無母數指數加權移動平均管制圖伴隨變動管制界限 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統計學系碩士學位論文. 無母數指數加權移動平均管制圖伴隨變動管制界限政治大立 ‧. ‧ 國. 學. A Nonparametric EWMA–Type Signed–Rank Control Chart with Time–Varying Control Limits. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 指導教授：黃子銘博士研究生：鄭舜壕撰. 中華民國九十九年六月.

(2) 謝. 誌. 本論文得以順利完成，首要感謝指導教授黃子銘博士悉心指導與教誨，給予專業知識上莫大的啟蒙。在研究過程中，起初對於欲研究之領域並不熟悉，花了許多時間重新學習與了解，因此無法有效掌握進度，且對於研究方向感到茫然及徬徨，在此衷心感謝老師不吝於付出指導與關心，總是適時提出許多想法，解決所遇之瓶頸及修正觀念上的錯誤。對於我反應遲鈍與理解能力差等缺點，亦抱持著無可比擬的耐心循循. 政治大承蒙口試委員 — 本系楊素芬教授與輔仁大學資訊工程學系黃貞瑛教授，於不同層面立善導，且在論文撰寫期間悉心審閱詳加批改，對此致上最誠摯的敬意與謝忱。同時，. ‧ 國. 學. 給予專業的建議，使得本論文更為嚴謹及完備，於此亦致上由衷的謝意。在政治大學統計系攻讀碩士班這段期間，對我而言影響甚鉅，雖然兩年光陰稍然. ‧. 而逝，然而對於人生規劃的體認卻是最為深刻，尤其在讀書風氣及自我進修方面，令. Nat. sit. y. 我感觸良多，深深惋惜過往蹉跎歲月。感謝同窗好友雅薇、志叡、政勳與明儒解決程. n. al. er. io. 式及學業方面的疑惑，且在生活中給予無限地幫助與歡笑。再者，昔日的好友在我對. i n U. v. 於課業感到欲振乏力的時候，賦予精神上的支持，由於你們的陪伴與鼓勵，讓我能安. Ch. 穩度過這段難以忘懷的研究歲月。. engchi. 最後，更要向我摯愛的雙親致上最崇高的敬意，感謝多年來的養育與栽培，求學生涯這幾年，或許有些不順利與困難，幸得在生活及經濟上有你們的支持與關懷，方能造就今日的我，感恩之情溢於言表。此外，還要特別感謝俞陵長期的照顧與鼓勵，我才有今日的表現。在此，僅將此論文獻給所有師長親友，共享這份喜悅。. 鄭舜壕謹誌於國立政治大學統計學研究所中華民國九十九年六月 i.

(3) 要. 摘. 根據 Steiner (1999) 提出指數加權移動平均 (EWMA) 管制圖之管制界限應伴隨時間變動，相較於傳統以漸近管制界限建構的 X–EWMA 管制圖，具備類似於快速起始反應之功能。然而，無母數 EWMA 管制圖相關文獻中，大多採用漸近管制界限，甚少提及變動管制界限對於製程初期偵測能力之影響，因此本研究依據 Wilcoxon 符號排序統計量為基礎，建構無母數 EWMA 管制圖，並定義變動管制界限之形式，進. 政治大性馬可夫鏈及蒙地卡羅模擬，求得製程穩定或失控狀態下的平均連串長度。模擬結果立. 而探討在製程初期的監控效果。假設製程為常態、均勻或雙指數分配下，使用非齊一. n. al. er. io. sit. Nat. 關鍵字：無母數管制圖；指數加權移動平均；平均連串長度. y. 力，且在厚尾分配下 (例如：雙指數分配) 效果更為明顯。. ‧. ‧ 國. 學. 顯示，當加權常數越小，若採用變動管制界限能有效提升對於製程初期異常之偵測能. Ch. engchi. ii. i n U. v.

(4) Abstract According to Steiner (1999), the control limits of exponentially weighted moving average (EWMA) control charts should vary with time, so that the charts would have properties similar to the fast initial response (FIR) feature, when compared with asymptotic X–EWMA charts. However, previous analyses of nonparametric EWMA control charts consider only asymptotic control limits and are. 政治大 parametric control chart with time–varying control limits is constructed based on 立 not sensitive to the shifts in a process at early stages. In this thesis, a non-. ‧ 國. 學. EWMA control chart built upon the Wilcoxon signed–rank statistics. When the underlying distribution is normal, uniform, or double exponential, the average run. ‧. lengths in both in–control and out–of–control conditions are approximated using. sit. y. Nat. non–homogenous Markov chain and based on Monte Carlo simulations. Simula-. io. er. tion results show that EWMA charts with varying control limits are more efficient to detect early process shifts when weighting constants are small, and the un-. n. al. Ch. i n U. v. derlying distributions are heavy–tailed distribution (such as double exponential distribution).. engchi. Keywords: Nonparametric control chart ; Exponentially weighted moving average ; Average run length. iii.

(5) 目. 錄. 誌謝 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. i. 中文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. 英文摘要 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii 目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 政治大表目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 立. iv vi. ‧ 國. 學. 圖目錄 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 緒論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 第二章. 文獻探討與回顧 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. sit. y. Nat. n. al. er. 無母數管制圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. io. 第一節. ‧. 第一章. Ch. i n U. v. 3. 第二節. 指數加權移動平均管制圖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 4. 第三節. 平均連串長度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 研究方法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8. 第三章. engchi. 第一節. WSR–EWMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 第二節. WSR–TEWMA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. 第三節. 計算平均連串長度 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. 第四章. 8. 分析與比較 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19. iv.

(6) 第五章. 結論與未來研究方向. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26. 參考文獻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 附錄甲：Wilcoxon 符號排序 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 附錄乙：傅立葉級數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. v. i n U. v.

(7) 表目錄. 4.1. 常態分配 N(0,1) 下，不同樣本數之平均連串長度 . . . . . . . . . . .. 22. 4.2. 常態分配 N(0,1) 下，不同分位數之平均連串長度 . . . . . . . . . . .. 22. 4.3. 常態分配 N(0,1) 下，不同加權常數之平均連串長度 . . . . . . . . . .. 23. 4.4. √ √ 均勻分配 U(− 3, 3) 下，不同加權常數之平均連串長度 . . . . . .. 24. . . . . . .. 25. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. 4.5. 政治大雙指數分配 Dexp(0,1) 立下，不同加權常數之平均連串長度. Ch. engchi. vi. i n U. v.

(8) 圖目錄. 3.1. 常態近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 11. 3.2. 傅立葉級數近似 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 14. 3.3. 比較傅立葉級數及常態近似累積分佈函數之部分範圍 . . . . . . . . .. 15. 3.4. 不同加權常數和分位數下，製程穩定下之平均連串長度 . . . . . . . .. 17. 4.1. 常態分配 N(0,1) 下，連串長度分佈比較 . . . . . . . . . . . . . . . .. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. vii. i n U. v. 20.

(9) 第一章緒論統計製程管制 (statistical process control) 乃將統計方法應用於製程監控和品質改善，其主要觀念為，從製程中蒐集樣本資料加以分析，進而判斷製程發生變異之原因，以提升產品品質。導致製程發生變異的原因可分為機遇原因 (chance causes) 和可歸屬原因 (assignable causes)，當製程只存在機遇原因所造成的自然變異，則稱製程為穩定狀態 (in–control process)，若製程除了受到機遇原因影響外，還存在可歸屬. 政治大原因影響，則管制圖為重要工具之ㄧ，其用法簡單且效果顯著，一般而言，常用的管立. 原因的影響，則稱製程為失控狀態 (out–of–control process)。欲知製程是否受可歸屬. ‧ 國. 學. 制圖為 Shewhart 管制圖、累積和 (cumulative sum, CUSUM) 管制圖與指數加權移動平均 (exponentially weighted moving average, EWMA) 管制圖，其目的在於用. ‧. 來監控品質特性之變化情形，判斷製程是否穩定，若製程為失控狀態，則冀望能儘早. sit. y. Nat. 發現其異常並採取有效措施。. n. al. er. io. 在製程管制方面，通常假設製程服從某些特定分配，其中以常態分配最為常見，. v. 當製程分配滿足假設時，其統計推論會有準確的結果。然而，實務上許多製程並非. Ch. engchi. i n U. 常態或其餘常見分配，再者製程於初始狀態缺乏基礎分配 (underlying distribution) 的資訊，此時若假設錯誤，則對於推論之可靠度會有所影響，此論點可看 Alloway and Raghavachari (1991) 、 Woodall and Montgomery (1999) 、 Woodall (2000) 、 Yourstone and Zimmer (2007)。若是有基礎分配完整的資訊，則可專門針對該分配設計方法，相較之下，無母數方法效率相對較低，然而根據過去文獻得知，在某些厚尾分配 (heavy–tailed distribution) 下，無母數方法相較於所對應的參數方法效果較佳。值得注意的是，當基礎分配為常態時，某些無母數方法與根據常態分配所推導的理論方法 (t–test) 效果相近，例如：Wilcoxon signed–rank test 的漸近相對效率高達 0.955。. 1.

