第三章 圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪的齒面數學模式
例題 3 凸狀與凹狀球形齒輪組在具有中心距、垂直軸向及水平軸向之
本例題將依據表4.6所列之球形齒輪設計參數，探討不同壓力角球形齒 輪在具有中心距組裝誤差、水平軸向組裝誤差及垂直軸向組裝誤差及混合 組裝誤差各種狀態下嚙合，對齒輪組之運動誤差的影響。
表4.6 球形齒輪之主要設計參數
凸狀球形齒輪A凹狀球形齒輪B
模數m (mm/teeth) n 4 4
壓力角αn(度) 14.5 20 25 14.5 20 25
齒數T i 36 72
節圓半徑 r (mm) i 72 144
不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有水平軸向組裝 誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結果如表4.7 至 4.9 及圖 4.2 所示。由分 析之結果可以很清楚的看出，球形齒輪在具有水平軸向裝配誤差時，
ψ1≠ψ2≠0度，亦即其齒輪接觸位置將會偏離齒寬之中央截面處。當球形齒 輪組只具有水平裝配誤差時，其齒面接觸位置將會是在兩嚙合齒面的同一 側，亦即ψ1和ψ2會同時為正值或同為負值。又齒輪組若具有水平軸向之裝 配誤差時，會隨著齒輪壓力角的增加，而使得球形齒輪組的運動誤差減小。
不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有垂直組裝誤差 設計參數 齒輪形狀
嚙合齒面的同一側變換到另一側，而齒輪壓力角大小對於垂直軸向裝配誤 差所造成的運動誤差較不敏感，亦即球形齒輪對於垂直軸向之裝配誤差的 容許度較大。
不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有水平軸向及垂 直軸向組裝誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結果如表4.13至4.15及圖4.4 所示。由分析結果顯示，當水平軸向組裝誤差與垂直軸向組裝誤差同時存 在時，因為球形齒輪對於垂直軸向組裝誤差的容許度較大，以及壓力角大 小對水平軸向組裝誤差與垂直軸向組裝誤差的影響為相反，而使得齒輪組 整體的運動誤差反而會小幅的下降。
不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有較大之中心距 0.1mm、水平軸向及垂直軸向之組裝誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結果 如表4.16 至 4.18及圖 4.5 所示。由分析結果顯示，中心距組裝誤差對於齒 輪組的影響是很大的。
不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有較小之中心距 0.05mm、水平軸向及垂直軸向之組裝誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結 果如表4.19 至 4.21及圖 4.6 所示。由分析結果顯示，假設於齒輪對中心距 組裝時施加一預加力量，以縮短其中心距時，則齒輪對之運動誤差會縮小，
此分析結果對於組裝實務上有所助益。
表4.7凸狀球形齒輪 A與凹狀球形齒輪B在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(1)
組裝狀態:壓力角=14.5°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=0.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.498 13.406 13.239 -4.152 -2.085 7.201 -4.000 -1.998 13.905 13.744 -3.995 -2.002 5.768 -3.000 -1.499 14.445 14.289 -3.836 -1.919 4.331 -2.000 -0.999 15.030 14.880 -3.676 -1.835 2.891 -1.000 -0.500 15.667 15.523 -3.515 -1.751 1.447 0.000 0.000 16.362 16.224 -3.353 -1.665 0.000 1.000 0.500 17.123 16.992 -3.189 -1.580 -1.449 2.000 0.999 17.960 17.835 -3.025 -1.494 -2.899 3.000 1.499 18.884 18.766 -2.859 -1.407 -4.350 4.000 1.998 19.909 19.797 -2.693 -1.321 -5.800 5.000 2.498 21.051 20.945 -2.526 -1.234 -7.249
表4.8凸狀球形齒輪 A與凹狀球形齒輪B在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(2)
組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=0.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.498 18.264 18.173 -3.030 -1.525 5.616 -4.000 -1.999 18.960 18.872 -2.906 -1.458 4.490 -3.000 -1.499 19.710 19.626 -2.780 -1.392 3.365 -2.000 -0.999 20.522 20.441 -2.655 -1.325 2.241 -1.000 -0.500 21.401 21.324 -2.529 -1.259 1.119 0.000 0.000 22.358 22.285 -2.403 -1.192 0.000 1.000 0.500 23.401 23.332 -2.277 -1.125 -1.116 2.000 0.999 24.543 24.477 -2.150 -1.058 -2.228 3.000 1.499 25.796 25.734 -2.024 -0.992 -3.334 4.000 1.999 27.176 27.117 -1.897 -0.925 -4.434
表4.9凸狀球形齒輪 A與凹狀球形齒輪B在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(3)
組裝狀態:壓力角=25.0°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=0.0°
1
'
φ
(deg)φ
2'
(deg) θ(F)(deg) θ (deg)(P)ψ
1(deg)ψ
