國 立 成 功 大 學
航 空 太 空 工 程 學 系 碩 士 論 文
利用複數力學進行
約瑟芬元件的量子控制分析
Analysis of Josephson junction’s Quantum control by using
Complex Mechanics
研 究 生:郭仲軒
指導教授:楊憲東
中 華 民 國 一 百 零 二 年 六 月
i
中文摘要
量子電腦是近年來量子控制的熱門領域，其中實現的方法是製造一 個二階系統(two-level system)來實現一個量子位元(qubit)，利用電子穿隧 的約瑟芬元件便是其中之一；本論文透過複數力學(Complex mechanics) 這個具有因果內涵的量子理論，詮釋約瑟芬元件中無法利用「軌跡」來 詮釋的電子穿隧現象。在傳統量子力學的架構之下，只有對一個系統的 機率描述，而無粒子動態的概念；而現今科技已可達到奈米製程的等級，
在分析上需要一套同時考慮古典粒子運動以及微小尺度下會產生量子效 應的理論工具，以往卻未曾有人利用「軌跡」來分析約瑟芬元件。在複 數力學的架構之下，不但可以很直觀地呈現電子在穿隧時的動態表現，
更可以在設計階段時，提供材料的係數，利用電腦事先模擬出此材料參 數對粒子穿隧程度的效益，對於未來在發展製程上將會是一套有利的工 具。最後我們利用外加電壓改變電子的動能，進而改變電子的動態，達 到控制穿隧的目的。在具有古典力學的動態特性的複數力學架構之下，
將來更可以直接引入古典控制的理論來對約瑟芬元件穿隧的穩定性來做 各種分析，提供量子控制領域一套更直觀的新工具。
關鍵字: 量子控制、量子力學、複數力學、約瑟芬元件、穿隧現象、量 子軌跡
ii
Abstract
Quantum computer has been the most popular topic in these few years.
By making a two-level system, such as a “Josephson junction”, we can realize a quantum bit called “qubit”. In this present, we will use complex mechanics, which is a quantum theory used particle path instead of probability density to describe a quantum system. Under the framework of complex mechanics, we can not only provide the dynamic of the electron to show how the tunneling is in progress, but also do the simulation of tunneling with all the parameters of material before design work. This will be very useful and necessary for the manufacturing process in the future. In the last part of this present, we add an extra voltage to the system to make an affect in the electron’s Hamiltonian.
By adjusting this parameter, we can control the dynamics of the electrons to make the tunneling happened. This will be a new and intuitive method in quantum control theory, and in the future, we even can use the classic control theory to analysis the stability of electron’s dynamics with the present of trajectories.
Keywords: Quantum control, Quantum mechanics, complex mechanics, Josephson junction, tunneling effect, quantum trajectories
iii
致謝
這本論文的完成首先得感謝我的指導教授-楊憲東老師，兩年來的教 導。論文中所使用的數學工具-複數力學便是由老師所創立；從大學專題 學習開始，楊老師總是在我研究受阻時，給予我關鍵性的指點與鼓勵，