(10) 近年來，應用於統計製程管制的無母數方法日愈增多，其目的不外乎是為了避免直接假設製程的原始分配，且多位學者論證無母數方法能廣泛地使用於實務上，Woodall and Montgomery (1999) 和 Bakir et al. (2001) 概述無母數管制圖之相關文獻，指出單變量無母數管制圖，能避免製程分配不符合假設所導致判斷及推論方面的錯誤，除此之外具備 (1) 對於所有連續型分配而言，製程在穩定狀態下的假警報率 (false alarm rate) 及平均連串長度 (average run length) 皆相同 (2) 無母數方法限制條件較少，且統計量多為數量或是排序，計算較為簡便 (3) 更為穩健不易受離群值影響，因此發展更為有效且能廣泛應用的無母數方法為重要議題。由於製程可能在起始或初期階段即為失控狀態，最早由 Lucas and Crosier. 政治大傳統 CUSUM 管制圖對於製程初始階段異常之敏感度。Steiner (1999) 指出 EWMA 立. (1982) 提出具備快速起始反應 (fast initial response) 之 CUSUM 管制圖，用以改善. ‧ 國. 學. 管制圖若採用變動管制界限，則具備類似於快速起始反應之效果，因此本研究主要目. 的為探討無母數 EWMA 管制圖，其管制界限伴隨時間變動，對於製程初期偵測能力. ‧. 之影響程度，考慮各種不同情況下，利用蒙地卡羅模擬方法求得平均連串長度。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 2. i n U. v.

(11) 第二章文獻探討與回顧由於傳統管制圖乃建構於假設製程為某些特定分配或是參數已知時，用以監控製程平均數變化，然而實務上未必能符合分配之假設或是沒有足夠資訊，因此發展出無母數管制圖，改以監控製程中心趨勢。接續，說明若 EWMA 管制圖建構於漸近管制界限，則對於製程初期變動較不敏感，因此藉由調整管制界限，提升對於製程初期異常的偵測能力，本章節乃介紹上述內容之相關文獻。. 第一節無母數管制圖. 立. 政治大. ‧ 國. 學. Amin et al. (1995) 提出以符號檢定統計量 (sign–test statistics) 為基礎建構. ‧. Shewhart 和 CUSUM 管制圖，用以監控製程中位數 (或平均數)，此種方法無需要. y. Nat. 求分配為對稱型態，適用於各種分配。結果顯示若製程為厚尾或是非對稱分配，. er. io. sit. 則建議使用無母數管制圖，且當樣本數 n ≥ 7 時，對於微小偏移之偵測相當有效； Bakir (2004) 使用 Wilcoxon 符號排序 (Wilcoxon signed–rank, WSR) 統計量製. n. al. Ch. i n U. v. 作 Shewhart 管制圖，用以監控製程中位數是否發生偏移，結果顯示當製程為厚尾. engchi. 分配 (例如：雙指數分配和柯西分配) 時，無母數管制圖偵測能力優於傳統 X 管制圖； Bakir (2006) 提出當製程在穩定狀態下的目標值未知時，可根據一組適用的參考樣本，求其樣本中位數用以估計製程中心值，再以 WSR 統計量建構 Shewhart 、 CUSUM 和 EWMA 管制圖； Chakraborti and Eryilmaz (2007) 根據 WSR 統計量為基礎，並加入連串規則進行監測； Chakraborti and Van de Wiel (2008) 提出若無法得知目標值，則給定一組參考樣本，根據 Mann–Whitney 統計量建構 Shewhart 管制圖，並利用 Lugannani–Rice 鞍點近似法、Edgeworth 級數和蒙地卡羅模擬等方法求其管制界限，結論亦指出當製程為厚尾分配時，偵測能力較佳。 CUSUM 管制圖方面，Reynolds (1975) 提出以符號逐次排序 (signed sequential 3.

(12) rank) 為基礎，結果顯示當製程為常態分配時，對於微小偏移之偵測能力與傳統 CUSUM 管制圖相近； Bakir and Reynolds (1979) 假設製程穩定下為對稱分配且中位數已知，根據 WSR 統計量執行 CUSUM 管制程序監測製程中位數是否發生偏移，並利用馬可夫鏈 (Markov chain) 求得平均連串長度，結果顯示製程為常態分配時，無母數 CUSUM 管制圖偵測能力稍弱於傳統 CUSUM 管制圖，然而在非常態分配下，則相當有效； McDonald (1990) 提出逐次排序 (sequential rank) 為基礎，利用單一觀測值監控製程是否穩定。 EWMA 管制圖方面，Hackl and Ledolter (1991) 提出若樣本為單一觀測值，可利用標準化排序 (standardized rank) 對於製程進行監控，假設製程穩定下分配已. 政治大準，計算其觀測值所對應之排序，此方法對於製程驟然的偏移有良好的偵測效果；立知，則能計算出觀測值對應的標準化排序，若分配未知，即給予一組參考樣本為基. ‧ 國. 學. Hackl and Ledolter (1992) 為防止管制圖受離群值影響，對於單一觀測值提出逐次排序，研究結果顯示，當分配為非常態且製程的變異型態能以線性趨勢模型表示時，效. ‧. 果將優於 Shewhart 管制圖，但當製程的變異型態為微量瞬間跳動時，則效果較差；. y. Nat. Amin and Searcy (1991) 根據 WSR 為基礎，研究結果顯示當製程為厚尾分配時，能. n. er. io. al. sit. 有效提升製程微小變動之偵測能力。. 第二節指數加權移動平均管制圖 C. hengchi. i n U. v. Roberts (1959) 提出指數加權移動平均 (EWMA) 管制圖，經過模擬評估其特性，指出此種管制圖在製程發生微小偏移時，相較於 Shewhart 管制圖有較佳的偵測能力，且在某些預測與監控應用方面有許多最佳的特性，其特點為操作簡單且效果良好，其管制統計量定義如下：. Zk = λ Xk + (1 − λ) Zk−1. k = 1, 2, · · ·. 其中，參數 λ 為加權常數，滿足 0 < λ < 1 的條件，當 λ 越大時，表示管制統計量. 4.

(13) 受到目前資料的影響越大，Xk 為第 k 期樣本統計量。管制統計量 Zk 亦可表示為 Zk = λ Xk + (1 − λ) Zk−1 = λ Xk + (1 − λ) (λ Xk−1 + (1 − λ) Zk−2 ) = λ. k−1 X. (1 − λ)j Xk−j + (1 − λ)k Z0. (2.1). j=0. 根據式子 (2.1) 可得知，EWMA 管制統計量為過去樣本統計量與目前樣本統計量之加權平均值，若時間離現在越遠表示該筆資料對現況的影響越小，權數呈現幾何遞減的形式。當加權常數 λ = 1 時，則 EWMA 管制圖即為 Shewhart 管制圖；λ 趨近於 0 時，性質與 CUSUM 管制圖相似。Crowder (1987) 和 Lucas and Saccucci (1990) 指出，當 λ 較大時，則對於製程大幅偏移能有效偵測出，反之對於微小偏移之偵測能. 治政力較佳，一般而言，當 0.05 ≤ λ ≤ 0.25 時，EWMA 大管制圖的偵測能力會很好。起立始值 Z 通常設為製程目標值 µ ，有時原始資料的平均數會被用來當作起始值，也就 0. 0. ‧ 國. 學. 是 Z0 = X，在此設 Z0 = µ0 。假設觀測值 X1 , X2 , · · · , Xk 為相互獨立且分配相同的. µZk = µ0 . λ 2−λ. . 2k. 1 − (1 − λ). . (2.2). io. sit. =. 2 σX. er. Nat. σZ2 k. y. ‧. 2 ，則 EWMA 管制統計量 Zk 的參數為隨機變數，其期望值為 µ0 ，變異數為 σX. 當製程經由一段時間 k → ∞，依據上述式子 (2.2) 得知管制統計量變異收斂至定值，. n. al. i n Ch 其 λ 越大收斂速度越快，因此可得漸近變異數為 e ng c hi U. v. λ 2−λ. 2 σZ2 = σX. 則 EWMA 管制圖之架構為 r U CL = µ0 + L σX. λ 2−λ (2.3). CL = µ0 r LCL = µ0 − L σX. λ 2−λ. 其中，L 為管制界限之因子。由於製程可能在前期即為失控狀態，為提升傳統 EWMA 管制圖在製程初期的監控能力，Lucas and Saccucci (1990) 將快速起始反應特性應用於 EWMA 管制圖 5.

