死亡壓縮與長壽風險之研究 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學風險管理與保險學系碩士學位論文. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 死亡壓縮與長壽風險之研究. sit. io. n. al. er. Nat. and Longevity Risk. y. ‧. A Study of Mortality Compression. Ch. engchi. i n U. v. 指導教授：余清祥博士研究生：謝佩文撰. 中華民國一百零二年六月.

(2) 摘. 要. 醫療技術的進步以及生活品質的提升，預計人類平均壽命將持續延長，以臺灣為例，男、女性平均壽命將從 2011 年的 75.98 歲、82.65 歲，增加到 2060 年的 82.0 歲、88.0 歲（資料來源：行政院經濟建設委員會 2012 年推估）。壽命延長意謂更長的退休生活，世界各國在 21 世紀均面對需求日殷的老年生活照顧，包括退休金制度以及老人醫療等，這些社會福利及保險勢必增加國家財務負擔，因此壽命是否繼續延長或存有極限成為大家關心的議題。近年來，不少研究透過死亡壓縮(Mortality Compression)連結壽命議題，亦即探討死亡年齡是否將集中至. 政治大. 更窄的範圍，但因為資料及研究方法的限制，死亡壓縮是否成立仍無定論。. 立. 本研究以統計方法、分配假設、資料品質，三個面向來探討死亡壓縮與延壽. ‧ 國. 學. 之間的關係。本研究提出三種數值優化方法：加權最小平方法(Weighted Least Squares；WLS)、非線性極值法(Nonlinear-Maximization；NM)及最大概似估計法. ‧. (Maximal Likelihood Estimation；MLE)，透過電腦模擬衡量方法優劣，與過去常. y. Nat. sit. 見的方法比較（Kannisto 的 SD(M+)），探討何者具有較小的均方誤差(Mean. n. al. er. io. Squared Error；MSE)。其次若死亡年齡之真實死亡分配為 t 分配時，探討以常態. i n U. v. 假設代入計算所產生的偏誤；最後則是套入各國實際死亡資料，使用上述較佳的. Ch. engchi. 估計方法，檢視死亡壓縮是否存在。. 研究結果顯示，NM 具有不偏性質且具有較小的均方誤差，過去研究常用的 SD(M+)反而有明顯偏誤，且隨著觀察值越多變異數反而增加。而若真實死亡分配若為 t 分配時，以原先利用常態假設所計算的年金險保費皆有低估的情形，分配的重要性可見一斑，進而探討在實務上常態分配之假設，發現與仍與實際情形有明顯之差異，不論是 NM 及 SD(M+)在死亡壓縮的探討下，皆受到資料的限制而有待商榷。. 關鍵字：死亡壓縮、生存曲線矩形化、數值優化、電腦模擬、壽險保費 I.

(3) Abstract Due to the advance in medical technology and the change of life style, the human life expectancy has been increasing since the end of the Second World War II and it is expected to continue the pace of increment. Longer life expectancy also means a longer life after retirement. People living in the 21st century are faced with growing demand for the retirement life, such as the pension funds and medical needs to the individuals, as well as the social welfare and insurance for the elderly to the government. Thus, the issue whether the lifespan has a limit receives a lot of attention.. 政治大. In particular, many studies focus on the topic of mortality compression, which means that the expectancy of lifespan has a limit and variance of lifespan converge. However,. 立. due to the availability of elderly data, there is still no consensus if the mortality. ‧ 國. 學. compression is true.. In this study, we propose estimation methods to estimate modal age and variance. ‧. of the age-at-death. Three types of methods are involved: weighted least squares. sit. y. Nat. (WLS) method, nonlinear maximization (NM) method, and maximum likelihood. io. er. estimation (MLE) method, and they are compared to the method proposed by. al. Kannisto, namely SD(M+), in 2000. We found that the NM method has a smaller. n. v i n MSE, and we cannot decide theC mortality compression h e n g c h i Uis true based on the data from Human Mortality Database. We also applied the normality and t distribution assumption to the age-at-death and compute the pure premiums for annuity products. We found that normality distribution would produce larger premiums than using the empirical mortality rates. Similarity, the bankruptcy probability would be higher if the t distribution is used.. Key Words: Mortality Compression; Rectangularization of Survival Curve; Optimization; Computer Simulation; Pure Premium. II.

(4) 目. 錄. 第壹章、緒論............................................................................................................ 1 第一節第二節. 研究動機.................................................................................................... 1 研究目的.................................................................................................... 4. 第貳章、文獻探討與方法介紹 ............................................................................... 6 第一節第二節第三節. 存活曲線矩形化........................................................................................ 6 死亡壓縮測量方法.................................................................................... 8 死亡年齡的分配假設－常態壽命區間假設.......................................... 10. 第四節第五節. 本研究探究之指標.................................................................................. 12 年金險精算公式及風險值...................................................................... 13. 政治大數值優化之方法...................................................................................... 14 立常態壽命區間假設.................................................................................. 16. 第參章、數值優化與電腦模擬分析 ..................................................................... 14. 分配變動對於各種方法之敏感度.......................................................... 19. ‧ 國. 學. 第一節第二節第三節. 第肆章、實證資料分析 ......................................................................................... 24. ‧. 第一節第三節. 年金險保費及分配變化之影響.............................................................. 33. sit. y. Nat. 第二節. 資料品質之影響...................................................................................... 24 死亡壓縮與延壽之探討.......................................................................... 26. al. n. 第一節第二節. er. io. 第伍章、殘差檢定.................................................................................................. 38. v. 常態檢定－適合度檢定.......................................................................... 38 常態分配假設真實死亡率之差異.......................................................... 40. Ch. engchi. i n U. 第陸章、結論與建議 ............................................................................................. 43 第一節第二節. 結論.......................................................................................................... 43 研究限制.................................................................................................. 45. 參考文獻...................................................................................................................... 46. III.

(5) 圖. 目. 錄. 圖 2-1、台灣女性生存曲線（資料來源：Yue, 2012） ............................................ 7 圖 2-2、台灣女性死亡人數分布圖 ............................................................................ 7 圖 3-1、以期望值來觀察不同方法之 Modal Age 結果 .......................................... 17 圖 3-2、以期望值及 MSE 來觀察常態分配對 σ 影響 ............................................ 17 圖 3-3、T 分配(自由度=5)與常態分配之機率圖 .................................................... 20 圖 3-4、以期望值及 MSE 來觀察 T 分配對 Modal Age 影響 ................................ 20. 政治大圖 3-6、不同自由度之 T 分配對 σ 增加比例影響(NM) ........................................ 21 立. 圖 3-5、以期望值及 MSE 來觀察 T 分配對 σ 影響 ............................................... 21. 圖 4-1、台灣女性不同 K 值對 Modal Age 之影響 ................................................. 25. ‧ 國. 學. 圖 4-2、台灣女性不同 K 值對 σ 之影響 ................................................................. 25. ‧. 圖 4-3、修勻與非修勻資料對 σ 之比較 .................................................................. 26. y. Nat. 圖 4-4、利用 NM 法 M 的變化(Female) .................................................................. 27. er. io. sit. 圖 4-5、利用 NM 法 M 的變化(Male) ..................................................................... 27 圖 4-6、利用 SD(M+)M 的變化(Female)................................................................. 28. al. n. v i n 圖 4-7、利用 SD(M+) M 的變化(Male) 28 C h ................................................................... engchi U 圖 4-8、利用 NM 法標準差的變化(Female) ........................................................... 29 圖 4-9、利用 NM 法標準差的變化(Male) ............................................................... 29 圖 4-10、利用 SD(M+)標準差的變化(Female) ....................................................... 30 圖 4-11、利用 SD(M+)標準差的變化(Male) ........................................................... 30 圖 4-12、利用 NM 法 P95 的變化(Female) ............................................................... 31 圖 4-13、利用 NM 法 P95 的變化(Male) .................................................................. 31 圖 4-14、利用 SD(M+) P95 的變化(Female)............................................................. 32 圖 4-15、利用 SD(M+) P95 的變化(Male) ................................................................ 32 圖 4-16、M 及 σ 變動對保費影響(常態分配) ......................................................... 34 IV.

(6) 圖 4-17、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例 ............................. 35 圖 4-18、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例（M 變動） ........ 35 圖 4-19、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例（σ 變動）.......... 35 圖 4-20、T 分配與常態分配保費不足之破產機率 ................................................. 36 圖 5-1、不同年度死亡人數分佈圖（台灣女性） .................................................. 39 圖 5-2、常態假設較生命表所增保費之比例（台灣女性） .................................. 40 圖 5-3、常態假設較生命表所增保費之比例（日本女性） .................................. 41 圖 5-4、常態假設較生命表保費標準差所增比例（台灣女性） .......................... 42. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. V. i n U. v.

(7) 表. 目. 錄. 表 1-1、西元 2011 年世界主要國家零歲平均餘命之比較(歲) ................................. 1 表 1-2、壽險業 102 年 1~4 月各險別-初年度保費收入統計表(百萬元) ................. 3 表 3-1、各方法 M 估計值涵蓋機率比較(常態) ....................................................... 18 表 3-2、各方法 σ 估計值涵蓋機率比較(常態) ........................................................ 19 表 3-3、各方法 M 估計值涵蓋機率比較(T 分配).................................................... 22 表 3-4、各方法 σ 估計值涵蓋機率比較(T 分配) ..................................................... 22. 政治大表 5-2、實證各組死亡人數(日本女性)..................................................................... 39 立表 5-1、模擬各組之理論個數 ................................................................................... 39. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. VI. i n U. v.