2(deg) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.499 22.761 22.702 -2.394 -1.206 4.692 -4.000 -1.999 23.630 23.573 -2.290 -1.150 3.746 -3.000 -1.499 24.564 24.511 -2.185 -1.094 2.803 -2.000 -0.999 25.572 25.521 -2.081 -1.039 1.864 -1.000 -0.500 26.662 26.613 -1.977 -0.983 0.929 0.000 0.000 27.842 27.795 -1.872 -0.927 0.000 1.000 0.500 29.123 29.079 -1.768 -0.872 -0.923 2.000 0.999 30.517 30.476 -1.664 -0.817 -1.839 3.000 1.499 32.039 32.000 -1.560 -0.762 -2.747 4.000 1.999 33.702 33.666 -1.457 -0.708 -3.645 5.000 2.499 35.527 35.493 -1.353 -0.653 -4.530
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-15 -10 -5 0 5 10 15
小齒輪旋轉角(度)
運動誤差(弧度-秒)
壓力角=14.5度 壓力角=20度 壓力角=25度
圖 4.2凸狀球形齒輪A 與凹狀球形齒輪B在具有水平軸向裝配誤差狀 態下之接觸分析結果
表4.10凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪B在具有垂直軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(4)
組裝狀態:壓力角=14.5°、△C=0.0mm，△h=0.0°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.500 13.183 13.185 2.002 0.010 0.347 -4.000 -2.000 13.699 13.700 1.996 0.004 0.298 -3.000 -1.500 14.255 14.255 1.989 -0.004 0.241 -2.000 -1.000 14.857 14.857 1.982 -0.011 0.173 -1.000 -0.500 15.511 15.510 1.974 -0.020 0.094 0.000 0.000 16.224 16.222 1.965 -0.030 0.000 1.000 0.500 17.003 17.000 1.955 -0.040 -0.111 2.000 1.000 17.858 17.854 1.944 -0.051 -0.242 3.000 1.500 18.801 18.795 1.932 -0.064 -0.398 4.000 2.000 19.844 19.836 1.918 -0.078 -0.585 5.000 2.500 21.003 20.993 1.903 -0.093 -0.811
表4.11凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪B在具有垂直軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果 (5)
組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.0mm，△h=0.0°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.500 18.177 18.179 2.016 0.020 0.654 -4.000 -2.000 18.883 18.884 2.007 0.011 0.560 -3.000 -1.500 19.643 19.644 1.997 0.001 0.450 -2.000 -1.000 20.465 20.464 1.986 -0.010 0.323 -1.000 -0.500 21.355 21.353 1.975 -0.022 0.174 0.000 0.000 22.321 22.318 1.962 -0.034 0.000 1.000 0.500 23.374 23.370 1.949 -0.048 -0.204 2.000 1.000 24.525 24.519 1.934 -0.063 -0.444 3.000 1.500 25.786 25.778 1.918 -0.080 -0.727 4.000 2.000 27.174 27.164 1.900 -0.098 -1.063
表4.12凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪B在具有垂直軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(6)
組裝狀態:壓力角=25.0°、△C=0.0mm，△h=0.0°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.500 22.727 22.729 2.024 0.027 1.000 -4.000 -2.000 23.603 23.604 2.013 0.016 0.854 -3.000 -1.500 24.544 24.544 2.001 0.003 0.685 -2.000 -1.000 25.558 25.557 1.988 -0.010 0.490 -1.000 -0.500 26.653 26.651 1.974 -0.024 0.263 0.000 0.000 27.839 27.835 1.959 -0.039 0.000 1.000 0.500 29.125 29.120 1.943 -0.055 -0.307 2.000 1.000 30.523 30.516 1.925 -0.073 -0.666 3.000 1.500 32.047 32.038 1.907 -0.092 -1.086 4.000 2.000 33.713 33.702 1.887 -0.112 -1.581 5.000 2.499 35.538 35.524 1.865 -0.133 -2.166
圖4.3凸狀球形齒輪 A與凹狀球形齒輪B在具有垂直軸向裝配誤差狀態 下之接觸分析結果
-3 -2 -1 0 1 2
-15 -10 -5 0 5 10 15
小齒輪旋轉角(度)
運動誤差(弧度-秒)
壓力角=14.5度 壓力角=20度 壓力角=25度
表4.13凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪B在具有水平及垂直軸向裝配誤差 狀態下之接觸分析結果 (7)
組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.498 13.261 13.091 -2.171 -2.086 6.235 -4.000 -1.999 13.763 13.600 -2.019 -2.009 4.981 -3.000 -1.499 14.307 14.149 -1.866 -1.933 3.730 -2.000 -0.999 14.896 14.745 -1.713 -1.856 2.482 -1.000 -0.500 15.538 15.393 -1.558 -1.779 1.239 0.000 0.000 16.238 16.100 -1.404 -1.703 0.000 1.000 0.500 17.005 16.874 -1.249 -1.627 -1.233 2.000 0.999 17.848 17.724 -1.093 -1.552 -2.459 3.000 1.499 18.779 18.661 -0.938 -1.477 -3.679 4.000 1.999 19.811 19.700 -0.784 -1.403 -4.892 5.000 2.498 20.962 20.857 -0.630 -1.330 -6.100