(14) 中，作法為同時使用兩個單邊 X–EWMA 管制圖進行監控，而其初始值即介於目標值及管制界限之間，用以改善管制圖對於製程初期異常的敏感度，結果顯示當 λ ≤ 0.25 時，會有較佳的表現。無母數管制圖相關文獻中，大多探討此方法對於提升製程初期偵測能力之效果，例如 Amin and Searcy (1991) 文中提及快速起始反應對於 WSR–EWMA 管制圖的影響。再者，最早由 Montgomery (1991) 提出若 EWMA 統計量變異隨時間變動時，建議管制界限亦需隨著變動，否則將會影響 EWMA 管制圖在偵測製程偏移上的表現，其變動管制界限形式為 r λ U CLk = µ0 + L σX (1 − (1 − λ)2k ) 2−λ (2.4). CL = µ0 λ 政 2治 (1 − (1 − λ) 大 −λ r. LCLk = µ0 − L σX. 立. 2k ). 其後，Chandrasekaran et al. (1995) 、 Rhoads et al. (1996) 和 Steiner (1999) 提出. ‧ 國. 學. 不同調整管制界限方法，使 EWMA 管制圖具備快速起始反應之效果。其中，Steiner. ‧. (1999) 指出在固定參數 L 之下，採用漸近管制界限 (2.3) 或變動管制界限 (2.4)，會影響管制圖對於製程初期的偵測能力，而影響程度視 λ 決定，當 λ 越大則變動管制界. y. Nat. n. al. 第三節平均連串長度. Ch. engchi. er. io. 有效提升管制圖對於製程初期異常之偵測能力。. sit. 限越快逼近漸近管制界限，因此兩者之間偵測能力差異不大；反之，變動管制界限可. i n U. v. 平均連串長度 (average run length, ARL) 是一種評估管制圖績效的方法，其意義為直到管制統計量第一次超出管制界限平均所需的抽樣次數，有些學者建議觀察連串長度之分配或其他資訊 (例如：變異數)。當製程為穩定狀態時，平均連串長度越大越好，表示假警報率較低；反之，製程為失控狀態時，則希望透過管制圖儘早偵測出製程的變動，則平均連串長度越小越好。比較不同管制圖性能優劣時，通常使得製程在穩定狀態下的平均連串長度相同，再比較失控狀態下的平均連串長度，越小則表示管制圖性質越好。由於 EWMA 統計量彼此之間不獨立，計算並不容易，除蒙地卡羅模擬外，常見以下幾種計算方式：Robinson and Ho (1978) 將 EWMA 管制統計量 6.

(15) 表示成一階自迴歸模型，利用 Edgeworth 級數近似其條件機率密度函數，進而求出平均連串長度，然而計算方面較為困難，在於必須多次利用 Edgeworth 級數求條件機率之近似值。Crowder (1987) 提出數值方法計算 EWMA 管制圖之平均連串長度，形式如下： 1 L(µ) = 1 + λ. Z. h. L(y)f. −h. y − (1 − λ)u λ. dy. 其中 h 為管制界限，u 是起始值，此為第二類 Fredholm 積分方程式，其結果與 Robinson and Ho (1978) 所得之結果大致無異。在此由於 Wilcoxon 符號排序統計量為離散型變數，因此參考 Borror et al. (1998) 利用馬可夫鏈求得 Poisson EWMA 管制圖的平均連串長度，最早由 Lucas and Saccucci (1990) 提出利用馬可夫鏈觀念，. 政治大進一步考慮管制界限隨時間變動，故本研究採用非齊一性馬可夫鏈 (non–homogenous 立. 將 EWMA 管制統計量視為連續狀態之馬可夫鏈求得連串長度分配，Steiner (1999). Markov chain) 方法計算平均連串長度。. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 7. i n U. v.

(16) 第三章研究方法此章節首先介紹 Wilcoxon 符號排序統計量及製程管制統計量，並以固定管制界限建構 EWMA 管制圖，以下簡稱 WSR–EWMA 管制圖。接續，為提升製程初期之偵測能力，因而考慮管制界限隨時間變動，並定義本研究變動管制界限之形式，進而建構 EWMA 管制圖，以下簡稱 WSR–TEWMA 管制圖，並利用非齊一性馬可夫鏈與蒙地卡羅模擬計算其平均連串長度。. 政治大. 第一節 WSR–EWMA. 立. ‧ 國. 學. 本節中複習已有的 WSR–EWMA 管制圖，Amin and Searcy (1991) 乃利用. i = 1, 2, · · · ，為第 i 組 N. y. Nat. 移。首先介紹 WSR 統計量，假設 Xi1 , Xi2 , · · · , XiN ,. ‧. Wilcoxon 符號檢定統計量執行 EWMA 管制程序，用以監控製程中位數是否發生偏. n. al. H0 : θ = θ0. Ch. i n U. vs H1 : θ 6= θ0. v. e n gj =c 1,h2,i · · · , N. Uij = sij Rij ,. sij =. er. io. sit. 個相互獨立樣本，抽自分配對稱於中位數 θ 之母體，欲檢定 θ = θ0.    1, if xij > θ0   0, if xij < θ0. 其中，Rij 為 |Xij | 在第 i 組樣本中的排序， Wi =. N X. Uij. i = 1, 2, · · · ,. j=1. N (N + 1) Wi ∈ 0, 1, · · · , 2. Wilcoxon (1945) 指出此方法能用於檢定分配是否對稱於某特定值 θ0 ，若是 θ > θ0 則 Wi 會有較大值，Bakir and Reynolds (1979) 將此概念運用於監控製程中位數是否發生偏移，其作法乃假設製程在穩定狀態之下，為對稱於 θ0 之分配。因此，當 8.

(17) 製程為穩定狀態時，基於 Ui∗ = (Ui1 , Ui2 , · · · , UiN ) 所有可能的排序發生機率皆為 1/(N ! 2N )，故能快速計算出 Wi 的機率分佈，進而建構稍後本研究所提出的變動管制界限；當製程為失控狀態時 (θ 6= θ0 )，則 Wi 機率分佈可利用 Arnold (1965) 所提出之計算方法 (附錄甲)，經由複合辛普森規則 (composite Simpson’s rule) 求得 P (Wi = w)，此近似方法計算簡便且效果良好，以常態分配為例，假設 N = 3 且最後一層分割數設為 100，則近似誤差 < 10−3 且其誤差隨樣本數增加而遞減。 EWMA 管制程序隨時間變動給予 W1 , W2 , · · · 不同權重，其管制統計量定義如下： Zk. k−1 X = λ (1 − λ)j Wk−j + (1 − λ)k Z0 j=0. 政治大. 其中，參數 λ 為加權常數。假設在製程穩定下亦即為製程分配對稱於 θ0 時，則 Wk. 立. 2 = N (N + 1)(2N + 1)/24，因此本文的期望值為 µW = N (N + 1)/4，變異數為 σW. ‧ 國. 學. 將起始值 Z0 設定為 N (N + 1)/4，當製程經由一段時間 k → ∞，依據式子 (2.2) 得知 Z 的期望值與變異數為. ‧. N (N + 1) 4 λ 2 = σW 2−λ. sit. Nat. σZ2. y. µZ =. n. al. er. io. Amin and Searcy (1991) 所提出 WSR–EWMA 管制圖，其管制界限於該文章中乃採用漸近管制界限，形式如下：. Ch. e n g c hri. i n U. v. λ 2−λ r λ − L σW 2−λ. U CL = µW + L σW LCL = µW. 根據上述方法，一般而言，當製程為厚尾分配時，WSR–EWMA 管制圖對於製程微小變動之偵測能力較傳統 X–EWMA 管制圖佳，本研究進一步探討管制界限伴隨時間變動，對於改善 WSR–EWMA 管制圖在製程初期偵測能力的效果。. 9.