而非直接告訴我解決的答案，讓我在茅塞頓開之餘也能夠得到自己解決 問題後伴隨而來的成就感。在「給人吃魚，不如教人釣魚」的教學觀點 上，楊老師給了我最好的示範。另外也要感謝擔任口試委員的李君謨老 師與王大中老師，在我以及未來的研究方向給了許多實用的指導與建 議。
同時要感謝與我一同進行研究的博班學長登驛，總是不厭其煩的在 我發生各種問題時與我討論以及糾正我的錯誤，並且在我研究受挫、心 情低落時給予我有用的建議及鼓勵，使我在約瑟芬元件領域的研究之路 上順遂許多。也感謝同期的紹展、林育，以及學弟仁顥、祖偉、宗良能 夠幫忙分擔實驗室的共同事務。
最後要感謝我的父母，在兩年的研究所生涯中總是默默的在背後支 持著我，從未給予我任何的壓力，使我能專注於研究上；並且總是在我 結束一週的工作後回家時給我一個舒適的環境，使我能暫時舒緩研究上 碰到的瓶頸，重新出發，順利完成此篇論文。
iv
目錄
中文摘要 ... i
Abstract ... ii
致謝 ... iii
目錄 ... iv
圖目錄 ... vi
符號表 ... viii
第一章 緒論 ... 1
1.1 背景與文獻回顧 ... 1
1.2 研究目標 ... 3
1.3 各章概述 ... 6
第二章 複數力學的基本架構 ... 8
2.1 Quantum Hamilton-Jacobi Theory ... 8
2.2 利用複數力學解釋量子力學中的穿隧效應 ... 11
第三章 複數力學架構下的約瑟芬元件動力學建立 ... 18
3.1 約瑟芬元件介紹 ... 18
3.1.1 傳統的約瑟芬元件分析 ... 19
3.1.2 約瑟芬元件的 Hamilton 算符 ... 22
3.2 約瑟芬元件所對應的 Hamiltonian 項 ... 24
v
3.3 約瑟芬元件的 Quantum Hamilton 動態 ... 26
第四章 加入控制參數的約瑟芬元件模型 ... 32
4.1 加入控制參數的約瑟芬元件模型 ... 32
4.2 模擬控制的結果 ... 35
4.3 調整電壓控制參數對電子穿隧比例與電流實驗的類比 ... 37
4.4 結論與未來展望 ... 40
參考文獻 ... 43
vi
圖目錄
Fig.1-1 現有的量子位元(qubit)實現方法與其物理原理………...5
Fig.1-2 論文各章節的基本架構………...7
Fig.2-1 粒子在一外加位能的穿隧效應示意圖………...11
Fig.2-2(a)
x 0 ~ 2
的 Mathieu 函數圖………...13Fig.2-2(b)
x 0 ~ 2
的波函數值……..….………...13Fig.2-3 未加入虛部初始值的電子在複數平面上的動態...16
Fig.2-4 未加入虛部初始值的電子實部位置對時間的響應圖...16
Fig.2-5 加入虛部初始值的電子在複數平面上的動態...17
Fig.2-6 加入虛部初始值的電子實部位置對時間響應圖………...17
Fig.3-1 (a)電壓控制的單約瑟芬元件裝置示意圖………...18
Fig.3-1(b)兩絕緣層中的波函數相位變化…….………...18
Fig.3-2 0 型約瑟芬元件與π型約瑟芬元件的邊界條件……...27
Fig.3-3
E j E C 100
粒子在相位複數平面上的動態軌跡……...30Fig.3-4
E j E C 100
粒子的實部相位對時間響應圖...30Fig.3-5
E j E C 0.01
粒子在相位複數平面上的動態軌跡...31Fig.3-6
E j E C 0.01
粒子的實部相位對時間響應圖...31Fig.4-1 利用
n g
改變 Hamiltonian 與動態的控制概念...34vii
Fig.4-2 電壓控制的約瑟芬元件配置圖...34
Fig.4-3 加入控制參數
n g
改變E j E C 0.1
(可穿隧)的電子相位動態...35Fig.4-4 加入控制參數
n g
改變E E j C 10
(不可穿隧)的電子相位動態...36Fig.4-5(a) 文獻電流對電壓關係曲線...37
Fig.4-5(b) 歸依化電流值對無因次化控制電壓實驗數據...37
Fig.4-6 穿隧比例
R
對電壓控制參數n g
圖...39viii
符號表
C
系統的總電容值C J
約瑟芬元件的電容值C g
閘極控制電壓的電容值c
波函數解的係數c SIS
SIS 型元件的波函數解的係數E
系統的特徵能量(Eigen energy)E C
Charging energyE j
Josephson energye
電子數目(能量子電子伏特(e.V.)作單位)H
Hamiltonian 項H ˆ
Hamilton 算符ˆ T
H
動能算符ˆ V
H
位能算符I b
