以圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪的齒面數學模式和接觸分析

國 立 交 通 大 學

工學院精密與自動化工程學程

碩 士 論 文

以圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪的

齒面數學模式和接觸分析

Mathematical Model and Tooth Contact Analysis of Spherical Gears

Generated by a Hob with Circular-Arc Profiles

研 究 生： 羅偉旭

指 導 教 授： 蔡忠杓

教授

以圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪的齒面數學模式和接觸分析

Mathematical Model and Tooth Contact Analysis of Spherical Gears

Generated by a Hob with Circular-Arc Profiles

研 究 生： 羅偉旭 Student： Wei-Hsu Lo

指導教授： 蔡忠杓 Advisor： Dr. Chung-Biau Tasy

國 立 交 通 大 學

工學院精密與自動化工程學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Department of Degree Program of Automation and Precision College of Engineering

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of Master

In

Automation and Precision of Engineering

June 2007

一月文摘要

研究生：

羅偉旭

指導教授：蔡忠杓 博士

國立交通大學精密與自動化工程學程

摘

要

球形齒輪早已使用多時，但目前尚未見有以圓弧形滾齒刀創成之球形齒 輪，亦無對此類具有齒面修整之球形齒輪進行齒面接觸研究。因此，建立 此類具有齒面修整之球形齒輪的齒面數學模式並進行其特性研究分析，探 討此類對球形齒輪在具有裝配誤差狀態下對齒輪組傳動的影響，將可對球 形齒輪之齒面修整的特性更為瞭解，並有助於本文所提之球形齒輪齒面修 整技術在球形齒輪上的運用。 本論文依據齒輪原理與球形齒輪之創成機構，以推導用圓弧形滾齒刀來 創成具有齒形修整之球形齒輪的齒面數學模式，而本文提出此圓弧形滾齒 刀之滾削創成也可用具有圓弧剖面之曲線狀齒條刀來加以模擬。針對此類 具齒形修整之球形齒輪，應用齒輪嚙合原理建立其齒面接觸分析模式，並 輔以電腦輔助分析程式之開發，進行齒面修整之球形齒輪的齒面接觸模擬 與特性分析，探討具有裝配誤差狀態下齒輪組之運動誤差。

以圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪的齒面數學模式和接觸分析

國立交通大學精密與自動化工程學程碩士班

Abstract

Spherical gears have been used for years, however, spherical gears generated by a hob cutter with circular-arc profiles have not found yet. Besides, there is no research on the tooth contact analysis of this type of spherical gears with tooth profile modification. Therefore, to establish the mathematical model of this type of gears and to investigate the contact characteristic of the gear pairs are most helpful to the applications of this tooth modified spherical gears.

In this research, the tooth mathematical model of the spherical gears with modified tooth profiles, generated by a hob cutter with circular-arc profiles, is developed based on the theory of gearing and the spherical gear generation mechanism. A concept of applying the curvilinear-tooth rack cutter with circular-arc profiles to simulate the hobbing generation of a hob cutter with circular-arc profiles is proposed. Based on the developed tooth mathematical model of the modified spherical gear as well as the theory of gear meshing and the developed tooth contact analysis computer simulation programs, the tooth contact simulations, characteristic analysis and kinematical errors of the gear pairs under various assembly errors are performed and discussed.

Student：Wei-Hsu Lo

Advisor:Dr. Chung-Biau Tsay

誌

謝

感謝指導教授 蔡忠杓博士在論文寫作上的細心教導，以及做人處世 不時地給予學生作最佳言教及身教的榜樣。 還有齒輪實驗室內的瑞堂學長、立碁、冠宇、俊諭、政豪、威良以 及家誠、宗賢、健育，當我在課業上及研究上遭遇到困難時，總是給予 最適當的協助。

目錄

中文摘要 ... i 英文摘要 ...ii 誌 謝 ...iii 目錄 ... iv 圖目錄 ... vi 表目錄 ...vii 符號表 ... x 第一章 緒論 ... 1 1.1 前言 ... 1 1.2 文獻回顧 ... 1 1.3 研究內容 ... 2 第二章 基本理論... 3 2.1 位置向量轉換 ... 3 2.2 嚙合方程式 ... 5 2.3 相對運動速度 ... 5 第三章 圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪的齒面數學模式... 11 3.1 前言 ... 11 3.2 齒條刀模擬圓弧形滾齒刀之理念及其刀面外形數學模式建立... 13 3.3 齒條刀之軌跡方程式 ... 16 3.4 球形齒輪之嚙合方程式 ... 20 3.5 球形齒輪之齒面數學模式... 23

4.1 前言 ... 27 4.2 具運動誤差之齒輪組的座標系轉換... 27 4.3 具運動誤差的齒輪之分析方程式... 31 4.4 接觸分析例題討論 ... 32 例題 1 球形齒輪組在理想裝配狀態下嚙合... 33 例題 2 球形齒輪組在具有中心距組裝誤差狀態下嚙合... 35 例題 3 凸狀與凹狀球形齒輪組在具有中心距、垂直軸向及水平軸向之 組裝誤差狀態下嚙合 ... 37 例題 4 兩個凸狀球形齒輪組在具有中心距、垂直軸向及水平軸向之裝 配誤差狀態下嚙合 ... 49 第五章 結論及未來展望... 57 5.1 結論 ... 57 5.2 未來展望 ... 58 參 考 文 獻 ... 59

圖目錄

圖 2.1 位置向量與座標系間的關係圖... 4 圖 2.2 空間中兩相互嚙合運動曲面之關係示意圖... 6 圖 2.3 空間物體之相對速度示意圖... 7 圖 2.4 平行軸共軛運動對之關係示意圖... 9 圖 3.1 假想齒條刀與被創成齒輪之座標關係示意圖... 12 圖 3.2 齒條刀之法向剖面圖... 14 圖 3.3 假想齒條刀刀面之座標關係示意圖... 15 圖 3.4 假想齒條刀∑F 創成小齒輪時之相對運動關係示意圖... 17 圖 3.5 假想齒條刀∑P創成大齒輪時之相對運動關係示意圖 ... 19 圖 3.6 凸狀球形齒輪之齒面外形電腦輔助繪圖... 24 圖 3.7 凹狀球形齒輪之齒面外形電腦輔助繪圖... 25 圖 3.8 凸狀球形齒輪與凹狀球形齒輪之配對示意圖... 26 圖 4.1 球形齒輪具有組裝誤差時各座標系間之關係示意圖... 28 圖 4.2 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果... 40 圖 4.3 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有垂直軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果... 42 圖 4.4 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平及垂直軸向裝配誤差 狀態下之接觸分析結果 ... 44 圖 4.5 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有中心距、水平及垂直軸向 裝配誤差狀態下之接觸分析結果 ... 46

表目錄

表 3.1 球形齒輪之主要設計參數... 23 表 4.1 球形齒輪之主要設計參數... 33 表 4.2 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 配對在無裝配誤差狀態下之接觸 分析結果... 34 表 4.3 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在無誤差狀態狀態下之接觸 分析結果... 34 表 4.4 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 配對在中心距組裝誤差為 0.1mm 狀態下之接觸分析結果 ... 35 表 4.5 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在中心距組裝誤差為 0.1mm 狀態下之接觸分析結果 ... 36 表 4.6 球形齒輪之主要設計參數... 37 表 4.7 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(1)... 39 表 4.8 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(2)... 39 表 4.9 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(3)... 40 表 4.10 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有垂直軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(4)... 41 表 4.11 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有垂直軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果 (5)... 41 表 4.12 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有垂直軸向裝配誤差狀態下