(18) 第二節 WSR–TEWMA 根據 Steiner (1999) 指出 X–EWMA 管制圖之管制界限伴隨時間變動，具備類似於快速起始反應之效果，本研究欲建構具相同性質的 WSR–TEWMA 管制圖，然而變動管制界限定義方式並非依據式子 (2.4)，在此為各期管制統計量分配的 α/2 和 1 − α/2 分位數，其想法乃參考：MacGregor and Harris (1993) 所提出，利用指數加權均方 (exponentially weighted mean squared, EWMS) 管制圖監控製程變異數是否發生變動，則其管制界限為管制統計量之極限分配的 α/2 和 1 − α/2 分位數。當樣本數 N 較大時，則 W 近似於常態分配，亦可推論 Zk 為近似常態分配，則. 政治大 r. 變動管制界限較為容易計算，形式如下：. 立. λ (1 − (1 − λ)2k ) 2−λ. 學. ‧ 國. U CLk = µW + L σW CL = µW r. λ (1 − (1 − λ)2k ) 2−λ. ‧. LCLk = µW − L σW. n. al. er. io. sit. y. Nat. α 其中，L 為 Φ−1 1 − ，Φ 為 N(0,1) 之累積分佈函數 (cumulative distribution 2 function, CDF)。. Ch. i n U. v. 然而，實務上基於考量抽樣與測試的成本，因此每次抽樣樣本數較少，且 Zk 屬. engchi. 有界變數，故認為利用近似常態求其變動管制界限並不恰當。在此假設製程為穩定狀態，以 N = 4 、 λ = 0.2 之下，第 4 期管制統計量 Z4 之累積分佈函數為例，圖 3.1a 為以常態近似與實際的累積分佈函數，觀察兩者累積分佈函數部份範圍之間差距 (圖 3.1b)，圖形顯示以常態近似 Z4 的機率分佈與實際情形相比具有厚尾性質，因此若管制界限取各期管制統計量分佈的 0.005 和 0.995 分位數時，則近似常態分配所得的管制範圍較實際寬 (圖 3.1c)，故可能高估製程失控下之平均連串長度，使得製程監測能力降低，因此本文改採用傅立葉級數 (Fourier series) 近似 Zk 之累積分佈函數，進而求得變動管制上下界限。. 10.

(19) N=4, λ=0.2, time=4 part of cumulative probability. 1.0. 0.010. N=4, λ=0.2, time=4 cumulative probability. 0.006. 0.008. true Normal. 0.002. 0.004. cumulative probability. 0.6 0.4 0.0. 0.000. 0.2. cumulative probability. 0.8. true Normal. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.2. 2.4. 2.6. Z4. (a) 累積分佈函數. 3.2. 政治大 N=4, λ=0.2, α=0.01. 6. 7. 學. 5. true asymptotic Normal. Nat. io. n. al. er. 3. sit. y. 4. ‧. control limits. 3.0. (b) 累積分佈函數之部分範圍. 立. ‧ 國. 2.8. Z4. 1. Ch 2. 3. 4. 5. engchi time. i n U 6. v 7. (c) 變動管制界限. 圖 3.1: 常態近似 (N = 4, λ = 0.2, α = 0.01) 傅立葉級數基本想法為任何分段平滑的函數 f 皆能展開成三角函數的加總，假設 f 為定義在區間 [−π, π] 的 2π 週期函數，傅立葉級數形式如下： f (x) ∼ a0 +. ∞ X. (an cos(nx) + bn sin(nx)). (3.1). n=1. Cencov (1962) 首先提出利用傅立葉級數估計機率密度函數，此方法常運用於估計無母數機率密度。本篇文章欲利用特徵函數 (characteristic function) 求出傅立葉級數各項係數，用以近似製程穩定下 Zk 的累積分佈函數，進而求得變動管制界限。 11.

(20) 假設 X 是實數隨機變數，其累積分佈函數 FX ，則 X 的特徵函數 φX ，定義為： φX (t) = E(eit X ) Z ∞ eitx dFX (x) = −∞ Z Z ∞ cos(tx) dFX (x) + i =. ∞. sin(tx) dFX (x). −∞. −∞. 由於各期 WSR 統計量 W1 , W2 , · · · , Wk 為 iid 且分配已知情況下，故可計算出 Zk 的特性函數 φZk ，公式如下： φZk (t) = E eit Zk. . = E eit (λWk +(1−λ)Zk−1 ) = E. exp it. 立. . 政治大. k−1 X λ (1 − λ)j Wk−j + (1 − λ)k Z0. !!!. j=0. k. ‧ 國. φW (itλ(1 − λ)j ). 學. = exp it (1 − λ) Z0. Y k−1 j=0. ‧. Zk 範圍為 (Lk , Uk )，其中 φW 為 Wk 的特徵函數。當 k → ∞ 時，Zk 的分配會收斂到一隨機變數 Z 之分配，令 fZ 為此極限分配之機率密度函數 (probability density. y. Nat. al. n. an cos. n=1. 其中係數為. ∞ nπ nπ X s + bn sin s , l l n=1. Ch. er. ∞ X. io. fZ (s) ∼ a0 +. sit. function)，將式子 (3.1) 經變數變換後，得到 fZ 傅立葉級數形式如下：. n engchi U. iv. s ∈ (L, U ). U −L 2 Z U 1 a0 = fZ (s) ds 2l L Z nπ nπ 1 U an = cos s fZ (s) ds = Re φZ l L l l Z U 1 nπ nπ bn = sin s fZ (s) ds = Im φZ l L l l l =. φZ 為 Z 的特徵函數，L = lim Lk 、 U = lim Uk 。 k→∞. k→∞. 12.

(21) 在此假設 fZ 為平方可積函數，即為 U. Z.

(22)

(23)

(24) fZ (t)

(25) 2 dt < ∞. L. 根據逐項積分性質，進而求出 Z 之累積分佈函數的傅立葉級數形式，證明亦具收斂性質 (附錄乙) Z. s. fZ (t) dt. ψZ (s) = L. ∞ X. nπ l nπ sin s − sin L nπ l l n=1 ∞ nπ X l nπ + bn cos L − cos s , s ∈ (L, U ) nπ l l n=1. = a0 (s − L) +. an. 政治大. 因此當 k → ∞ 時，則 Zk 之累積分佈函數的傅立葉級數形式即為 ∞ X lk nπ nπ ψZk (s) ≈ a0 (s − Lk ) + an s − sin Lk sin nπ lk lk n=1 ∞ X lk nπ nπ bn + Lk − cos s , s ∈ (Lk , Uk ) cos nπ l l k k n=1. 立. Nat. n. al. Ch. engchi. sit. y. lk =. er. io. Uk − Lk 2 Z Uk 1 a0 = fZk (s) ds 2 lk Lk nπ an = Re φZk lk nπ bn = Im φZk lk. ‧. ‧ 國. 學. 其中係數為. i n U. v. φZk 為第 k 期管制統計量 Zk 的特徵函數。根據上述方法近似各期之累積分佈函數，即可求出 WSR–TEWMA 管制圖各期管制界限，形式如下： α U CLk = ψZ−1k 1 − 2 α LCLk = ψZ−1k 2 U CLk 和 LCLk 隨 k 增加而收斂至漸近管制界限，其收斂速度依據 λ 決定，λ 越小則收斂越慢。. 13.

(26) N=4, λ=0.2, time=4 part of cumulative probability. 1.0. 0.010. N=4, λ=0.2, time=4 cumulative probability. 0.006. 0.008. true Fourier. 0.002. 0.004. cumulative probability. 0.6 0.4 0.0. 0.000. 0.2. cumulative probability. 0.8. true Fourier. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 2.2. 2.4. 2.6. Z4. (a) 累積分佈函數. 3.2. 政治大 N=4, λ=0.2, α=0.01. 6. 7. 學. 5. true asymptotic Fourier. Nat. io. n. al. er. 3. sit. y. 4. ‧. control limits. 3.0. (b) 累積分佈函數之部分範圍. 立. ‧ 國. 2.8. Z4. 1. Ch 2. 3. 4. 5. engchi time. i n U 6. v 7. (c) 變動管制界限. 圖 3.2: 傅立葉級數近似 (N = 4, λ = 0.2, α = 0.01). 本文欲利用有限項傅立葉級數近似 Zk 之累積分佈函數，依據 Tarter (1976) 文中提到，對於大部分機率密度函數而言，所對應的傅立葉級數收斂很快，因此不需要高階的展開項，在此展開項數 M 所設條件為滿足 M > 20 且 |aM | 、 |bM | < 10−6 的最小值。圖 3.2a 為實際累積分佈函數與根據上述近似方法求得之累積分佈函數，藉由觀察其部分範圍 (圖 3.2b) 可看出兩者差異甚小，比較利用常態與有限項傅立葉級數近似實際累積分佈函數之部分值 (圖 3.3)，可看出傅立葉級數近似效果較好，因此. 14.

