 y=b 者受裂縫增加之影響較為顯著。
圖 僅列出
(1) 當裂縫位於中間
3.4 為具有邊緣裂縫簡支矩形板之節點線(位移=0 之連線)圖，其中 表3.10 中d/a=0.2與 0.5之圖形。觀察之現象如下：
(cy/b=0.5)且為水平(α = 0°)時，可發現其自由振 動之模態圖皆為對稱或反對稱於裂縫軸(y=b/2)。其中 d/a=0.2 之 第一~四模態為反對稱，第五模態為對稱。而 d/a=0.5 者其第一、
三、五模態為對稱，第二與第四模態為反對稱。
(2)
節點線亦出現較多扭曲 之形式。觀察d/a=0.2第四模態，發現原兩相交垂直線產生分離。
觀察cy/ =0.75b 之圖形與cy/ =0.5b 比較之，當裂縫移至cy/ =0.7b 時，因為其幾何逐漸失去原有之對稱性，
(3) 觀察圖形隨角度( °、30°且cy / =0.75b )之變化情形。d/a=0.2者第 一~四模態圖皆為相似，而
0°、15
第五模態有明顯差異；而 d/a=0.5 者圖 形受角度影響之變化愈趨明顯，其中第二與第三模態圖形有較大 差異。
圖 列出表
(1) 當水平裂縫位於
3.5 為具有邊緣裂縫懸臂矩形板之節點線圖，裂縫與x=a相交，僅 3.11 中d/a=0.2與 0.5之圖形。可觀察到：
= b
cy/ 0.5時， y=b/2，故其節點線
(2) 觀察水平裂縫隨位置
該板幾何對稱於 呈現對稱與反對稱形式。
(cy/b=0.2、0.4、0.75)改變之情形。以cy /b=0.5 且 d/a=0.2為基準，發現cy/b=0.2、0.4、0.75與 .5之第一~四 模態圖形皆為相似，而第五模態原兩
以
= b cy/ 0
線交會之圖形則為分離。若
= b
cy/ 0.5且 d/a=0.5為基準，發現隨位置遠離 .5，各模態
(3) 觀察水平之裂縫位於
= b cy / 0 圖形有更明顯之差異(例：第三~五模態圖形)。
= b
cy/ 0.5 隨板之長寬比(a/b=1 與 2)變化情 形。發現裂縫較短(d/a=0.2)時，第四與第五模態圖形變化無ㄧ定趨
五模
勢，而可發現 a/b=1第 態與 a/b=2第四模態圖形類似。而當裂
縫較長(d/a=0.5)時，可發現兩者(a/b=1 與 2)之第三與第五模態有類
似互換之情形。
(4) 角度之變化(0°、15°、30°、45°且 =0.75)。發現 裂縫較短(d/a=0.2)者各模態圖形皆為相似；當 (d/a=0.5)時，
可發現 之第三模態與其他範例有明顯之不同。
(5) 比較圖3.4 與 3.5 中
觀察圖形隨裂縫 cy/b
裂縫較長 45°
= α
= b
cy/ 0.5之水平裂縫圖形。圖3.4 由於幾何邊 界之對稱亦使其節點線型式簡單且多為直線，而圖 3.5 者則出現 較多曲線形式。其中圖3.4 中 d/a=0.2與0.5之第二與第三模態則有 互換之情形。
圖3.6 為具有邊緣裂縫懸臂矩形板之節點線圖，裂縫與y=b相交，其 中列出對應表3.12 中d/a=0.2與0.5之圖形。可觀察到：
) 比較 且 d/a=0.2 圖形隨板長寬比(a/b=1 與 2)之變化。發現前
三模態圖形較為相似，而第四與第五模態圖形有較明顯之差異。
其中d/a=0.5者亦有類似之趨勢。
(2) 比較圖 (1 α=90°
3.5 與圖 3.6 中α=30° 之圖形，發現當裂縫較短時(d/a=0.2)， 兩者之圖形於各模態較為相似，而當裂縫較長時(d/a=0.5)，第三、
四、五模態之圖形有很明顯之差異。