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以台灣女性為例，從圖 5-1 可以看出雖然隨著年代的增加，死亡人數曲現有 愈趨於常態分配之趨勢，但 65 歲以前之人數仍較常態分配多，100 歲至 110 歲 高齡人數較少之現象。以 2010 年為例說明差異，先由實際死亡人數估計 M 及
繪製出的常態分配曲線，與實際死亡人數的曲線比較，斜線部分可看出兩者的差 異，因此不滿足常態分配的假設，亦即理論與實際的差異仍明顯。
第二節 常態分配假設真實死亡率之差異
前述之常態分配假設在實務上雖不符合，但是透過圖 5-1 之斜線部分，可以 推敲若計算 65 歲以後之年金險，相互抵消之下與實際死亡率所計算之保費應相 差不大，我們進而求算利用常態分配所計算之年金險保費的及利用真實死亡率之 近似情形，並比較 60 歲、65 歲以及 70 歲領取年金保費之差異。
（一）保費期望值
圖 5-2、常態假設較生命表所增保費之比例(台灣女性)
圖 5-2 可以看出 60 歲及 65 歲兩者誤差大概在 5%~10%，而利用常態分配所 計算出的保費皆較真實死亡率求算來得高，究其原因是斜線右邊的部分，目前超 高齡人口仍占少數，且估計誤差大。而 70 歲領取有較大差異的比例因為隨著領
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取年齡愈高，年金躉繳保費較低，所以相除下來 70 歲領取的比例較高。然而明 顯發現，愈接近現在的年代，差異的比率越小。圖 5-3 可以看出以日本女性為例 計算保費，差異的效果會隨著年代的增加，差異縮小較為明顯，而且到西元 2000 年後差異皆縮小至 5%左右，表示 60 歲以後的右半部分隨時代的推進，用常態假 設所計算之保費會愈趨於死亡率所計算的保費，然而 5%高估的比例，相當固定，
不隨領取年齡增加而改變，亦可以視作保險公司之行政管理費用，因此這也提供 了保險公司保費定價過程中之上限。
圖 5-3、常態假設較生命表所增保費之比例(日本女性)
（二）保費變異數
除了保費之差異外，也探討真實死亡率與常態之保費變異數之差異，透過年 金公式計算之變異數，圖5-4可以看出不論領取年金為何，隨著年代的增加，死 亡人數之分佈愈趨於常態分配之情形，但是變異數之差異卻隨之增加。因此可以 推估若用真實死亡率所計算之變異數較低，有低估風險之虞。綜合第肆章第三節 的結果，可以推論若究其風險值之大小，則以t分配計算為最高，常態分配次之，
真實死亡率求算之風險值最低。
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圖 5-4、常態假設較生命表保費標準差所增比例(台灣女性)
此章節可以確立其真實資料與死亡分配仍差異明顯，但是在估計年金險保費 當中，兩者近似效果良好。不論是哪一歲數領取年金保費，利用常態估計法皆能 得到一定比例的值，且比例固定為 5%左右，這也提供業者一種計算保費的方式。
然而現在少有學者提出死亡年齡之真實分配，但對於長壽風險右尾這塊仍是普遍 未知的，若死亡人數不是像常態分配如此集中，而是趨近於 t 分配時，分配變動 時，變異數所增加的結果，在此研究可以看出差異是相當大，不得不謹慎注意。
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因此在本研究引進三種數值優化的方式：加權最小平方法(Weighted Least Squares；
WLS)、非線性極值(Nonlinear-Maximization；NM)及最大概似估計法(Maximal Likelihood Estimation；MLE)當中，希冀能得出較為精確的結果。假設選用死亡 人數服從常態分配，其中最多的年齡為(M)及計算其標準差為(σ)來觀測死亡壓縮 情形，並加入常態分配之假設，利用三種數值優化的方式：加權最小平方法 (Weighted Least Squares；WLS)、非線性極值(Nonlinear-Maximization；NM)及最 大概似估計法(Maximal Likelihood Estimation；MLE)來估計M及σ，並利用透過電 腦模擬的方式先比較方法的優劣，並與修正過後之無母數方法做比較，研究發現 數值優化方法較佳，而NM不論是期望值或變異數M或，估計值較為精確且的結 果都較穩定，不受到估計範圍的影響。
確立NM方法較其餘方式穩定後，接著以美國柏克萊大學的HMD(Human Mortality Database, http://www.mortality.org/)死亡資料庫中，選取平均餘命較高的