(27) 0.010. N=4, λ=0.2, time=4 part of cumulative probability. 0.000. 0.002. 0.004. 0.006. cumulative probability. 0.008. true Normal Fourier. 2.2. 2.4. 2.6. 2.8. 3.0. 3.2. Z4. 圖 3.3: 比較傅立葉級數及常態近似 CDF 之部分範圍. 政治大. 立. 有限項傅立葉級數近似方法能更精確求得管制界限 (圖 3.2c). ‧ 國. 學. 第三節計算平均連串長度. ‧. Nat. sit. y. 依據上述方法求得變動管制界限加以監控製程，由於管制界限隨著時間改變. n. al. er. io. 且 EWMA 管制統計量 Z1 , Z2 , · · · 彼此間並非獨立，因此計算上較不容易。Steiner. v. (1999) 利用非齊一馬可夫鏈計算平均連串長度，將各期管制界限 (Lk , Uk ) 區域等分. Ch. engchi. i n U. g − 1 個不同區間，進而取組中點為管制狀態，則各期製程在穩定狀態下的可能值為 sk = (sk1 , sk2 , · · · , skg−1 ) = (Lk + wk , Lk + 3wk , · · · , Uk − 3wk , Uk − wk ) 其中 wk =. Uk −Lk ，製程為失控狀態 2(g−1). skg 即該期管制界限外區域。分割數越大近似效果. 越好，在此為求運算方便，因此將狀態數 g 設為偶數，且當 g = 102 近似效果已相當良好。. 15.

(28) 假設期數為 k 時，其機率移轉矩陣可表示為：  k P11 k P12 · · ·  ..  . k P21  Pk =  ..  ... .   ··· k Pg1.  k P1g .   P k 2g   ..  .    k Pgg. . . (I − Rk )1  Rk =   0, · · · , 0 1 其中 I 為 (g − 1) × (g − 1) 單位矩陣，1 為 (1, 1, · · · , 1)(g−1)×1 ，k Pij 所表示意義為. 政治大. 第 k − 1 期的狀態為 s(k−1)i ，而第 k 期落於 skj 狀態範圍內之單階移轉機率，即為 k Pij. 立. ≈ P (skj − wk ≤ Zk ≤ skj + wk | Zk−1 = s(k−1)i ). ‧ 國. 學. = P (skj − wk ≤ λ Wk + (1 − λ) Zk−1 ≤ skj + wk | Zk−1 = s(k−1)i ). ‧. = P (skj − wk ≤ λ Wk + (1 − λ) s(k−1)i ≤ skj + wk ) skj + wk − (1 − λ) s(k−1)i skj − wk − (1 − λ) s(k−1)i ≤ Wk ≤ = P λ λ. y. Nat. sit. 由於 k → ∞ 時，變動管制界限會逼近於漸近管制界限，因此 k Pij 會收斂於. ∞ Pij. 且. n. al. er. io. Rk 亦收斂至 R∞ ，在此僅考慮給定起始值 Z0 情況下，則起始機率狀態機率 P0 定義. i n U. v. 成 1 × (g − 1) 矩陣形式，例如：假設 Z0 = ski ，即表示 P (Z0 = ski ) = 1 而其它狀. Ch. engchi. 態發生機率為 0，則 P0 = (0, · · · , 1, · · · , 0)。給定起始狀態後，製程至第 k 期仍顯示 Q 為穩定狀態之機率 P (RL > k) = P0 ks=1 Rs 1，由於連串長度為非負隨機變數，因此平均連串長度計算式如下： ∞ X ARL = P (RL > t) t=0. ≈ 1+. kmax X−1. P (RL > t) + P (RL > kmax − 1). t=0. p 1−p. . P (RL > k) k→∞ P (RL > k − 1). p = lim 矩陣形式為： ARL = 1 +. kmax X−1 t=1. P0. t Y. ! Rs 1. s=1. + P0. kY max s=1. 16. ! Rs. (I − R∞ )−1 1.

(29) 1400. Sample size=6, ARL's for various values of λ and α with In−control. 0. 200. 400. 600. ARL0. 800. 1000. 1200. 0.05 0.2 0.4 0.5 0.7. 0.00. 0.02. 0.04. 0.06. 0.08. 0.10. α. 圖 3.4: 不同 λ 和 α 下，製程穩定下平均連串長度 (N = 6). 立. 政治大. 因此當 kmax 越大時，則移轉機率矩陣為固定 Rkmax ≈ R∞ ，表示後期管制界限為固. ‧ 國. 學. 定界限。因此，本文決定 kmax 所設條件為滿足下列其中一項：. ‧.

(30)

(31) 1.

(32) P (RL > kmax |RL > kmax − 1) − P (RL > kmax + 1|RL > kmax )

(33) < 10−3. sit. io. n. er. 2. P (RL > kmax ) = 0。. al. y. Nat. 且第 kmax 和 kmax + 1 期管制界限相差小於 10−3. Ch. engchi. i n U. v. 利用上述非齊一馬可夫鏈方法，可快速求得平均連串長度，為觀察其近似效果，本文另以蒙地卡羅模擬方法計算並使用於文章中，其模擬步驟如下：. 1. 給定偏移量 δ 及令起始值 Z0 =. N (N + 1) 4. 2. 生成 Wk 並計算 Zk = λ Wk + (1 − λ) Zk−1 3. 若 Zk 落於該期管制界限外，則令連串長度為 k 並停止計算，反之 k = k + 1 回到步驟 2 4. 重複模擬，計算平均連串長度及其標準誤. 17.

(34) 於各種情況下分別重覆至少 107 次試驗。比較非齊一馬可夫鏈方法與模擬兩種方式所計算的平均連串長度，在此以模擬為基準，當製程發生微小偏移時，相差最多 1 ∼ 2 個長度，若製程為穩定狀態時，則以馬可夫鏈計算之平均連串長度值較大，相差最多 5%。 √ √ 本文考慮在常態分佈 N(0,1)、均勻分佈 U(− 3, 3) 和雙指數分佈 Dexp(0,1)，3 種對稱分配且變異為 1 的母體分佈下，探討變動管制界限之效果。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 18. i n U. v.

(35) 第四章分析與比較此章中，欲探討 WSR–TEWMA 管制圖對於加強製程初期偵測能力之效果，首先假設製程為常態分配 N(0,1)，進行模擬並觀察連串長度機率分佈之差異，當製程為穩定狀態時 (圖 4.1a)，管制統計量在製程以 WSR–TEWMA 管制圖監控之下，於製程前期即超出管制界限的機率較大，而兩者連串長度較大的機率相差無幾，由於製程穩定狀態下之平均連串長度預期較大，因此認為連串長度前期分佈的差別對於平均. 政治大管制圖監控之下，於製程前期超出管制界限的機率甚大，而後期超出管制界限的機率立. 值影響不大；當製程在失控狀態下 (圖 4.1b)，管制統計量在製程以 WSR–TEWMA. ‧ 國. 學. 較小，且製程失控下之平均連串長度預期較小，相較之下，認為連串長度前期分佈的差別對於平均值影響較大。因此根據上述觀察結果顯示，在給定相同條件下，當製程. ‧. 為穩定狀態時，則 WSR–TEWMA 管制圖於前期判斷錯誤機率略高但並不明顯；反. y. Nat. 之，製程在失控狀態下，能明顯看出對於製程初期之偵測能力有明顯提升，其效果. er. io. sit. 依據 λ 有所不同。而 WSR–TEWMA 管制圖其參數設定包含 λ 和 α，不論設定為何，當時間增加則變動管制界限皆會逼近漸近管制界限，因此製程經過一段時間後. n. al. Ch. i n U. v. 兩者連串長度特性相似。以下討論製程為不同對稱分配時，考慮不同樣本數及變動. engchi. 參數設定下，觀察 WSR–TEWMA 管制圖縮減平均連串長度的效果，其做法為調整管制界限因子 L，使得 WSR–EWMA 管制圖在製程穩定狀態下之平均連串長度與 WSR–TEWMA 管制圖的相同，再比較製程在失控狀態下的平均連串長度。首先，考慮固定 λ = 0.2 、 α = 0.01 且不同樣本數的情況下，結果可由表 4.1 得知，不同樣本數在製程穩定下的平均連串長度大致相同，若製程為失控狀態時，不論偏移程度，其平均連串長度皆隨樣本數增加而減少，表示樣本數越大偵測能力越好。觀察 WSR–TEWMA 管制圖對於提升製程偵測能力之效果，在 λ = 0.2 情況下，不論樣本數大小，若製程為失控狀態，則變動管制界限約能縮減 1 次抽樣，若以成效觀點而言，當樣本數越大時，變動管制界限對於提升製程初期偵測能力之效果越佳。 19.

