變形分類

5.3.4 變形分類

本文中所描述的變形有許多變化，其中有些有 free folds，有些有 線接觸。我們用符號f、F 和 L 將這些變形做分類，其中 f 表示 fold、F

表示free fold 以及 L 表示線接觸段。在表 5-4 中我們將變形分為五大類:

分別為(a)只含點接觸(b)一個 free fold (c)多個 free folds (d)線接觸(e) free fold 和線接觸同時存在。我們將同一類的變形以凹面、平面和凸面 的順序列於表格的同一列中。(S)和(U)分別代表穩定及不穩定，(SU) 代表變形可以是穩定或不穩定。(S)和(U)前的數字為變形的編號。

在分類(a)中，2f 表示此變形有兩個 folds。分類(b)中，2f1F 表示此 變形有兩個folds 和一個 free fold，在此類別中的所有軌跡皆有極點。

分類(c)中，2f2F 表示此變形有兩個 folds 和兩個 free folds，在此類別的 所有軌跡皆有極點，且所有變形皆不穩定。在頂部為平面的分類(b)和 (c)中，變形編號前括號內的數字代表變形軌跡的同一點含有幾種變形 變化。分類(d)中，2fL 代表此變形有兩個 folds 以及含有線接觸段。分 類(d)中，2fL2F 表示變形有兩個 folds、兩個 free folds 以及線接觸段。

在分類(d)和(e)中，變形編號前括號內的數字為線接觸段的數目，當頂 部為平面時，我們標示最廣義情況下的數目。在頂部平面的情況中，

我們找不到同時含有線接觸段和 free fold 的變形。所有在分類(e)中的 變形為不穩定。在分類(a)到(d)中有些欄位未被填上，是因為其對應變 形已經超出本文所示變形軌跡圖的範圍。

第六章 結論

在此文中我們表示出當頂部牆面為凹面、凸面和平面三種情況下 的變形軌跡圖。對於頂部牆面曲率的影響可歸納為以下幾點:

1. 頂部牆面為平面，當 free fold(與牆面發生點接觸前的變形)要接觸 到牆面時，壓縮外力會減少到零。當頂面不再是平面時，就觀察不 到此現象。

2. 頂部牆面為平面，變形軌跡圖中線接觸變形軌跡上的點事實上代表 了無限多的變形。這個特別的多樣性特徵在頂面不是平面時就不再 存在。

3. 頂面為平面時，線接觸變形的最低頻率會退化成零。這個特徵在頂 部牆面為弧面時也不存在。

4. 當頂部牆面為平面，在頂面的線接觸段增長到一臨界值後，將會發 生二次挫曲。當頂部牆面為凹面，頂面的線接觸段將不會發生二次 挫曲，而是在底部平面產生線接觸，且在達到臨界值後發生二次挫 曲。當頂部牆面為凸面，不會有頂面線接觸的情形發生。

5. 總和凹面、凸面和平面的所有變形，我們歸納出以下現象:

(1) 只含點接觸的變形全為穩定，除了凸面的變形 1，其在分支出

非對稱線接觸變形2-1 後就轉為不穩定。

(2) 含一個 free fold 的變形皆含極點，極點以上為不穩定。

(3) 含多個 free folds 的變形皆含極點，不過全為不穩定。

(4) 頂部為平面時找不到 free fold 和線接觸同時存在的變形。

參考文獻

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Konyaeva.

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[4] Adan, N., Sheinman, I., Altus, E., 1994. Post-buckling behavior of beams under contact constraints. ASME Journal of Applied Mechanics 61, 764–772.

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[6] Holmes, P., Domokos, G., Schmitt, J., Szeberenyi, I., 1999.

Constrained Euler buckling: an interplay of computation and analysis.

Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 170, 175-207.

[7] Chai, H., 2002. On the post-buckling behavior of bilaterally constrained plates. International Journal of Solids and Structures, 39, 2911-2926.

[8] Ro, W.-C., Chen, J.-S., and Hung, S.-Y., 2010. Vibration and stability of a constrained elastica with variable length. International Journal of

Solids and Structures, 47, 2143-2154.

[9] Roman, B., Pocheau, A., 1999. Buckling cascade of thin plates:

Forms, constraints, and similarity. Europhysics letters, 46, 602-608.

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[13] Chen, J.-S., Li C.-W., 2007. Planar elastica inside a curved tube with clearance. International Journal of Solids and Structures, 44, 6173-6186.

[14] Lu, Z.-H., Chen, J.-S., 2008. Deformations of a clamped-clamped elastica inside a circular channel with clearance. International Journal of Solids and Structures, 45, 2470-2492.

[15] Chen, J.-S., Ro, W.-C., 2010. Deformations and stability of an elastica subjected to an off-axis point constraint. ASME Journal of Applied Mechanics, 77, 031006.

[16] Pocheau, A., Roman, B., 2004. Uniqueness of solutions for constrained Elastica. Physica D, 192, 161-186.

