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第四章 分析與比較
此章中，欲探討 WSR–TEWMA 管制圖對於加強製程初期偵測能力之效果，首 先假設製程為常態分配 N(0,1)，進行模擬並觀察連串長度機率分佈之差異，當製程 為穩定狀態時 (圖 4.1a)，管制統計量在製程以 WSR–TEWMA 管制圖監控之下，於 製程前期即超出管制界限的機率較大，而兩者連串長度較大的機率相差無幾，由於製 程穩定狀態下之平均連串長度預期較大，因此認為連串長度前期分佈的差別對於平均 值影響不大；當製程在失控狀態下 (圖 4.1b)，管制統計量在製程以 WSR–TEWMA 管制圖監控之下，於製程前期超出管制界限的機率甚大，而後期超出管制界限的機率 較小，且製程失控下之平均連串長度預期較小，相較之下，認為連串長度前期分佈的 差別對於平均值影響較大。因此根據上述觀察結果顯示，在給定相同條件下，當製程 為穩定狀態時，則 WSR–TEWMA 管制圖於前期判斷錯誤機率略高但並不明顯；反 之，製程在失控狀態下，能明顯看出對於製程初期之偵測能力有明顯提升，其效果 依據 λ 有所不同。而 WSR–TEWMA 管制圖其參數設定包含 λ 和 α，不論設定為 何，當時間增加則變動管制界限皆會逼近漸近管制界限，因此製程經過一段時間後 兩者連串長度特性相似。以下討論製程為不同對稱分配時，考慮不同樣本數及變動 參數設定下，觀察 WSR–TEWMA 管制圖縮減平均連串長度的效果，其做法為調整 管制界限因子 L，使得 WSR–EWMA 管制圖在製程穩定狀態下之平均連串長度與 WSR–TEWMA 管制圖的相同，再比較製程在失控狀態下的平均連串長度。
首先，考慮固定 λ = 0.2 、 α = 0.01 且不同樣本數的情況下，結果可由表 4.1 得 知，不同樣本數在製程穩定下的平均連串長度大致相同，若製程為失控狀態時，不論 偏移程度，其平均連串長度皆隨樣本數增加而減少，表示樣本數越大偵測能力越好。
觀察 WSR–TEWMA 管制圖對於提升製程偵測能力之效果，在 λ = 0.2 情況下，不 論樣本數大小，若製程為失控狀態，則變動管制界限約能縮減 1 次抽樣，若以成效觀 點而言，當樣本數越大時，變動管制界限對於提升製程初期偵測能力之效果越佳。
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0 50 100 150 200
0.000.010.020.030.04
N=6, λλ=0.05, αα=0.05, δδ=0
run length
probability
SR−EWMA SR−TEWMA
(a) 製程穩定狀態下(δ = 0)
5 10 15 20
0.000.050.100.150.20
N=6, λλ=0.05, αα=0.05, δδ=0.5
run length
probability
SR−EWMA SR−TEWMA
(b) 製程失控狀態下 (δ = 0.5)
圖 4.1: 常 態 分 配 N(0,1) 下 ， 漸 近 管 制 界 限 與 變 動 管 制 界 限 連 串 長 度 分 佈 比 較 (N = 6, λ = 0.05, α = 0.05)
接著觀察固定 N = 6 、 α = 0.01 且不同 λ 的情況下， WSR–TEWMA 管制圖 對於縮減平均連串長度的效果，結果如表 4.3。當 λ > 0.2 時，是否採用變動管制界 限所得到的平均連串長度沒有明顯差異。λ = 0.2，則在不同偏移程度下皆能縮減 1 次 抽樣，就提升偵測能力而言，對於微小偏移效果不明顯，然而當偏移幅度較大時，表 示能更快速偵測出製程變動。顯而易見的，兩者平均連串長度於 λ = 0.05 時，差異甚 大，在微小偏移 δ = 0.25 情況下，能使抽樣次數縮減 5 次，提升偵測能力 26%，且 隨製程偏移程度越大 WSR–TEWMA 管制圖提升偵測能力之效果越明顯，當製程失 控偏移幅度至 2 以上時，變動管制界限能在 1 至 2 次抽樣後即偵測出，大幅提升製程 監控能力。因此隨 λ 越小，是否採用變動管制界限所得到的平均連串長度差異越大，
即 WSR–TEWMA 管制圖對於製程初期異常之偵測能力越好。
再者，針對 N = 6 、 λ = 0.05 且設定不同分位數下，觀察縮減程度。不論 α 設 定為何，在製程發生微小偏移的情況下，其變動管制界限約能縮減 5 次抽樣，且當發 生大幅偏移時，皆能在 1 至 2 次抽樣後即偵測出製程為失控狀態，由於 α 越大而管 制界限越窄，則平均連串長度亦隨之變小，採用變動管制界限相對成效越好。
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假設製程分別為均勻或雙指數分配，由表 4.4 、 4.5 可得到類似於常態分配假設 下的結果，即 WSR–TEWMA 管制圖在 N = 6 、 α = 0.01 且 λ = 0.05 情況下，
當製程發生微小偏移時，相較於 WSR–EWMA 管制圖能縮減 4 至 6 次抽樣即偵測出 製程為失控狀態。比較 3 種分配相同參數設定下的平均連串長度差異，一般而言，製 程在穩定狀態下的平均連串長度皆會相同，而製程發生不同偏移程度時，雙指數分配 下的平均連串長度皆為最小，其次為常態分配，因此 WSR–TEWMA 在雙指數分配 下，對於提升製程初期偵測能力的效果最好。