(36) N=6, λ=0.05, α=0.05, δ=0.5. 0.10. SR−EWMA SR−TEWMA. 0.05. 0.02. probability. SR−EWMA SR−TEWMA. 0.00. 0.00. 0.01. probability. 0.03. 0.15. 0.04. 0.20. N=6, λ=0.05, α=0.05, δ=0. 0. 50. 100. 150. 200. 5. 10. run length. (a) 製程穩定狀態下(δ = 0). 圖 4.1:. 15. 20. run length. (b) 製程失控狀態下 (δ = 0.5). 政治大常態分配 N(0,1) 下，漸近管制界限與變動管制界限連串長度分佈比較立. (N = 6, λ = 0.05, α = 0.05). ‧ 國. 學. 接著觀察固定 N = 6 、 α = 0.01 且不同 λ 的情況下， WSR–TEWMA 管制圖. ‧. 對於縮減平均連串長度的效果，結果如表 4.3。當 λ > 0.2 時，是否採用變動管制界. sit. y. Nat. 限所得到的平均連串長度沒有明顯差異。λ = 0.2，則在不同偏移程度下皆能縮減 1 次. er. io. 抽樣，就提升偵測能力而言，對於微小偏移效果不明顯，然而當偏移幅度較大時，表. al. n. iv n C h e n g c h i U5 次，提升偵測能力 26%，且大，在微小偏移 δ = 0.25 情況下，能使抽樣次數縮減. 示能更快速偵測出製程變動。顯而易見的，兩者平均連串長度於 λ = 0.05 時，差異甚. 隨製程偏移程度越大 WSR–TEWMA 管制圖提升偵測能力之效果越明顯，當製程失控偏移幅度至 2 以上時，變動管制界限能在 1 至 2 次抽樣後即偵測出，大幅提升製程監控能力。因此隨 λ 越小，是否採用變動管制界限所得到的平均連串長度差異越大，即 WSR–TEWMA 管制圖對於製程初期異常之偵測能力越好。再者，針對 N = 6 、 λ = 0.05 且設定不同分位數下，觀察縮減程度。不論 α 設定為何，在製程發生微小偏移的情況下，其變動管制界限約能縮減 5 次抽樣，且當發生大幅偏移時，皆能在 1 至 2 次抽樣後即偵測出製程為失控狀態，由於 α 越大而管制界限越窄，則平均連串長度亦隨之變小，採用變動管制界限相對成效越好。. 20.

(37) 假設製程分別為均勻或雙指數分配，由表 4.4 、 4.5 可得到類似於常態分配假設下的結果，即 WSR–TEWMA 管制圖在 N = 6 、 α = 0.01 且 λ = 0.05 情況下，當製程發生微小偏移時，相較於 WSR–EWMA 管制圖能縮減 4 至 6 次抽樣即偵測出製程為失控狀態。比較 3 種分配相同參數設定下的平均連串長度差異，一般而言，製程在穩定狀態下的平均連串長度皆會相同，而製程發生不同偏移程度時，雙指數分配下的平均連串長度皆為最小，其次為常態分配，因此 WSR–TEWMA 在雙指數分配下，對於提升製程初期偵測能力的效果最好。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 21. i n U. v.

(38) 表 4.1: 常態分配 N(0,1) 下，N = 4, 6, 10 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (λ = 0.2, α = 0.01) N =4. N =6. N = 10. 固定界限. 變動界限. 固定界限. 變動界限. 固定界限. 變動界限. (2.723 , 7.277). Ik (α)a. (6.5 , 14.5). Ik (α). (19.21 , 35.79). Ik (α). 0.00. 168.26(0.43)b. 168.02(0.54). 167.25(0.45). 168.29(0.53). 166.75(0.56). 166.06(0.55). 0.25. 29.37(0.09). 28.24(0.08). 20.28(0.04). 19.28(0.05). 12.86(0.02). 11.68(0.03). 0.50. 9.87(0.02). 8.90(0.02). 7.07(0.01). 6.13(0.01). 4.84(0.00). 3.78(0.01). 1.00. 4.44(0.01). 3.52(0.00). 3.52(0.00). 2.61(0.00). 2.55(0.00). 1.54(0.00). 2.00. 3.12(0.00). 2.17(0.00). 2.00(0.00). 1.01(0.00). 3.00. 3.01(0.00). 2.00(0.00). 1.00(0.00). shift(δ). 治 2.00(0.00) 政 3.00(0.00) 大 2.01(0.00) 3.00(0.00) 2.00(0.00) 立 ‧. ‧ 國. 學. 以下註解適用於其餘表格 α α α −1 α −1 a Ik (α) = ψZ ( ) , ψ (1 − ) 代表變動管制上下界限，為各期分配的及 1 − 分位數 Z k k 2 2 2 2 b 平均連串長度值，括弧內為其標準誤. sit. y. Nat. n. al. er. io. 表 4.2: 常態分配 N(0,1) 下，α = 0.01, 0.005, 0.0025 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (N = 6, λ = 0.05). Ch. α = 0.0025. i n U. v. e n g c hα =i 0.005. α = 0.01. 固定界限. 變動界限. 固定界限. 變動界限. 固定界限. 變動界限. (8.221 , 12.779). Ik (α). (8.387 , 12.613). Ik (α). (8.57 , 12.43). Ik (α). 0.00. 1391.37(0.61). 1392.06(0.00). 758.69(0.55). 757.63(0.82). 411.38(0.49). 411.89(0.56). 0.25. 30.85(0.04). 25.32(0.07). 26.91(0.04). 21.42(0.04). 23.14(0.04). 17.87(0.04). 0.50. 12.36(0.01). 7.59(0.02). 11.25(0.01). 6.68(0.01). 10.08(0.01). 5.82(0.01). 1.00. 6.75(0.00). 2.63(0.00). 6.22(0.00). 2.38(0.00). 5.67(0.00). 2.18(0.00). 2.00. 5.10(0.00). 1.17(0.00). 5.01(0.00). 1.14(0.00). 4.42(0.00). 1.13(0.00). 3.00. 5.00(0.00). 1.01(0.00). 5.00(0.00). 1.01(0.00). 4.03(0.00). 1.01(0.00). shift(δ). 22.

(39) 表 4.3: 常態分配 N(0,1)下，λ = 0.05, 0.2, 0.5, 0.7 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (N = 6, α = 0.01) λ = 0.05. λ = 0.2. 固定界限. 變動界限. 固定界限. 變動界限. shift(δ). (8.57 , 12.43). Ik (α). (6.5 , 14.5). Ik (α). 0.00. 411.52(0.30). 411.89(0.56). 167.28(0.58). 168.02(0.53). 0.25. 23.14(0.05). 17.87(0.04). 20.3(0.06). 19.28(0.05). 0.50. 10.09(0.01). 5.82(0.01). 6.13(0.01). 1.00. 5.67(0.00). 7.07(0.01) 治政大 2.18(0.00) 3.52(0.00). 2.00. 4.42(0.00). 1.13(0.00). 3.00(0.00). 2.00(0.00). 1.01(0.00). 3.00(0.00). 2.00(0.00). ‧. ‧ 國. 4.03(0.00). 學. 3.00. 立. 2.61(0.00). λ = 0.5. λ = 0.7 固定界限. shift(δ). (3.83 , 17.17). Ik (α). (2.32 , 18.68). 0.00. 113.66(0.35). 113.83(0.36). 106.38(0.35). 105.18(0.33). 0.25. 25.75(0.07). i e n g c h 31.47(0.12). 31.22(0.09). 0.50. sit. 變動界限 Ik (α). n. er. io. al. y. 變動界限. Nat. 固定界限. v. 25.62(0.07). i n U. 7.58(0.02). 7.46(0.02). 9.26(0.02). 9.18(0.02). 1.00. 2.85(0.00). 2.77(0.00). 3.00(0.00). 2.94(0.00). 2.00. 2.02(0.00). 2.01(0.00). 2.03(0.00). 2.01(0.00). 3.00. 2.00(0.00). 2.00(0.00). 2.00(0.00). 2.00(0.00). Ch. 23.

