第四章 振動和穩定性分析
4.6 頂面為線接觸
第五章
彈性樑的變形軌跡圖
5.1 凹面(Concave wall)
圖5-1 為頂部受凹面拘束彈性樑的變形軌跡圖。凹面的曲率半徑ρ 為 5，彈性樑在接觸凹面前之初始形狀的中點高度為 0.1，端點移動量 e 為 0.025。圖 5-1 中的Δh代表頂部牆面向下的移動量，N 代表要產生
Δh需要給頂部牆面的外力。圖中的實、虛線分別代表穩定和不穩定的 變形，各軌跡對應的變形標示在圖的下方。
在說明變形軌跡圖前，我們先解釋如何描述變形:我們定義 fold 為 從一牆面到另一牆面間的彈性樑線段，所以圖3-1 的變形有兩個 folds。
而開始到結束都在同一牆面的為free fold，所以圖 3-1 的變形有一個 free fold。有些變形有線接觸段，舉例來說:圖 3-2 的變形有兩個 folds 和一 段線接觸。
彈性樑一開始以中點與頂面接觸(變形 1，a 點和 b 點之間)。在 b 點，一點接觸的變形開始轉變為一線接觸(變形 2)。彈性樑在變形 1 和 2 對底面並無接觸。 當頂面繼續往下壓，變形 2 在 c 點演變為變形 3-1，
除了在頂面的線接觸，彈性樑在底面的兩端也產生線接觸。我們將變 形3 的軌跡用 e 點分為 3-1 和 3-2。
圖5-2 為沿著軌跡 1、2、3-1 和 3-2 ω2的變化。在b 點和 c 點附近 的ω2曲線在插圖中加以放大。當Δh小的時候，最低的兩個自然頻率互 相接近然後匯合於b 點。在變形 1、2 和 3-1 中，所有的ω2皆為正。另 一方面，在變形3-2 至少有一個ω2是負的。在圖5-2 靠近 e 點處有一條 接近垂直的ω2曲線，在e 點右側會變為負的，所以我們得到變形 1、2 和3-1 是穩定，而變形 3-2 是不穩定的。
圖 5-3 為當Δ =h 0.037(e 點右邊一點)，圖 5-2 中軌跡 3-2 線接觸變 形的前三個模態圖，實線和虛線分別代表靜態變形和振動模態。其中 對應最低ω2 = −2235的模態從底面發生挫曲而頂面還是保持線接觸，第 二和第三模態分別為對稱及反對稱的模態。
根據穩定性的預測，彈性樑會在e 點從線接觸變形跳到變形 4，軌 跡4 在垂直切線處有極點。軌跡 17 也有類似情況，只是極點上方不穩 定部分很小。軌跡4 和軌跡 5(在 d 和 e 間不穩定)在 d 點交會。當Δh持 續增加，變形4 在 f 點演變為變形 7，此時變形 4 的 free fold 接觸到頂 部牆面而且外力 N 下降到零。Δh繼續增加到g 點，在底部兩端開始出 現線接觸(變形 8-1)。當Δh達到i 點，彈性樑會跳到變形 11，其為與頂 面三點接觸和底面兩點接觸的變形。當Δh達到 k 點，彈性樑轉變為變 形12-1，在此變形中底面兩端產生線接觸，彈性樑在軌跡到達 i 點時跳 至變形16。
從f 點開始，變形 7 的點接觸變形在 g 點轉為變形 8 的線接觸變形。
這個情況與變形 1 到 2 的演變不同，因為變形 7 到 8 的變形無頂面線 接觸。我們計算變形 7 和 8 的ω2發現，它並沒有像圖 5-2 一樣匯合，
變形 11 到 12 和變形 15 到 16 的情況與變形 7 到 8 類似，所以最低兩 個頻率會匯合的現象只有在變形1 到 2 的時候才會發生。
軌跡17(含極點，介於 p 和 f 間)和 18 (不穩定，p 點以上)在 p 點相 接。軌跡17 在接近 p 點的垂直切線處有極點，極點以上不穩定的部份 很小(圖中觀察不到)。極點以下的部份為穩定，不過在實驗中並不會自 然發生，除非人為加以調整。軌跡19(不穩定，介於 q 和 s 間)和 20(不 穩定，介於q 和 r 間)在 q 點相接。s 點的叉號表示軌跡 19 的終點，超 過此點後變形19 就不再存在，因為其在頂部凹面點接觸的反力會變為 拉力。軌跡21(含極點，在 u 和 t 間)和 23(不穩定，u 點以上)在 u 點相 接。軌跡22(含極點，在 v 和 w 間)和 24(不穩定，w 點以上)在 w 點相 接。軌跡9(含極點，介於 j 和 h 間)和 10 (不穩定，h 點以上)在 h 點相 接。軌跡13(含極點，介於 n 和 m 間)和 14 (不穩定，m 點以上)在 m 點 相接。以上變形皆含有 free folds，它們在數學上存在，但在現實中卻 很少自然發生，即使其中有些變形為穩定。