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表 4.1: 常態分配 N(0,1) 下，N = 4, 6, 10 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (λ = 0.2, α = 0.01)
N = 4 N = 6 N = 10
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (2.723 , 7.277) Ik(α)a (6.5 , 14.5) Ik(α) (19.21 , 35.79) Ik(α) 0.00 168.26(0.43)b 168.02(0.54) 167.25(0.45) 168.29(0.53) 166.75(0.56) 166.06(0.55) 0.25 29.37(0.09) 28.24(0.08) 20.28(0.04) 19.28(0.05) 12.86(0.02) 11.68(0.03) 0.50 9.87(0.02) 8.90(0.02) 7.07(0.01) 6.13(0.01) 4.84(0.00) 3.78(0.01) 1.00 4.44(0.01) 3.52(0.00) 3.52(0.00) 2.61(0.00) 2.55(0.00) 1.54(0.00) 2.00 3.12(0.00) 2.17(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00) 1.01(0.00) 3.00 3.01(0.00) 2.01(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00) 1.00(0.00)
以下註解適用於其餘表格
aIk(α) = ψZ−1
k(α 2) , ψZ−1
k(1 −α
2) 代表變動管制上下界限，為各期分配的 α
2 及 1 −α 2 分位數
b平均連串長度值，括弧內為其標準誤
表 4.2: 常 態分配 N(0,1) 下，α = 0.01, 0.005, 0.0025 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (N = 6, λ = 0.05)
α = 0.0025 α = 0.005 α = 0.01
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (8.221 , 12.779) Ik(α) (8.387 , 12.613) Ik(α) (8.57 , 12.43) Ik(α) 0.00 1391.37(0.61) 1392.06(0.00) 758.69(0.55) 757.63(0.82) 411.38(0.49) 411.89(0.56) 0.25 30.85(0.04) 25.32(0.07) 26.91(0.04) 21.42(0.04) 23.14(0.04) 17.87(0.04) 0.50 12.36(0.01) 7.59(0.02) 11.25(0.01) 6.68(0.01) 10.08(0.01) 5.82(0.01) 1.00 6.75(0.00) 2.63(0.00) 6.22(0.00) 2.38(0.00) 5.67(0.00) 2.18(0.00) 2.00 5.10(0.00) 1.17(0.00) 5.01(0.00) 1.14(0.00) 4.42(0.00) 1.13(0.00) 3.00 5.00(0.00) 1.01(0.00) 5.00(0.00) 1.01(0.00) 4.03(0.00) 1.01(0.00)
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表 4.3: 常態分配 N(0,1)下，λ = 0.05, 0.2, 0.5, 0.7 雙邊 EWMA 之平 均連串長度 (N = 6, α = 0.01)
λ = 0.05 λ = 0.2
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (8.57 , 12.43) Ik(α) (6.5 , 14.5) Ik(α) 0.00 411.52(0.30) 411.89(0.56) 167.28(0.58) 168.02(0.53) 0.25 23.14(0.05) 17.87(0.04) 20.3(0.06) 19.28(0.05) 0.50 10.09(0.01) 5.82(0.01) 7.07(0.01) 6.13(0.01) 1.00 5.67(0.00) 2.18(0.00) 3.52(0.00) 2.61(0.00) 2.00 4.42(0.00) 1.13(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00) 3.00 4.03(0.00) 1.01(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00)
λ = 0.5 λ = 0.7