偏壓電流(bias current)I c
臨界電流(critical current)m
粒子質量ix
N
模擬設置的總電子對數目n
穿隧電子的數量算符n g
無因次化的閘極電荷(gate charge)控制參數p
廣義座標下的動量p R
廣義座標下的動量的實部p I
廣義座標下的動量的虛部Q
量子位勢能(Quantum potential)Q e
電子對所累積的電荷q
廣義座標下的位置q R
廣義座標下的位置變數的實部q I
廣義座標下的位置變數的虛部R
模擬中的電子對穿隧比例常數S
Hamiltonian 中的動作函數(action function)T
模擬中可穿隧的電子對數目t
無因次化後的時間U
系統外加的位能V 0
穿隧效應中外加的位勢障V g
外加閘極電壓(gate voltage)x
x
卡氏座標(Cartesian coordinate)下的一維位置變數x
無因次化後的一維位置變數x R
無因次化後的一維位置變數的實部x I
無因次化後的一維位置變數的虛部
薛丁格方程式的波函數解 普朗克常數(Plank number)
波函數解的相位角
兩不同波函數的相位角差
無因次化後的等效相位角變數1
第一章 緒論
1.1 背景與文獻回顧
從二十世紀開始，科學不斷的演進之下，從原子、電子、原子 核…等陸續被發現後，人們研究領域的尺度也越來越小。而許多近 代物理實驗所得到的結果卻無法利用早在十九世紀理論便已成熟 的古典力學來回答。如電子雙狹縫干涉、微小粒子所具有的波動性、
穿隧效應…等等。因此，量子力學便就此誕生了，利用全新的波函 數與機率詮釋的概念來解釋這些問題。然而，量子力學的核心思想:
機率詮釋，卻是藉由觀察粒子的出現結果，來達到使波函數崩解到 某一特徵態，才可得到答案。換言之，在觀察者未進行觀察之前，
量子系統本身的動態卻是無從得知。正所謂「知其然，而不知其所 以然」，此理論雖然在結果的詮釋上有相當不錯的成果，但在因果 (causality)的關係上卻無法給人相當滿意的答案。
在牛頓所建立起的古典力學觀之下，一旦得知物體的受力狀況，
便可由牛頓第二定律得出其加速度，也就是速度的一次微分。在進 一步給定此物體的初始速度及位置(因)，便可利用積分求得物體在 未來任一時刻的速度與位置(果)，也就是物體的運動軌跡。在相同
2
的初始條件之下，便可得到唯一決定的動態。正如因果理論中的哲 學思想:「種什麼因，得什麼果」，此理論嚴格地遵守因果關係，這 也就是為何古典力學可奠定其世紀以來的地位。然而，量子力學捨 棄了「軌跡」的思想，認為粒子的運動應該以離散的機率統計來描 述；此即為現今量子力學中的哥本哈根學派所主張:粒子的軌跡並 非唯一決定，相對地，一切粒子的行為只能以機率(波函數)來做描 述，唯有在觀察過後，粒子的機率行為才會以固定的結果呈現。如 假定今有一顆電子由 A 點出發到達 B 點，古典力學可明確地推算出 在特定的受力之下，電子的唯一路徑；然而量子力學卻只能以機率 高低來描述 A 到 B 之間的任何「可能」路徑，換言之，在未觀察前，
電子有無限多種可能行徑，而每一種行徑都有其對應的相對機率值，
藉由觀察者進行量測(觀察)，才可確定「過去」粒子曾走過的軌跡，
然而對於「未來」的電子動態，仍然無法唯一決定，此即為量子力 學中著名的多路徑行為。
雖然量子力學的機率詮釋可很精確地與實驗結果相符，但此理 論卻與人們對物理現象的直觀思想有所牴觸。1952 年波姆建立了波 姆力學(Bohmian)提供了一套有別於哥本哈根學派的量子力學詮釋 [4,5]。在波姆力學的架構之下，藉由將波函數轉換成古典作用函數 (action function) ， 再 將 其 代 入 薛 丁 格 方 程 式 中 ， 得 到 量 子
3
Hamilton-Jacobi 方程式(QHJE)以及連續方程式，根據此兩組方程式，
只要給定薛丁格方程式中的波函數解
，粒子的軌跡便可以數值積 分的方式求得。在此架構之下，量子力學多出了軌跡的概念，便可 與古典力學的因果關係相互一致。波姆力學以古典力學的形式，用相當直觀的軌跡概念詮釋了量 子力學的機率現象。因此，量子力學雖然至今已經發展有一定的基 礎了，但若是有套更為完善且直觀的理論可同時用來詮釋古典與量 子兩大不同尺度下的現象，對於科學理論的發展必定可以做出更深 遠的貢獻。本論文便是以另一具有因果內涵的量子理論-複數力學 [19,20,21,22,23,24]為基礎概念，來對現今量子電腦領域的量子控制 為目標，作為理論分析的工具。
1.2 研究目標
在現今科技的進步，電子元件產品越做越小，但對效能的需求 度卻是不減反增。在追求運算量龐大且實際體積輕便以利攜帶與收 藏的狀況之下，量子電腦與單電子開關元件便成為未來電腦科技發 展領域的主流趨勢，量子控制也成了控制領域的熱門研究[6]。而當 元件越做越小，到達奈米等級的尺度，微觀尺度下會出現的量子現 象便需要納入考量。1980 年代，奈米(nm)粒子的研究取得快速的進