(8) 第壹章、緒論. 第一節研究動機醫療技術的進步以及人類追求健康之趨勢，人類平均壽命將持續延長，近年來許多學者紛紛探究人類死亡率變化的趨勢，而平均餘命則是主要反映死亡率水準變化的主要指標。以臺灣為例，行政院經建會(2010)指出男、女性平均壽命將從 2011 年的 75.98 歲、82.65 歲，增加到 2060 年的 82.0 歲、88.0 歲，但至於平. 政治大. 均餘命是否會不斷地延長，目前仍沒有定論。Fries(1980)指出死亡率下降的過程. 立. 中，除了平均壽命增加之外，因醫療品質改善，嬰幼兒死亡率已逐漸下降至低水. ‧ 國. 學. 準，存活曲線在低年齡的部分會趨於水平；而高年齡的部分受到人類基因的限制. ‧. 且慢性病發病的時間延後，大量的死亡年齡數集中在 85 歲左右，此階段存活曲線逐漸呈現垂直，存活曲線會逐漸接近矩形。. er. io. sit. y. Nat. al. 表 1-1、西元 2011 年世界主要國家零歲平均餘命之比較(歲). n. v i n 家 Ch 男性 U女性 i 民國 e n g c76h 83. 國中華日南新加美加拿英法德. 本韓坡國大國國國. 80 77 79 75 78 78 78 77. 86 84 84 80 83 82 85 83. 資料來源：美國世界人口估計要覽表(World Population Data Sheet, 2011). 1.

(9) Fries(1980)的論點意味人類的壽命有特定極限，在死亡率下降的過程當中，死亡年齡逐漸朝向此極限值集中。但是如同表 1-1 表示，低死亡率的國家，如日本、法國女性平均餘命已達到 85 歲以上，且並無呈現停止增加之跡象，使得存活曲線矩形化及壽命有上界之說法引起爭論。因此學者進而探討與矩形化緊密關聯的現象，即為死亡壓縮(Mortality Compression)，指出死亡率下降導致死亡年齡朝向高齡集中化現象，然而估計的方法、資料品質以及分布假設皆會影響估計結果，至今死亡壓縮仍無定論；死亡壓縮存在與否所帶給社會及保險業之衝擊，過去少有文獻針對這些問題提出討論，引發本文探討之動機。. 政治大所有人口比例為 11.15%，預計到了 2060 年台灣的老年人口比例將高達 41.60%。立. 反觀台灣高齡化的問題，2012 年年底台灣老年人口（即 65 歲及以上），佔. ‧ 國. 學. 而 80 歲以上的人口占老年人口的比例，亦將由 2010 年的 24.4%、大幅上升至 2060 年的 44.0%（行政院經建會 2012 年人口推估）。其中，台灣老年人口比例由 10%. ‧. 增至 20%，僅需二十年，其他先進國家如西歐及北歐，大多在五十年甚至一百年. sit. y. Nat. 以上，由此不難看出台灣人口老化的快速。然而，正因為台灣高齡化快速，對政. io. er. 府政策的規劃、社會福利改革、財務負擔等，形成非常大的壓力。長壽風險，這. al. 個議題關切人們可能活得更久，卻沒有足夠的財富可以花用，可能源自於存款太. n. v i n Ch 少，抑或太早退休，然而此一問題又因公司和政府逐漸捨棄 DB （Defined Benefits， engchi U 確定給付制）退休方式，而改為員工自行提撥方式時，更加惡化。當政府及公司愈傾向 DC（Defined Contribution，確定提撥制），意謂商業保險在人口老化扮演的角色日趨重要。傳統年金保險為期初支付一筆金額，以保障未來終生每期固定有年金的收入，儘管初期這類商品很吸引人，但這類市場在許多國家是相對不佳的，但不包括美國及英國市場在內。由 Brown (2000) 提出可能的解釋為人們目前只擔心太早死亡的風險，而仍未考慮活得太久的風險。另一個解釋可能是不論國內外，年金商品定價較高而導致逆向選擇的問題，然而賣方同時也面對逆向選擇及長壽風險的 2.

(10) 問題。雖然國內年金市場這塊仍未蓬勃發展，但是許多業者及政府積極推動下，年金險普及化將會是個趨勢。表 1-2 顯示了雖然年金險與壽險差距仍大，但是相較於其他險種，近幾年來呈現高度的成長，在民國 102 年較去年保費收入成長了 75%左右。在保險業者搶攻退休商品這塊大餅之下，由於年金險為長年期的保單，年金險除了傳統死亡率計價方式之外，其實謹慎評估年金險的變異數是相當重要，但這部份則是業者容易忽視的。 NAIC(National Association of Insurance Commissioners)在 1996 年將壽險公司經營上所面臨之風險劃分為以下幾個主要類別：資產風險(Asset Risk)、利率. 政治大其中承保風險係指此風險主要來自於保險商品訂價上預估錯誤，例如：因死亡率、立. 風險(Interest Rate Risk)、承保風險(Insurance Risk)及業務經營風險(Business risk)。. ‧ 國. 學. 疾病率、傷殘率及費用率等估計錯誤，而導致保險費及準備金不足以支付保險給付的風險。倘若死亡壓縮的現象若真的存在，當死亡年齡皆往特定年齡集中時，. ‧. 這也影響了保險公司對於風險推估之情形。若死亡年齡確實有上限且為已知時，. sit. y. Nat. 保險公司則能有效降低其風險，若保戶到達死亡上限時時，即可提領其準備金，. io. al. er. 可免於準備金不足以支付保險給付之風險。由此可見死亡壓縮結果之確立，可以. n. 使保險公司大幅降低其承保風險，並對資金做更有效率的投資及運用。. Ch. engchi. i n U. v. 表 1-2、壽險業 102 年 1~4 月各險別-初年度保費收入統計表(百萬元) 險壽. 別險. 102 年 1~4 月 101 年 1~4 月. 成長率（%）. 237,654. 343,393. -30.8. 傷害險. 3,541. 3,470. 2.0. 健康險. 9,848. 10,494. -6.2. 年金險. 56,492. 32,282. 75.0. 合. 307,535. 389,639. -21.1. 計. 資料來源：中華民國人壽保險同業公會統計資料 3.

(11) 第二節研究目的. 從上一節可得知死亡壓縮(Mortality Compression)意指在人類死亡率下降的過程中，死亡的年齡逐漸集中到更小的範圍，甚至退化至某個特定的年齡，以統計的角度來說，若定義死亡分佈為死亡年齡(Age-at-death)的機率分佈，則死亡壓縮即代表死亡年齡的標準差逐漸變小，最後退化至零，那麼死亡年齡的期望值必定會收斂至某數。學界對於死亡壓縮之衡量指標已發展多元，並普遍應用於許多已開發國家，. 政治大. 探討其壓縮現在存在與否，然而各種衡量指標適用範圍不盡相同，提出的結論也. 立. 差異甚大。在衡量死亡壓縮當中，統計方法、資料品質及分布假設的正確性皆是. ‧ 國. 學. 影響統計推論的主要因素，使用錯誤的統計方法進行推論，隱含了推估錯誤的風險。資料品質影響更甚，若資料對於母體代表性不足，無法有效推估母體的型態，. ‧. 造成推論結果無法真實反映實際情形。. y. Nat. sit. 過去探討死亡壓縮的研究方法中，使用的資料多為生命表資料，生命表資料. n. al. er. io. 往往為了求取平滑性，處理原始死亡資料的過程中皆經過修勻處理，令資料的真. i n U. v. 實性被掩飾，使用如此的資料得到的結果，是否能夠充分表現出真實的事件，也. Ch. engchi. 令人感到疑慮。Yue (2012)使用死亡的原始資料，而非以往研究的生命表資料，在他的研究中發現，近幾年度的壓縮現象不明顯，各指標幾乎呈現震盪的情形，可見資料品質的重要性。除此之外，雖有許多文獻對於死亡分佈有所設定，然而大多數研究仍是使用無母數方法來衡量死亡壓縮情形，且鮮少探究其方法的優劣。李明峰(2012)假設死亡分佈分別為常態分配以及羅吉斯曲線(Logistic Curve)來探討死亡壓縮情形，其兩種分配所顯示結果明顯不同。因此死亡分佈的設定正確性相當重要。本研究主旨為以正規的統計方法，討論死亡壓縮與壽命的極限是否存在，先以電腦模擬的方式比較加入常態分配的數值優化方法，比較參數假定的有無是否 4.

(12) 影響估計方法的好壞，希冀尋求較為合適的評估方法，並套用至 HMD (Human Mortality Database, http://www.mortality.org/)的原始資料，討論死亡壓縮與壽命的極限是否存在，除了檢視各國壓縮現象之外，並在本研究檢查真實資料是否符合常態分配，並將結果應用在保險商品上，提供保險業者可利用常態分配假設近似的方式，去計算年金險的變異數及風險值，並探討當分配變動對保費的敏感程度。本文各章安排如下：第貳章回顧過去對於死亡壓縮與壽命極限探討之理論基礎，並簡介本文將使用的評估方式，第參章為電腦模擬分析，為利用電腦模擬找. 政治大中，討論死亡壓縮與壽命的極限是否存在，並延伸在保險業上年金商品之應用；立出較佳的衡量方式；第肆章為實證資料分析，將第參章的結果套用到實證資料之. ‧ 國. 學. 第伍章為常態性假設的確認，計算利用常態分配所計算之年金險的保費與真實死亡率之差異；最後一章為結論與建議。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 5. i n U. v.

