利用複數力學解釋量子力學中的穿隧效應

穿隧現象是一個經典的量子力學現象，描述一個微小粒子即使在動能

E比外加位勢障V₀還要小的情況下，仍可越過位勢障的現象。如 Fig.2-1 所示，能量E的電子可能從高度為V₀的位勢障中反射回來，但卻也有可能 穿進位勢障中並通過，此即為穿隧效應。這在古典力學的觀點下，是全 然不可能發生的事情，然而複數力學卻可以利用複數平面的方式來解釋 這個現象。

Fig.2-1 粒子在一外加位能障礙的穿隧效應示意圖

在 2.1 節中介紹複數力學與傳統力學之不同在於考慮了初始位置加 入虛部後的影響會直接呈現在實部的動態表現，在過去的研究中[36]也有 證實，穿隧效應即是加入虛部初始值影響後的結果。

在複數力學架構之下，必須先擁有薛丁格方程式的波函數解，才能進

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x c MathieuC c MathieuS

E E

複數值函數。其組合而成的 MathieuC 與 MathieuS 方程式也為一週期函

數，在0 ~ 2 間的函數值變化如 Fig2.2(a)所示。

兩個 Mathieu 函數前的領導係數可視為兩函數之間的權重比例，即對 整體波函數表現的影響程度，其實際數值可由元件中具有物理意義的邊 界條件來求得。在此我們先令 Mathieu 函數之間的比例係數為c c_{2 1}1， 表示同時考慮這兩種形式的 Mathieu function，其在波函數內扮演的權重

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2 等分，若是相位可到達2 我們極視為可以穿隧。如 Fig.2-6 模擬所表 示，若整段長度是 10，則若可到達對岸(10)的軌跡我們則視為可穿隧。

且在模擬複數平面上的軌跡時可發現，其電子對的軌跡皆為一週期性的 規律軌跡，因此我們可藉由觀察一個週期內(x_R 0 ~ 4)的軌跡模式來推斷 往後的軌跡也將會以同樣的週期規律運動，穿隧到達彼端。

我們再仔細觀察兩種不同模式的軌跡行為，發現雖然四條軌跡在實部 的投影皆為從原點出發，但虛部的初始值越大(超過1i)，穿隧的現象也 越顯著，證實穿隧結果確實與虛部的初始條件有關。然而，虛部的變異 量卻是在身處實部空間的觀察者無法量測到的；因此才會有雖初始條件 相同，卻有可穿隧和不可穿隧的機率差別。量子力學中的機率詮釋在此 完全可利用考量虛部條件後的結果來作解釋。且可推斷，虛部初始位置 越大，粒子穿隧的可能性也越高。

約瑟芬元件是一種利用穿隧與否來判斷通路或斷路的單電子開關，

也因此粒子軌跡更是在分析穿隧運動時的一項利器。以上的模擬更說明 了虛部對於穿隧效應的影響是不容忽略的。此論文接下來的工作便是利 用複數力學的虛部影響來模擬約瑟芬元件在真實物理條件下的穿隧軌跡，

並與文獻的結論作比對，進而推導如何在實部空間加入控制軌跡的參數，

以控制虛部結合實部動態的結果。

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Fig.2- 3 未加入虛部初始值的電子在複數平面上的動態

Fig.2- 4 未加入虛部初始值的電子實部位置對時間的響應圖

Re(x) Im(x)

Re(x)

time

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Fig.2-5 加入虛部初始值(由上而下分別為0、0.7i、1i、1.9i)的電子在複數平面上的動態

Fig.2-6 加入虛部初始值(由下而上分別為0、0.7i、1i、1.9i)的實部位置對電子時間響應圖

Re(x) Im(x)

Re(x)

time

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