模型建構與模擬計算

為了觀察分區同步的情形，我們試著以分子模擬方法建構轉子陣列模型，模仿細 菌鞭毛一根一根固定在培養基板上，形成一個有序排列的方陣，每根鞭毛所處的環境 與基本設定均完全一致，並隨機給定每一根鞭毛不同的初始相位。

在這篇研究中，為了揭露當細菌鞭毛集合在培養基板上形成一個有序的陣列時，

此生物系統集體運行的秘密，將簡化系統模型並且有效地捕捉真實系統的行為。因此 提出一個 microorganism-flagellum-rotor ( MFR ) 力學模型來取代真實世界中複雜的細菌 鞭毛運動。模擬真實細菌鞭毛附著在基板上的型態，將細菌鞭毛視為一個轉子，其中 包含一顆半徑為 a 的剛體小球。每一顆轉子皆被限制在一個半徑為 b、高度固定在 h 上 方的圓形軌跡，其每一顆轉子的中心位置彼此距離 d，MFR 模型是由一顆顆單位轉子 所組成的方形陣列，如圖(10)。在本實驗中採用較為簡易的模型，對應到圖(10)中，鞭 毛與 xy 平面夾角為 0 的情形，系統將產生 xy 平面上的流場。

圖(10) 細菌陣列示意圖。個別轉子模擬細菌一端固定，尾巴自由旋轉將對周圍液體產 生徑向、切向、縱向三個方向的流場變化。

在基板平面(xy 平面)上第 i 顆轉子的中心位置向量定為 𝒓_𝑖0，而轉子之位置向量則 是 𝒓_𝑖 = 𝒓_𝑖0+ 𝑏𝒏_𝑖 + ℎ𝒆_𝑧 ，其中𝒆_𝑧 = (0,0,1) ；𝒏_𝑖(𝜔𝑡) = (cos 𝜙_𝑖(𝜔𝑡) , sin 𝜙_𝑖(𝜔𝑡) , 0)為 轉子的徑向向量，轉子的速度 𝑣_𝑖 = 𝑏^𝑑𝒏𝑖

𝑑𝑡 = 𝑏^𝑑𝜙𝑖

𝑑𝑡 𝒕_𝑖，𝒕_𝑖是圓形軌跡的單位切線向量

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𝒕_𝑖 = 𝒆_𝑧× 𝒏_𝑖 = (−sin 𝜙_𝑖(𝜔𝑡) , cos 𝜙_𝑖(𝜔𝑡) , 0)。

圖(11) 轉子陣列俯視圖

考慮轉子模型在轉動的情況下，轉子所施的力驅動液體介質沿著圓形切線方向流 動，在考慮變因上的控制，在影響程度小的情形下簡化模型設計，每一顆轉子本身均 擁有一個力 𝑭_𝑖，此力可以分解為徑向、切向、垂直方向三個部分，𝑭_𝑖 = 𝐹_𝑛𝒏_𝑖+ 𝐹_𝑡𝒕_𝑖 + 𝐹_𝑧𝒆_𝑖。由轉子所驅動的液體速度流場為方程式(7) 𝑣_𝑖(𝒓) = ∑ 𝐺(𝒓 − 𝒓^′) ∙ 𝐹_𝑗(𝒓^′)，𝐺(𝑟)為 Blake-Oseen tensor，在這邊界附近的問題上，Blake-Oseen tensor 是在無滑動邊界條件 下，描述靠近基板表面的流體交互作用，此為系統最重要的交互作用影響項。考慮轉 子所受到總外力時發現徑向力不易知道，但當寫下力矩方程式時它自然消失。

𝑟⃗ × 𝑚_i𝑥⃗̈ = 𝑟⃗ × 𝐹⃗_{𝑓𝑟𝑖𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}+ 𝑟⃗ × 𝐹⃗_{𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙}+ 𝑟⃗ × 𝐹⃗𝑡ℎ𝑟𝑢𝑠𝑡,𝑖𝑡𝑠𝑒𝑙𝑓+ 𝑟⃗ × 𝐹⃗𝑟𝑡ℎ𝑟𝑢𝑠𝑡,𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑠,𝐵𝑂𝑇 + 𝑟⃗

× 𝐹⃗_{𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑙}

(16) 其中𝑚_i：第i顆rotor的質量

𝐹⃗_{𝑓𝑟𝑖𝑐𝑡𝑖𝑜𝑛}：流體阻力、𝐹⃗_{𝑡ℎ𝑒𝑟𝑚𝑎𝑙}：熱擾動項、𝐹⃗𝑡ℎ𝑟𝑢𝑠𝑡,𝑖𝑡𝑠𝑒𝑙𝑓：個別轉子的施力、

𝐹⃗𝑟𝑡ℎ𝑟𝑢𝑠𝑡,𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑠,𝐵𝑂𝑇：其餘轉子的淨合力、𝐹⃗_{𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑙}：額外的施力

18 毛)施於轉子的 thrust force，見圖(12)。

𝐹_𝑖

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其中ω₁為 intrinsic frequency。最後得到方程式(20)，

𝜑₁^′= 𝜑₁+ ∆𝑡 ∙ ω₁+ ∆𝑡 ∙ [ω₁₂ ] ω₁₂：第2顆轉子對第1顆轉子之間影響的作用量。從式(21)中可以看出，Oseen tensor具 有對稱性關係𝐺(𝑟⃗⃗⃗⃗ − 𝑟₁ ⃗⃗⃗⃗) = 𝐺(𝑟₂ ⃗⃗⃗⃗ − 𝑟₂ ⃗⃗⃗⃗)。對應到𝜑_{1 1}和𝜑₂互換，其相位差∆𝜑 = 𝜑₂−𝜑₁會是 一常數，隨著流體作用趨向0達到同步，見圖(13)。方程式(20)告訴我們後來的相位與 前一時刻相位的差跟轉子交互作用項之間的關係，以此式做為以下分子模擬的基礎。

20

圖(13) 兩顆轉子同步化時(a)軌跡-時間(b)相位差-時間(c)角速度-時間的關係圖