(13) 第貳章、文獻探討與方法介紹死亡壓縮的概念最早起源於 Fries (1980)所提出的疾病壓縮理念(Morbidity Compression)以及存活曲線矩形化之論點，其後許多研究透過觀察存活曲線的變化，陸續轉往觀察死亡分佈曲線的變化，探討死亡年齡是否有壓縮的現象，然而直接觀測法卻因缺乏較具系統性的評估方式，對於死亡壓縮的衡量沒有一定的依據。為了彌補此研究方法的不足，後人因而發展出各個指標，如四分位差、最短信賴區間與標準差等量化的數值方法檢視死亡壓縮。. 政治大. 本章節將分為部分，第一部分介紹存活曲線矩形化，並介紹其與死亡壓縮之. 立. 關連；第二部介紹過去死亡壓縮的測量方法；第三部分則探討常態分配的假設；. ‧ 國. 學. 第四部份探討後續研究欲從三個指標來衡量死亡壓縮的情形；最後一部分則為後續延伸至保險年金商品之精算公式。. ‧ er. io. sit. y. Nat. 第一節存活曲線矩形化. Fries (1980) 觀察西元 1900 年至 1980 年美國死亡率變遷而提出疾病壓縮理. al. n. v i n 念以及其存活曲線矩形化之論點，他認為致命性之疾病(心臟病、癌症等)及老年 Ch engchi U 疾病所發病時間受到延緩，直到接近壽命上限才發生。意味著人類各年齡的存活. 機率在某個特定年齡前皆趨近於 1，直到某個年齡後存活機率迅速下降到 0，此時存活曲線類似一個矩形，稱為存活曲線矩形化(Rectangularization)。以圖 2.1 台灣女性存活曲線為例，可看出以 1930 至 2000 年之台灣女性為例，在 1930 至 1965 年當中，60 歲前死亡的人數大幅減少，而在 1965 年至 2000 年的 80 歲左右之死亡人數下降明顯，使存活曲線明顯矩形化。. 6.

(14) 圖 2-1、台灣女性生存曲線（資料來源：Yue, 2012）. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. al. v. n. 圖 2-2、台灣女性死亡人數分布圖. Ch. engchi. i n U. Fries (1980)亦指出存活曲線矩形化之現象與死亡壓縮同時發生且相互關聯，圖 2-2 以台灣為例可以看出反映死亡率下降過程中，死亡人數在某一特定值為高峰，而隨著存活曲線矩形化，死亡年齡朝此特定值集中之趨勢。因此 Wilmoth (1999)，除了在存活曲線上建構指標外，也探討死亡年齡分布上之指標。其文章也指出平均餘命以及死亡年齡之變異不必然絕對相關，平均餘命在增加的過程中，死亡年齡的差異可能擴大或縮小。因此部分學者轉為觀察死亡年齡的趨勢，並討論死亡率下降的過程當中，是否會產生死亡壓縮的問題，因此下一節則介紹過去死亡壓縮的測量方法。 7.

(15) 第二節死亡壓縮測量方法 Wilmoth (1999)提出十個指標檢視死亡壓縮，其中包含檢測矩形化程度、高齡存活曲線垂直程度，以及存活曲線與死亡年齡分布的相關性，如圖 2-3 所示，亦檢視死亡年齡之分布，分別以死亡年齡的四分位差(Interquartile range of age at death；IQR)、死亡年齡的標準差(Standard deviation of age at death；SD)、基尼指標(Gini Index)、Keyfiz 的 H 指標(Keyfiz’s H)來探討死亡年齡的集中情形。Wilmoth 以提出之指標檢驗瑞典、日本、美國資料，然而其結果顯示指標間的相關係數高. 政治大 Robine(2001)也使用了立IQR 與其他指標，檢驗法國 1890 至 1994 年死亡壓縮. 達 0.9 以上，因此建議使用單一指標即可，而 IQR 為其建議之使用的指標。. ‧ 國. 學. 之情形，結果支持死亡壓縮之情形。然而 IQR 代表涵蓋百分之五十生命表死亡人數的年齡區間，當死亡年齡分布之變異縮小，則 IQR 也隨之縮小。. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2-3、存活曲線與死亡壓縮（資料來源：Wilmoth, 1999）. 8.

(16) Kannisto (2000) 提出有關於死亡人數最多的年齡（M）測量死亡壓縮的幾種方法，如死亡人數最多的年齡以上之標準差(standard deviation of the age at death above the mode) SD(M+)、與給定特定死亡人數比例的最短年齡區間(the shortest age interval in which a given proportion of deaths take place)，其中 SD(M+)如 (2.1) . SD( M ) .  f ( x)( x  M M*. * 2. ). (2.1). .  f ( x) M*. f ( x) 為x歲的死亡分佈的p.d.f，換句話說即是x歲的死亡人數 d x ， M * 為死亡人數. 政治大. 最多的年齡，而  生命表資料的年齡上限，由於 d x 在接近死亡年齡眾數時可能. 立. 呈現多峰分佈，若死亡人數最多的年齡之觀測值若於x歲，因此他建議以 (2.2). M*  x. f ( x)  f ( x  1) [ f ( x)  f ( x  1)]  [ f ( x)  f ( x  1)]. (2.2). Nat. n. al. er. io. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. *. 先求出確切估計 M 值：. Ch. engchi. i n U. v. 圖 2-4、C-family 與 IQR 差異（資料來源：Kannisto, 1999）. *. Kannisto (2001) 利用此指標去檢視十五個國家之 M 與 SD(M+)之變化，結果發現隨著 M 增加，SD(M+)呈現下降的趨勢，顯示壽命後期有死亡壓縮現象。 9.

(17) 而 Kannisto 也接續發展出除了先前提到之 IQR 之外，也使用特定死亡人數比例之最短區間，統稱為 C-family，常見為 C10 、C50、 C90；以 C50 為例，其代表涵蓋死亡人數涵蓋的最短區間，因此涵蓋了死亡人數最多的年齡(M)。（參考圖 2-4）然而各方法皆有其短處，C-family 與 IQR 皆為部分分配的特性比較，可能會受到嬰幼兒及青少年死亡率之影響而未能正確反映壽命區間，而後來晚近學者 Cheung et al. (2005)、Thatcher et al. (2010)所討論之 SD(M+)法，亦可慮如下一節所討論之有參數設定的方法，然而不論其參數設定與否，皆會因為生命表的資料 * 是有上限的，而在人類壽命延長的同時，使得估計區間 [ M ,  ] 越短，產生年齡. 政治大除了介紹分配之介紹，第參章所使用之方法將會提到改進其死亡年齡截斷方法及立. 截斷之問題，標準差的估計值也越小，而得到死亡壓縮存在的結論。因此下一節. 第三節死亡年齡的分配假設－常態壽命區間假設. Nat. sit. y. ‧. ‧ 國. 學. 有參數假定之其他數值優化方法。. n. al. er. io. Lexis (1878)提出常態壽命區間理論，將死亡年齡分佈分為三個階段（圖 2）：. i n U. v. 第一階段為出生後的 J 型曲線，即嬰幼兒的死亡，代表出生時的高死亡率，及以. Ch. engchi. 死亡人數最多的年齡(Modal Age)為中心的高齡常態曲線(Normal curve)，介於兩階段中間的為未成熟的死亡(Premature death)，乃因外力影響或是生活條件不佳所造成。而本研究所討論的死亡壓縮，屬於高年齡的部分，也就是高齡死亡的人數服從常態分配，如圖 2-2 所表示之虛線部分為死亡人數最多之年齡(Modal Age)，亦是常態分配的眾數、中位數及平均數。王德睦 (2009) 將 Modal Age 以上右半邊之分佈情形對折(依圖 2-2 之虛線部分)至左半邊以建立壽命區間，再以卡方檢定方法檢驗是否符合常態分配，其結果顯示以台灣近半個世紀來看大部分接近常態分配。. 10.

(18) 政治大圖 2-5、常態壽命區間示意圖（資料來源：Lexis, 1878）立. ‧ 國. 學. 而Cheung et al (2005)基於此常態壽命區間的理論，提出從三個面向去探討死亡壓縮，水平化(Horizontalization)，意即低年齡死亡率下降使得存活曲線水平化；. ‧. 垂直化(Verticalization)，意指Modal Age附近的死亡年齡集中程度，集中程度很高. y. Nat. sit. 的話，將會使得存活曲線在Modal Age時會趨近垂直；以及壽命延長(Longevity. n. al. er. io. Extension)，意指探討常態壽命最右端的年齡；倘若死亡壓縮存在，存活曲線的. i n U. v. 右尾不會太長。針對存活曲線垂直化的討論，若以死亡分佈的角度來看，乃針對. Ch. engchi. 高齡死亡的常態壽命區間，探討Modal Age附近的標準差之變化。即便有常態壽命區間的假設，大部分的研究仍然沒有將此模型假設放進測量方法之中，依舊以無母數的方法進行研究，因此得到的估計結果也讓人感到疑慮。本研究認為，若能以此分佈假設估計常態壽命區間的標準差，將能得到比以往更好的結果，本文之估計方法則將常態分配納入考量。. 11.

