清史稿 ·３８５７·
列传二百九十四
畴人二
李潢 汪莱 陈杰 丁兆庆 张福僖 时曰淳 李锐 黎应南 骆腾凤 项名达 王大有 丁取忠 李锡蕃 谢家禾 吴嘉善 罗士琳 易之瀚 顾观光 韩应陛 左潜 曾纪鸿 夏鸾翔 邹伯奇 李善兰 华衡芳 弟世芳
李潢，字云门，锺祥人。乾隆三十六年进士，由翰林官至 工部左侍郎。博综群书，尤精算学，推步律吕，俱臻微妙。著 九章算术细草图说九卷，附海岛算经一卷，共十卷。
其自序重差图云 ：“图九，望远，海岛旧有图解，馀八图 今所补也。同式形两两相比，所作四率，二三率相乘，与一四 率相乘同积。如欲作图明之，第取一三率联为一边，又取二四 率联为一边，作相乘长方图之，自然分为四冪。又以斜弦界为 同式句股形各二，则形势验矣。旧图於形外别作同积二方，至 两形相去辽远者，又必宛转通之，皆可不必也。图中以四边形、
五边形立说，似与句股不类，然於本形外补作句股形，则亦句 股也。四率比例法，在九章粟米谓之今有，一为所有率，二为 所求率，三为所有数，四为所求数，在句股则统目之为率。刘 氏注云 ：‘句率股率，见句见股者是也 。’今祗云同式相比者，
取省易耳，异乘同除则一也 。”书甫写定，潢即病。俟吴门沈 钦裴算校，方可付梓。越八年，其甥程矞采家为之校刊，以成 其志。
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九章初经东原戴氏从永乐大典中录出，一刻於曲阜孔氏，
再刻於常熟屈氏，悉依戴氏原校本刊刻。其时古籍甫显，校订 较难，不无间有扞格，自是天下之习九章者，莫不家弃一编，
奉为圭臬。而刘徽九章亦从此有善本矣。潢又尝因古算经十书 中，九章之外最著者，莫如王孝通之辑古。唐制开科取士，独 辑古四条限以三年，诚以是书隐奥难通。世所传之长塘鲍氏、
曲阜孔氏、罗江李氏各刻本，又悉依汲古阁毛影宋本，祗有原 术文而未详其法，且复传写脱误。虽经阳城张氏以天元一术推 演细草，但天元一术创自宋、元时人，究在王氏后，似非此书 本旨。爰本九章古义，为之校正，凡其误者纠之，阙者补之，
著考注二卷。以明斜袤广狭割截附带分并虚实之原，务如其术 乃止。稿未成，潢殁后，为南丰刘衡授其乡人，以西士开方法 增补算草，并附图解，刻於江西省中，喧宾夺主，殊乱其真。
矞采取江西刻本削去图草，仍以原考注刊布。
武进李兆洛为之序，曰 ：“辑古何为而作也？盖阐少广、
商功之蕴而加精焉者也。商功之法，广袤相乘，又以高若深乘 之为立积，今转以积与差求广袤高深，所求之数，最小数也。
曷为以最小数为所求数？曰，求大数，则实方廉隅，正负杂糅。
求小数，则实常为负，方廉隅常为正也。观台羡道，筑堤穿河，
方仓圆囤，刍甍输粟，其形不一，概以从开立方除之何也？曰，
一以贯之之理也。物生而后有象，象而后有滋，滋而后有数。
斜解立方，得两巉堵，一为阳马，一为鳖臑。阳马居二，鳖臑 居一，不易之率也。今於平地之馀续狭斜之法，无论为巉堵、
为阳马、为鳖臑，皆作立积。观其立积内不以所求数乘者为减 积，以所求数一乘者为方法，再乘者为廉法，所求数再自乘为 立方，即隅法也。从开立方除之，得所求数。若绘图於纸，令 广袤相乘，以所求数从横截之。剖平冪为若干段，又以截高与
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所求数乘之。分立积为若干段，若者为减积，若者为方，若者 为廉，若者为隅，条段分明，历历可指。作者之意，不烦言而 解矣。其云廉母自乘为方母，廉母乘方母为实母者之分，开方 之要术也。先生於是书立法之根，如锯解木，如锥划地，又复 补正脱误，条理秩然，信王氏之功臣矣！爰述大旨，以告世之 习是书者，无复苦其难读云 。”
汪莱，字孝婴，号衡斋，歙县人。年十五，补博士弟子。
弱冠后，读书於吴葑门外，慕其乡江文学永、戴庶常震、金殿 撰榜、程徵君易畴学，力通经史百家及推步历算之术。嘉庆十 二年，以优贡生入都，考取八旗官学教习，会御史徐国楠奏请 续修天文、时宪二志，经大学士首举莱与徐准宜、许澐入馆纂 修。十四年，书成。议叙，以本班教职用，选授石埭县训导。
十八年，应省试，得疾归，卒於官，年四十有六。先是十一年 夏，黄河启放王营减坝，正溜直注张家河，会六塘河归海。两 江督臣奉上命，查量云梯关外旧海口与六塘河新海口地势高 下，延莱测算，盖其精算之名，久为官卿所知。曾制浑天、简 平、一方各仪器观测。
与郡人巴树穀最友善，客江、淮间，又与焦孝廉循、江上 舍籓、李秀才锐，辩论宋秦九韶、元李冶立天元一及正、负开 方诸法。天性敏绝，极能攻坚，不肯苟於著述。凡所言，皆人 所未言，与夫人所不能言。
尝以古书八线之制，终於三分取一，用益实归除法求之，