表 4.13 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平及垂直軸向裝配誤差 狀態下之接觸分析結果 (7)... 43 表 4.14 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平及垂直軸向裝配誤差 狀態下之接觸分析結果(8)... 43 表 4.15 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有水平及垂直軸向裝配誤差 狀態下之接觸分析結果(9)... 44 表 4.16 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有中心距、水平及垂直軸向 裝配誤差狀態下之接觸分析結果(10)... 45 表 4.17 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有中心距、水平及垂直軸向 裝配誤差狀態下之接觸分析結果(11)... 45 表 4.18 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有中心距、水平及垂直軸向 裝配誤差狀態下之接觸分析結果(12)... 46 表 4.19 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有較小之中心距、水平及垂 直軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(13)... 47 表 4.20 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有較小之中心距、水平及垂 直軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(14)... 47 表 4.21 凸狀球形齒輪 A 與凹狀球形齒輪 B 在具有較小之中心距、水平及垂 直軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(15)... 48 表 4.22 兩個凸狀球形齒輪之主要設計參數... 49 表 4.23 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有水平軸向裝配誤差狀 態下之接觸分析結果(1)... 50 表 4.24 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有水平軸向裝配誤差狀 態下之接觸分析結果(2)... 51

表 4.26 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有垂直軸向裝配誤差狀 態下之接觸分析結果 (4)... 52 表 4.27 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有垂直軸向裝配誤差狀 態下之接觸分析結果(5)... 53 表 4.28 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有垂直軸向裝配誤差狀 態下之接觸分析結果(6)... 53 表 4.29 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有中心距、水平及垂直 軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(7)... 54 表 4.30 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有中心距、水平及垂直 軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(8)... 55 表 4.31 凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 配對在具有中心距、水平及垂直 軸向裝配誤差狀態下之接觸分析結果(9)... 55

符號表

A 齒條刀刀面之中點 Q 與終點 M 的刀具參數(mm)(圖 3.2) B 齒條刀刀面之中點 Q 與起點 N 的刀具參數(mm) (圖 3.2) C 理論中心距(mm) (圖 2.4) I 共軛運動時的瞬心(圖 2.4) ij L 法向量轉換矩陣：(座標系S 轉換至座標系_j S_i) n m 法向模數(mm/齒) ij M 齊次座標轉換矩陣：(座標系S_j轉換至座標系S_i) ) (i c n 座標系S_c上齒條刀刀面之單位法線向量(i= p g, ) ) (i f n 座標系S 上齒條刀刀面之單位法線向量(_f i= p g, ) N 嚙合齒面之共同法線向量 ) (i c N 座標系S 上齒條刀刀面之法線向量(_c i= p g, ) i O 座標系S 之原點 _i i p 嚙合接觸點之位置向量的分量(i x y z= , , ) P 嚙合齒面之共同接觸點 i R 齒輪齒面軌跡之位置向量(i=1, 2) ) i ( R 齒條刀刀面之圓弧線形的圓弧半徑(圖 3.2) i R 球形齒輪球體的節圓半徑(i=1,2,) ) (i a R 齒條刀刀面於座標系 (i) a S 之位置向量(i=F,P) ) (i c R 齒條刀刀面於座標系 (i) c S 之位置向量(i=F,P) (F) S 齒條刀刀面之參數(mm) S(F) ₌ QQ' ) ,Z ,Y (X S_{i i i i} 座標系S_i (i=1,2,f,h,v) ) ,Z ,Y (X S (i) a (i) a (i) a (i) a 座標系S (i F,P) (i) a = ) ,Z ,Y (X S (i) c (i) c (i) c (i) c 座標系S (i F,P) (i) c =

) (ij V 物體i 相對於物體 j 之速度 ) (i f V 物體i 在座標系S_f之速度 ) (ij f V 物體i 相對於物體 j 之速度表示於座標系S_f i ∑ 小、大齒輪齒面(i=1,2) j ∑ 歯條刀 1 與齒條刀 2 之歯面 (j =F,P)

γ

_{空間兩旋轉軸之交錯角(圖 2.3)} (i) θ 齒條刀刀面之起點與終點的刀具參數(i=F,P) (圖 3.2) i

ψ

球形角度(i=1,2) (度) (圖 3.3) max

ψ

球形角度最大值(度) (圖 3.3) i

ω

齒輪之旋轉角速度(i=1,2) (弧度╱秒) i r 節圓半徑(i=1,2)(mm) △h 小齒輪在水平軸向之裝配誤差角度(圖 4.1) △v 小齒輪在垂直軸向之裝配誤差角度(圖 4.1) ' 2

φ

大齒輪在裝配後嚙合時的轉動角度(圖 4.1) ' 1

φ

小齒輪在裝配後嚙合時的轉動角度(圖 4.1) C’ 大小齒輪組裝後其中心距(圖 4.1) △C 組裝時所產生之中心距誤差(圖 4.1)

第一章 緒論

1.1 前言

球形齒輪主要應用於具有軸交角的傳動軸上，尤其是在有軸交角變化 之交錯軸間的傳動，使用球形齒輪會具有定角速度比的特性。由於球形齒 輪在理論上是將正齒輪之轉位量沿著齒輪旋轉軸向作二次曲線變化，故球 形齒輪之外形有凹狀及凸狀兩種，正轉位及負轉位滾削分別可以創成出凸 狀及凹狀球形齒輪。當球形齒輪互相嚙合時，可以有三種主要的配對形態， 正齒輪對凸狀、凸狀對凹狀及凸狀對凸狀；也由於球形齒輪這種配對的特 性，使得球形齒輪可以應用於較多傳動連結之零組件上。一般創成球形齒 輪時，其齒條刀具之外形曲線係採用最簡單的直線，且在一定的設計參數 下，嚙合過程平穩且連續，即使齒輪組具有中心距之組裝誤差時，仍不會 產生運動誤差，使得在製造、安裝及使用上，顯示出其優越性。但在傳遞 高負載的動力傳動機構中，則需要增加其接觸比來降低每一個齒所承受的 接觸應力與扭力。若欲提高球形齒輪接觸比，可對其齒面進行修整，以改 變齒輪之接觸比、齒輪之強度與齒面接觸齒印等齒輪性質並需避免齒輪過 切的問題。本文對於球形齒輪之齒面修整主要是以圓弧形曲線狀齒條刀， 來模擬圓弧形滾齒刀之滾削創成並進行球形齒輪之齒形修整，試圖針對球 形齒輪之齒形作改變後，進行其齒面接觸分析。

1.2 文獻回顧

對於圓弧形滾齒刀及以圓弧剖面之曲線狀齒條刀以模擬圓弧形滾齒刀 來創成球形齒輪之相關研究尚不多見，過去對於球形齒輪之相關研究並不 多，Litvin[1-3]針對正齒輪做了相關之探討，說明了正齒輪之過切條件及其

及提出漸開線螺旋齒輪之電腦輔助分析模擬與接觸分析。楊義雄[6]及山崎 隆[7]提到球形齒輪之實體已經被加工出來。Yang[8,9]則於 2002 年提出雙自 由度環狀漸開線球形齒輪之數學模式。張[10]於 1996 年提出一 CNC 滾齒機 之泛用數學模式，來模擬 CNC 滾齒機創成機構之相對運動關係。趙[11]則 於 2005 年探討了球形齒輪之數學模式及接觸分析。