表4.14凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪B在具有水平及垂直軸向裝配誤差 狀態下之接觸分析結果(8)
組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.499 18.175 18.082 -1.019 -1.506 4.519 -4.000 -1.999 18.874 18.786 -0.903 -1.449 3.604 -3.000 -1.499 19.629 19.544 -0.787 -1.393 2.695 -2.000 -1.000 20.445 20.364 -0.672 -1.337 1.791 -1.000 -0.500 21.330 21.253 -0.557 -1.281 0.893 0.000 0.000 22.292 22.218 -0.443 -1.227 0.000 1.000 0.500 23.340 23.271 -0.329 -1.174 -0.890 2.000 1.000 24.488 24.422 -0.217 -1.122 -1.778 3.000 1.499 25.747 25.684 -0.106 -1.071 -2.668 4.000 1.999 27.133 27.073 0.003 -1.022 -3.564
表4.15凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪B在具有水平及垂直軸向裝配誤差 狀態下之接觸分析結果(9)
組裝狀態:壓力角=25.0°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.499 22.704 22.645 -0.370 -1.179 3.598 -4.000 -1.999 23.576 23.520 -0.277 -1.134 2.876 -3.000 -1.499 24.515 24.461 -0.184 -1.090 2.156 -2.000 -1.000 25.528 25.476 -0.093 -1.048 1.439 -1.000 -0.500 26.621 26.572 -0.002 -1.006 0.721 0.000 0.000 27.806 27.759 0.088 -0.966 0.000 1.000 0.500 29.091 29.046 0.176 -0.926 -0.727 2.000 1.000 30.490 30.447 0.263 -0.889 -1.467 3.000 1.499 32.016 31.974 0.348 -0.853 -2.225 4.000 1.999 33.683 33.643 0.432 -0.818 -3.010 5.000 2.499 35.511 35.471 0.514 -0.786 -3.837
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
-15 -10 -5 0 5 10 15
小齒輪旋轉角(度)
運動誤差(弧度-秒)
壓力角=14.5度 壓力角=20度 壓力角=25度
圖 4.4凸狀球形齒輪A 與凹狀球形齒輪B在具有水平及垂直軸向裝配 誤差狀態下之接觸分析結果
表4.16凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有中心距、水平及垂直軸向 裝配誤差狀態下之接觸分析結果(10)
組裝狀態:壓力角=14.5°、△C=0.1mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.496 13.256 12.916 -2.122 -2.061 13.961 -4.000 -1.997 13.754 13.413 -1.975 -1.987 11.423 -3.000 -1.498 14.292 13.949 -1.827 -1.913 8.773 -2.000 -0.998 14.875 14.529 -1.679 -1.839 5.998 -1.000 -0.499 15.508 15.159 -1.530 -1.765 3.080 0.000 0.000 16.198 15.844 -1.381 -1.692 0.000 1.000 0.499 16.952 16.594 -1.232 -1.618 -3.267 2.000 0.998 17.780 17.415 -1.082 -1.545 -6.750 3.000 1.497 18.690 18.318 -0.933 -1.473 -10.486 4.000 1.996 19.698 19.316 -0.784 -1.402 -14.520 5.000 2.495 20.816 20.423 -0.636 -1.332 -18.911
表4.17凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有中心距、水平及垂直軸向 裝配誤差狀態下之接觸分析結果(11)
組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.1mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ(P)(deg.)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.) -5.000 -2.496 18.148 17.876 -1.004 -1.498 15.993 -4.000 -1.996 18.840 18.563 -0.891 -1.443 13.170 -3.000 -1.497 19.585 19.304 -0.779 -1.388 10.184 -2.000 -0.998 20.390 20.103 -0.666 -1.333 7.012 -1.000 -0.499 21.261 20.968 -0.555 -1.280 3.629 0.000 0.000 22.206 21.906 -0.444 -1.227 0.000 1.000 0.499 23.235 22.927 -0.334 -1.175 -3.914 2.000 0.998 24.358 24.040 -0.225 -1.125 -8.162 3.000 1.496 25.587 25.257 -0.117 -1.075 -12.804
表4.18凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有中心距、水平及垂直軸向 裝配誤差狀態下之接觸分析結果(12)
