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第二章 文獻探討與回顧
由於傳統管制圖乃建構於假設製程為某些特定分配或是參數已知時，用以監控製 程平均數變化，然而實務上未必能符合分配之假設或是沒有足夠資訊，因此發展出無 母數管制圖，改以監控製程中心趨勢。接續，說明若 EWMA 管制圖建構於漸近管制 界限，則對於製程初期變動較不敏感，因此藉由調整管制界限，提升對於製程初期異 常的偵測能力，本章節乃介紹上述內容之相關文獻。
第一節 無母數管制圖
Amin et al. (1995) 提出以符號檢定統計量 (sign–test statistics) 為基礎建構 Shewhart 和 CUSUM 管制圖，用以監控製程中位數 (或平均數)，此種方法無需要 求分配為對稱型態，適用於各種分配。結果顯示若製程為厚尾或是非對稱分配，
則建議使用無母數管制圖，且當樣本數 n ≥ 7 時，對於微小偏移之偵測相當有效
； Bakir (2004) 使用 Wilcoxon 符號排序 (Wilcoxon signed–rank, WSR) 統計量製 作 Shewhart 管制圖，用以監控製程中位數是否發生偏移，結果顯示當製程為厚尾 分配 (例如：雙指數分配和柯西分配) 時，無母數管制圖偵測能力優於傳統 X 管制 圖 ； Bakir (2006) 提出當製程在穩定狀態下的目標值未知時，可根據一組適用的 參考樣本，求其樣本中位數用以估計製程中心值，再以 WSR 統計量建構 Shewhart
、 CUSUM 和 EWMA 管制圖 ； Chakraborti and Eryilmaz (2007) 根據 WSR 統 計量為基礎，並加入連串規則進行監測 ； Chakraborti and Van de Wiel (2008) 提出若無法得知目標值，則給定一組參考樣本，根據 Mann–Whitney 統計量建構 Shewhart 管制圖，並利用 Lugannani–Rice 鞍點近似法、Edgeworth 級數和蒙地卡 羅模擬等方法求其管制界限，結論亦指出當製程為厚尾分配時，偵測能力較佳。
CUSUM管制圖方面，Reynolds (1975) 提出以符號逐次排序 (signed sequential
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rank) 為基礎，結果顯示當製程為常態分配時，對於微小偏移之偵測能力與傳統 CUSUM 管制圖相近 ； Bakir and Reynolds (1979) 假設製程穩定下為對稱分配且 中位數已知，根據 WSR 統計量執行 CUSUM 管制程序監測製程中位數是否發生偏 移，並利用馬可夫鏈 (Markov chain) 求得平均連串長度，結果顯示製程為常態分配 時，無母數 CUSUM 管制圖偵測能力稍弱於傳統 CUSUM 管制圖，然而在非常態分 配下，則相當有效 ； McDonald (1990) 提出逐次排序 (sequential rank) 為基礎，利 用單一觀測值監控製程是否穩定。
EWMA 管制圖方面，Hackl and Ledolter (1991) 提出若樣本為單一觀測值，
可利用標準化排序 (standardized rank) 對於製程進行監控，假設製程穩定下分配已 知，則能計算出觀測值對應的標準化排序，若分配未知，即給予一組參考樣本為基 準，計算其觀測值所對應之排序，此方法對於製程驟然的偏移有良好的偵測效果 ； Hackl and Ledolter (1992) 為防止管制圖受離群值影響，對於單一觀測值提出逐次排 序，研究結果顯示，當分配為非常態且製程的變異型態能以線性趨勢模型表示時，效 果將優於 Shewhart 管制圖，但當製程的變異型態為微量瞬間跳動時，則效果較差 ； Amin and Searcy (1991) 根據 WSR為基礎，研究結果顯示當製程為厚尾分配時，能 有效提升製程微小變動之偵測能力。
第二節 指數加權移動平均管制圖
Roberts (1959) 提出指數加權移動平均 (EWMA) 管制圖，經過模擬評估其特 性，指出此種管制圖在製程發生微小偏移時，相較於 Shewhart 管制圖有較佳的偵測 能力，且在某些預測與監控應用方面有許多最佳的特性，其特點為操作簡單且效果良 好，其管制統計量定義如下：
Zk = λ Xk+ (1 − λ) Zk−1 k = 1, 2, · · ·