1.3 研究內容

一般經齒形修整之齒輪，除齒形會改變外，其接觸狀況及齒印亦會隨 著齒輪之齒面修整方式及其修整量而有所不同，本論文即探討球形齒輪經 齒形修整後，齒輪之接觸狀況會產生何種變化。首先將利用 Litvin[1-3]所提 出之齒輪原理及蔡等人[4]所發展之齒輪數學模式的推導流程，來模擬具圓 弧形曲線狀齒條刀代替圓弧形滾齒刀，並據以創成球形齒輪的齒面數學模 式，隨後亦進一步進行球形齒輪之齒面接觸分析。 本論文之研究大綱茲臚列如下： 第一章為緒論，概述球形齒輪之特色介紹與爲何要進行齒形修整，並進行 文獻之回顧與介紹各章之研究內容。 第二章為基本理論，介紹創成共軛運動對的基本理論，並做為後續章節建 立齒輪齒面數學模式之依據。 第三章為圓弧形曲線狀齒條刀模擬圓弧形滾齒刀，並進行球形齒輪之齒面 數學模式的推導。運用創成共軛運動對之相關理論為基礎，進行以圓弧形 曲線狀齒條刀所創成之球形齒輪的齒面數學模式的推導。 第四章為圓弧形曲線狀齒條刀創成之球形齒輪接觸分析。 第五章為本論文之結論與未來展望。

第二章 基本理論

2.1 位置向量轉換

假設空間中有二個座標系S_f(X_f,Y_f ,Z_f )與S_i(X_i,Y_i ,Z_i )之關係如圖 2.1 所示。在上述空間座標系中，有一點 P其位置向量表示於座標系S_i(X_i,Y_i,Z_i) 為R_i，如果要把 P 點之位置向量R_i由S_i 座標系轉換至S_f 座標系來表示其 位置向量R ，則此兩座標系間之位置向量轉換可用下列之齊次座標轉換矩_f

陣(Homogeneous Coordinates Transformation Matrix)方程式表示之： i fi f M R R = (2.1) 其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = _{(o )} f i f i f i f ) o ( f i f i f i f ) o ( f i f i f i f fi _i i i Z ) Z , Z cos( ) Y , Z cos( ) X , Z cos( Y ) Z , Y cos( ) Y , Y cos( ) X , Y cos( X ) Z , X cos( ) Y , X cos( ) X , X cos( M _(2.2) 上式中cos(X_f,X_i)表示X_f軸與X_i軸間之夾角餘弦值，而 (oi) f X 、 (oi) f Y 及 ) (oi f Z 為S_i座標系之原點O_i表示於S_f 座標系的三個座標軸的分量，M 則為齊_fi 次座標轉換矩陣，可將位置向量由S_i座標系轉換至S_f 座標系。 至於一般之速度及法線向量等之座標間的轉換，因與座標系之原點無 關，所以此類向量的座標系間轉換矩陣 L 可表示如下：_fi

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

)

,

cos(

i f i f i f i f i f i f i f i f i f fi

Z

Z

Y

Z

X

Z

Z

Y

Y

Y

X

Y

Z

X

Y

X

X

X

L

_(2.3)

2.2 嚙合方程式

茲考慮空間中有二個相互嚙合運動的曲面 1 ∑ 和 2 ∑ ，如圖 2.2 所示，P 點為這兩個嚙合運動曲面 1 ∑ 和 2 ∑ 相切時的共切點(Common Tangent Point)，同時也是這二個嚙合運動曲面的瞬時接觸點。兩個嚙合曲面在其共 切點 P 點具有共同之曲面法向量N (Surface Normal Vector)；圖中_V( 12)_則表 示曲面 1 ∑ 和 2 ∑ 在 P 點的相對速度。 由於兩曲面在嚙合運動時，其中一個曲面與另一曲面既不分離亦不嵌 入彼此曲面內，因此，相對速度_V( 12)_{在兩曲面的共同法向量方向上並無相} 對運動，亦即其相對速度_V( 12)_{在沿著共同法向量N的分量為零，故兩曲面之} 相對速度必落在其共同切平面T上面。因此，共同法向量N必與此相對速度 ) ( 12 V 互相垂直。我們可從上述的現象得到下列結論：兩嚙合運動曲面其相 對速度_V( 12)_{和共同法向量N，在其共同接觸點 P 處必互相垂直，亦即兩者} 之內積為零，所以下式亦必成立：

0

=

•

_V

(12)

N

(2.4) 方程式(2.4)就是齒輪原理中探討共軛運動對(Conjugated Kinematics Pair)之嚙合運動條件的嚙合方程式(Equation of Meshing)。此嚙合方程式對 於二維曲線及三維曲面的共軛運動對均可適用。

2.3 相對運動速度

假設空間中有兩個物體，物體1與物體2分別固聯於座標系S₁(X₁,Y₁,Z₁)與 ) , , ( _{2 2 2} 2 X Y Z S ，如圖2.3所示。Z₁軸與Z2軸分別為物體1與物體2之旋轉軸， 其旋轉之角速度分別為ω 與₁ ω ，₂

γ

為兩旋轉軸之交錯角（Crossed Axes）， C為兩旋轉軸的最短距離，P點則為物體1與物體2之瞬時接觸點。因此，

ω

1

ω

2

ω

1

ω

2 ， 圖 2.3 空間物體之相對速度示意圖

在物體1上之瞬時接觸點P的速度V 可由下式求得：₁ 1 1 1 ω R V = × (2.5) 其中R₁乃是由物體1旋轉軸之座標原點指向接觸點 P之位置向量。而在物 體2上之瞬時接觸點P的速度V2則可由下式求得： 2 2 2 ω R V = × (2.6) 其中R₂乃是由物體2旋轉軸之座標原點指向接觸點P之位置向量。因此， 物體1與物體2之相對速度可求得如下：

(

) (

)

(

1 2

)

1 2 2 2 1 1 2 1 (12) ω R R ω ω R ω R ω V V V × − × − = × − × = − = (2.7) 其中R 乃是由物體 1 之參考座標系原點O₁指向物體 2 之旋轉軸上任一點之 位置向量。在此推導所得之方程式(2.7)主要適用於兩物體其兩旋轉軸間屬 於交錯軸之運動時的相對速度，亦即兩軸既不相交亦不平行之共軛運動關 係。 然而，當兩物體或者是創成刀具和被創成齒輪間的運動若屬於平行軸 之共軛運動關係時，則其相對速度將可以簡化成二維的情況來加以討論， 如圖 2.4 所示，_{V 可以表示成：}(12) IP ω V(12) ₌ (12)_{× (2.8)} 其 中 I 點 為 創 成 刀 具 和 被 創 成 之 齒 輪 做 共 軛 運 動 時 的 瞬 時 旋 轉 中 心 (Instantaneous Center of Rotation)。

茲考慮兩嚙合曲面在嚙合狀態時之二維關係示意圖，如圖2.4所示，相

對速度_{V 必指向兩者之共同切線向量Τ，又共同切線向量 Τ 與共同法向量}(12)

曲面運動之瞬時旋轉中心 I。因此，相對速度V 與 IP互相垂直，所以下式(12) 亦必成立： ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( θ θ

θ

φ

θ

φ

y x y Y x X N N − = − (2.9) 其中X(φ)及Y(φ)為瞬時旋轉中心 I 點之座標，x(θ)及y(θ)是 P 點的座標， 而 (θ) x N 及 (θ) y N 則為其共同法向量在 X 軸及 Y 軸之分量。利用方程式(2.9) 即可推導出二維共軛運動對之嚙合方程式。