附表目錄

表5-1 中央欄表示了圖 5-7 中軌跡 2 上同一點的變形變化。左欄和右 欄分別為凹面和凸面對應的變形。

表5-2 中央欄表示了圖 5-7 中軌跡 3 上同一點的變形變化。左欄和右 欄分別為凹面和凸面對應的變形。

表5-3 中央欄表示了圖 5-7 中軌跡 11 上同一點的變形變化。左欄和 右欄分別為凹面和凸面對應的變形。

表5-4 變形分類表

凹面 平面 凸面

凹面 平面 凸面

17 3(a) 3

4 3(b) 5

表5-2 中央欄表示了圖 5-7 中軌跡 3 上同一點的變形變化。左欄和右 欄分別為凹面和凸面對應的變形。

凹面 平面 凸面

6 11(a) 10

19 11(b)

表5-3 中央欄表示了圖 5-7 中軌跡 11 上同一點的變形變化。左欄和 右欄分別為凹面和凸面對應的變形。

凹面 平面 凸面

(b)一個 free fold。在頂部為平面時，變形編號前括號內的數字代表 變形軌跡的同一點含有幾種變形變化。

(c)多個 free folds。在頂部為平面時，變形編號前括號內的數字代表 變形軌跡的同一點含有幾種變形變化。

(e)free fold 和線接觸同時存在。變形編號前括號內的數字代表線接 觸段的數目。

2fL1F (2) 18(U) 2fL2F (1) 20(U)

4fL1F (1) 10(U) (2) 23(U)

(1) 24(U)

(1) 13(U) (1) 14(U) 6fL1F (1) 14(U)

表5-4 變形分類表

附圖目錄

圖3-1 兩端夾持的彈性樑與頂部凹面和底部平面產生點接觸。

圖3-2 (a)兩端夾持的彈性樑與頂部凹面產生線接觸。(b)在s=s₂右側 微小元素的自由體圖。

圖3-3 線接觸區域微小線段 CD 的自由體圖。分佈力 q 、內力切線 分量P_C和彎矩M_C為常數。剪力皆為零。

圖4-1 接觸點s=s₁附近微小元素ds的自由體圖。

圖4-2 實線和虛線分別代表接觸點附近的靜態和動態位置。彈性樑靜 平衡時的接觸點為虛線上s=s₁點。振動發生後，虛線上新的接 觸點為s= +s₁ η₁。

圖5-1 彈性樑的變形軌跡圖(頂部牆面為ρ=5 凹面)。實線和虛線分別 代表穩定和不穩定的變形。

圖5-2 圖 5-1 中沿著軌跡 1、2、3-1 和 3-2 變形的前幾個ω²。插圖為 軌跡2 附近的放大圖。沿著 a-b-c-e ，可看出前兩個ω²皆為正。

在e 點之後出現第三個ω²(幾乎垂直)。這個ω²在e 點之後會變 負的，所以我們說變形3-2 是不穩定的。

圖5-3 當Δ =h 0.037(e 點偏右一點)，圖 5-2 中軌跡 3-2 線接觸變形的前 三個振動模態。實線和虛線分別代表靜態變形及振動模態。

圖5-4 受頂部凹面壓縮的彈性樑在加載過程中的實驗照片。照片左側 的數字為變形的編號。右側Δh表示當時的壓縮量。

圖5-5 彈性樑的變形軌跡圖(頂部牆面為ρ=5 凸面)。實線和虛線分別 代表穩定和不穩定的變形。

圖5-6 受頂部凸面壓縮的彈性樑在加載過程中的實驗照片。照片左側 的數字為變形的編號。右側Δh表示當時的壓縮量。

圖5-7 彈性樑的變形軌跡圖(頂部牆面為平面)。實線、虛線和點線分 別代表穩定、不穩定和中性的變形。

圖5-8 圖 5-7 中沿著軌跡 1、2-1 和 2-2 變形的前幾個ω²。

圖5-9 受頂部平面壓縮的彈性樑在加載過程中的實驗照片。照片左側 的數字為變形的編號。右側Δh表示當時的壓縮量。

圖5-10 圖 5-7 軌跡 2-1 的幾種變形實驗照片。a、b、c 對應的二次挫 曲變形分別為d、e、f。

圖5-11 圖 5-7 軌跡 5-1 的幾種變形實驗照片。a、b、c、d 對應的二次 挫曲變形分別為f、g、h、i。e 對應的變形視兩段線接觸長短 而定，可能為f 或 g。

圖5-12 圖 5-1 中 b 點最低兩頻率交點與頂部凹面曲率半徑ρ的關係。

圖3-1 兩端夾持的彈性樑與頂部凹面和底部平面產生點接觸。

y

x

A B

M

A

F

xA

F yA

R

₂

R

1

1

h s = s

s

2

φ

1

L

N

y( )