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (3.83 , 17.17) Ik(α) (2.32 , 18.68) Ik(α) 0.00 113.66(0.35) 113.83(0.36) 106.38(0.35) 105.18(0.33) 0.25 25.75(0.07) 25.62(0.07) 31.47(0.12) 31.22(0.09) 0.50 7.58(0.02) 7.46(0.02) 9.26(0.02) 9.18(0.02) 1.00 2.85(0.00) 2.77(0.00) 3.00(0.00) 2.94(0.00) 2.00 2.02(0.00) 2.01(0.00) 2.03(0.00) 2.01(0.00) 3.00 2.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00)
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表 4.4: 均 勻 分 配 U(−√ 3,√
3) 下 ，λ = 0.05, 0.2, 0.5, 0.7 雙 邊 EWMA 之平均連串長度 (N = 6, α = 0.01 )
λ = 0.05 λ = 0.2
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (8.57 , 12.43) Ik(α) (6.5 , 14.5) Ik(α) 0.00 411.30(0.26) 411.77(0.32) 167.43(0.4) 168.05(0.65) 0.25 26.20(0.04) 20.87(0.03) 23.89(0.08) 22.86(0.01) 0.50 11.37(0.02) 7.02(0.01) 8.26(0.01) 7.33(0.01) 1.00 6.03(0.00) 2.54(0.00) 3.76(0.00) 2.83(0.00) 2.00 4.00(0.00) 1.00(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00) 3.00 4.00(0.00) 1.00(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00)
λ = 0.5 λ = 0.7
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (3.83 , 17.17) Ik(α) (2.32 , 18.68) Ik(α) 0.00 113.56(0.37) 113.86(0.35) 106.3(0.23) 105.27(0.24) 0.25 32.30(0.08) 32.20(0.05) 40.75(0.17) 40.38(0.14) 0.50 9.76(0.02) 9.64(0.02) 13.08(0.05) 12.95(0.05) 1.00 3.18(0.00) 3.08(0.00) 3.49(0.00) 3.43(0.01) 2.00 2.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00) 3.00 2.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00) 2.00(0.00)
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表 4.5: 雙指數分配 Dexp(0,1) 下，λ = 0.05, 0.2, 0.5, 0.7 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (N = 6, α = 0.01)
λ = 0.05 λ = 0.2
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (8.57 , 12.43) Ik(α) (6.5 , 14.5) Ik(α) 0.00 411.52(0.30) 411.77(0.46) 167.24(0.58) 168.05(0.51) 0.25 16.69(0.04) 11.68(0.03) 13.39(0.03) 12.39(0.03) 0.50 8.39(0.01) 4.30(0.01) 5.61(0.00) 4.69(0.01) 1.00 5.46(0.00) 1.94(0.00) 3.41(0.00) 2.50(0.00) 2.00 4.52(0.00) 1.18(0.00) 3.01(0.00) 2.03(0.00) 3.00 4.16(0.00) 1.04(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00)
λ = 0.5 λ = 0.7
固定界限 變動界限 固定界限 變動界限
shift(δ) (3.83 , 17.17) Ik(α) (2.32 , 18.68) Ik(α) 0.00 113.79(0.28) 113.83(0.39) 106.35(0.29) 105.17(0.32) 0.25 15.76(0.03) 15.65(0.05) 18.62(0.04) 18.47(0.05) 0.50 5.38(0.01) 5.28(0.01) 6.02(0.02) 5.95(0.01) 1.00 2.66(0.00) 2.59(0.00) 2.71(0.00) 2.66(0.00) 2.00 2.05(0.00) 2.04(0.00) 2.06(0.00) 2.04(0.00) 3.00 2.00(0.00) 2.00(0.00) 2.01(0.00) 2.00(0.00)