4
展。分子或分子團的尺度介於 0.1nm 到 1nm 之間，這已經是一個過 渡的尺度。由於分子運動仍具有一定的軌跡，因此無法利用量子力 學的機率詮釋，但如此小尺度的分子團卻具備某些量子現象是傳統 古典力學所無法解釋的。因此，具有軌跡敘述卻又能描述量子效應 的量子力學便凸顯出其重要性。可想而知，在未來更小尺度的研究 底下，具有動態的量子力學理論更是在實際工程領域上不可或缺的 研究工具。
量子電腦的概念是利用不同種小尺度的電子元件特性，來實現 一個 True/False 的邏輯閘，有些甚至僅利用一顆電子的能階跳躍來 實現此邏輯閘[7,8]。而現今最廣泛被運用的是電子的自旋(electronic spin)控制以及約瑟芬元件(Josephson junction)的穿隧控制來達到量 子電腦的實現，如 Fig. 1-1。
利用約瑟芬元件實現的量子電腦，是將兩超導體元件中間夾一 絕緣層，並在其中一超導體中置入電子對(Cooper pair)，而利用外 加磁場、電場或改變溫度的方式來控制電子穿越中間的絕緣層到達 另一端。若是成功控制電子穿隧即可量測到電流通路，將其有穿隧 現象視為狀態
1
，反之沒有穿隧成功的狀態視為0
。此對應到以電 子自旋控制的量子電腦即為上自旋(spin up)與下自旋(spin down)的 量子態1
與0
。此種1
與0
切換的單電子開關，我們將其稱之為5
一個等效的二階系統(two-level system)。此種
0
、1
之間的切換訊 號又被稱之為量子位元(qubit)，可用來比擬電腦的數位訊號，藉由 串連許多的量子位元，即可完成量子電腦運算與儲存資料的能力。Physical support
Name Information
support 0 1
Electrons Electronic spin Spin Up Down Electron
number
Charge No electron One electron
Josephson junction
Charge qubit Charge Uncharged Charged Flux qubit Current Clockwise
current
Counterclockwise Current Phase qubit Energy Ground state First excited state Singly
charged quantum dot
Electron localization
Charge Electron on left dot
Electron on right dot
Quantum dot
Electron spin Spin Projection of spin orientation in “-z” direction
Projection of spin orientation in
“+z” direction
Fig. 1-1 現有的量子位元(qubit)實現方法與其物理原理(摘自維基)
約瑟芬元件的原理是利用電子的穿隧現象，此現象是一經典的量 子效應[9]。然而，若利用量子力學的機率詮釋，我們無從得知電子在 整個穿隧過程中的完整動態；若是要進行控制，由於無從得知粒子動 態，整個系統便如同一個「黑盒子」般，僅能從實驗結果，再由經驗 推斷在何種參數條件下才可達到穿隧。這樣的方法並沒有古典力學中，
藉由系統的動態方程式加入控制參數來的直觀。因此，利用具有動態 軌跡的複數力學作為量子控制所需要的分析工具更是具有量子力學
6
所沒有的獨特優點。此外，在複數力學的架構之下，更可以事先利用 電腦模擬出粒子的動態軌跡；亦即在未來製作約瑟芬元件之前，可先 將設計好的物理參數，如材料的電容係數、電阻係數、適用電壓範圍…
等，代入複數力學所建的數學模型進行模擬，便可事先得知此材料性 質對於進行穿隧控制是否適當，如此一來即可省下嘗試的製作成本，
這對於未來需要量化生產的量子電腦工程來說將會是一項必備的程 序。
此篇論文的目的便是希望能以複數力學做為新的分析工具，在複 數力學的架構下建立約瑟芬元件的數學模型，提供使用者量子力學所 沒有的電子穿隧軌跡，並加入控制參數，未來更能利用古典控制的理 論來分析約瑟芬元件的可控程度，可視為在約瑟芬元件領域裡另一套 新的分析平台，期望能在量子電腦的科學理論以及製作工程上能有所 貢獻。
1.3 各章概述
在第二章裡將會先介紹複數力學的基本架構，並說明如何與量 子力學結合，藉由引入薛丁格方程式的波函數解，並將其轉換為具 有複數變數的動態軌跡；此外，也將說明在複數力學架構下的穿隧 效應的機制，是由於考慮數的虛部對實部動態所呈現的影響，並展
