為了瞭解系統是否達到相位同步化，需要一個物理量 PC (phase coherence)作為系 統相位是否達到同步化的指標量，當系統中每一顆轉子在某時刻所轉到的角度位置相 同，則聲稱系統達到同步化 (PC = 1)；相反地，完全雜亂無序的狀態表示系統不同步 (PC = 0)。假如𝜑𝑖 為第 𝑖 顆轉子的角度值、𝑁表示系統轉子數目，則 PC 的定義為
𝑃𝐶 = 1
𝑁|∑ 𝑒𝑖𝜑𝑖
𝑖
|
PC = 1 相位同步化(完全有序的狀態) PC = 0 相位非同步(雜亂無序的狀態)
圖(16) 轉子系統 PC 值。圖中縱軸表示同步化程度 PC(phase coherence)，橫軸為時間 𝑡(𝑠)。紅線代表系統相位最終達到完全相同；黑線則表示系統一直不同步，其 PC 值會隨時間改變；藍線則是系統達到一個平行波狀態，轉子角度在空間有週期性的
分布，但同步化程度卻是低得如完全無序。
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在尚未使用週期性邊界條件時，轉子系統無法產生完整的同步現象。先前提到，
由於陣列本身有邊界，因此一顆轉子座落在什麼位置就顯得相當重要。身處中央的轉 子，周圍轉子施加的影響是相當對稱的；但靠近邊界的轉子，其環境相當不對稱，邊 界的效應顯著。圖(17)可以明顯看出，當系統數目龐大時，中央部分勉強可以視為“大 致同步”，為使系統達到更一致性的同步，我們可對系統加入週期性邊界條件。圖(17) 為模擬上觀察到鞭毛陣列趨向相位同步的過程，不同顏色表達鞭毛不同的旋轉相位。
藍色表示相位從 0 度開始，當依序逆時針旋轉靠近紅色時，相位將到達 360 度(6.28)，
然後又回到藍色。
圖(17) 轉子系統在無週期性邊界條件下，趨向相位同步過程中的某一瞬間，顏色對應 到不同的旋轉相位。
徑向力驅動轉子
當轉子施予的力量方向與徑向夾角 beta angle 𝛽 = 0°時，系統轉子的趨動力僅剩徑 向的淨力，此時流場變化由陣列上每一顆轉子成員的徑向力所構成，初始隨機分佈的 相位，最後會達到全面性的同步化，如圖(18)、圖(19)10*10(100)轉子系統。
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圖(18) 左圖代表初始相位分布、右圖則是同步化的呈現
力矩驅動轉子
當角度 beta angle 𝛽 = 0°時，系統中每一顆轉子除了受到自身的臂產生的力矩外，
同時還受到鄰近轉子提供的切向趨動力，最終使系統達到一種無序的狀態，轉子之間 的關聯性會降到最低，沒有取向的相關性，如圖(19)。
圖(19) 左圖為初始相位分布，經長時間觀察仍看不到同步
角度 β 介於 0° ~ 90°之間時，模擬計算改變夾角 β 的值發現到一些特殊狀態。過去 電腦模擬揭示在角度β 介於 0° < β < 40°時，系統最後可以得到同步化的結果，這是第 一種情況；而第二種情形角度介在40° < β < 90°，發現系統將會產生螺旋波。增加週期 性邊界條件後，在多數目轉子系統下觀察到分區同步的現象，給定隨機分布的初始相 位，在系統趨向同步或不同步的過程中，轉子會區域性地分成好幾個區塊進行同步，
最後會完全同步。當β 角度漸大時，同步的區域中心會隨時間一直變化，並不會固定
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在相同區塊。
初期為檢測模型正確與否，從數目小的系統做測試(N*N=4、9、16...121)，意外 地發現相同角度分布的初始條件，會在某些 beta angle 上出現一種特別的狀態，其 PC 值迅速下降，轉子陣列隨時間以週期變化的方式達到一種“平行波”的型態。以 5*5 系 統為例，在夾角小於 42°時如預期般的會同步化，然而在夾角處於 42° < β < 67° 時，
轉子系統隨著時間轉動，相位從雜亂無序的分布趨向以邊長為固定週期的方式排列轉 動，此時 PC 值趨近於 0，但此時看起來並非完全無序的排列，相反地；轉子系統呈現 有秩序的趨勢轉動。此種平行波具有固定的形式，以圖(20)10*10(100)為例，Y 方向上 每一顆轉子的相位呈現一致，然而 X 方向上則是以 360° 𝑁⁄ 為間隔差的方式依序排列 (0°、36°、72°、……、324°)。若以 X 方向上的角度分布作為初始條件改置放於 Y 方向 上，同樣可以得到平行波狀態，只是在方向上旋轉 90°。
圖(20) 轉子系統呈現平行波狀態
此外，在夾角大於 67 度時，系統又會回到同步狀態。有趣的是，表(1)呈現各小系統時 出現平行波的範圍，其中甚至出現像 8*8 系統的例子，出現 2 段平行波的角度範圍。
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表(1)小系統 beta angle 測試 beta angle
系統數目 會同步的 beta angle 平行波出現的 beta angle
3*3(9) 0°~89° 沒有出現
4*4(16) 0°~48°、63°~ 49°、50°、51°、…、61°、62°
5*5(25) 0°~43°、68°~74° 42°、43°、44°、…、66°、67°
6*6(36) 0°~63° 64°、65°
7*7(49) 0°~49° 50°、51°、52°
8*8(64) 0°~50°、57°~60° 12°~44°、51°~56°