第三章 圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪的齒面數學模式

3.1 前言

在本章節中探討以圓弧形剖面之滾齒刀來創成球形齒輪，但根據 Litvin[1-3]所發展的齒輪創成原理可知，具圓弧形剖面之滾齒刀在滾削創成 球狀齒輪時，將可用經修整之圓弧形曲線狀齒條刀來模擬創成球形齒輪， 並可推導其齒面數學模式。兹考慮如圖3.1 所顯示之兩嚙合齒輪的運動情形 示意圖，此圖示同時顯示齒條刀創成大小齒輪時之運動情形，其中小齒輪 的節圓半徑為

r

₁，轉動角度為

φ

₁，角速度為

ω

1；大齒輪的節圓半徑為

r

2， 轉動角度為

φ

₂，角速度為ω2。由於兩齒輪之節圓的相對運動為純滾動，因 此，根據其運動狀況必須符合下列關係式: 2 2 1 1

φ

r

φ

r = （3.1） 及 2 2 1 1ω rω r V = = （3.2） （3.2）式中之V為齒條刀在創成大小齒輪時平移之線速度。由齒輪創 成原理可知，在建立大小齒輪齒面數學模式時，需先從齒條刀的刀面外形 數學模式著手，並利用位置向量之齊次座標轉換，即可求得齒條刀在被創 成之齒輪座標系的齒條刀面軌跡方程式，接著依據齒輪嚙合原理及齒條刀 具與被創成齒輪之間的相對運動關係，以推導兩者間的嚙合方程式，最後 再將齒條刀在齒輪座標系的齒條刀面軌跡方程式與嚙合方程式聯立，即為 被創成的球形齒輪之齒面數學模式。

3.2 齒條刀模擬圓弧形滾齒刀之理念及其刀面外形數學模式建立

假設∑_F與∑_P分別代表齒條刀1與齒條刀2，用來創成小齒輪∑1與大 齒輪∑₂。圖 3.2所示為齒條刀∑_F之法向剖面，此齒條刀法向剖面之兩側為 圓弧邊刀刃且Q點為刀具節線與圓弧之交點。此刀刃在Q 點之切線與X_a( F) 軸夾角為

α

_n，此夾角亦為齒輪之壓力角。其中參數 A、B 分別為刀面之 Q 點與其圓弧之起點及終點的刀具參數，S(F) ₌ QQ' _{為刀具創成齒厚之刀具設} 計參數，參數_R( F) 為此圓弧線形刀具之圓弧半徑，

θ

( F) 則為表示此圓弧線形 弧長的位置角度設計參數，表示由起點N 與終點M點之間沿著圓弧線形到 動點M1點的位置參數。因此，齒條刀∑F其左右刀刃面之正交截面表示在 ) ,Z ,Y (X S (F) a (F) a (F) a (F) a 座標系之參數方程式為： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ± − − = 0 } 2 ) cos (cos { ) sin (sin ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( F F n F F n F F a S R R

θ

α

θ

α

R (3.3) 此處 max( ) ) ) ( min F (F F

θ

θ

θ

≤ ≤ (3.4) F F F ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − ) ( ) ( 1 ) ( min sin sin R B R

α

_n

θ

(3.5) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + = − ) ( ) ( 1 ) ( max sin sin _F F F R A R

α

_n

θ

(3.6) (3.3)式中正負號上方之符號係表示齒條刀左刀刃面，而正負號下方之符號 則表示齒條刀右刀刃面。 茲爲模擬圓弧形滾齒刀之滾削路徑並構成三維之假想齒條刀刀具面座 標系統 ( )( ( ), ( ), (F)) c F c F c F c X Y Z S ，如圖 3.3 所示，需將由圖 3.2 之齒條刀∑_F的法 向剖面置於圖 3.3 之S(F)(X(F),Y(F),Z(F))_{座標系的X}(F) _-Y(F)_{平面上，而X}(F)_-Z(F)

X

(aF)

N

M

θ

Y

(aF)

R

(F)

D

O

(aF)

S

(F) _(F) max

θ

(F)

α

n

θ

(F) min

α

n

Q

Q

'

A

B

圖 3.2 齒條刀之法向剖面圖

X

c (F)

O

(aF)

Z

c

Y

c

X

a (F)

Y

a (F)

Z

a

R

1

(1-cos

Ψ

)

O

c

O

1

Ψ

Ψ

1max

R

1 (F) (F) (F) (F)

Ψ

1 1 圖 3.3 假想齒條刀刀面之座標關係示意圖

1

ψ

為圓弧曲線展開的角度參數，

ψ

max為其展開角度的最大值，用以表示球 形齒輪之歯寬的大小。而點 (F) a O 係沿著S_c(F)(X_c(F),Y_c(F),Z_c(F))座標系的X_c-Z_c 平面 做圓弧曲線移動，其圓弧半徑為R₁。因此，齒條刀∑_F之法向剖面 ( ) (F) a F a Y X -做圓弧曲線運動所掃掠出的軌跡，即可形成三維之齒條刀刀面外形。茲利 用齊次座標轉換矩陣方程式即可將∑ 刀具面方程式表示_F S (X ,Y ,Z(F)) c (F) c (F) c (F) c 座標系如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − ± − − − − = = 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 ) ( 1 ) ( sin } ) sin (sin { } 2 ) cos (cos { ) cos ( ) sin (sin cos ψ θ α θ α ψ θ α ψ R R S R R R R F n F F F n F F n F (F) a ca (F) c M R R (3.7) 其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − = 1 0 0 0 sin cos 0 sin 0 0 1 0 ) cos ( sin 0 cos 1 1 1 1 1

ψ

θ

θ

ψ

θ

θ

R R R s s s s ca M (3.8) 同理，創成大齒輪之齒條刀∑ 之刀面方程式，亦可用此方法推導並表示於_P ) ( P c S 座標系如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + θ − α − − ± − − − − = = 2 2 2 2 2 2 2 ψ sin R sin sin R S θ cos α cos R ψ cos R R θ sin α sin ψ cos R ) P ( n ) P ( (P) (P) n (P) (P) n (P) ) P ( a ) P ( c } ) ( { } ) ( { ) ( ) ( caR M R (3.9)

3.3 齒條刀之軌跡方程式

本章節之目的在於推導刀具表示在被創成齒輪座標系之軌跡方程式。 兹有假想齒條刀∑ 與被創成之小齒輪的相對運動關係，如圖 3.4 所示，齒 _F

X

c

O

1

Z

c

Y

c

X

1

Y

1 (F) (F) (F)

O

(cF)

X

f

I

O

f

,

Z

1

Z

f

,

Y

f

r

₁

ω

1

r

₁

φ

₁

φ

₁

小齒輪之瞬軸面

齒條刀之節面

V

圖 3.4 假想齒條刀∑F 創成小齒輪時之相對運動關係示意圖

時鍾方向旋轉而齒條刀則由右向左作平移運動，其平移速度為 V。因此， 可將表示在S (X ,Y ,Z(F)) c (F) c (F) c (F) c 座標系的齒條刀∑ 其位置向量F (F) c R ，轉換至被 創成之小齒輪座標系S₁(X₁,Y₁ ,Z₁ )，即可求得刀具表示在被創成之小齒輪座 標系的軌跡方程式R 如下： ₁

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

−

+

+

+

+

−

=

=

1 1 ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1 1 1 1 1 ) ( 1 1

sin

}

)

sin

(sin

{

)

cos

(sin

cos

sin

)

sin

(cos

sin

cos

ψ

θ

α

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

R

R

r

Y

r

X

r

Y

X

F n F (F) c F c (F) c F c (F) c c

R

M

R

(3.10) 其中

)

cos

(

)

sin

(sin

cos

₁ ( ) _{1 1 1} ) ( ) (

_R

ψ

α

θ

_R

_R

ψ

X

_cF

=

−

F _n

−

F

−

−

_(3.11)

}

2

)

cos

(cos

{

) ( ) ( ) ( F F n F (F) c

S

R

Y

=

±

α

−

θ

−

(3.12) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − + − = 1 0 0 0 0 1 0 0 ) cos (sin 0 cos sin ) sin (cos 0 sin cos 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

φ

r r c M (3.13) 同理，假想齒條刀與大齒輪之相對運動關係如圖 3.6 所示，創成大齒輪 之齒條刀的刀具面∑_P表示在大齒輪座標系S₂之軌跡方程式亦可以齊次座 標轉換方式求出，其軌跡方程式如下：

