第三章 研究方法
第二節 WSR–TEWMA
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立 政 治 大 學
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N a tio na
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第二節 WSR–TEWMA
根據 Steiner (1999) 指出 X–EWMA 管制圖之管制界限伴隨時間變動，具備類 似於快速起始反應之效果，本研究欲建構具相同性質的 WSR–TEWMA 管制圖，然 而變動管制界限定義方式並非依據式子 (2.4)，在此為各期管制統計量分配的 α/2 和 1 − α/2 分位數，其想法乃參考：MacGregor and Harris (1993) 所提出，利用指數 加權均方 (exponentially weighted mean squared, EWMS) 管制圖監控製程變異數 是否發生變動，則其管制界限為管制統計量之極限分配的 α/2 和 1 − α/2 分位數。
當樣本數 N 較大時，則 W 近似於常態分配，亦可推論 Zk 為近似常態分配，則 變動管制界限較為容易計算，形式如下：
U CLk = µW + L σW
r λ
2 − λ(1 − (1 − λ)2k) CL = µW
LCLk = µW − L σW
r λ
2 − λ(1 − (1 − λ)2k) 其中，L 為 Φ−1
1 −α
2，Φ 為 N(0,1) 之累積分佈函數 (cumulative distribution function, CDF)。
然而，實務上基於考量抽樣與測試的成本，因此每次抽樣樣本數較少，且 Zk 屬 有界變數，故認為利用近似常態求其變動管制界限並不恰當。在此假設製程為穩定 狀態，以 N = 4 、 λ = 0.2 之下，第 4 期管制統計量 Z4 之累積分佈函數為例，圖 3.1a 為以常態近似與實際的累積分佈函數，觀察兩者累積分佈函數部份範圍之間差距 (圖 3.1b)，圖形顯示以常態近似 Z4 的機率分佈與實際情形相比具有厚尾性質，因此 若管制界限取各期管制統計量分佈的 0.005 和 0.995 分位數時，則近似常態分配所得 的管制範圍較實際寬 (圖 3.1c)，故可能高估製程失控下之平均連串長度，使得製程監 測能力降低，因此本文改採用傅立葉級數 (Fourier series) 近似 Zk 之累積分佈函數，
進而求得變動管制上下界限。
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N=4, λλ=0.2, time=4 cumulative probability
Z4
N=4, λλ=0.2, time=4 part of cumulative probability
Z4 Cencov (1962) 首先提出利用傅立葉級數估計機率密度函數，此方法常運用於估計無 母數機率密度。本篇文章欲利用特徵函數 (characteristic function) 求出傅立葉級數 各項係數，用以近似製程穩定下 Zk 的累積分佈函數，進而求得變動管制界限。
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N a tio na
l C h engchi U ni ve rs it y
2 3 4 5 6 7 8
0.00.20.40.60.81.0
N=4, λλ=0.2, time=4 cumulative probability
Z4
cumulative probability
true Fourier
(a) 累積分佈函數
2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2
0.0000.0020.0040.0060.0080.010
N=4, λλ=0.2, time=4 part of cumulative probability
Z4
cumulative probability
true Fourier
(b) 累積分佈函數之部分範圍
1 2 3 4 5 6 7
34567
N=4, λλ=0.2, αα=0.01
time
control limits
true asymptotic Fourier
(c) 變動管制界限
圖 3.2: 傅立葉級數近似 (N = 4, λ = 0.2, α = 0.01)
本文欲利用有限項傅立葉級數近似 Zk 之累積分佈函數，依據 Tarter (1976) 文 中提到，對於大部分機率密度函數而言，所對應的傅立葉級數收斂很快，因此不需要 高階的展開項，在此展開項數 M 所設條件為滿足 M > 20 且 |aM| 、 |bM| < 10−6 的最小值。圖 3.2a 為實際累積分佈函數與根據上述近似方法求得之累積分佈函數，藉 由觀察其部分範圍 (圖 3.2b) 可看出兩者差異甚小，比較利用常態與有限項傅立葉級 數近似實際累積分佈函數之部分值 (圖 3.3)，可看出傅立葉級數近似效果較好，因此
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2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2
0.0000.0020.0040.0060.0080.010
N=4, λλ=0.2, time=4 part of cumulative probability
Z4
cumulative probability
true Normal Fourier
圖 3.3: 比較傅立葉級數及常態近似 CDF 之部分範圍
有限項傅立葉級數近似方法能更精確求得管制界限 (圖 3.2c)