(40) √ √ 表 4.4: 均勻分配 U(− 3, 3) 下，λ = 0.05, 0.2, 0.5, 0.7 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (N = 6, α = 0.01 ) λ = 0.05. λ = 0.2. 固定界限. 變動界限. 固定界限. 變動界限. shift(δ). (8.57 , 12.43). Ik (α). (6.5 , 14.5). Ik (α). 0.00. 411.30(0.26). 411.77(0.32). 167.43(0.4). 168.05(0.65). 0.25. 26.20(0.04). 20.87(0.03). 23.89(0.08). 22.86(0.01). 0.50. 11.37(0.02). 7.02(0.01). 7.33(0.01). 1.00. 6.03(0.00). 8.26(0.01) 治政大 2.54(0.00) 3.76(0.00). 2.00. 4.00(0.00). 1.00(0.00). 3.00(0.00). 2.00(0.00). 1.00(0.00). 3.00(0.00). 2.00(0.00). ‧. ‧ 國. 4.00(0.00). 學. 3.00. 立. 2.83(0.00). λ = 0.5. λ = 0.7 固定界限. shift(δ). (3.83 , 17.17). Ik (α). (2.32 , 18.68). 0.00. 113.56(0.37). 113.86(0.35). 106.3(0.23). 105.27(0.24). 0.25. 32.30(0.08). i e n g c h 40.75(0.17). 40.38(0.14). 0.50. sit. 變動界限 Ik (α). n. er. io. al. y. 變動界限. Nat. 固定界限. v. 32.20(0.05). i n U. 9.76(0.02). 9.64(0.02). 13.08(0.05). 12.95(0.05). 1.00. 3.18(0.00). 3.08(0.00). 3.49(0.00). 3.43(0.01). 2.00. 2.00(0.00). 2.00(0.00). 2.00(0.00). 2.00(0.00). 3.00. 2.00(0.00). 2.00(0.00). 2.00(0.00). 2.00(0.00). Ch. 24.

(41) 表 4.5: 雙指數分配 Dexp(0,1) 下，λ = 0.05, 0.2, 0.5, 0.7 雙邊 EWMA 之平均連串長度 (N = 6, α = 0.01) λ = 0.05. λ = 0.2. 固定界限. 變動界限. 固定界限. 變動界限. shift(δ). (8.57 , 12.43). Ik (α). (6.5 , 14.5). Ik (α). 0.00. 411.52(0.30). 411.77(0.46). 167.24(0.58). 168.05(0.51). 0.25. 16.69(0.04). 11.68(0.03). 13.39(0.03). 12.39(0.03). 0.50. 8.39(0.01). 4.30(0.01). 4.69(0.01). 1.00. 5.46(0.00). 5.61(0.00) 治政大 1.94(0.00) 3.41(0.00). 2.00. 4.52(0.00). 1.18(0.00). 3.01(0.00). 2.03(0.00). 1.04(0.00). 3.00(0.00). 2.00(0.00). ‧. ‧ 國. 4.16(0.00). 學. 3.00. 立. 2.50(0.00). λ = 0.5. λ = 0.7 固定界限. shift(δ). (3.83 , 17.17). Ik (α). (2.32 , 18.68). 0.00. 113.79(0.28). 113.83(0.39). 106.35(0.29). 105.17(0.32). 0.25. 15.76(0.03). i e n g c h 18.62(0.04). 18.47(0.05). 0.50. sit. 變動界限 Ik (α). n. er. io. al. y. 變動界限. Nat. 固定界限. v. 15.65(0.05). i n U. 5.38(0.01). 5.28(0.01). 6.02(0.02). 5.95(0.01). 1.00. 2.66(0.00). 2.59(0.00). 2.71(0.00). 2.66(0.00). 2.00. 2.05(0.00). 2.04(0.00). 2.06(0.00). 2.04(0.00). 3.00. 2.00(0.00). 2.00(0.00). 2.01(0.00). 2.00(0.00). Ch. 25.

(42) 第五章結論與未來研究方向根據 EWMA 管制圖之管制界限應隨時間變動，藉由縮減前期管制界限的範圍，改善傳統 EWMA 管制圖對於製程初期異常的敏感度，本研究所採用的變動管制界限形式，為各期管制統計量分配的 α/2 和 1 − α/2 分位數，由於各期管制統計量分配型態未知，因此利用傅立葉級數近似各期管制統計量之累積分佈函數，進而求得分位數作為變動管制界限。研究結果顯示，此種變動管制界限對於提升管制圖在製程初期. 政治大期之偵測能力效果越好，且縮減的抽樣次數固定，例如：當 λ = 0.05 時，在各種參立偵測能力之效果，主要取決於加權常數 λ，一般而言，加權常數越小對於改善製程初. ‧ 國. 學. 數設定和不同偏移程度之下，大約皆能縮減 5 次抽樣即能偵測出製程為失控狀態，因此能有效提升對於製程微小偏移的偵測能力；而偏移幅度較大時，能縮減抽樣次數至. ‧. 1 ∼ 2 次，若以縮減效果而言，隨樣本數或 α 越大效果越好，且當製程為厚尾分配. sit. y. Nat. (如：雙指數分配) 時，對於改善製程初期偵測能力的效果更為明顯。. er. io. 針對後續研究方向以及待改進方法，在此提出以下建議：. al. n. iv n C 1. 以往無母數 EWMA 管制圖相關文獻中，大多未提及變動管制界限之效果，例 hengchi U. 如：Hackl and Ledolter (1991) 所提出對於單一觀測值，給定一組參考樣本 Y1 , Y2 , · · · , Yg−1 計算其標準化排序 2 ∗ g+1 (R − ) g t 2 g−1 X = 1+ I(Xt > Yi ). Rt = Rt∗. i=1. 其中，Rt 為 iid 離散型均勻分配，依據 Rt 建構 EWMA 管制程序監控製程中心值，其乃利用模擬方法求得適當固定管制界限，因此可將本文所提出之方法運用於此，建構變動管制界限並探討其效果。 2. Steiner (1999) 認為當 EWMA 管制圖之管制界限隨時間變動僅相似於快速起 26.

(43) 始反應的性質，欲使 EWMA 管制圖具備快速起始反應之性質，進而提出藉由調整項 FIRadj = 1 − (1 − f ∗ )1+a(k−1) 縮減前期管制界限以提升偵測能力，則新的管制界限如下： r. U CLk = µ0 + L σX LCLk = µ0 − L σX. λ (1 − (1 − λ)2k ) 2−λ r λ ∗ 1+a(k−1) 1 − (1 − f ) (1 − (1 − λ)2k ) 2−λ. 1 − (1 − f ∗ )1+a(k−1). 其中 f ∗ 及 a 為可調整常數，Steiner 認為大約 20 個觀察值之後快速起始反應就沒有什麼效果，使得 a = (−2/log(1 − f ∗ ) − 1)/19，而 f ∗ 其目的即為調整起始值介於目標值及管制界限之間，大多使用 0.5。本研究僅提出無母數管制. 政治大式，以達快速起始反應之功能。立. 圖建構變動管制界限之方法及觀察結果，因此可進一步研究管制參數 α 變動方. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 27. i n U. v.

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(48) 附錄甲：Wilcoxon 符號排序機率計算假設 X1 , X2 , · · · , Xn 為一組 n 個相互獨立樣本，且抽自於對稱 µ 之母體，欲檢定中位數是否為 0. Zni. H0 : µ = 0 vs H1 : µ 6= 0    1, if xi > 0 , k = the rank of each ordered |Xi | =   0, if xi < 0. 政治大. 立. ‧ 國. 學. W+ =. n X. kZnk. ‧. k=1. n. 0<t1 <···<tn <∞ i=1. Ch. sit. io. al. n Y. f0 (ti − si µ) dti. er. Nat. 某特定排列的機率，則可利用以下方式計算： Z Z P (Zn = zn ) = n! · · ·. y. 因此，可經由所有排列情形 Zn = (Zn1 , Zn2 , · · · , Znn ) 計算出 W+ 機率分佈，若欲求. i n U. v. 其中 si = 2zni − 1，且 f0 為假設分配對稱於中位數 µ = 0。. engchi. Klotz 利用遞迴式簡化 n 維積分，重新定義為： A(Zn ) (u) = P (Zn = zn and |Xi | ≤ u f or all i) 則 A(1) (u) = P (Z1 = (1) and − u ≤ X1 ≤ u) Z u = f (t) dt 0 Z u−µ = f (y + µ) dy −µ u−µ. Z =. f0 (y) dy −µ. = F0 (u − µ) − F0 (−µ) 32.