}

)

(

{

)

(

)

(

2 2 2 2

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

θ

−

α

φ

φ

−

φ

+

φ

+

φ

−

φ

φ

+

φ

−

φ

+

φ

=

=

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

ψ

sin

R

sin

sin

R

cos

sin

r

cos

Y

sin

X

sin

cos

r

sin

Y

cos

X

) P ( n ) P ( (p) c ) p ( c (p) c ) p ( c (P) c c

R

M

R

(3.14) 其中 ) ψ R (R ) θ α ( ψ R X_c(p) (P) _n (P) cos sin sin cos − − − − = _(3.15)

X

c

O

1

Y

c

X

2

Y

2 (P) (P)

O

(cP)

X

f

O

_f

Z

2

Z

f

Y

_f

r

2

ω

2

r

2

φ

₂

φ

大齒輪之瞬軸面

齒條刀之節面

V

I

I

2

r

₁

Z

c (P) 圖 3.5 假想齒條刀∑P創成大齒輪時之相對運動關係示意圖

}

{

2

(P) (P) n (P) (p) c

S

)

θ

cos

α

cos

(

R

Y

=

±

−

−

_(3.16) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + − = 1 0 0 0 0 1 0 0 ) cos (sin 0 cos sin ) sin (cos 0 sin cos 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 φ φ φ φ φ φ φ φ φ φ r r c M 2 2 (3.17)

3.4 球形齒輪之嚙合方程式

由於齒條刀與被創成之齒輪齒面在創成過程中，其每一瞬間均有共同 的接觸線，且兩者在此瞬間接觸線的法向量相同。依微分幾何原理，將齒 條刀刀面∑ 其左右刀面之數學模式分別對其兩個刀面參數_F

θ

( F) 和

ψ

1取偏微 分之內積，即可求出齒條刀之法向量如下： 1 ) ( ) ( ) ( ψ θ ∂ ∂ × ∂ ∂ = cF F F c (F) c R R N (3.18) 其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ± = ∂ ∂ 1 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( sin cos sin cos cos ψ θ θ ψ θ θ _F F _F F F F F F c R R R R (3.19) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − − = ∂ ∂ 1 1 ) ( ) ( 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( cos } ) sin (sin { 0 sin } ) sin (sin { ψ θ α ψ θ α ψ R R R R F n F F n F F c R (3.20) 將方程式(3. 19)與(3.20)代入方程式(3. 18)並經化簡後可得： ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − ± + − − − − + − ± = 1 1 ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( sin } ) sin (sin { sin cos cos } ) sin (sin { sin cos } ) sin (sin { cos sin } ) sin (sin { ψ θ α θ ψ θ θ α ψ θ θ α ψ θ θ α R R R R R R R R R F n F F F F n F F F n F F F n F F (F) c N (3.21) 同理，假想齒條刀∑ 左右邊刀面之法向量亦可依照前述之方式求出如下： _P ⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ − − ± + − − − − + − ± = ) ( ) ( ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 2 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) ( )

( _{{ (sin sin ) }cos sin { (sin sin ) }cos cos}

cos sin } ) sin (sin { ψ θ α θ ψ θ θ α ψ θ θ α ψ θ θ α R R R R R R R R R P P P P P n P P P n P P P n P P (P) c N (3.22)

至於齒條刀∑ 與被創成之小齒輪_F ∑1間的相對速度，可依據圖 3.4 所示之相 對速度關係示意圖求得。因齒條刀在小齒輪之瞬軸面上方由右向左平移， 齒條刀面上與齒輪之接觸點的速度，表示在S 座標系為： _f ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 0 1 1 ) (F _r f

ω

V (3.23) 被切製小齒輪上與齒條刀相對應之接觸點的速度表示於Sf 座標系則為： ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − φ − = × + × = 0 1 1 1 1 1 1 1 1 )ω r (X )ω r (Y (F) c (F) c f ) F ( c ) F ( c ) ( f ω O O R ω V (3.24) 將方程式(3.23)與(3.24)相減，即可求出齒條刀∑ 左右齒面與小齒輪_F ∑1 運動時之相對速度如下： ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ω ω − φ = 0 1 1 1 1 1 (F) c (F) c ) ( f X ) Y (r F V (3.25) 其中 ) cos ( ) sin (sin ( ) _{1 1 1} ) (

α

θ

_{R R}

ψ

R X F n F (F) c = − − − − (3.26) } 2 ) cos (cos { ) ( ) ( ) ( F F n F (F) c S R Y =±

α

−

θ

− (3.27) 同理，假想齒條刀∑_P其左右齒面與大齒輪∑2之相對速度，亦可依據圖 3.6 所示之創成機構運動關係示意圖推導求得。因此，假想齒條刀∑_P左右齒 面與大齒輪∑2之相對速度可表示如下： ⎤ ⎡ (P) − φ ω c r ) (Y

其中 ) R (R ) θ α ( R X_c(P) (P) _n (P) _{2 2 2} cos sin sin − − −

ψ

− = _(3.29) } { 2 (P) (P) n (P) ) P ( c S ) θ cos α cos ( R Y =± − − _(3.30) 依據第二章所介紹之齒輪基本理論可知，嚙合方程式(2.4)係表示齒條 刀在創成齒輪之瞬間，亦會有共同切平面產生，此共同切平面之法向量與 齒條刀與齒輪之相對速度分別互相垂直，而此兩曲面之法向量及相對速度 其內積必為零： 0 12 = •_V( ) N (3.31) 將方程式(3.21)與(3.25)代入(3.29)，即可求得齒條刀∑_F左右齒面與小齒輪之 嚙合方程式如下： ) } ) ( { } ) ( ({ ) )( } ) ( { ( (F) c ) F ( ) F ( n ) F ( ) F ( ) F ( n ) F ( (F) c ) F ( ) F ( n ) F ( ) (F c (F) c X ψ cos θ cos R θ sin sin R ψ sin cos R θ sin sin R Y r ψ cos sin R θ sin sin R 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 + − α − θ − − α + − φ θ + − α ± = •V N (3.32) 其中

(sin sin ) ( 1 1cos 1)

) ( ) (

α

θ

_{R R}

ψ

R X F n F (F) c =− − − − (3.26) } 2 ) cos (cos { ) ( ) ( ) ( F F n F (F) c S R Y =± α − θ − _(3.27) 同理，齒條刀∑_P左右兩邊齒面與大齒輪之嚙合方程式亦可以相同之步驟求 得如下： ) } ) ( { } ) ( ({ ) )( } ) ( { ( (P) c ) P ( ) P ( n ) P ( ) P ( ) P ( n ) P ( (P) c ) P ( ) P ( n ) P ( X ψ cos θ cos R θ sin sin R ψ sin θ cos R θ sin sin R Y φ r ψ cos θ sin R θ sin sin R 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + − α − − − α + − + − α ± = • (P1) c (P) c V N (3.33) 其中

X_c(P) = −R(P)(sin

α

_n −sin

θ

(P))−(R₂ − R₂cos

ψ

₂) (3.29) } ) cos (cos { (P) (P) (P) (P) _R S Y =±

α

−

θ

− (3.30)

3.5 球形齒輪之齒面數學模式

方程式(3.10)為齒條刀表示在小齒輪座標系S1(X1,Y1 ,Z1 )之軌跡方程 式，若再與齒條刀∑_F左右齒面與小齒輪之嚙合方程式(3.32)聯立，即為小齒 輪之齒面數學方程式。 同理，大齒輪之軌跡方程式(3.14)，與齒條刀∑P左右齒面與大齒輪之嚙 合方程式(3.33)聯立，即為大齒輪之齒面數學方程式。