圖

3-3

線接觸區域微小線段

CD

的自由體圖。分佈力

q

、內力切線 分量P_C和彎矩M_C為常數。剪力皆為零。

q

r=ρ

2

1

C 4

M ^{= −} π ρ C

D MD =MC

φC

φD

PC

D C

P =P

圖

4-1

接觸點s=s₁附近微小元素ds的自由體圖。

圖

4-2

實線和虛線分別代表接觸點附近的靜態和動態位置。彈性樑靜 平衡時的接觸點為虛線上s=s₁點。振動發生後，虛線上新的接 觸點為s= +s₁ η₁。

s = s

1

1 1

s = + or s η ε

₁

= s

₁

圖

5-1

彈性樑的變形軌跡圖

(

頂部牆面為ρ

=5

凹面

)

。實線和虛線分別 代表穩定和不穩定的變形。

1 4 7 10 13 16

2 5 8 11 14

3

9

15 6

12

17 18

19 20 21

22 23 24

圖

5-2

圖

5-1

中沿著軌跡

1

、

2

、

3-1

和

3-2

變形的前幾個ω²。插圖為 軌跡

2

附近的放大圖。沿著

a-b-c-e

，可看出前兩個ω²皆為正。

在

e

點之後出現第三個ω²

(

幾乎垂直

)

。這個ω²在

e

點之後會 變負的，所以我們說變形

3-2

是不穩定的。

圖

5-3

當Δ =h

0.037(e

點偏右一點

)

，圖

5-2

中軌跡

3-2

線接觸變形的前 三個振動模態。實線和虛線分別代表靜態變形及振動模態。

2

2235

ω

= −

2

1463

ω

=

2

1415

ω

=

圖

5-4

受頂部凹面壓縮的彈性樑在加載過程中的實驗照片。照片左側

圖

5-5

彈性樑的變形軌跡圖

(

頂部牆面為ρ

=5

凸面

)

。實線和虛線分別 代表穩定和不穩定的變形。

1 4 7

2 5 8

3 6 9

10 11 12

13 14

圖

5-6

受頂部凸面壓縮的彈性樑在加載過程中的實驗照片。照片左側

圖

5-7

彈性樑的變形軌跡圖

(

頂部牆面為平面

)

。實線、虛線和點線分 別代表穩定、不穩定和中性的變形。

1 4 7 10

2 5 8

3 6 9

11 12

圖

5-8

圖

5-7

中沿著軌跡

1

、

2-1

和

2-2

變形的前幾個ω²。

圖

5-9

受頂部平面壓縮的彈性樑在加載過程中的實驗照片。照片左側

圖

5-10

圖

5-7

軌跡

2-1

的幾種變形實驗照片。

a

、

b

、

c

對應的二次挫 曲變形分別為

d

、

e

、

f

。

d

e

f

δ

1

δ

₃

δ

₂

a

b

c

圖

5-11

圖

5-7

軌跡

5-1

的幾種變形實驗照片。

a

、

b

、

c

、

d

對應的二次 挫曲變形分別為

f

、

g

、

h

、

i

。

e

對應的變形視兩段線接觸長短 而定，可能為

f

或

g

。

a

h i g f e d c b

δ

₁

δ

₂

δ

₄

δ

3

δ

5

圖

5-12

圖

5-1

中

b

點最低兩頻率交點與頂部凹面曲率半徑ρ的關係。

附錄目錄

附錄一

(4.23)-(4.28)

式六條線性齊性微分方程式推導過程 附錄二 完全固定夾持端

A

點之邊界條件推導過程

附錄三 完全固定夾持端

B

點之邊界條件推導過程 附錄四 接觸點

s

₁之接觸條件

(4.42)-(4.44)

推導過程 附錄五 接觸點

s

₂之接觸條件

(4.47)-(4.48)

推導過程

附錄一

(4.23)-(4.28)

式六條線性齊性微分方程式推導過程

(b) (4.17)

式至

(4.24)

式之推導過程

(c) (4.21)

式至

(4.25)

式之推導過程

(d) (4.18)

式至

(4.26)

式之推導過程

(e) (4.19)

式至

(4.27)

式之推導過程

sin sin sin

xe xd

(f) (4.20)

式至

(4.28)

式之推導過程

sin cos sin

ye yd

附錄二 完全固定夾持端

A

點之邊界條件推導過程

(b) (4.31)

式至

(4.34)

式之推導過程

(c) (4.32)

式至

(4.35)

式之推導過程

附錄三 完全固定夾持端Ｂ點之邊界條件推導過程

(b) (4.37)

式之推導過程

(c) (4.38)

式之推導過程

附錄四 接觸點

s

₁之接觸條件推導過程

(b) (4.40)

式至

(4.43)

式之推導過程

(c) (4.41)

式至

(4.44)

式之推導過程

附錄五 接觸點

s

₂之接觸條件推導過程

在文檔中 受弧形邊界拘束之彈性樑的變形及穩定性分析 (頁 37-83)