(19) 第四節本研究探究之指標除了上述所提到過去死亡壓縮之方法外，本研究希冀能加入常態分配假設，並捨棄 IQR 等只考慮部分資料之無母數方法，因此本文將著重於 Modal Age 附近的死亡分佈；並由以下三個指標去觀察各方法評估死亡壓縮與壽命延長的現象：（一）死亡人數最多的年齡（Modal Age、簡稱 M）藉由觀測歷年來 M 的趨勢以及其年增率，若人類的壽命有上限，理論上歷. 政治大過往對於 M 的估計多以觀測值修改後當估計值，但在本研究會加入常態分配之立. 年來 M 的趨勢應接近水平，而其年增率非常接近 0，方能證實壽命有極限一事。. 假設去估計 M。. ‧ 國. 學. （二）死亡分佈上年齡的標準差(σ). ‧. 若假設死亡分佈為常態假設，則死亡分佈上年齡的標準差σ則是最直接可以. y. sit. io. （三）死亡年齡第百分之九十五位數(P95). al. er. 的存在。. Nat. 觀察死亡壓縮的與否，若隨著 M 的增加而使σ逐漸下降，則可以確立死亡壓縮. n. v i n 探討死亡年齡的第百分之九十五位數為何，如果人類的壽命有極限，在達到 Ch engchi U. 極限時此測量方法所得估計值應維持在同一個水平才能說明壽命已達極限，其值為式(2.12). P95  M  Z 0.05  . (2.12). 介紹過去死亡壓縮的測量方式，本節以三個指標做為所研究的依據，然而在第參章會先確立最好之估計 M 及σ之數值優化方法，並將其結論運用在保險商品上，並以年金險為例，探討當 M 及σ變動所帶來之影響，進而與真實死亡率做比較，因此下節敘述之後會使用之年金險精算公式及風險值。 12.

(20) 第五節年金險精算公式及風險值純保費的訂定受到幾個變數影響，為簡化問題在此研究省略保險期間的累積期。假設開始領取年金之年齡為 x ，預定利率為 i (利率折現因子 v . 1 )；各年 1 i. 齡死亡率為 qx。以下為本文使用的精算公式，(2.13)為即期年金躉繳純保費，(2.14) 則為年金險變異數計算公式。 . Yx  v k k p x. (2.13). k 0. Var (Yx ) . . . k 0. k 0 2.  v 2( k 1) k | qx  ( v k 1 k | qx )2 (1  v ). 學. (2.14). ‧. ‧ 國. 立. 政治大. y. Nat. Philippe (2000)定義VaR係指在一特定的信賴水準下，衡量某一資產組合或部. er. io. sit. 位於特定目標持有期間內，由於潛在市場環境發生不利變動而可能產生之預期最大損失的期望值，而該期望值可以價格（損益）或報酬率的型態產生。以特定的. al. n. v i n 信賴水準在95%為例，若此時某資產組合或部位之VaR 為$1,000,000，即表示在 Ch engchi U 正常狀況下，未來一天內，該資產組合或部位之損失超過$1,000,000 的機率應不超過5%。因此在本研究計算分配改變所造成的破產機率為此概念，模擬一組十萬個人. 來計算所收取保費中，可求出其期望值 E (Y ) 以及標準差  (Y ) ，信賴水準為(1-α) %。期望值即為純保費為，建立常態分配區間，若給付超過VaR的人數占總人數的機率視作破產機率。在此研究之VaR值為：. VaR  E (Y )  Z   (Y ). 13. (2.14).

(21) 第參章、數值優化與電腦模擬分析前章提出本研究所要觀察之三個指標，然而此章節提出估計參數M及σ的三種估計方式，透過電腦模擬的方式，去判斷何種估計方法較為穩健(Robust)。本章分為三部分，第一部分將假設死亡分佈為常態分配，分別介紹三種數值優化方法估計M及σ，以及修正過後之SD(M+)：第二部分為常態分配下的模擬結果比較，除觀察M及σ之期望值之外，更以均方差(Mean Square Error；MSE)及涵蓋機率來檢驗；第三部分為考慮方法的穩定性，測試分配變動對於各種方法之敏感度，以不同自由度之t分配為例。. 立. 第一節數值優化之方法. 政治大. ‧ 國. 學. 前一章表示本研究假設死亡分佈為常態分配下，本研究欲估計 Modal Age. ‧. 及其附近的標準差兩個參數之估計，而在統計上估計參數常用的分配如下：加權最小平方法(Weighted Least Squares；WLS)、非線性極值(Nonlinear-Maximization；. y. Nat. io. sit. NM)及最大概似估計法(Maximal Likelihood Estimation；MLE)，因此本研究利用. n. al. er. 這三種數值優化方法，估計 Modal Age 及其附近的標準差來探討死亡壓縮的現象，. Ch. i n U. v. 並與修正後的 SD(M+)做比較，藉由下一節的電腦模擬分析去評估方法優劣。. engchi. （一）加權最小平方法(Weighted Least Squares；WLS) 本文對於 WLS 之運算法則，由於死亡年齡 d x 符合常態分配，平均數為 M ，變異數為  2 ，帶入常態分配之假設後整理如下：. log(. 令 g ( x )  log(. d x 2 d 1 )  log( x 1 )   2 d x 1 dx . d x 1 ) ，上式可以化為下式 dx 14. (3.1).

(22) g x(  1) g (x ) . 1. (3.2). 2. 即可配適簡單迴歸線 g ( x)  a  bx ，則可求出 M 及  2 如下:.  2 . 1 b. (3.3). M . a b. (3.4). （二）非線性極值法(Nonlinear-Maximization；NM). 政治大. 本文對於NM之運算法則如下，其中k值為所採取的資料範圍：. 立 arg. M * k. . min. d x { f ( x) . ‧ 國. (3.5). 學. x  M * k. dx 2 } l0. 根據 Lexis 的常態壽命區間假設，高年齡死亡分佈會趨近於常態分配，也就是(3.5). ‧. x  M k. 2. 2. exp [. 1 d ( x  M * )2 ]  x }2 2 l0 2. n. al. 1. sit. d x{. *. io. M ,. . Ch. (3.6). er. Nat. M * k. a r g min. y. 中之 f(x)為常態分配的 p.d.f，所以可改寫為：. engchi. i n U. v. （三）最大概似估計法(Maximal Likelihood Estimation；MLE) 本文對於MLE之假設 d x 死亡人數，為Bin( nx , q x ) 分配， nx 為存活人數，運算法則為：. log L(  ,  2 )   (nx  d x ) log Px  d x log(1  Px ). (3.7). X. 根據 Lexis 的常態壽命區間假設，qx . 1 2. 15. 2. exp[. 1 ( x   * ) 2 ]，所以可改寫為： 2 2.

(23) M k. arg max M ,.  (n. x  M k. x.  d x ) log{1 . 1 2. exp[. 2. 1. + d x log{. 2. 2. 1 ( x   * )2 ] } 2 2 exp[. 1 ( x   * ) 2 ]} 2 2. (3.8). （四）修正後之 SD(M+)法如前述文獻探討所提到的，如此一個方法，使用的範圍並不固定，會產生年齡截斷而產生偏誤的疑慮，因此本文對於SD(M+)的估計方式修正為： 2k. SD( M ) .  d (x  M ). xM. 2. x. (3.9). d 政 治大 2k. xM. 立. x. ‧ 國. 學. 第二節常態壽命區間假設. ‧. y. Nat. 方法的優劣除了評斷估計其參數值是否會有偏誤之外，希望能有較低之均方. er. io. sit. 差(Mean Squared Error；MSE) ，因此將會反覆一千次的模擬後，比較四種參數估計方法之期望值及 MSE，以及比較各種方法 95%信賴區間涵蓋真實參數之覆. n. al. Ch. 蓋機率，作為衡量方法優劣的依據。. engchi. i n U. v. 由於死亡資料大多為整數資料，本文由於使用的資料形態，將對整數資料得到的M估計值增加0.5個單位，而對於標準差的估計便不做更動。首先，使用統計軟體R產生十萬筆來自常態分配，平均數80且標準差為10的亂數，並分別比較不同的資料區間值（記為k），重複一千次的電腦模擬，計算各種方法之M及σ參數估計值及其震盪程度，作為評估方法優劣的參考。首先比較M估計的結果（如圖3-1）：. 16.

(24) 圖 3-1、以期望值來觀察不同方法之 Modal Age 結果. 政治大. 圖 3-1 左圖上虛線部分為真實值 80 歲，可以發現利用 NM 所估計之值為最. 立. 準確，不論 k 值都較穩定，WLS 在 k 大於 10 後表現良好，甚至超過 NM，但是. ‧ 國. 學. 在 k 在 10 之前震盪較 NM 大。SD(M+)雖然沒有明顯偏誤，但是震盪幅度大較不穩定，且不因隨著資料量越多而較穩定。然而效果最差為 MLE，受到 k 影響極. ‧. 大，若 k 不夠大，則失去不偏的性質。. y. Nat. sit. 圖 3-1 右圖可以看出因為 SD(M+)因為觀察值內插校正的緣故，導致變異數. n. al. er. io. 較大，其 MSE 高出其他三種方法許多。以均方差角度來看，k 等於 15 以前，NM. i n U. v. 方法優於 WLS 及 MLE，也可以發現 k 在 10 到 12 之間時，NM 之 MSE 就已經. Ch. engchi. 達到最低，因此也提供本研究在之後選取 k 時的依據。. 圖 3-2、以期望值及 MSE 來觀察常態分配對 σ 影響 17.