組裝狀態:壓力角=25.0°、△C=0.1mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ(P)(deg.)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.495 22.652 22.406 -0.368 -1.177 18.944 -4.000 -1.996 23.514 23.262 -0.277 -1.134 15.681 -3.000 -1.497 24.440 24.182 -0.187 -1.091 12.192 -2.000 -0.998 25.437 25.171 -0.097 -1.049 8.444 -1.000 -0.499 26.512 26.238 -0.009 -1.009 4.396 0.000 0.000 27.675 27.391 0.078 -0.969 0.000 1.000 0.499 28.934 28.640 0.165 -0.931 -4.803 2.000 0.997 30.301 29.994 0.249 -0.894 -10.086 3.000 1.496 31.789 31.466 0.333 -0.859 -15.941 4.000 1.994 33.409 33.070 0.414 -0.825 -22.481 5.000 2.492 35.179 34.820 0.494 -0.793 -29.854
圖 4.5凸狀球形齒輪A 與凹狀球形齒輪B在具有中心距、水平及垂直 軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30
-15 -10 -5 0 5 10 15
小齒輪旋轉角(度)
運動誤差(弧度-秒)
壓力角=14.5度 壓力角=20度 壓力角=25度
表4.19凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有較小之中心距、水平及垂 直軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(13)
組裝狀態:壓力角=14.5°、△C=-0.05mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ (deg.)(P)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.)
-5.000 -2.499 13.264 13.180 -2.196 -2.098 2.280 -4.000 -2.000 13.768 13.695 -2.041 -2.020 1.683 -3.000 -1.500 14.315 14.251 -1.886 -1.942 1.147 -2.000 -1.000 14.908 14.855 -1.729 -1.864 0.681 -1.000 -0.500 15.553 15.513 -1.572 -1.786 0.294 0.000 0.000 16.259 16.230 -1.414 -1.709 0.000 1.000 0.500 17.032 17.016 -1.257 -1.631 -0.188 2.000 1.000 17.884 17.881 -1.099 -1.554 -0.254 3.000 1.500 18.826 18.837 -0.941 -1.478 -0.176 4.000 2.000 19.871 19.897 -0.783 -1.403 0.069 5.000 2.500 21.038 21.080 -0.626 -1.329 0.512
表4.20凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有較小之中心距、水平及垂 直軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(14)
組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=-0.05mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ(P)(deg.)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.) -5.000 -2.500 18.189 18.187 -1.027 -1.510 -1.345 -4.000 -2.000 18.893 18.899 -0.909 -1.452 -1.288 -3.000 -1.500 19.652 19.666 -0.791 -1.395 -1.138 -2.000 -1.000 20.474 20.497 -0.674 -1.338 -0.882 -1.000 -0.500 21.366 21.397 -0.558 -1.282 -0.509 0.000 0.000 22.336 22.377 -0.442 -1.227 0.000 1.000 0.500 23.395 23.446 -0.327 -1.173 0.663 2.000 1.000 24.555 24.616 -0.213 -1.120 1.503 3.000 1.501 25.829 25.902 -0.100 -1.069 2.550
表4.21凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有較小之中心距、水平及垂 直軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(15)
組裝狀態:壓力角=25.0°、△C=-0.05mm，△h=0.5°，△V=2.0°
1
'
φ
(deg.)φ
2'
(deg.) θ(F)(deg.) θ(P)(deg.)ψ
1(deg.)ψ
2(deg.) KE(arc-sec.) -5.000 -2.501 22.730 22.765 -0.371 -1.179 -4.250 -4.000 -2.001 23.609 23.651 -0.276 -1.134 -3.678 -3.000 -1.501 24.554 24.603 -0.183 -1.090 -2.984 -2.000 -1.001 25.574 25.631 -0.090 -1.047 -2.152 -1.000 -0.500 26.677 26.742 0.002 -1.005 -1.165 0.000 0.000 27.873 27.946 0.093 -0.964 0.000 1.000 0.500 29.172 29.254 0.182 -0.924 1.368 2.000 1.001 30.588 30.678 0.270 -0.886 2.972 3.000 1.501 32.133 32.234 0.356 -0.850 4.851 4.000 2.002 33.825 33.937 0.441 -0.815 7.054 5.000 2.503 35.683 35.806 0.524 -0.782 9.644
圖 4.6凸狀球形齒輪A 與凹狀球形齒輪B在具有較小之中心距、水平 及垂直軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-15 -10 -5 0 5 10 15
小齒輪旋轉角(度)
運動誤差(弧度-秒)
壓力角=14.5度 壓力角=20度 壓力角=25度