額為指數分配(The Exponential Distribution )，來計算保險商品之破產機率較為繁 雜，多為歷史資料作為依據。然而保險商品之保費計價方式，多為參考死亡率來
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藉由前一章的結論，想知道未來 M 及 σ 變動的趨勢，造成年金險保費的影 響為何，因此先以常態分配為例，模擬一千次，探討當 M 及 σ 變動的情境下，
對於保費之影響。
圖 4-16、M 及 σ 變動對保費影響(常態分配)
從圖 4-16 可以看出隨著 M 增加保費隨之增加，而目前保險業者開始領取年 金的年齡多在 55 歲及 65 歲，也就是保費所增加幅度最大的年齡。σ 增加則是隨 著領取年齡增加而增加，相較於 M 的變化下，σ 之變化差異較不明顯，但在領 取年齡為 65 歲仍有差異，保費增加也不容小覷。
除了常態分配外，此研究想探討若實際分配為 t 分配，但卻套用到常態分配 時所造成的情況。圖 4-17 不論從保費(期望值)或變異數來看，由於實際年齡假設 t 分配，因此厚尾性質時會導致兩者皆有低估的現象，其中又以保費變異數差異 較明顯。若實際分配為 t 分配，卻套入常態分配時，則變異數都低估很多。領取 年齡越低時，變異數差異較大，到 75 左右歲呈現最低，之後又有逐漸升高的趨 勢。但我們通常不考慮後面的現象，因此視變異數隨著領取年齡增加有遞減的趨 勢。而受到 t 分配在自由度小時，公式本身變異數的增加，造成差異更大。
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圖 4-17、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例
圖 4-18、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例(M 變動)
圖 4-19、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例(σ變動)
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從圖 4-18 及 4-19 可看出在變異數增加時，保費的增加量也增加。但是若過了 80 歲之後反而減少。而變異數減少保費的增加量隨之減少，但是過了 80 歲之後反 而增加。
求出保費之期望值及變異數後，藉由風險值 VaR 之概念，進而去模擬一組 十萬人來計算所收取保費中，若不足以支付風險值的損失則視作破產，並計算當 分配改變所造成破產機率的計算。
圖 4-20、T 分配與常態分配保費不足之破產機率
從圖 4-20 可以發現在領取年齡介於 50 歲至 75 歲之間時，t 分配的破產機率 皆大於常態分配的假設，但是其餘年齡反而是常態之破產機率比較大。但就目前 年金開始提領的年齡也是介於 50 歲至 70 歲之間，其中 65 歲可以發現自由度為 5 的 t 分配較常態分配之破產機率增加 3%左右，然而 t 分配相對其他如指數分配、
柯西分配較接近，但從上述可發現分配的變動對於年金保費及估計死亡壓縮之σ 皆有明顯影響，可見分配的重要性不容小覷。
此章除了以實證資料來探究壓縮結果，進一步發現分配的變動不但影響死亡 壓縮的表現，也影響保費估計的變動情形。然而實務上保險業者鮮少探究真實死 亡分佈之分配，若能確立死亡分佈為常態分配，能確實帶來許多便利之處，也引
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發我們探究真實分配為常態分配與否，因此第伍章為真實死亡分佈之適合度檢定，
以及檢定之結果。
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料，而是採用最後一次生日之整數年齡(Age Last Birthday)，檢定力也大打折扣，即使使用 Kolmogorov-Smirnov 常態檢定法（簡稱 KS-test），也一定拒絕，不管 精確到小數點後一位、兩位、三位數皆拒絕。在此研究採用適合度檢定(Chi-Square Goodness of Fit Test )，並分做八組及二十一組來計算，結果皆是拒絕，考慮嬰幼 兒死亡率的影響，採計八組為分組數量。
本研究採取之解決辦法則是仍用卡方檢定，但每組間之理論個數則不直接利 用卡方分配值，而是採計模擬一萬次所求各組間的個數值視作卡方理論個數值。
發現模擬 10 萬個死亡年齡，期望值(M=80)及標準差(σ=10)為已知，區分八組時，
區分的邊界皆為(68,73,76,80,83,86,91)，強迫分 8 組，將表 5-1 之各組數值視作理 論值去計算，則 94.7%符合常態假設，即使樣本降為一萬，模擬一千次仍只有 42 個拒絕常態分配，95.8%符合常態假設，顯示資料樣本在樣本十萬或一萬，卡方 檢定都符合預期。
但在實證分析上由於分為 8 組，各年齡第一組數值過大及最後一組數值過小，
無論各國情形皆同，依修正後之卡方檢定去計算卡方值，不論是台灣、日本等仍