(25) 由於之前所述 SD(M+)是採取 M 到 M+2k 之資料做估計，因此在模擬變異數時，受到 M 假設為 80 歲之影響，k 最大值受限，只能計算 k 為 15 以下之估計值。圖 3-2 可以看出各個方法估計 σ 之差異較 M 更為明顯，NM 及 WLS 效果的效果較佳，尤其 NM 在 k 範圍為 5 到 10 之內，也就是只要十幾個樣本估計效果就不錯。由於 SD(M+)及 MLE 預測變異數較沒有「不偏」性質，因此偏誤較大，預測效果較差。從 MSE 來看可以看出雖然 WLS 估計變異數之期望值雖不偏，但是其變異數較 NM 大，而 SD(M+)及 MLE 更為明顯看出均方差較高。因此這也提供我們在假設死亡人數為常態分配後，最佳的估計方法為數值優化之 NM。. 政治大在不同的方法之下，反覆一千次的模擬，比較各種方法 95%信賴區間涵蓋真實參立. 除了比較四種方法優劣外，藉由電腦模擬設定十萬筆死亡年齡之隨機亂數，. 數之覆蓋機率。. ‧ 國. 學 y. al. n. 0.961. Ch. sit. io. 6. WLS. NM. MLE. 0.951. 0.953. 0.954. 0.937 e 0.947 ngchi U. 0.951. er. k. 方法. Nat. 涵蓋機率. ‧. 表 3-1、各方法 M 估計值涵蓋機率比較(常態). v ni. SD(M+). 8. 0.941. 10. 0.957. 0.952. 0.940. 0.960. 12. 0.963. 0.955. 0.943. 0.967. 14. 0.953. 0.944. 0.917. 0.969. 在前述可以發現 SD(M+)及 MLE 不論在偏誤性以及變異數來看皆明顯劣於 NM 及 WLS，但在表 3-1 其方法的涵蓋機率卻差異不大，甚至更好的原因出自於 SD(M+)之變異數較大，所造成的涵蓋機率較高，因此信賴區間也是四種當中最大的。但可以觀察 NM 方法穩定，不易隨著 k 變動而影響。從上表會發現各個 18.

(26) 涵蓋機率都很高，由於 WLS 及 SD(M+)較高的原因是變異數也較大所致。. 表 3-2、各方法 σ 估計值涵蓋機率比較(常態) 涵蓋機率. 方法. k. WLS. NM. MLE. SD(M+). 6. 0.951. 0.939. 0. 0. 8. 0.950. 0.955. 0.001. 0. 10. 0.956. 0.948. 0.003. 0.234. 12. 0.956. 14. 0.961. 立. 政0.951 治 0.018 大 0.952 0.115. 0.735 0.899. ‧ 國. 學. 由表3-2可看出NM及WLS涵蓋機率皆達95%左右，雖然WLS看似較NM機率. ‧. 高，源於其變異數也較大之關係，然而MLE及SD(+)涵蓋機率極低甚至為零，源. Nat. sit. y. 於這兩種方法其偏誤過高，即便其變異數為最大之方法也無法涵蓋真實參數值，. n. al. er. io. 但可看出會隨著K值越大，涵蓋機率隨之增加。. i n U. v. 從上述可以得知，在常態假設下 NM 之估計方法為最好，然而由於變異數. Ch. engchi. 之比較並須在相同分配下，因此分配假設顯得相當重要，然而分配的變動是否會進而影響估計方法的敏感程度也是本研究想探討的，因此在下一節將會討論若真實分配為 t 分配時，卻錯誤的使用常態分配的估計方式，其所估計之參數影響。. 第三節分配變動對於各種方法之敏感度由於死亡分佈很少人進步一證實，因此本研究在使用上會探討若死亡分佈不是常態分配所造成影響，在此我們將錯誤分配假設為自由度為 5 之 t 分配，而使用 t 分配原因為其機率分佈接近常態分配，與真實死亡分佈情形較為相似，其兩分配之機率分配如圖 3-3。 19.

(27) 圖 3-3、T 分配(自由度=5)與常態分配之機率圖. 政治大時樣本來自 t 分配(自由度=5)，抽取後乘上預設之標準差並將中心點移至期望值立模擬方法如同上一節，藉由電腦模擬設定十萬筆死亡年齡之隨機亂數，但此. 為 80。並分別以不同的方法，反覆一千次的模擬檢視其期望值情形以及均方差，. ‧. ‧ 國. 學. 結果如下：. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 3-4、以期望值及 MSE 來觀察 T 分配對 Modal Age 影響. 20.

(28) 圖 3-5、以期望值及 MSE 來觀察 T 分配對 σ 影響. 政治大同，雖然 MSE 較常態分配假定較大，NM 方法仍估計較好。分配的變動對於 σ 立從圖 3-4 及圖 3-5 可以看出分配的變動對 M 的改變不影響，因為其期望值相. 影響明顯，可以看出受到自由度為 5 之 t 分配因為標準差為 5/3，而 NM 在估計. ‧ 國. 學. 時也真實反應其變化，WLS 則是會隨著樣本數選取越多，選取到 t 分配尾端較. ‧. 高的機率值，造成 WLS 的變異數會隨著 k 愈大而增加。MLE 為最大概似估計法，. y. Nat. 因此較不易受到分配影響，與常態反分布時反應一致，但仍要 k 高達 15 以上才. er. io. sit. 能發揮作用，在實務上採用會受到資料的限制。圖 3-6 檢視 NM 估計變異數的偏差比例和 t 分配的公式有極大相關，對 NM 來說，變異數的偏誤來自於自由度. al. n. v i n 減少所帶來變異數的改變，幾乎呈現線性相關。SD(M+)在 k 為 10~12 表現良好 Ch engchi U 但隨著 k 增加反而變大，相較於其他方法較不穩定。. 圖 3-6、不同自由度之 T 分配對 σ 增加比例影響(NM) 21.

(29) 除了比較偏誤情形以及 MSE 之外，如同上節進一步探討涵蓋機率所造成之影響，結果從表 3-3 可以明顯看出雖然分配抽樣於 t 分配，但是仍效果良好，NM 在隨著 k 增加而涵蓋機率增加。至於另外三種方法由於變異數較 NM 法大很多，導致信賴區間較大而產生之結果。而 WLS 在 k 越大時會出現高估 M 之偏誤導致涵蓋機率下降。. 表 3-3、各方法 M 估計值涵蓋機率比較(T 分配) 涵蓋機率. 方法 NM MLE 政治大 0.899 0.959. k. WLS. 6. 0.974. 8. 0.965. 0.907. 0.967. 0.96. 0.965. 0.905. 0.955. 0.952. 0.952. 0.931. 0.954. 0.945. 0.913. 0.952. 0.956. io. y. sit. 0.976. er. ‧ 國. Nat. 14. ‧. 12. 0.971. 學. 10. 立. SD(M+). 表 3-4、各方法 σ 估計值涵蓋機率比較(T 分配). n. al. 涵蓋機率. i n Ch e n g c方法 hi U. v. k. WLS. NM. MLE. SD(M+). 6. 0.969. 0.012. 0. 0. 8. 0.931. 0.002. 0.008. 0. 10. 0.937. 0. 0.028. 0.111. 12. 0.949. 0. 0.112. 0.959. 14. 0.938. 0. 0.404. 0.912. 22.

(30) 從表 3-4 可以看出若分配假設錯誤對於 σ 估計變化很大，由於 NM 的方法會反應真實樣本的結果，因此估計出來皆為預設變異數之固定比例而有所偏誤，加上信賴區間較窄，造成涵蓋機率幾乎為 0；SD(M+)為無母數方法，因此不受到分配影響，加上當 k 變大時，其估計變異數膨脹導致信賴區間較寬而提高涵蓋比率。因此從電腦模擬比較，可見 NM 方法穩定，若能確立常態分配假設則是良好之估計方法；反之若死亡分佈不確定其 σ 結果將有疑慮。因此下一章節將利用 NM 估計方式來檢驗各國實證結果，而在對死亡壓縮之指標 σ 估計時，仍加入. 政治大. SD(M+)無分配考量之方法估計其結果佐以參考。. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 23. i n U. v.

(31) 第肆章、實證資料分析由前所述此章將會利用電腦模擬之結果套入實證資料作分析，驗證真實資料是否有壽命延長與死亡壓縮之現象。本研究參考2013年統計至今之HMD(Human Mortality Database)資料，根據美國世界人口估計要覽表，由於平均餘命的增加，死亡人數會愈趨近常態分配，因此本研究選取平均餘命較高的國家，認為較能真正反映真實死亡壓縮情形，而力求分佈於五大洲，國家分別為台灣、美國、加拿大、英國、法國、瑞典、日本及澳洲八個國家做比較，以選取西元1970年至2009. 政治大. 年近期之研究資料期，共計40年作分析。. 立. 本章第一部分以台灣為資料探討k值的選取以及資料的品質，在第二部分則. ‧ 國. 學. 是以選取之研究對象以高齡化社會國家為主，以NM方法來做實證的估計方法，分別以前述三個指標討論死亡壓縮及壽命延長之情形。第三部分則是利用實證結. ‧. 果來找出年金險的計算方式，如同前一章，仍觀察當分配不同時對保費所造成之. er. io. sit. y. Nat. 影響。. 第一節資料品質之影響. n. al. Ch. engchi. i n U. v. 前述提到資料品質會影響估計的方式，以往研究大多以生命表資料為主，然而生命表的資料可能過度修勻導致真實值被掩蓋，因此本研究實證則以原始資料來探討且在估計方法當中選取資料長度之 k 值為 10。（一）K 值影響由於各種方法必須選取相同的資料長度計算，前述提到k值受到資料的限制不能取過於大，雖然在第參章模擬當中，對於NM方法在k介於5至10之間效果皆較好，但仍以台灣為例(西元1970年至2010年，HMD資料)比較當k為5或10時，估計情形的好壞，並檢查當k變動時，在實證資料上呈現的變動情形。. 24.