其一表之真数，仅得十之二。因悟得五分之一通弦与五分之三 通弦交错为三角形，比例立法，以取五分之一之通弦，而弦切 之数益密。梅氏环中黍尺，有以量代算之术，惟求倚平仪外周 之两角，而缩於内半周之角未详。其法较易，因立新术，量取 不倚外周之角度，而三角之量法乃全。堆垛有求平三角、立三
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角、尖堆积法，不及三乘方以上，又复推而广之，自三乘、四 乘以上之尖堆，皆可由根知积。并及诸物递兼之法，以补古九 章所未备。
又纠正梅文穆公句股知积术，及指识天元一，正、负开方 之可知、不可知。其纠正句股知积术也 ，文穆赤水遗珍称 ：
“有句股积及股弦和较求句股，向无其术，苦思力索，立法四条。
“其门人丁维烈又造减纵翻积开三乘方法，文穆许之。莱谓：
“句股形等积、等弦和，带纵立方形等基、等高阔和，皆有两 形互易。如句二十，股二十一，弦二十九，句弦和四十九，句 股积二百一十。若句十二，股三十五，弦三十七，句弦积亦四 十九，句股积亦二百一十。设问者暗执一形，则对者交盲两数。
梅、丁诸公法成而不可用，盖两句弦较，与一句弦和，恆为连 比例之三率。其两句弦较，即首、末二率；两较减一和之馀，
即中率；而句弦和必为三率亻并。遂创立有两积相等、两句弦 和相等、求两句股形之法。以四倍句股积自乘，句弦和除之，
为带纵长立方积。以句弦和为纵，开得数为两句弦较之中率，
自乘为带纵平方积。又以中率与句弦和相减为长阔和，求得长 阔两根为两句股较，用求两句股形各数。又同积之边，彼此可 互，三次之乘，先后可通，故四倍句股积自乘，即两形之倍句 相乘为底，两形之股相乘为高，即犹以中末乘首。中化为中率，
再乘为立方三率，亻并为带纵。由是推得立方形两高数恆为首 末二率，高阔和恆为三率，亻并数与等积、等弦和之两弦较及 弦和丝毫无异。如高九阔十，高阔和十九，立方积九百。若高 四阔十五，高阔和亦十九，立方积亦九百，其数莫不由两形相 引而出。故其法即命积为带纵长立方积，以高阔和为所带之纵。
用带纵长立方法开得本方根，为两形高数之中率。与高阔和相 减，馀为带纵之平方长阔和。中率自乘，为带纵平方积。用带
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纵平方长阔和法开之，得长阔一根，为两形之两高数。两高与 和相减，为两阔数 。”
其指识正、负开方也 ，“元李冶传洞渊九容术，撰测圆海 镜、益古演段，以明天元如积相消，其究必用正、负开方，互 详於宋秦九韶数学九章。梅文穆公虽指天元一为西人借根方所 由来，而正、负开方则未有阐明者。元和李秀才锐特为雠校，
谓少广一章，得此始贯於一。好古之士，翕然相从。莱独推其 有可知、有不可知。如测圆海镜边股第五问‘圜田求径二百四 十步与五百七十六步共数’，而李仁卿专以二百四十为答 。数 学九章田域第二题 ‘尖田求积二百四十步与八百四十步共数
‘，而秦道古专以八百四十为答。乃自二乘方以下，缕析推之，
得九十五条。凡几根数为带纵长阔较则可知，为带纵长阔和则 不可知。又推得几真数少，几根数又多，几平方与一立方积等 多少杂糅，和较莫定。立法以审之，以几平方数用几立方数除 之，得数乘几根数，以较几真数。若少於真数，则以几平方为 高阔较，是为可知。若多於真数，则或几平方为通分法，三母 总数、几真数为三母维乘之共数，几根数为通分之共子，如二、
如六、如十二。设真数一百四十四，少二百八，根数多二十，
平方积与一立方积相等，则三数皆同，是为不可知 。”
盖以一答为可知，不止一答为不可知。故李秀才锐跋其书，
括为三例以证明之。谓 ：“隅实同名者不可知；隅实异名，而 从廉正负不杂者可知；隅实异名，而从廉正负相杂，其从翻而 与隅同名者可知，否则不可知。隅实异名，即带纵之长阔较也，
较仅一答；隅实同名，即带纵之长阔和也，和则不止一答 。” 锐以隅实同名、异名，明一答与不止一答；莱以长阔、和较，
明可知、不可知，其义一也。著有衡斋算学七册，考定通艺录 磬氏倨句解一册。
清史稿 ·３８６２·
陈杰，字静弇，乌程诸生。考取天文生，任钦天监博士，
供职时宪科兼天文科，司测量。累官国子监算学助教。道光十 九年，谢病归，卒于家。生平邃于算学，尤神明于比例之用。
初著辑古算经细草一卷，后十馀年，又为之指画形象，成图解 三卷；又博采训诂，考正其传写之舛譌，稽合各本之同异，别 成音义一卷。
其自述比例言有曰 ：“比例之法，昉自九章，传由西域，
在古法曰异乘同除，在西法曰比例等。假如甲有钱四百，易米
在古法曰异乘同除，在西法曰比例等。假如甲有钱四百，易米