我們比較圖5-1 中的 f、j 和 n 點，在這三個點，含有 free fold 的變 形(4、9 和 13)開始接觸到牆面。三點中，只有 f 點對應的外力 N 為零，
j 和 n 則不然，此現象與頂部為平面時不同。
為了驗證理論上的變形演變，我們設計一套實驗裝置來觀察。彈 性樑的材料為高碳鋼(type SK5)，楊氏模數 205 GPa，質量密度為 7830 kg/m ，樑的截面為3 46 mm×0.1 mm，原始總長為 30 cm。當樑挫曲成 弧形且中點高度為3 cm 後，將兩端完全夾持在平板上。將一塊壓克力 銑成凹面狀，並把它當作頂部牆面。我們利用微型平台(micro stage)來 控制平移的量。圖5-4 表示了圖 5-1 加載過程中描述的各種變形照片，
可以觀察到彈性樑的確產生如理論預測的變形。實驗必須停在變形 12-1，因為繼續推下去頂部的壓克力將會與底部平面發生干涉。
5.2 凸面(Convex wall)
圖5-5 為頂部受凸面拘束彈性樑的變形軌跡圖，曲率半徑ρ=5。彈 性樑的中點首先接觸到頂部凸面，表示為變形1。變形 1 在軌跡通過 b 點後會轉為不穩定。當變形達到 c 點時，頂部牆面的點接觸依然保持 點接觸，但彈性樑在底部平面的兩端產生線接觸，表示為變形4。變形 4 為不穩定的變形。穩定的變形 2-1 在 b 點產生分支，另一個穩定變形 3 在 c 點產生分支。這些分支的細節在插圖中加以放大。我們檢驗軌跡 1 到 4 的自然頻率發現:點接觸變形在 c 點轉變為線接觸變形時，與頂 部為凹面不同，最低的兩個ω2並沒有匯聚在一起。
在變形2 中，彈性樑在頂面有一個點接觸，底部平面有一線接觸，
屬於非對稱變形。圖5-5 中我們將變形 2 表示為點接觸在左，線接觸在 右的形式。事實上，由於邊界的對稱性，變形也可以是相反方向。變 形2 由穩定的 2-1 變形及不穩定的 2-2 變形組成，用 d 點加以區隔。在 d 點分支出穩定的變形 5，軌跡 5 在垂直切線處有極點，極點上方不穩 定部分很小。變形5 中，原本在變形 2 底面的線接觸發生挫曲形成 free fold。Δh持續增加到e 點，此時變形 5 的 free fold 接觸到頂部凸面，且 此時的外力 N 下降至零。
彈性樑在e 點轉變為變形 6 的點接觸變形。在 f 點，變形 6 底部平 面的點接觸演變為線接觸，表示為變形7。變形 7 由穩定的 7-1 變形及 不穩定的7-2 變形組成，用 g 點加以區隔。在 g 點分支出變形 8，軌跡 8 含極點。變形 7 中底部平面的線接觸在 g 點發生挫曲產生 free fold。
當軌跡8 接到 h 點，變形 8 中的 free fold 向上接觸到頂面，演變為變 形9。注意 h 點的外力 N 並不像 e 點一樣為零。
變形 10 為介於 i、j 點間的不穩定對稱變形。軌跡 11(含極點，介 於 l 和 k 間)和 13(不穩定，l 點以上)在 l 點相接。軌跡 12(含極點，介 於n 和 m 間)和 14(不穩定，n 點以上)在 n 點相接。這些變形皆含有一 個或兩個 free folds。注意在頂部牆面為凸面時，彈性樑只會與頂面產 生點接觸，不會有線接觸。
根據圖5-5 中描述的變形及穩定性預測，我們預期當Δh緩慢增加，
變形的演變為: 1、2-1、5、6、7-1、8 到 9。圖 5-6 為彈性樑在加載過 程中的實驗照片。注意圖5-5 中有個穩定的變形 3，軌跡 3 非常靠近軌 跡2-1 和 5，介於 c 點和 e 點之間。若Δh以半靜態方式增加，變形3 將 不會發生，但若以人為加以調整即可觀察到此變形。
5.3 與平面的比較