(32) 政治大. 圖 4-1、台灣女性不同 K 值對 Modal Age 之影響. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-2、台灣女性不同 K 值對 σ 之影響. 圖4-1以台灣為例可以發現，當k值從5提高到10時，不論男女對於Modal Age 的平滑度增加許多，較不會有上下震盪之情形。對於σ來說，圖4-2顯示當k增加即採用較多資料時，相對的變異數也隨之增加；亦可在圖中顯示台灣男性之σ較女性高出許多，並隨著年代之增加也有擴大之趨勢。（二）修勻結果的影響從文獻探討可得知，修勻過資料往往失去資料的真實性，而造成扭曲，實際 25.

(33) 上在檢視各國的 M 及 P95 時也可以發現，修勻資料較未修勻資料震盪幅度大，因此實證結果皆未修勻過後的資料來做分析。值得注意是從圖 4-3 可以發現，透過 NM 方法去計算當修勻資料對 σ 之影響，未修勻資料變異數皆較修勻後來得高。因此若只單看以生命表的資料來衡量死亡壓縮的變異數，差異結果大。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. a. er. io. sit. y. Nat. 圖 4-3、修勻與非修勻資料對 σ 之比較. 第二節死亡壓縮與延壽之探討 l. Ch. engchi. i n U. v. 本節將選定的方法NM及資料長度k為10之數值優化方式，去探討八個國家死亡壓縮及延壽之討論，並與過去文獻所提及SD(M+)相比較將由死亡年齡的眾數來探討延壽的部分，並觀察死亡分佈上的標準差與P95之變化，以這兩個測量方式的變化檢視死亡壓縮是否存在，倘若死亡壓縮確實存在，則各種情形下的標準差估計值應持續縮小中，而P95則不再上升，意味著壽命的右邊的極限值是可以預測到的。如同第貳章所述以下三個指標去觀察各方法評估死亡壓縮與壽命延長的現象： 26.

(34) （一）死亡人數最多的年齡（Modal Age、簡稱M）. 政治大. 圖 4-4、利用 NM 法 M 的變化(Female). 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-5、利用 NM 法 M 的變化(Male) 由圖 4-4 及圖 4-5 可以看出在西元 1970 年至 1990 年之間震盪較明顯，之後愈趨平滑。不論男性或女性，各國的 M 皆往上延伸，且呈現一直線，若壽命有極限之假設成立的話，M 將隨著年代增加而愈趨平滑，從圖 4-4 可以看出美國及英國女性之 M 在近 10 年有較平緩的趨勢外，其餘皆是無限向上的趨勢。表示壽命有上限此假說以目前的資料來看並不成立。. 27.

(35) 圖 4-6、利用 SD(M+)M 的變化(Female). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-7、利用 SD(M+) M 的變化(Male) 除了 NM 法之外，本研究也比較了 SD(M+)對於估計 M 之影響，由圖 4-6 及圖 4-7 可以明顯看出，利用傳統的 SD(M+)法估計 M，如同本研究預期般震盪較 NM 大許多。從圖 4-6 各國女性資料方面可以看出較 NM 上升平緩，但是震盪太大以至於無法做明確的定論，然而圖 4-7 顯示各國男性仍向上延伸，無法判斷死亡年齡是否有上界。. 28.

(36) （二）死亡分佈上年齡的標準差如之前所述，標準差是死亡壓縮主要指標，且在電腦模擬分析可看出其高度受到分配之影響。因此在此除了用 NM 來探究之外，還會加入 SD(M+)法一起比較。. 立. 政治大. ‧ 國. 學 ‧. 圖 4-8、利用 NM 法標準差的變化(Female). n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-9、利用 NM 法標準差的變化(Male). 29.

(37) 圖 4-8 及 4-9 可看出死亡年齡的標準差在西元 1970 年至 1980 年內先下降趨勢較為明顯，而近年來下降的趨勢漸緩，除了澳洲及瑞典不論男女、性以及法國男性呈現下降外，其餘國家幾乎呈現持平，日本及台灣在男性的部分標準差甚至上升的趨勢明顯，顯示死亡壓縮在此是沒有定論的，少數國家甚至呈現死亡擴張之情形。從前述可以知道當分配假設不確定時，NM 估計變異數結果令人憂慮，因此加入以無母數方法，也就是修正過之 SD(M+)法來計算各國標準差之變化。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i n U. v. 圖 4-10、利用 SD(M+)標準差的變化(Female). engchi. 圖 4-11、利用 SD(M+)標準差的變化(Male) 30.

(38) 圖 4-10 及 4-11 可以發現由於使用無母數方法造成震盪較大，但不論男女性皆無法看出明顯壓縮現象。以女性為例，大多數國家皆呈現持平，日本及美國女性則呈現上升的趨勢。男性壓縮較為明顯，但是日本、台灣、法國則是呈現持平的現象。即使使用無母數資料，對於死亡壓縮仍無明確定論。（三）死亡年齡第百分之九十五位數(P95). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. n. al. er. io. 圖 4-12、利用 NM 法 P95 的變化(Female). Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-13、利用 NM 法 P95 的變化(Male). 31.

(39) 倘若死亡壓縮存在，則 P95 趨勢線則會愈趨平緩，但從圖 4-12 及 4-13 中並沒有看到明顯趨於平緩的線，甚至標準差明顯下降之澳洲及瑞典也呈現上升的趨勢。這也表示即使標準差緩慢下降，其程度仍不及於 M 上升之程度，因此對於高齡端的極限值，仍是目前所未知的。但是不論以標準差及 P95 對於死亡年齡壓縮的現象，尚且無法有明確的結論，仍需要再過幾年觀察才能有較好的結論。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. n. al. er. io. 圖 4-14、利用 SD(M+) P95 的變化(Female). Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-15、利用 SD(M+) P95 的變化(Male). 32.

(40) 由圖 4-14 及圖 4-15 可以明顯看出，利用傳統的 SD(M+)法估計 P95，如同估計 M 一樣震盪較 NM 大許多，尤其從法國男性更可以看出同時受到 M 及σ影響，震盪幅度更大，然而這部分和 NM 結果一致，無論變異數是否縮小，P95 皆呈現上升的趨勢，表示右尾的年齡仍是未知的部分。綜合上述實證結果，可以得知以目前的資料來看，不論帶入分配假設與否，死亡壓縮的現象皆不明顯，然而從 M 的延伸也確立目前壽命有上界的說法值得懷疑，因此保險業者對於承保風險這一部分仍須考量。因此下節進一步將這現象帶入保費之計算，討論 M 及 σ 之變化對年金險保費計算之變動。. 政治大. 第三節年金險保費及分配變化之影響. 立. 傳統常利用理賠的次數為一波瓦松過程（Poisson process）之假設，理賠金. ‧ 國. 學. 額為指數分配(The Exponential Distribution )，來計算保險商品之破產機率較為繁. ‧. 雜，多為歷史資料作為依據。然而保險商品之保費計價方式，多為參考死亡率來. y. Nat. 計算保費。在此簡化問題，並利用死亡年齡為常態分配的假設，去計算保費，提. er. io. sit. 供業者一種近似方法，由於只要知道 M 及 σ 的趨勢，即可推敲未來的保費計算方式，實務操作上較為便捷。. al. n. v i n 利用常態分配模擬年金保費 C ，並計算若分配不是常態分配時所帶來的影響， hengchi U. 將死亡分布所造成的變動考慮其中。此研究對於年金保費的計算，只計算開始領. 取年金的年齡，不考慮年金累積期的影響。其中保費的計算當中，由於以建立在常態分配的基礎上，因此可以利用分配之機率值計算理論保費，但無法估計其變異數。因此本研究利用模擬十萬個人的方式去計算保費，結果與理論值接近，誤差值百分之二，利用模擬值計算方式可能模擬出較高的死亡年齡，相對的常態分配理論值無法計算到無窮大歲數，但仍可以提供我們計算保費期望值及變異數之近似方式。. 33.

(41) 藉由前一章的結論，想知道未來 M 及 σ 變動的趨勢，造成年金險保費的影響為何，因此先以常態分配為例，模擬一千次，探討當 M 及 σ 變動的情境下，對於保費之影響。. 立. 政治大. 圖 4-16、M 及 σ 變動對保費影響(常態分配). ‧ 國. 學. 從圖 4-16 可以看出隨著 M 增加保費隨之增加，而目前保險業者開始領取年. ‧. 金的年齡多在 55 歲及 65 歲，也就是保費所增加幅度最大的年齡。σ 增加則是隨. sit. y. Nat. 著領取年齡增加而增加，相較於 M 的變化下，σ 之變化差異較不明顯，但在領. al. er. io. 取年齡為 65 歲仍有差異，保費增加也不容小覷。. v. n. 除了常態分配外，此研究想探討若實際分配為 t 分配，但卻套用到常態分配. Ch. engchi. i n U. 時所造成的情況。圖 4-17 不論從保費(期望值)或變異數來看，由於實際年齡假設 t 分配，因此厚尾性質時會導致兩者皆有低估的現象，其中又以保費變異數差異較明顯。若實際分配為 t 分配，卻套入常態分配時，則變異數都低估很多。領取年齡越低時，變異數差異較大，到 75 左右歲呈現最低，之後又有逐漸升高的趨勢。但我們通常不考慮後面的現象，因此視變異數隨著領取年齡增加有遞減的趨勢。而受到 t 分配在自由度小時，公式本身變異數的增加，造成差異更大。. 34.