9*9(81) 0°~44° 45°、46° 統沒有看到。以固定的角度分布(0°、120°、360°)作為 3*3 系統的初始條件，發現系統 維持在平行波的情形一段時間後轉而趨向完全同步化，如圖(21)可以清楚看到當角度越 大，從平行波趨向同步化的過程中，作用時間比較長。而 4*4 以上的系統則沒有出現 這樣的情形，因此推測平行波可能是小系統在達到同步之前的過渡型態，若時間持續
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夠久，或許過度型態最後也會達到穩定同步。
圖(21) 以固定角度分布(0°、120°、360°)的 3*3 系統平行波。紅線 30°、黃線 40°、綠 線 50°、藍線 60°。
圖(22) 系統 21*21(441)在 beta angle 為(a)30°(b)40°(c)50°(d)60°時的螺旋波分布情形。
值得注意的是此種穩定週期波類似於 metachronal wave，metachronal wave 是指微 生物的鞭毛或纖毛群通過連續動作所產生的波浪運動，注意此時並不是同步的狀態。
這些有序的移動導致行進波的出現。Mexican wave 就是一個在宏觀上典型的例子，這 種模式廣泛存在於自然界，許多水生生物，如櫛水母動物，軟體動物，纖毛蟲以及許 多身體器官的上皮表面的纖毛。纖毛波就是靠連續性運動所產生的，一般纖毛群以列 或面的方式排列，鄰近的纖毛會按一定的方向保持一定的相位差運動，若將纖毛列(面)
(a) (b) (c) (d)
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視作整體觀察時，可以看到波按一定方向依次傳動。
由於轉速來源於力的大小，因此將系統每一顆轉子力量調整為原來的 2 ~ 5 倍，發 現轉速只影響達到同步化現象的速度快慢，並不會造成整體相位的變化，但不排除施 加力量到更大的情況會有其他可能性的產生，這可做為繼續研究的部分。
轉子角度的關聯性
以下就模擬上看到的各種情形(包含平行波)，進行轉子間關聯性的探討。為此，我 們定義角度關聯函數(angular correlation function) δ(𝑟)，以此物理量來刻劃轉子系統 中，轉子之間隨距離增加的連結性強弱關係。該函數定義為
δ(𝑟) = 〈〈 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗)〉𝑗〉𝑖
(22) 公式表示先選取一轉子𝑖，觀察它和跟它相距 r 的一轉子𝑗的相關性，以 cos 表達，
再對所有轉子𝑖與𝑗求平均。計算轉子陣列上轉子角度的演化之後發現角度關聯函數隨著 距離 r 的增加而遞減，顯示距離越遠相關程度越弱。詳細分析如下:
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圖(23) 21*21(441)轉子系統在 beta angle 為 60°時的 angular correlation。
紅色部分表示初始時的δ(𝑟)，可以看出隨著時間增加，系統中彼此距離越靠近的 轉子的 angular correlation 有著越明顯的提升，整體而言，轉子間連結性會隨著時間增 加慢慢建立起來。時間拉長後(如藍色、紫色曲線) angular correlation 會徘徊在一個區域 範圍之內不再繼續上升，此時轉子間的 angular correlation 已達到穩定曲線。此曲線呈 現類似指數函數的遞減。即使 PC (phase coherence)程度不高，如前述的平行波(PC 大 約在 0.01~0.10 之間)，angular correlation 一樣呈現類似指數的衰減。
以下圖(24)-(27)為數種 beta angle 的 angular correlation 隨時間增長的演化過程
圖(24) 21*21(441)顆轉子系統，在 1 萬步時 angular correlation 與距離的關係圖。黃色 30°、橙色 40°、灰色 50°、藍色 60°。
y = 1.499*exp(-0.4317x) y = 1.586*exp(-0.5454x) y = 1.303*exp(-0.5611x) y = 0.9964*exp(-0.5347x)
-0.2
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圖(25) 21*21(441)顆轉子系統，在 5 萬步時 angular correlation 與距離的關係圖。黃色 30°、橙色 40°、灰色 50°、藍色 60°。
圖(26) 21*21(441)顆轉子系統，在 10 萬步時 angular correlation 與距離的關係圖。黃色 30°、橙色 40°、灰色 50°、藍色 60°。
y =1.421*exp(-0.3554x) y =1.856*exp(-0.6555x) y = 1.427*exp(-0.5384x) y = 1.817*exp(-0.8368x)
-0.4
y = 1.663*exp(-0.4149x) y = 1.308*exp(-0.395x) y = 1.462*exp(-0.4641) y = 1.418*exp(-0.5484)
-0.4
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圖(27) 21*21(441)顆轉子系統，在 15 萬步時 angular correlation 與距離的關係圖。黃色 30°、橙色 40°、灰色 50°、藍色 60°。