在此節我們將回顧Roman 和 Pocheau [9] [10]在頂面為平面時提出 的一些報告。圖5-7 中我們表出平面的變形軌跡圖與弧面的作比較，並 為他們先前的研究作補充。
5.3.1 頂面為平面的變形軌跡圖
彈性樑的中點首先接觸到頂面，表示為變形1。一點接觸的變形在 b 點轉變為線接觸變形 2。變形 2 “典型”的例子為在頂面的線接觸。變 形 2 的軌跡分為兩個部份:在第一部分 2-1 中，最低自然頻率的平方為 零，換句話說，變形2-1(b 點和 c 點之間)在線性振動的觀點是中性的。
為了突顯這個特徵，我們用點線來表示軌跡 2-1。超過 c 點的軌跡 2-2 是不穩定的。
接下來的變形3 從 c 點分支而出，變形中央部份為 free fold。在 c 點附近的細節在插圖中放大顯示。其中軌跡 3 斜率無限大處為極點，
極點以上分支部份為不穩定，以下為穩定。所以，彈性樑的變形將沿 著軌跡2-1，然後在 c 點跳躍到軌跡 3。此現象稱為二次挫曲(secondary buckling)，因為變形 2 的線接觸長度和軸向力在 c 點滿足兩端夾持樑 (clamped-clamped)的尤拉挫曲準則。
當Δh持續增加，變形3 在 d 點轉變為變形 4，此時變形 3 的 free fold 接觸到底部平面。如同Roman 和 Pocheau [9] [10]的報告，從點接觸轉 變為線接觸然後發生挫曲的類似現象重複發生。其中d 點、g 點和 j 點 的外力皆減少為零，在這些點，前一個變形的 free fold 也恰好接觸到 牆面。
根據圖5-7 中描述的變形及穩定性預測，我們預期當Δh緩慢增加，
變形的演變為: 1、2-1、3、4、5-1、6、7、8-1、9 和 10。圖 5-9 為彈性 樑在加載過程中的實驗照片。
5.3.2 多樣性的消失
我們使用“典型”這個字眼來描述最後一節提到的變形 2，因為圖 5-7 底下列出的變形是最常觀察到的。在數學上，軌跡 2 上的一個點皆 代表了無限多組的靜態解。我們在表5-1 的中央欄列出了軌跡 2 上一個 點對應的所有可能變形。線接觸段並不一定在頂面的中央，也有可能 分為三段線接觸δ1、δ2和δ3。變形2(a)是最廣義的形式，有三段線接觸
同時存在。在其它的變化中，有些線段長度可能為零。在表5-1 中央欄 位的七種形式只要總長δ1+δ2+δ3相同，則它們就屬於軌跡 2 上的同一 點，因為δ1、δ2和δ3可以為任意組合，所以軌跡2 上的一個點實際上代 表了無限多組的變形。實驗上也可以觀察到此現象，如圖5-10 的 a、b、
c。圖 5-7 中的線接觸變形 5 和 8 也同樣有此特性，如圖 5-11 的 a、b、
c、d、e 為變形 5 的幾個變化。
當頂面不再是平面時，變形 2 的多樣性就被破壞。我們分別在表 5-1 的左、右欄中列出平面變形對應到頂面為凹面及凸面的變形。平面 的變形2(a)和 2(b)對應到凹面的相似變形分別為變形 3 和變形 2。平面 的變形2(c)和 2(d)對應到凸面的相似變形分別為變形 2 和變形 4。圖 5-1 中軌跡2 和 3 上的一個點(凹面)和圖 5-5 中軌跡 2 和 4 上的一個點(凸面) 只代表一種變形。
圖5-7 中所示的變形 3 在頂部平面有一個 free fold，這種變形也有 其它的變化，如表5-2 中央欄所示，free fold 也可以是在底部平面上，
所以在軌跡3 的一個點代表了三種變形。表 5-2 的左、右欄中列出平面 變形對應到頂面為凹面及凸面的變形。圖 5-10 的 d-f 為變形 3 各式變 化的實驗照片;圖 5-11 的 f-i 為變形 6 各式變化的實驗照片。
與上述情況類似，圖 5-7 中所示的變形 11 為底部平面有兩個 free folds 的情形。我們在表 5-3 中央欄表示出此變形的其他變化，圖 5-7
中的軌跡11 實際上代表了三種變形。表 5-3 的左、右欄列出了平面變
中的軌跡11 實際上代表了三種變形。表 5-3 的左、右欄列出了平面變