(42) 圖 4-17、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. io. sit. y. Nat. n. al. er. 圖 4-18、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例(M 變動). Ch. engchi. i n U. v. 圖 4-19、T 分配相較於常態分配保費及變異數所增加之比例(σ變動) 35.

(43) 從圖 4-18 及 4-19 可看出在變異數增加時，保費的增加量也增加。但是若過了 80 歲之後反而減少。而變異數減少保費的增加量隨之減少，但是過了 80 歲之後反而增加。求出保費之期望值及變異數後，藉由風險值 VaR 之概念，進而去模擬一組十萬人來計算所收取保費中，若不足以支付風險值的損失則視作破產，並計算當分配改變所造成破產機率的計算。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 sit. y. Nat. io. er. 圖 4-20、T 分配與常態分配保費不足之破產機率. al. n. v i n 從圖 4-20 可以發現在領取年齡介於 50 歲至 75 歲之間時，t 分配的破產機率 Ch engchi U. 皆大於常態分配的假設，但是其餘年齡反而是常態之破產機率比較大。但就目前年金開始提領的年齡也是介於 50 歲至 70 歲之間，其中 65 歲可以發現自由度為. 5 的 t 分配較常態分配之破產機率增加 3%左右，然而 t 分配相對其他如指數分配、柯西分配較接近，但從上述可發現分配的變動對於年金保費及估計死亡壓縮之 σ 皆有明顯影響，可見分配的重要性不容小覷。此章除了以實證資料來探究壓縮結果，進一步發現分配的變動不但影響死亡壓縮的表現，也影響保費估計的變動情形。然而實務上保險業者鮮少探究真實死亡分佈之分配，若能確立死亡分佈為常態分配，能確實帶來許多便利之處，也引. 36.

(44) 發我們探究真實分配為常態分配與否，因此第伍章為真實死亡分佈之適合度檢定，以及檢定之結果。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 37. i n U. v.

(45) 第伍章、殘差檢定分配的變動不僅影響死亡壓縮的估計好壞，也影響保費估計的變動情形，可見分配之重要性。雖然先前文獻提到若利用高齡人口對折的方式，捨去青少年時期部分，可以求出近似常態之結果，由於前一章可看出分配的重要性，因此探究其完整的資料是否真正趨於常態則是本研究認為有進一步討論的必要性，因此在此章節分為兩個部分做探討，第一部分為資料常態性檢定，第二部分則為常態分佈所計算之保費與真實年齡所計算之差異。. 政治大. 第一節常態檢定－適合度檢定. 立. ‧ 國. 學. 受到資料之限制，死亡年齡之統計皆為離散之資料，由於死亡年齡非原始資料，而是採用最後一次生日之整數年齡(Age Last Birthday)，檢定力也大打折扣，. ‧. 即使使用 Kolmogorov-Smirnov 常態檢定法（簡稱 KS-test），也一定拒絕，不管. sit. y. Nat. 精確到小數點後一位、兩位、三位數皆拒絕。在此研究採用適合度檢定(Chi-Square. io. al. 兒死亡率的影響，採計八組為分組數量。. er. Goodness of Fit Test )，並分做八組及二十一組來計算，結果皆是拒絕，考慮嬰幼. n. v i n Ch 本研究採取之解決辦法則是仍用卡方檢定，但每組間之理論個數則不直接利 engchi U. 用卡方分配值，而是採計模擬一萬次所求各組間的個數值視作卡方理論個數值。發現模擬 10 萬個死亡年齡，期望值(M=80)及標準差(σ=10)為已知，區分八組時，區分的邊界皆為(68,73,76,80,83,86,91)，強迫分 8 組，將表 5-1 之各組數值視作理論值去計算，則 94.7%符合常態假設，即使樣本降為一萬，模擬一千次仍只有 42 個拒絕常態分配，95.8%符合常態假設，顯示資料樣本在樣本十萬或一萬，卡方檢定都符合預期。但在實證分析上由於分為 8 組，各年齡第一組數值過大及最後一組數值過小，無論各國情形皆同，依修正後之卡方檢定去計算卡方值，不論是台灣、日本等仍 38.

(46) 過大，導致拒絕常態分配。表 5-2 以日本女性為例，從 2007~2009 年來看，各組的分布可看出在低年齡組仍有偏高的現象，且在最後高齡的部分因統計不易，人數仍過低。. 表 5-1、模擬各組之理論個數組別. 一. 二. 三. 四. 五. 六. 七. 八. 11,504. 12,690. 10,262. 11,560. 15,778. 10,786. 13,856. 13,563. 觀察值個數. 政治大. 表 5-2、實證各組死亡人數（日本女性）第五組. 第六組. 2007. 24,232. 11,093. 11,378. 13,046. 13,570. 11,771. 10,116. 4,792. 2008. 23,977. 11,085. 11,321. 13,176. 13,576. 11,859. 10,197. 4,814. 2009. 23,104. 10,682. 11,062. 13,111. 13,757. 12,140. 10,744. 5,399. ‧. Nat. n. al. er. io. sit. y. 第四組. 學. 第一組. ‧ 國. 第二組. 立第三組. 年分. Ch. engchi. i n U. v. 圖 5-1、不同年度死亡人數分佈圖（台灣女性） 39. 第七組. 第八組.

(47) 以台灣女性為例，從圖 5-1 可以看出雖然隨著年代的增加，死亡人數曲現有愈趨於常態分配之趨勢，但 65 歲以前之人數仍較常態分配多，100 歲至 110 歲高齡人數較少之現象。以 2010 年為例說明差異，先由實際死亡人數估計 M 及 繪製出的常態分配曲線，與實際死亡人數的曲線比較，斜線部分可看出兩者的差異，因此不滿足常態分配的假設，亦即理論與實際的差異仍明顯。. 第二節常態分配假設真實死亡率之差異前述之常態分配假設在實務上雖不符合，但是透過圖 5-1 之斜線部分，可以. 政治大差不大，我們進而求算利用常態分配所計算之年金險保費的及利用真實死亡率之立推敲若計算 65 歲以後之年金險，相互抵消之下與實際死亡率所計算之保費應相. 近似情形，並比較 60 歲、65 歲以及 70 歲領取年金保費之差異。. ‧ 國. 學. （一）保費期望值. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 圖 5-2、常態假設較生命表所增保費之比例(台灣女性) 圖 5-2 可以看出 60 歲及 65 歲兩者誤差大概在 5%~10%，而利用常態分配所計算出的保費皆較真實死亡率求算來得高，究其原因是斜線右邊的部分，目前超高齡人口仍占少數，且估計誤差大。而 70 歲領取有較大差異的比例因為隨著領 40.

(48) 取年齡愈高，年金躉繳保費較低，所以相除下來 70 歲領取的比例較高。然而明顯發現，愈接近現在的年代，差異的比率越小。圖 5-3 可以看出以日本女性為例計算保費，差異的效果會隨著年代的增加，差異縮小較為明顯，而且到西元 2000 年後差異皆縮小至 5%左右，表示 60 歲以後的右半部分隨時代的推進，用常態假設所計算之保費會愈趨於死亡率所計算的保費，然而 5%高估的比例，相當固定，不隨領取年齡增加而改變，亦可以視作保險公司之行政管理費用，因此這也提供了保險公司保費定價過程中之上限。. 政治大. 立. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i n U. v. 圖 5-3、常態假設較生命表所增保費之比例(日本女性). engchi. （二）保費變異數除了保費之差異外，也探討真實死亡率與常態之保費變異數之差異，透過年金公式計算之變異數，圖5-4可以看出不論領取年金為何，隨著年代的增加，死亡人數之分佈愈趨於常態分配之情形，但是變異數之差異卻隨之增加。因此可以推估若用真實死亡率所計算之變異數較低，有低估風險之虞。綜合第肆章第三節的結果，可以推論若究其風險值之大小，則以t分配計算為最高，常態分配次之，真實死亡率求算之風險值最低。. 41.

(49) 圖 5-4、常態假設較生命表保費標準差所增比例(台灣女性). 政治大此章節可以確立其真實資料與死亡分配仍差異明顯，但是在估計年金險保費立. 當中，兩者近似效果良好。不論是哪一歲數領取年金保費，利用常態估計法皆能. ‧ 國. 學. 得到一定比例的值，且比例固定為 5%左右，這也提供業者一種計算保費的方式。. ‧. 然而現在少有學者提出死亡年齡之真實分配，但對於長壽風險右尾這塊仍是普遍. y. Nat. 未知的，若死亡人數不是像常態分配如此集中，而是趨近於 t 分配時，分配變動. n. al. er. io. sit. 時，變異數所增加的結果，在此研究可以看出差異是相當大，不得不謹慎注意。. Ch. engchi. 42. i n U. v.