3.6 球形齒輪之電腦輔助繪圖

依據 3.5 節所建立之球形齒輪齒面數學模式，並利用電腦輔助繪圖軟 體，即可繪出球形齒輪之齒輪外形，茲舉一例以驗證本章所推導之球形齒 輪之齒面數學模式。若球形齒輪及其創成刀具之主要設計參數如表 3.1 所 列，根據前面章節所推導之球形齒輪之齒面數學模式，即可繪出球形齒輪 之齒面外形，如圖3.6所示。 表3.1 球形齒輪之主要設計參數 齒輪形狀 凸狀球形齒輪 凹狀球形齒輪 模數m (mm/tooth) _n 4 4 壓力角α_n (度) 20 20 齒數T_i 36 72 節圓半徑 r (mm) _i 72 144 齒形最大展開角度 max

ψ

(度) 20 20 刀具參數A(mm) 3.2 3.2 刀具參數 B(mm) 3.2 3.2 刀具參數_R(i) _{(mm) 30 30} 刀具參數θ(i)min (度) 13.5 13.5 刀具參數θ(i)max (度) 26.7 26.7

圖 3.6凸狀球形齒輪之齒面外形電腦輔助繪圖

第四章 球形齒輪的齒面接觸分析

4.1 前言

空間齒輪機構的製造和裝配誤差將導致從動件的位置出現誤差，因而 在旋轉運動時將會產生齒輪噪音以及振動並可能縮短齒輪的壽命。所謂的 位置誤差就是齒輪在理想嚙合狀態下齒輪接觸位置與實際運轉時齒輪機構 的接觸位置之差。在製造方面所產生的誤差，可能會由刀具的刀面誤差及 刀具滾製齒輪的磨耗、加工機本身的精度、熱變形、靜態幾何誤差、結構 動態特性以及進給軸伺服控制動態響應，所產生的齒輪尺寸及形狀誤差， 故滾製良好的齒輪對均須於加工機台上進行線上量測補正誤差，使得實際 所製造出的齒輪齒面更加接近理想的齒面。在組裝方面的誤差可以根據第 三章所推導的齒輪齒面方程式及嚙合方程式進行齒輪之齒面接觸模擬與分 析，分析齒輪在組裝時所產生的中心距、水平與垂直軸向之裝配誤差對齒 輪組運動誤差(Kinematical Errors)之影響，分析結果可以提供我們在進行組 裝齒輪時的對策及管理。

4.2 具運動誤差之齒輪組的座標系轉換

分析齒輪在組裝時所產生的中心距、水平與垂直軸向組裝誤差對傳動 誤差之影響，可以根據理想齒輪嚙合狀態下的座標系再加入中心距、水平 與垂直軸向之座標系誤差加以模擬，將其座標系藉由座標轉換原理進行座 標轉換到一固定座標系進行接觸分析。 茲考慮如圖 4.1 所顯示之兩嚙合齒輪的傳動具有組裝誤差時各座標系 間之關係示意圖，其中

S

_f

(X

_f

,Y

_f

,Z

_f

)

為固定座標系；

S

1

(X

1

,Y

1

,Z

1

)

為小齒

X

f

Z

Y

O

2

O

1

X

Y

f

Z

f φ'

Z

h

X

h Δh

Y

h Δ

v

Z

v

Z

Y

v

X

v φ'

X

Y

O

h

O

v

O

f

,

,

,

,

,

,

C

圖4.1 球形齒輪具有組裝誤差時各座標系間之關係示意圖

齒輪組裝時的水平組裝誤差與垂直組裝誤差座標系； Zf 軸與Zh 軸之 夾角△h定義為小齒輪在水平軸向之裝配誤差角度，Xf 軸與Xv軸之夾角度 △v 則定義為小齒輪在垂直軸向之裝配誤差角度，

φ

2' 與 ' 1

φ

則分別表示大小 兩齒輪在裝配後嚙合時的轉動角度，大小齒輪組裝後其中心距C’=C+△C， 而△C則為組裝時所產生之中心距誤差。 依據圖4.1所示具有組裝誤差之大小齒輪嚙合傳動之座標系，可將小齒 輪之齒面位置向量R1及其單位法向量

n

1，由小齒輪座標系S1(X1,Y1 ,Z1 )， 經由下列之齊次座標轉換矩陣方程式及向量轉換矩陣方程式，轉換到固定 座標系Sf(Xf,Yf,Zf ): 小齒輪齒面位置向量R1轉換表示在固定座標系Sf(Xf,Yf,Zf )之軌跡方程式 為: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ φ′ + φ′ − + Δ φ′ + φ′ − − Δ Δ + Δ φ′ + φ′ − + Δ φ′ + φ′ − Δ + Δ φ′ + φ′ = = h cos ] v cos z v sin ) sin y cos x ( [ h sin ) cos y sin x ( h sin ] v cos z v sin ) sin y cos x ( [ h cos ) cos y sin x ( v sin z v cos ) sin y cos x ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v1 hv fh (1) f M M M R R （4.1） 而小齒輪之齒面單位法向量

n

1轉換到固定座標系Sf(Xf,Yf,Zf )為: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ + Δ φ′ + φ′ − + Δ φ′ + φ′ − − Δ Δ + Δ φ′ + φ′ − + Δ φ′ + φ′ − Δ + Δ φ′ + φ′ = = h cos ] v cos n v sin ) sin n cos n ( [ h sin ) cos n sin n ( h sin ] v cos n v sin ) sin n cos n ( [ h cos ) cos n sin n ( v sin n v cos ) sin y cos n ( z y x y x z y x y x z y x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 v1 hv fh (1) f L L L n n （4.2） 其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 h h h h fh M

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = 1 0 0 0 0 cos 0 sin 0 0 1 0 0 sin 0 cos v v v v hv M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 1 φ φ φ φ v M ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos 0 0 0 0 1 h h h h fh L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ Δ Δ − Δ Δ = 1 0 0 0 0 cos 0 sin 0 0 1 0 0 sin 0 cos v v v v hv L ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin 0 0 sin cos ' 1 ' 1 ' 1 ' 1 1 φ φ φ φ v L 同理，大齒輪之齒面位置向量R2轉換表示在固定座標系Sf(Xf,Yf ,Zf ) 為: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − = = 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 ) 2 ( cos sin ' ) sin cos ( z y x C y x f f

φ

φ

φ

φ

R M R （4.3） 其中

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin ' 0 sin cos ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 φ φ φ φ C f M C r r C'= ₁+ ₂ +Δ 大齒輪單位法向量n2轉換到固定座標系Sf(Xf,Yf ,Zf )為:

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

=

=

z y x y x f f

n

n

n

n

n

2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 ) 2 (

cos

sin

sin

cos

φ

φ

φ

φ

n

L

n

（4.4） 其中 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 cos sin ' 0 sin cos ' 2 ' 2 ' 2 ' 2 2 φ φ φ φ C f L

4.3 具運動誤差的齒輪之分析方程式

根據第二章所述之基本理論，兩嚙合曲面在嚙合狀態時，其相對速度 (12) V 必指向兩者之共同切線向量Τ ，又共同切線向量 Τ 與共同法向量 N 兩 者是相互垂直，兩曲面的共同接觸點 P 上的共同法向量N 必定通過兩曲面 運動之瞬時旋轉中心 I，因此，相對速度V(12)與 IP 互相垂直，所以下列之 嚙合方程式亦必成立： ) ( z ) ( y ) ( x ) ( z ) ( Z ) ( y ) ( Y ) ( x ) ( X θ θ θ θ φ θ φ θ φ N N N − = − = − (4.5) 兩齒輪之齒面相嚙合時，接觸的兩齒面其共同接觸點或線的位置向量 及齒面的單位法向量應相同，因此可以下列關係式表示為:

) 2 ( ) 1 ( f f n n = _(4.7) 在三維空間中，上述兩向量式共包含六個純量等式，但是方程式(4.7) 為齒面之單位法向量等式，因為 n(_f1) = n(_f2) =1_{，故方程式(4.7)實際上只包含} 了兩個獨立的純量方程式。 方程式(4.1)及(4.3)分別為小齒輪及大齒輪齒面位置表示固定座標在 ) ,Z ,Y (X S_{f f f f} 之軌跡方程式，若再與小、大齒輪之嚙合方程式(3.30)及(3.33) 聯立，即為小齒輪與大齒輪之齒面方程式表示於Sf(Xf,Yf,Zf )固定座標系。 因此方程式(4.6)及(4.7)及(3.33)及(3.30)中，包含了七個獨立的純量方程 式，所以在進行齒面接觸分析時，即成為七個方程式解八個未知數：θ 、(F) (P) θ 、

φ

1、

φ

1'、

φ

2、 ' 2

φ

、

ψ

1及

ψ

2。若以

φ

1' 設定為已知之參數，則就變成了 七個方程式解七個未知數，未知數也就可以解出。經由上面的資料可以顯 示出大小兩齒輪嚙合時的轉動角度

φ

2' 與

φ

1' 具有一對應之函數關係，可將之 表示為

φ

2'

( )

φ

1' 。齒輪實際輸出之轉動角度與理論轉動角度之差值，即稱為齒 輪組之運動誤差(Kinematical Errors) [1] [2]，可以下式表示之:

( )

' 1 2 1 ' 2 1 2

T

T

_φ

φ

φ

φ

Δ

=

−

_(4.8) 其中

φ

2' 與

φ

1' 為大小兩齒輪嚙合時的轉動角度，T 與2 T 則為大小兩齒輪1 的齒數。

4.4 接觸分析例題討論

根據4.2節與 4.3節所推導之齒輪對的接觸分析方程式，使用C語 言及IMSL函式庫以建立電腦分析方程式，來模擬齒輪在各種組裝狀態下的 接觸情形。在此節將列舉幾個齒輪組裝後可能發生的狀況，以比較齒輪組 在各種組裝狀況下，其運動誤差變化情形。例題中所使用的齒輪設計參數，

如表4.1所示。 表4.1 球形齒輪之主要設計參數 凸狀球形齒輪A凹狀球形齒輪B 凸狀球形齒輪C 模數m (mm/teeth) _n 4 4 4 壓力角

α

n (度) 20 20 20 齒數T _i 36 72 72 節圓半徑 r (mm) _i 72 144 144

例題

1 球形齒輪組在理想裝配狀態下嚙合

大小齒輪嚙合時，假設Zf 軸與Zh軸之夾角△h=0.0°，亦即大小齒輪 之旋轉軸無水平軸向之組裝誤差，Xf 軸與Xv 軸之夾角△V=0.0°，即大小 齒 輪 之 旋 轉 軸 於 垂 直 軸 向 之 組 裝 誤 差 ， 而 中 心 距 也 無 組 裝 誤 差 △C= 0.0mm。若將以上數據代入本章所建構之齒輪齒面接觸分析模擬程式進行分 析，凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B嚙合配對分析之結果如表4.2 所示， 而凸狀球形齒輪A與凸狀球形齒輪 C嚙合配對分析之結果如表4.3所示。 由表4.2 及表4.3 之分析結果顯示，

φ

1'=2

φ

2' 是由於大齒輪的齒數為 小齒輪的 2 倍；而

θ

(F) =θ(P)則表示圓弧形齒刀所創成之球形齒輪之接觸 點，係由齒輪之齒頂逐步移向齒根，

ψ

1 =

ψ

2=0.000度，亦即表示球形齒輪 組的接觸位置是落在齒輪之齒寬的中央截面處。由表中所示其運動誤差(KE) 均為零，表示圓弧形滾齒刀所創成之球形齒輪對，在理想裝配狀態下嚙合 是沒有運動誤差產生。 齒輪形狀 設計參數

表4.2 凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪B 配對在無裝配誤差狀態下之接觸 分析結果 組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.0mm，△h=0.0°，△V=0.0°

'

1

φ

_(deg.)

φ

₂

'

_(deg.)

_θ

(F )

(deg.) θ (deg.)(P)

ψ

1_(deg.)

ψ

2_(deg.) KE (arc-sec.) -5.000 -2.500 18.132 18.132 0.000 0.000 0.000 -4.000 -2.000 18.838 18.838 0.000 0.000 0.000 -3.000 -1.500 19.598 19.598 0.000 0.000 0.000 -2.000 -1.000 20.419 20.419 0.000 0.000 0.000 -1.000 -0.500 21.308 21.308 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 22.275 22.275 0.000 0.000 0.000 1.000 0.500 23.328 23.328 0.000 0.000 0.000 2.000 1.000 24.480 24.480 0.000 0.000 0.000 3.000 1.500 25.743 25.743 0.000 0.000 0.000 4.000 2.000 27.133 27.133 0.000 0.000 0.000 5.000 2.500 28.668 28.668 0.000 0.000 0.000 表4.3 凸狀球形齒輪A與凸狀球形齒輪C 配對在無誤差狀態狀態下之接觸 分析結果 組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.0mm，△h=0.0°，△v=0.0°

'

1

φ

(deg)

φ

2

'

(deg)

θ

(F)(deg) θ(P)(deg)

ψ

1(deg)

ψ

2(deg)

KE (arc-sec.) -5.000 -2.500 18.132 18.132 0.000 0.000 0.000 -4.000 -2.000 18.838 18.838 0.000 0.000 0.000 -3.000 -1.500 19.598 19.598 0.000 0.000 0.000 -2.000 -1.000 20.419 20.419 0.000 0.000 0.000 -1.000 -0.500 21.308 21.308 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 22.275 22.275 0.000 0.000 0.000 1.000 0.500 23.328 23.328 0.000 0.000 0.000 2.000 1.000 24.480 24.480 0.000 0.000 0.000 3.000 1.500 25.743 25.743 0.000 0.000 0.000 4.000 2.000 27.133 27.133 0.000 0.000 0.000 5.000 2.500 28.668 28.668 0.000 0.000 0.000

例題

2 球形齒輪組在具有中心距組裝誤差狀態下嚙合

大小齒輪嚙合時，假設與例題一之組裝狀態相同，但具有中心距之 組裝誤差。亦即△h=0.0°和△V=0.0°，旋轉軸沒有水平軸向及垂直軸向之組 裝誤差，但中心距之組裝誤差△C=0.1mm。茲將以上數據代入齒面接觸分 析程式進行分析，凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B嚙合配對分析之結果 如表 4.4 所示，而凸狀球形齒輪 A 與凸狀球形齒輪 C 嚙合配對分析之結果 如表4.5所示。 表4.4 凸狀球形齒輪A 與凹狀球形齒輪B配對在中心距組裝誤差為0.1mm 狀態下之接觸分析結果 組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.1mm，△h=0.0°，△V=0.0°

'

1

φ

_(deg.)

φ

₂

'

(deg.)

θ

(F) (deg.) θ (deg.)(P)

ψ

1_(deg.)