可以看出 beta angle 越大(如藍色)，angular correlation 越強，但似乎 decay 也越 快，暗示有較短的 correlation length，此時對應的系統為較不易同步的系統。以下針對 趨向平行波系統的 angular correlation 探討，此現象較易出現在小系統，因此圖(28)搜集 了幾個小系統的結果。
y = 1.247*exp(-0.2215x) y = 1.746*exp(-0.6005x) y = 1.643*exp(-0.5369x) y = 1.571*exp(-0.8107x)
-0.4
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圖(28) 小系統在平行波狀態時，angular correlation 與距離的關係圖。虛線表示不同系 統大小，實線為用指數函數擬合出來的趨勢線。依序由下而上為紅色 5*5、黃色
6*6、綠色 7*7、淡藍色 8*8、藍色 9*9、紫色 10*10、黑色 11*11。
可以看到在平行波狀態時，系統數目越大(如藍色)，轉子系統彼此之間的關聯性越 高，顯示互相牽引的能力愈強。有趣的是這類系統的 angular correlation 常衰變到零以 下(當轉子彼此遠離時)，零表示完全無序，零以下又表示有了某種秩序，表示轉子在彼 此遠離時 cos(𝜃𝑖 − 𝜃𝑗)比較常小於零，或|𝜃𝑖 − 𝜃𝑗|比較常大於 π/2。將圖(28)的數據利用 指數函數作曲線擬合，得到 System size - correlation length 之間的關係。
表(2) System size - correlation length f(x) = a*exp(-x/b)，length b>0
5*5 6*6 7*7 8*8 9*9 10*10 11*11 a 12.49 5.732 3.91 3.35 2.837 2.625 2.384 b 0.343171 0.509944 0.679348 0.809717 0.984252 1.124353 1.311819 R^2 0.4023 0.6135 0.6499 0.5898 0.6376 0.5889 0.6287
y = 2.384*exp(-07623x) y =2.625*exp(-0.8894x) y = 2.837*exp(-1.016x) y = 3.35*exp(-1.235x) y = 3.91*exp(-1.472x)y = 5.732*exp(-1.961x) y = 12.49*exp(-2.914x)
-2
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圖(29) 小系統平行波態 System size - correlation length
從圖(29)中可以看到，當小系統處在平行波狀態時，correlation length 隨著系統數 目增加而變長，意味著數目越少的系統，具有較短的 correlation length，同時也較不容 易達到同步。對應到前述提到 3*3 系統沒有平行波狀態這個現象，這邊也許就暗示了 因為小系統的 correlation length 短，轉子系統之間關聯性弱，不容易穩定，這可能就是 我們沒有看到平行波的原因。相對上，當系統數目越多，自然轉子彼此之間的複雜度 就會提昇，也就比較容易達到同步，同時擁有比較長的 correlation length。
以下蒐集數目較大的系統(16*16)、(21*21)進行討論
System size - correlation length
correlation length
system size N*N
-0.4
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圖(31) 21*21(441)顆轉子系統，在 15 萬步時 30°到 60°的趨勢圖
表(3) correlation length - beta angle f(x) = a*exp(-x/b)，length b>0
Size 30 40 50 60
256(b) 2.25 2.14 1.70 1.48 441(b) 4.51 1.66 1.86 1.23
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0 10 20 30 40 50 60 70
correlation length - beta angle
correlation length
beta angle
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圖(32) 大系統 16*16(藍色)、21*21(橘色)顆轉子在在 15 萬步時瞬間的 correlation length - beta angle 圖(30°到 60°)
此時大系統轉子雖然尚未達到同步，我們依然可以看出當系統有較小的 beta angle 的時候，具有較長的 correlation length，最後容易趨向同步化。(後來模擬也證實在 30°
時兩系統都會達到同步)。雖然橘色線並不是很好的走勢，但這僅僅是某一瞬間的情 形，我們同樣可以看到 correlation length 隨著 beta angle 增加而漸短，此時的大系統因 轉子數目多，轉子彼此距離較長，關聯性越低，系統愈不容易同步。
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