(50) 第陸章、結論與建議第一節結論由於壽命延長是全球共同趨勢，退休後的經濟生活與醫療需求，是21世紀各國政府必須面對的課題，因此長壽風險是近年非常熱門的研究議題，其中壽命是否會繼續延長更是焦點之一。過去部分學者認為人類受到基因上限制，壽命不可能無限延伸，而其平均餘命正迫近其極限；相反地，Willcox(2008)醫療研究證實. 政治大者觀察日本、瑞典等高齡化之國家後，發現實證結果支持平均餘命仍在上升中。立極高齡的老人將會停止老化，死亡率並不會像老年期般的持續增加，加上部分學. ‧ 國. 學. 由此可看出壽命是否存有極限仍存有爭議。. 過去研究大多以直接觀察死亡人數最多之年齡，並輔佐死亡年齡右側的標準. ‧. 差SD(M+)，作為判斷延壽及死亡壓縮的依據。然而傳統的測量方法較不穩定，. sit. y. Nat. 因此在本研究引進三種數值優化的方式：加權最小平方法(Weighted Least Squares；. n. al. er. io. WLS)、非線性極值(Nonlinear-Maximization；NM)及最大概似估計法(Maximal. v. Likelihood Estimation；MLE)當中，希冀能得出較為精確的結果。假設選用死亡. Ch. engchi. i n U. 人數服從常態分配，其中最多的年齡為(M)及計算其標準差為(σ)來觀測死亡壓縮情形，並加入常態分配之假設，利用三種數值優化的方式：加權最小平方法 (Weighted Least Squares；WLS)、非線性極值(Nonlinear-Maximization；NM)及最大概似估計法(Maximal Likelihood Estimation；MLE)來估計M及σ，並利用透過電腦模擬的方式先比較方法的優劣，並與修正過後之無母數方法做比較，研究發現數值優化方法較佳，而NM不論是期望值或變異數M或，估計值較為精確且的結果都較穩定，不受到估計範圍的影響。確立NM方法較其餘方式穩定後，接著以美國柏克萊大學的HMD(Human Mortality Database, http://www.mortality.org/)死亡資料庫中，選取平均餘命較高的 43.

(51) 國家，分別以死亡人數最多的年齡、標準差及死亡年齡第九十五百分位數三個指標來衡量長壽風險。估計結果顯示死亡人數最多的年齡以及死亡年齡第九十五百分位數仍向上延伸明顯，但是標準差卻沒有定論，各國在初期都有明顯壓縮現象，但在最近各國差異明顯不一致，而標準差又受死亡年齡是否為常態分佈的影響較大。因此本研究在最後討論了在實證分析上常態分配的確立，發現即使近年來的死亡人數資料較過去接近常態分佈，但仍差異明顯。因此在目前現有資料上，並無法確立死亡壓縮之論點，若改為已修正過後之無母數方法SD(M+)來看，雖然壓縮現象相較為明顯，但也因變異數誤差較大而存有疑慮。因此壽命的延長是可. 治政入常態假設之故，會造成與其他結果不同的主因。大立. 以確立的，這也代表壽命不見得會存有上限。然而本研究因為使用原始資料且加. ‧ 國. 學. 因為死亡壓縮中經常假設死亡人數服從常態分配，本文也以常態分配作為計算年金保費的基礎，比較其與使用實際資料得出保費的差異。研究發現常態分配. ‧. 的近似結果良好，皆較原始死亡率所計算保費增加某個固定比例，可利用常態分. sit. y. Nat. 配所計算的保費做為領先指標或是保費之上界。另外，本研究也探討死亡分佈變. io. er. 動所造成的影響，以往大多僅計算保費的期望值，很少將保費的變異程度列入考. al. 量，本文發現若死亡人數分配由常態分配轉變為t分配時，雖然保費的期望值不. n. v i n Ch 變，但因為t分配有較大的變異數，使得破產機率有加大的現象，因此需謹慎評 engchi U 估真實死亡分佈。. 44.

(52) 第二節討論與建議本文利用時期的資料(Period)來探討死亡壓縮，但近年來研究死亡率多以世代(Cohort)之觀點居多，但受限於資料的問題需要解決。資料之品質也是一個嚴重的問題，在此研究當中以避開 HMD 資料中，修勻過資料會受到各國修勻方法的不同所帶來的問題，但是原始資料也會受到各國統計調查的問題，加上高齡人口各國估計皆不容易而造成問題的產生。而本研究當中以模擬方式得到 NM 穩定的結果，但是實證上死亡人數的分. 政治大研究相關議題者，在資料尚未確立為常態分配前，若套用常態假設仍會有錯誤設立. 佈接近但是不等於常態，就目前的資料來看還是不相吻合。因此建議後續有興趣. 定之疑慮，因此改善無母數的分析方法則是較可行之方法。本文建議焦點放在壓. ‧ 國. 學. 縮現象，除了先前常用的變異數之外，可引進用於生態研究、網路搜尋的幾個測. ‧. 量不均度指數，例如 Simpson Index、吉尼係數(Gini Index)等方法來測量死亡是. y. Nat. 否集中或分散情形。. er. io. sit. 以保險公司的角度來看，若死亡壓縮的現象存在，則會大幅地降低承保的風險，可以確立準備金的提存時間。然而從目前的資料顯示，死亡壓縮仍未能下定. al. n. v i n 論且第九十五百分位數的死亡年齡持續上升中，表示對於死亡分佈右尾的部分仍 Ch engchi U. 是未知的。這將會使保險公司對於年金險及長期照護等相關商品之定價更為困難。過去文獻多集中探討高齡人口附近的變異數及特定死亡分佈之比例，受限於極高齡老年資料蒐集不易，目前死亡率多為外插法推估的方式，會導致忽略長壽風險的可能性。對於傳統年金商品多為「終身」領取年金的概念，保險公司除了低估平均餘命增加幅度及速度之外，很有可能忽略右尾極高齡的部分，導致準備金提存不足。除了建議在計算死亡壓縮及延壽之議題加入極值理論(EVT；Extreme Value Theory)結合外，對於領取年齡設定最高限制則是降低承保風險較可行之辦法。. 45.

(53) 參考文獻. 中文部分：王德睦與李大正，2009，台灣的存活曲線矩型化與壽命延長，人口學刊，36： 1-31。李明峰，2012，死亡壓縮與延壽之研究，國立政治大學統計學系碩士論文。. 英文部分：. 立. 政治大. ‧ 國. Press.. 學. Brown, J. R. 2001. The role of annuity markets in financing retirement: The MIT. ‧. Cheung, S. L. K., Robine, J.-M., Tu, E. J.-C., & Caselli, G. 2005. Three dimensions of the survival curve: horizontalization, verticalization, and longevity extension.. y. Nat. sit. Demography, 42(2): 243-258.. er. io. Fries, J. F. 2002. Aging, natural death, and the compression of morbidity.. al. n. v i n C compression of mortality. Kannisto, V. 2000. Measuring the h e n g c h i U Demographic Research, BULLETIN-WORLD HEALTH ORGANIZATION, 80(3): 245-250.. 3(6): 24. Kannisto, V. 2001. Mode and dispersion of the length of life. Population: An English Selection: 159-171. Cheung, S., & Robine, J.-M. 2007. Increase in common longevity and the compression of mortality: the case of Japan. Population Studies, 61(1): 85-97. Li, J. S.-H., Hardy, M. R., & Tan, K. S. 2008. Threshold life tables and their applications. North American Actuarial Journal, 12(2): 99-115. Lexis, W. 1878. Sur la durée normale de la vie humaine et sur la théorie de la stabilité des rapports statistiques. Annales de Démographie Internationale 2(5): 447-460. 46.

(54) Ouellette, N., & Bourbeau, R. 2011. Changes in the age-at-death distribution in four low mortality countries: A nonparametric approach. Demographic Research, 25(19): 595-628. Robine, J.-M. 2001. Redefining the stages of the epidemiological transition by a study of the dispersion of life spans: The case of France. Population: An English Selection: 173-193. Thatcher, A. R., Cheung, S. L. K., Horiuchi, S., & Robine, J.-M. 2010. The compression of deaths above the mode. Demographic research, 22(17): 505-538. Willcox, B. J., Donlon, T. A., He, Q., Chen, R., Grove, J. S., Yano, K., Masaki, K. H.,. 政治大 strongly associated with human longevity. Proceedings 立 Academy of Sciences, 105(37): 13987-13992.. Willcox, D. C., Rodriguez, B., & Curb, J. D. 2008. FOXO3A genotype is of the National. ‧ 國. 學. Wilmoth, J. R. 1998. The future of human longevity: a demographer's perspective. Science, 280(5362): 395-397.. ‧. Wilmoth, J. R., & Horiuchi, S. 1999. Rectangularization revisited: Variability of age. sit. y. Nat. at death within human populations. Demography, 36(4): 475-495.. io. Experimental gerontology, 35(9): 1111-1129.. n. al. Ch. er. Wilmoth, J. R. 2000. Demography of longevity: past, present, and future trends.. i n U. v. Yue, J. C. 2002. Oldest-old mortality rates and the gompertz law: A theoretical and. engchi. empirical study based on four countries. Journal of Population Studies, 24: 33-57. Yue, J. C. 2012. Mortality Compression and Longevity Risk. North American Actuarial Journal, 16(4): 434-448.. 47.

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