第五章 彈性樑的變形軌跡圖
5.1 凹面(Concave wall)
圖5-1 為頂部受凹面拘束彈性樑的變形軌跡圖。凹面的曲率半徑ρ 為 5，彈性樑在接觸凹面前之初始形狀的中點高度為 0.1，端點移動量 e 為 0.025。圖 5-1 中的Δh代表頂部牆面向下的移動量，N 代表要產生
Δh需要給頂部牆面的外力。圖中的實、虛線分別代表穩定和不穩定的 變形，各軌跡對應的變形標示在圖的下方。
在說明變形軌跡圖前，我們先解釋如何描述變形:我們定義 fold 為 從一牆面到另一牆面間的彈性樑線段，所以圖3-1 的變形有兩個 folds。
而開始到結束都在同一牆面的為free fold，所以圖 3-1 的變形有一個 free fold。有些變形有線接觸段，舉例來說:圖 3-2 的變形有兩個 folds 和一 段線接觸。
彈性樑一開始以中點與頂面接觸(變形 1，a 點和 b 點之間)。在 b 點，一點接觸的變形開始轉變為一線接觸(變形 2)。彈性樑在變形 1 和 2 對底面並無接觸。 當頂面繼續往下壓，變形 2 在 c 點演變為變形 3-1，
除了在頂面的線接觸，彈性樑在底面的兩端也產生線接觸。我們將變 形3 的軌跡用 e 點分為 3-1 和 3-2。
圖5-2 為沿著軌跡 1、2、3-1 和 3-2 ω2的變化。在b 點和 c 點附近 的ω2曲線在插圖中加以放大。當Δh小的時候，最低的兩個自然頻率互 相接近然後匯合於b 點。在變形 1、2 和 3-1 中，所有的ω2皆為正。另 一方面，在變形3-2 至少有一個ω2是負的。在圖5-2 靠近 e 點處有一條 接近垂直的ω2曲線，在e 點右側會變為負的，所以我們得到變形 1、2 和3-1 是穩定，而變形 3-2 是不穩定的。
圖 5-3 為當Δ =h 0.037(e 點右邊一點)，圖 5-2 中軌跡 3-2 線接觸變 形的前三個模態圖，實線和虛線分別代表靜態變形和振動模態。其中 對應最低ω2 = −2235的模態從底面發生挫曲而頂面還是保持線接觸，第 二和第三模態分別為對稱及反對稱的模態。
根據穩定性的預測，彈性樑會在e 點從線接觸變形跳到變形 4，軌 跡4 在垂直切線處有極點。軌跡 17 也有類似情況，只是極點上方不穩 定部分很小。軌跡4 和軌跡 5(在 d 和 e 間不穩定)在 d 點交會。當Δh持 續增加，變形4 在 f 點演變為變形 7，此時變形 4 的 free fold 接觸到頂 部牆面而且外力 N 下降到零。Δh繼續增加到g 點，在底部兩端開始出 現線接觸(變形 8-1)。當Δh達到i 點，彈性樑會跳到變形 11，其為與頂 面三點接觸和底面兩點接觸的變形。當Δh達到 k 點，彈性樑轉變為變 形12-1，在此變形中底面兩端產生線接觸，彈性樑在軌跡到達 i 點時跳 至變形16。
從f 點開始，變形 7 的點接觸變形在 g 點轉為變形 8 的線接觸變形。
這個情況與變形 1 到 2 的演變不同，因為變形 7 到 8 的變形無頂面線 接觸。我們計算變形 7 和 8 的ω2發現，它並沒有像圖 5-2 一樣匯合，
變形 11 到 12 和變形 15 到 16 的情況與變形 7 到 8 類似，所以最低兩 個頻率會匯合的現象只有在變形1 到 2 的時候才會發生。
軌跡17(含極點，介於 p 和 f 間)和 18 (不穩定，p 點以上)在 p 點相 接。軌跡17 在接近 p 點的垂直切線處有極點，極點以上不穩定的部份 很小(圖中觀察不到)。極點以下的部份為穩定，不過在實驗中並不會自 然發生，除非人為加以調整。軌跡19(不穩定，介於 q 和 s 間)和 20(不 穩定，介於q 和 r 間)在 q 點相接。s 點的叉號表示軌跡 19 的終點，超 過此點後變形19 就不再存在，因為其在頂部凹面點接觸的反力會變為 拉力。軌跡21(含極點，在 u 和 t 間)和 23(不穩定，u 點以上)在 u 點相 接。軌跡22(含極點，在 v 和 w 間)和 24(不穩定，w 點以上)在 w 點相 接。軌跡9(含極點，介於 j 和 h 間)和 10 (不穩定，h 點以上)在 h 點相 接。軌跡13(含極點，介於 n 和 m 間)和 14 (不穩定，m 點以上)在 m 點 相接。以上變形皆含有 free folds，它們在數學上存在，但在現實中卻 很少自然發生，即使其中有些變形為穩定。
我們比較圖5-1 中的 f、j 和 n 點，在這三個點，含有 free fold 的變 形(4、9 和 13)開始接觸到牆面。三點中，只有 f 點對應的外力 N 為零，
j 和 n 則不然，此現象與頂部為平面時不同。
為了驗證理論上的變形演變，我們設計一套實驗裝置來觀察。彈 性樑的材料為高碳鋼(type SK5)，楊氏模數 205 GPa，質量密度為 7830 kg/m ，樑的截面為3 46 mm×0.1 mm，原始總長為 30 cm。當樑挫曲成 弧形且中點高度為3 cm 後，將兩端完全夾持在平板上。將一塊壓克力 銑成凹面狀，並把它當作頂部牆面。我們利用微型平台(micro stage)來 控制平移的量。圖5-4 表示了圖 5-1 加載過程中描述的各種變形照片，
可以觀察到彈性樑的確產生如理論預測的變形。實驗必須停在變形 12-1，因為繼續推下去頂部的壓克力將會與底部平面發生干涉。