其中，參數 λ 為加權常數，滿足 0 < λ < 1 的條件，當 λ 越大時，表示管制統計量
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0 時，性質與 CUSUM 管制圖相似。Crowder (1987) 和 Lucas and Saccucci (1990) 指出，當 λ 較大時，則對於製程大幅偏移能有效偵測出，反之對於微小偏移之偵測能 監控能力，Lucas and Saccucci (1990) 將快速起始反應特性應用於 EWMA 管制圖‧ 國
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中，作法為同時使用兩個單邊 X–EWMA 管制圖進行監控，而其初始值即介於目標值 及管制界限之間，用以改善管制圖對於製程初期異常的敏感度，結果顯示當 λ ≤ 0.25 時，會有較佳的表現。無母數管制圖相關文獻中，大多探討此方法對於提升製程 初期偵測能力之效果，例如 Amin and Searcy (1991) 文中提及快速起始反應對於 WSR–EWMA 管制圖的影響。再者，最早由 Montgomery (1991) 提出若 EWMA 統計量變異隨時間變動時，建議管制界限亦需隨著變動，否則將會影響 EWMA 管制 圖在偵測製程偏移上的表現，其變動管制界限形式為
U CLk = µ0+ L σX
r λ
2 − λ(1 − (1 − λ)2k) CL = µ0
LCLk = µ0− L σX r λ
2 − λ(1 − (1 − λ)2k)
(2.4)
其後，Chandrasekaran et al. (1995) 、 Rhoads et al. (1996) 和 Steiner (1999) 提出 不同調整管制界限方法，使 EWMA 管制圖具備快速起始反應之效果。其中，Steiner (1999) 指出在固定參數 L 之下，採用漸近管制界限 (2.3) 或變動管制界限 (2.4)，會 影響管制圖對於製程初期的偵測能力，而影響程度視 λ 決定，當 λ 越大則變動管制界 限越快逼近漸近管制界限，因此兩者之間偵測能力差異不大；反之，變動管制界限可 有效提升管制圖對於製程初期異常之偵測能力。
第三節 平均連串長度
平均連串長度 (average run length, ARL) 是一種評估管制圖績效的方法，其意 義為直到管制統計量第一次超出管制界限平均所需的抽樣次數，有些學者建議觀察連 串長度之分配或其他資訊 (例如：變異數)。當製程為穩定狀態時，平均連串長度越大 越好，表示假警報率較低；反之，製程為失控狀態時，則希望透過管制圖儘早偵測出 製程的變動，則平均連串長度越小越好。比較不同管制圖性能優劣時，通常使得製程 在穩定狀態下的平均連串長度相同，再比較失控狀態下的平均連串長度，越小則表示 管制圖性質越好。由於 EWMA 統計量彼此之間不獨立，計算並不容易，除蒙地卡羅 模擬外，常見以下幾種計算方式：Robinson and Ho (1978) 將 EWMA 管制統計量
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表示成一階自迴歸模型，利用 Edgeworth 級數近似其條件機率密度函數，進而求出平 均連串長度，然而計算方面較為困難，在於必須多次利用 Edgeworth 級數求條件機率 之近似值。Crowder (1987) 提出數值方法計算 EWMA 管制圖之平均連串長度，形 式如下：
L(µ) = 1 + 1 λ
Z h
−h
L(y)f y − (1 − λ)u λ
dy
其中 h 為管制界限，u 是起始值，此為第二類 Fredholm 積分方程式，其結果與 Robinson and Ho (1978) 所得之結果大致無異。在此由於 Wilcoxon 符號排序統計量 為離散型變數，因此參考 Borror et al. (1998) 利用馬可夫鏈求得 Poisson EWMA 管 制圖的平均連串長度，最早由 Lucas and Saccucci (1990) 提出利用馬可夫鏈觀念，
將 EWMA 管制統計量視為連續狀態之馬可夫鏈求得連串長度分配，Steiner (1999) 進一步考慮管制界限隨時間變動，故本研究採用非齊一性馬可夫鏈 (non–homogenous Markov chain) 方法計算平均連串長度。