ψ

2_(deg.) KE

(arc-sec.) -5.000 -2.497 18.106 17.924 0.000 0.000 11.596 -4.000 -1.997 18.803 18.613 0.000 0.000 9.661 -3.000 -1.498 19.553 19.355 0.000 0.000 7.559 -2.000 -0.999 20.363 20.156 0.000 0.000 5.267 -1.000 -0.499 21.239 21.022 0.000 0.000 2.758 0.000 0.000 22.189 21.961 0.000 0.000 0.000 1.000 0.499 23.222 22.983 0.000 0.000 -3.045 2.000 0.998 24.349 24.097 0.000 0.000 -6.425 3.000 1.497 25.582 25.315 0.000 0.000 -10.198 4.000 1.996 26.935 26.651 0.000 0.000 -14.434 5.000 2.495 28.425 28.122 0.000 0.000 -19.226

表4.5 凸狀球形齒輪A 與凸狀球形齒輪C配對在中心距組裝誤差為0.1mm

狀態下之接觸分析結果

組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.1mm，△h=0.0°，△v=0.0°

'

1

φ

(deg.)

φ

2

'

(deg.)

θ

(F)(deg.) θ(P)(deg.)

ψ

1(deg.)

ψ

2(deg.)

KE (arc-sec.) -5.000 -2.497 18.106 17.924 0.000 0.000 11.596 -4.000 -1.997 18.803 18.613 0.000 0.000 9.661 -3.000 -1.498 19.553 19.355 0.000 0.000 7.559 -2.000 -0.999 20.363 20.156 0.000 0.000 5.267 -1.000 -0.499 21.239 21.022 0.000 0.000 2.758 0.000 0.000 22.189 21.961 0.000 0.000 0.000 1.000 0.499 23.222 22.983 0.000 0.000 -3.045 2.000 0.998 24.349 24.097 0.000 0.000 -6.425 3.000 1.497 25.582 25.315 0.000 0.000 -10.198 4.000 1.996 26.935 26.651 0.000 0.000 -14.434 5.000 2.495 28.425 28.122 0.000 0.000 -19.226 由表 4.4 及表4.5 之齒面接觸分析結果顯示，

ψ

1=

ψ

2=0.000 度，亦 即表示這對球形齒輪組的接觸位置是落在齒輪之齒寬中央截面處；而 ) (F θ ≠_{θ 則表示其接觸點齒輪之齒頂逐步移向後齒根；又}(P) _' 1

φ

≠2

φ

2' 是表示 其運動誤差(KE)不為零，亦即表示圓弧形滾齒刀創成之球形齒輪對，在具 有中心距組裝誤差下是具有運動誤差。這是由於球形齒輪之齒面不是理想 的漸開線，故嚙合齒輪組之中心距誤差會對其運動誤差產生較大的影響， 因此，圓弧形球形齒輪在組裝時對於中心距組裝精度要特別注意。

例題

3 凸狀與凹狀球形齒輪組在具有中心距、垂直軸向及水平軸

向之組裝誤差狀態下嚙合

本例題將依據表4.6所列之球形齒輪設計參數，探討不同壓力角球形齒 輪在具有中心距組裝誤差、水平軸向組裝誤差及垂直軸向組裝誤差及混合 組裝誤差各種狀態下嚙合，對齒輪組之運動誤差的影響。 表4.6 球形齒輪之主要設計參數 凸狀球形齒輪A凹狀球形齒輪B 模數m (mm/teeth) _n 4 4 壓力角

α

n(度) 14.5 20 25 14.5 20 25 齒數T _i 36 72 節圓半徑 r (mm) _i 72 144 不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有水平軸向組裝 誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結果如表4.7 至 4.9 及圖 4.2 所示。由分 析之結果可以很清楚的看出，球形齒輪在具有水平軸向裝配誤差時， 1

ψ

≠

ψ

2≠0度，亦即其齒輪接觸位置將會偏離齒寬之中央截面處。當球形齒 輪組只具有水平裝配誤差時，其齒面接觸位置將會是在兩嚙合齒面的同一 側，亦即

ψ

1和

ψ

2會同時為正值或同為負值。又齒輪組若具有水平軸向之裝 配誤差時，會隨著齒輪壓力角的增加，而使得球形齒輪組的運動誤差減小。 不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有垂直組裝誤差 設計參數 齒輪形狀

嚙合齒面的同一側變換到另一側，而齒輪壓力角大小對於垂直軸向裝配誤 差所造成的運動誤差較不敏感，亦即球形齒輪對於垂直軸向之裝配誤差的 容許度較大。 不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有水平軸向及垂 直軸向組裝誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結果如表4.13至4.15及圖4.4 所示。由分析結果顯示，當水平軸向組裝誤差與垂直軸向組裝誤差同時存 在時，因為球形齒輪對於垂直軸向組裝誤差的容許度較大，以及壓力角大 小對水平軸向組裝誤差與垂直軸向組裝誤差的影響為相反，而使得齒輪組 整體的運動誤差反而會小幅的下降。 不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有較大之中心距 0.1mm、水平軸向及垂直軸向之組裝誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結果 如表4.16 至 4.18及圖 4.5 所示。由分析結果顯示，中心距組裝誤差對於齒 輪組的影響是很大的。 不同壓力角之凸狀球形齒輪A與凹狀球形齒輪 B在具有較小之中心距 0.05mm、水平軸向及垂直軸向之組裝誤差狀態下配對嚙合，其接觸分析結 果如表4.19 至 4.21及圖 4.6 所示。由分析結果顯示，假設於齒輪對中心距 組裝時施加一預加力量，以縮短其中心距時，則齒輪對之運動誤差會縮小， 此分析結果對於組裝實務上有所助益。

表4.7凸狀球形齒輪 A與凹狀球形齒輪B在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(1) 組裝狀態:壓力角=14.5°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=0.0°

'

1

φ

_(deg.)

φ

₂

'

_(deg.)

θ

(F)

(deg.) θ (deg.)(P)

ψ

1_(deg.)

ψ

2_(deg.) KE

(arc-sec.) -5.000 -2.498 13.406 13.239 -4.152 -2.085 7.201 -4.000 -1.998 13.905 13.744 -3.995 -2.002 5.768 -3.000 -1.499 14.445 14.289 -3.836 -1.919 4.331 -2.000 -0.999 15.030 14.880 -3.676 -1.835 2.891 -1.000 -0.500 15.667 15.523 -3.515 -1.751 1.447 0.000 0.000 16.362 16.224 -3.353 -1.665 0.000 1.000 0.500 17.123 16.992 -3.189 -1.580 -1.449 2.000 0.999 17.960 17.835 -3.025 -1.494 -2.899 3.000 1.499 18.884 18.766 -2.859 -1.407 -4.350 4.000 1.998 19.909 19.797 -2.693 -1.321 -5.800 5.000 2.498 21.051 20.945 -2.526 -1.234 -7.249 表4.8凸狀球形齒輪 A與凹狀球形齒輪B在具有水平軸向裝配誤差狀態下 之接觸分析結果(2) 組裝狀態:壓力角=20.0°、△C=0.0mm，△h=0.5°，△V=0.0°

'

1

φ

_(deg.)

φ

₂

'

_(deg.)

θ

(F)

(deg.) θ (deg.)(P)

ψ

1_(deg.)

ψ

2_(deg.) KE

(arc-sec.) -5.000 -2.498 18.264 18.173 -3.030 -1.525 5.616 -4.000 -1.999 18.960 18.872 -2.906 -1.458 4.490 -3.000 -1.499 19.710 19.626 -2.780 -1.392 3.365 -2.000 -0.999 20.522 20.441 -2.655 -1.325 2.241 -1.000 -0.500 21.401 21.324 -2.529 -1.259 1.119 0.000 0.000 22.358 22.285 -2.403 -1.192 0.000 1.000 0.500 23.401 23.332 -2.277 -1.125 -1.116 2.000 0.999 24.543 24.477 -2.150 -1.058 -2.228 3.000 1.499 25.796 25.734 -2.024 -0.992 -3.334 4.000 1.999 27.176 27.117 -1.897 -0.925 -4.434