(49) 其中 F0 為虛無假設下的累積分佈函數。同理，A(0) (u) = F0 (u + µ) − F0 (µ) 定義 (zn , 1) = (zn1 , zn2 , · · · , znn , 1) 則 Z. x. Azn (u)f0 (u − µ) du. A(zn ,1) (x) = (n + 1) 0. 同理可得 A(zn ,0) (x)，經由 composite Simpson’s rule 計算，定義方式為：   Z b n/2−1 n/2 X X h f (x) dx ≈ f (x0 ) + 2 f (x2j ) + 4 f (x2j−1 ) + f (xn ) 3 a j=1 j=1 其中 x0 = a、xn = b 和 h =. 誤差計算. b−a n. 立. 政治大. ‧ 國. 學. ‧. 假若 zn = (zn−1 , 1) 為 n 個樣本取絕對值排序後，原始樣本所對應的符號排列機率為 Z x Azn−1 (u)f0 (u − µ) du Azn (x) = n 0. y. I }|. x. sit. io. Azn (x) − Aˆzn (x) = n. z Z. {. Azn−1 (u)f0 (u − µ) du − Simpson’s Azn−1 f0 (u − µ). al. er. Nat. 近似誤差分為兩部份定義如下：. n. 0. Ch. engchi U. v ni. !. + Simpson’s Azn−1 f0 (u − µ) − Simpson’s Aˆzn−1 f0 (u − µ) | {z } II 其中，第 I 部分為利用 composite Simpson’s rule 近似之誤差，令 mk = m0 2(n−k) 為第 k 層迴圈 Simpson’s rule 分割數，hk =. x ，m0 mk. 為最後一層迴圈分割數，需為. 偶數。則可根據 composite Simpson’s rule 誤差公式求得

(50) Z x

(51) | I | =

(52)

(53) Azn−1 (u)f0 (u − µ) du 0. mn /2−1 X hn Azn−1 (0)f (−µ) + 2 Azn−1 (x2j )f (x2j − µ) − 3 j=1 mn /2. +4. X j=1. ≤.

(54)

(55) Azn−1 (x2j−1 )f (x2j−1 − µ) + Azn−1 (x)f (x − µ)

(56)

(57).

(58) (4)

(59)

(60) hn

(61) x max

(62) Azn−1 (ξ)f0 (ξ)

(63) 180 ξ∈(0,x) 33.

(64) 第 II 部分，為估計機率誤差

(65) hn

(66)

(67) ˆ

(68) | II | ≤

(69) Azn−1 − Azn−1

(70) max f0 (ξ) (1 + 4 + 2 + · · · + 4 + 1) ξ∈(0,x) 3

(71)

(72)

(73) ˆ

(74) = x

(75) Azn−1 − Azn−1

(76) max f0 (ξ) ξ∈(0,x). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 34. i n U. v.

(77) 附錄乙：傅立葉級數假設 f 為定義在區間 [−π, π] 的 2π 週期函數且 f 為平方可積，則 f 傅立葉級數形式如下： ∞ X f (x) ∼ a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)) n=1. 其中 a0 an. 政治大. 立. 學. y Z. π. io. f (x) dx =. al. n. −π. a0 + −π. ∞ X. sit. π. Nat. Z. (an cos(nx) + bn sin(nx)) dx. n=1 ∞ X. er. a0 之推導. ‧. ‧ 國. bn. Z π 1 f (x) dx = 2π −π Z 1 π = f (x) cos(nx) dx π −π Z 1 π = f (x) sin(nx) dx , n = 1, 2, 3, · · · π −π. i n U. v.

(78) π sin(nx) cos(nx)

(79)

(80) = 2πa0 + (an − bn )

(81)

(82) n n n=1. Ch. engchi. = 2πa0 Z π 1 f (x) dx a0 = 2π −π. 35. −π.

(83) an 之推導先對 f (x) 乘以 cos(mx) 後積分 Z. π. Z. π. a0 +. f (x) cos(mx) dx =. ∞ X. ! (an cos(nx) + bn sin(nx)) cos(mx) dx. −π. −π.

(84) πn=1 Z π ∞ X sin(mx)

(85)

(86) = a0 an cos(nx) cos(mx) dx

(87) + m

(88) −π n=1 −π Z π + bn sin(nx) cos(mx) dx −π.

(89) π sin(mx)

(90)

(91) 其中

(92) =0， m

(93) −π. π. Z. −π.   政治  0, for m 6= n 大 cos(nx) cos(mx) dx =  立  π, for m = n. π. ‧ 國. 學. Z. sin(nx) cos(mx) dx = 0, f or any m and n. −π. π. f (x) cos(mx) dx = am π Z 1 π am = f (x) cos(mx) dx π −π. io. sit. y. Nat. −π. 同理，先對 f (x) 乘以 sin(mx) 後積分，即可求出 bn 。. al. er. Z. ‧. 因此，. n. iv n C Theorem 1 (Fourier convergence).h已知 e nfg為一分段平滑的週期函數，則 chi U (SN f )(x) =. f (x+ ) + f (x− ) , 2. N →∞. 如果 f 在 x 點是連續，則 (SN f )(x) = f (x) Theorem 2 (Riesz–Fischer). 已知 fn ∈ L2 (Ω), n = 1, 2, 3, · · · , lim kfm −fn kL2 (Ω) = m,n→∞. 0，存在 f ∈ L2 (Ω) ，若且為若，使得 lim kfn − f kL2 (Ω) = 0 n→∞. 根據 Riesz–Fischer 定理，若 f (x) 為一可測函數 ∈ L2p (−π, π) 平方可積，所對應的傅立葉級數為收斂，則表示部分傅立葉項數和 N X. (SN f )(x) =. n=−N. 36. Fn einx.

(94) Z π 1 f (x)e−int dx 為第 n 項傅立葉展開係數，則 lim k(SN f )(x) − 其中 Fn = N →∞ 2π −π f (x)k2 = 0 即為 Z π

(95)

(96) 2

(97)

(98) lim

(99) f (x) − (SN f )(x)

(100) dx = 0 N →∞. −π. 則 lim (SN F )(x) = FX (x)，證明如下 N →∞. Z. −π. Z. 2. x. (f (t) − (SN f )(t))2 dt −π 2 Z−πx Z x 1 1 2 ⇒ (f (t) − (SN f )(t)) dt ≥ f (t) − (SN f )(t) dt x + π −π π −π Zx + 2 Z x x 2 ⇒ (x + π) (f (t) − (SN f )(t)) dt ≥ f (t) − (SN f )(t) dt −π −π sZ

(101) Z x

(102) x

(103)

(104) √ 2 x+π (f (t) − (SN f )(t)) dt ≥

(105)

(106) f (t) − (SN f )(t) dt

(107)

(108) ⇒ (f (t) − (SN f )(t)) dt ≥. −π. π. (f (t) − (SN f )(t))2 dt = 0，則. −π.

(109) Z

(110) lim

(111)

(112) N →∞. x. Z. x. f (t) dt − −π. −π.

(113)

(114) (SN f )(t) dt

(115)

(116) ≤ 0. ‧. ‧ 國. 因 lim. N →∞. 立. −π. 學. Z. 政治大. Nat. sit. y. 則 (SN F )(x) 收斂至 FX (x) 當 N → ∞。. n. al. er. io. Theorem 3 (無窮級數：積分). 假設 uk ∈ C[a, b], k = 1, 2, 3, · · · 且收斂到 S(x)，則 S ∈ C[a, b] 且 Z. b. S(x) dx = a. Ch. i n U. e n g c hiX ∞ Z b. Z bX ∞. uk (x) dx =. a k=1. k=1. 37. a. P∞. v. uk (x) dx. k=1. uk (x) 一致.

(117)