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涵蓋機率都很高，由於 WLS 及 SD(M+)較高的原因是變異數也較大所致。
表 3-2、各方法 σ 估計值涵蓋機率比較(常態)
涵蓋機率 方法
k WLS NM MLE SD(M+)
6 0.951 0.939 0 0
8 0.950 0.955 0.001 0 10 0.956 0.948 0.003 0.234 12 0.956 0.951 0.018 0.735 14 0.961 0.952 0.115 0.899
由表3-2可看出NM及WLS涵蓋機率皆達95%左右，雖然WLS看似較NM機率 高，源於其變異數也較大之關係，然而MLE及SD(+)涵蓋機率極低甚至為零，源 於這兩種方法其偏誤過高，即便其變異數為最大之方法也無法涵蓋真實參數值，
但可看出會隨著K值越大，涵蓋機率隨之增加。
從上述可以得知，在常態假設下 NM 之估計方法為最好，然而由於變異數 之比較並須在相同分配下，因此分配假設顯得相當重要，然而分配的變動是否會 進而影響估計方法的敏感程度也是本研究想探討的，因此在下一節將會討論若真 實分配為 t 分配時，卻錯誤的使用常態分配的估計方式，其所估計之參數影響。
第三節 分配變動對於各種方法之敏感度
由於死亡分佈很少人進步一證實，因此本研究在使用上會探討若死亡分佈不 是常態分配所造成影響，在此我們將錯誤分配假設為自由度為 5 之 t 分配，而使 用 t 分配原因為其機率分佈接近常態分配，與真實死亡分佈情形較為相似，其兩 分配之機率分配如圖 3-3。
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圖 3-3、T 分配(自由度=5)與常態分配之機率圖
模擬方法如同上一節，藉由電腦模擬設定十萬筆死亡年齡之隨機亂數，但此 時樣本來自 t 分配(自由度=5)，抽取後乘上預設之標準差並將中心點移至期望值 為 80。並分別以不同的方法，反覆一千次的模擬檢視其期望值情形以及均方差，
結果如下：
圖 3-4、以期望值及 MSE 來觀察 T 分配對 Modal Age 影響
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圖 3-5、以期望值及 MSE 來觀察 T 分配對 σ 影響
從圖 3-4 及圖 3-5 可以看出分配的變動對 M 的改變不影響，因為其期望值相 同，雖然 MSE 較常態分配假定較大，NM 方法仍估計較好。分配的變動對於 σ 影響明顯，可以看出受到自由度為 5 之 t 分配因為標準差為 5/3，而 NM 在估計 時也真實反應其變化，WLS 則是會隨著樣本數選取越多，選取到 t 分配尾端較 高的機率值，造成 WLS 的變異數會隨著 k 愈大而增加。MLE 為最大概似估計法，
因此較不易受到分配影響，與常態反分布時反應一致，但仍要 k 高達 15 以上才 能發揮作用，在實務上採用會受到資料的限制。圖 3-6 檢視 NM 估計變異數的偏 差比例和 t 分配的公式有極大相關，對 NM 來說，變異數的偏誤來自於自由度 減少所帶來變異數的改變，幾乎呈現線性相關。SD(M+)在 k 為 10~12 表現良好 但隨著 k 增加反而變大，相較於其他方法較不穩定。
圖 3-6、不同自由度之 T 分配對 σ 增加比例影響(NM)
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除了比較偏誤情形以及 MSE 之外，如同上節進一步探討涵蓋機率所造成之 影響，結果從表 3-3 可以明顯看出雖然分配抽樣於 t 分配，但是仍效果良好，NM 在隨著 k 增加而涵蓋機率增加。至於另外三種方法由於變異數較 NM 法大很多，
導致信賴區間較大而產生之結果。而 WLS 在 k 越大時會出現高估 M 之偏誤導致 涵蓋機率下降。
表 3-3、各方法 M 估計值涵蓋機率比較(T 分配)
涵蓋機率 方法
k WLS NM MLE SD(M+)
6 0.974 0.899 0.959 0.971 8 0.965 0.907 0.967 0.96 10 0.965 0.905 0.955 0.952 12 0.952 0.931 0.954 0.945 14 0.913 0.952 0.956 0.976
表 3-4、各方法 σ 估計值涵蓋機率比較(T 分配)
涵蓋機率 方法
k WLS NM MLE SD(M+)
6 0.969 0.012 0 0
8 0.931 0.002 0.008 0 10 0.937 0 0.028 0.111 12 0.949 0 0.112 0.959 14 0.938 0 0.404 0.912
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從表 3-4 可以看出若分配假設錯誤對於 σ 估計變化很大，由於 NM 的方法會 反應真實樣本的結果，因此估計出來皆為預設變異數之固定比例而有所偏誤，加 上信賴區間較窄，造成涵蓋機率幾乎為 0；SD(M+)為無母數方法，因此不受到 分配影響，加上當 k 變大時，其估計變異數膨脹導致信賴區間較寬而提高涵蓋比 率。
因此從電腦模擬比較，可見 NM 方法穩定，若能確立常態分配假設則是良 好之估計方法；反之若死亡分佈不確定其σ 結果將有疑慮。因此下一章節將利用 NM 估計方式來檢驗各國實證結果，而在對死亡壓縮之指標 σ 估計時，仍加入 SD(M+)無分配考量之方法估計其結果佐以參考。
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第肆章、 實證資料分析
由前所述此章將會利用電腦模擬之結果套入實證資料作分析，驗證真實資料 是否有壽命延長與死亡壓縮之現象。本研究參考2013年統計至今之HMD(Human Mortality Database)資料，根據美國世界人口估計要覽表，由於平均餘命的增加，
死亡人數會愈趨近常態分配，因此本研究選取平均餘命較高的國家，認為較能真 正反映真實死亡壓縮情形，而力求分佈於五大洲，國家分別為台灣、美國、加拿 大、英國、法國、瑞典、日本及澳洲八個國家做比較，以選取西元1970年至2009 年近期之研究資料期，共計40年作分析。
本章第一部分以台灣為資料探討k值的選取以及資料的品質，在第二部分則 是以選取之研究對象以高齡化社會國家為主，以NM方法來做實證的估計方法，
分別以前述三個指標討論死亡壓縮及壽命延長之情形。第三部分則是利用實證結 果來找出年金險的計算方式，如同前一章，仍觀察當分配不同時對保費所造成之 影響。