7
示利用複數力學所得到的簡單動態模擬結果。
第三章先簡單介紹約瑟芬元件的基礎理論，以及如何將以相位 為變數的約瑟芬元件與複數力學的位置變數做結合，推導出利用相 位為變數的複數力學-約瑟芬元件模型，以及呈現在相位空間下，
不同虛部參數影響所對應的動態軌跡。
第四章將加入電壓控制參數，由文獻中的量子力學操作子推導 出相對應複數力學架構下的 Quantum Hamilton equation。並模擬調 變電壓後的粒子軌跡的確符合理論所預測，證實確實可利用以相位 為變數的複數力學來作為約瑟芬元件控制的數學模型。
下圖為本論文各章節之間的關聯性示意圖，從中可看出整個論 文的核心精神是利用複數力學作為骨幹，並與各派量子力學現有的 約瑟芬元件理論做對照，最後得到等效的控制結果。
Fig. 1- 2 論文各章節的基本架構
8
第二章 複數力學的基本架構
在傳統量子力學中，描述一個量子系統是求解薛丁格方程式，得到波
函數後去計算粒子在特定位置所對應的機率函數。但利用此種分析方式，
只能得知此量子系統最後所觀測到的結果，並無法得知系統內部動態的 過程；然而，若使用古典力學去描述量子系統卻又無法得到正確的結果，
複數力學便是連結巨觀尺度與微觀尺度之間橋樑的一項有利工具。
本節將介紹如何將 Hamiltonian 力學中的 Hamilton-Jacobi equation 延 伸到複數空間，並且得到與薛丁格方程式等義的 quantum Hamilton- Jacobi equation，以及利用傳統力學的方法去解出粒子的軌跡，最後可與波函數 所描述出來的機率結果相符合，此即為複數力學的主要中心思想。
2.1 Quantum Hamilton-Jacobi Theory
在複數力學中，一個 n 階自由度的量子動態系統的廣義座標變數
q
與 廣義動量變數p
是定義在複數空間 q p , n n
。考慮一個在複數空間運 動的粒子，其複數位置與動量可表示成:
1 2 3 1 2 3
(t) R R R T I I I T R I 3
q q q q i q q q q t iq t
(2.1.1a)
1 2 3 1 2 3
(t) R R R T I I I T R I 3
p p p p i p p p p t ip t
(2.1.1b) 在(2.1.1a)式與(2.1.1b)式中，q R t
與p R t
即為古典力學中所對應的位9
置與動量變數，而複數力學則引入了
q p I , I
，其在物理上的意義為實數空 間中所無法量測到的物理量，但卻又會直接的影響實部所量測到的結 果 q R , p R
，因此可視為在複數力學中的隱變數。將古典力學直接套用於 量子力學之所以失敗的原因，即是未考慮虛部對實部造成的影響；我們 只須將虛部與實部動態共同表現出的結果投影在實部空間，結果將會與 量子力學在實部空間中得到的預測結果相同。我們由定義在複數空間下的薛丁格方程式出發:
2 2
i 2 U
t m
(2.1.2)(2.1.2)中波函數解的標準形式為:
e iS
(2.1.3)將 (2.1.3) 式 代 回 (2.1.2) 式 ， 薛 丁 格 方 程 式 即 可 轉 換 成 標 準 的 Hamilton-Jacobi equation:
, , 1 2 2 0
2 2
p S
S S
H q p t S U S
t t m mi
(2.1.4)其中(2.1.4)式的第 2、3、4 項即為此量子系統的 quantum Hamiltonian:
, , 1 2 2 2
2 2 2 2
H q p t S U S p U p
m mi m mi
(2.1.5) 與古典力學的 Hamiltonian 項做比較，(2.1.5)式等號右邊的第一項為粒子 動能、第二項為系統的外加位能，而第三項則是複數力學對古典力學所 做的修正，稱為量子位勢能(quantum potential)Q
，可由系統的波函數求得:10
, 2 2 ln ,
2 2 2
Q t q S p t q
mi mi mi
(2.1.6)量子位勢能
Q
是量子系統定義在複數空間下自動會產生出的結果，隱藏於 薛丁格方程式之中。由(2.1.6)式可看出，當粒子質量m
很大時，量子位勢 能對總能量的影響微乎其微；然而當尺度縮小到越微觀的尺度，量子位 勢能對系統的影響便越不可忽略。因此，加入量子位勢能的複數力學便 可成為連結量子力學與古典力學的橋樑。量子位勢能的引入使量子 Hamiltonian 與系統的量子態
相依，和只 與外加位勢U t q ,
相依的古典 Hamiltonian 在總能量的描述上有些許不同。若系統的波函數
t q ,
給定，則此系統的 quantum Hamiltonian 即可求得: , , 2 , ,
2
H q p t p U t q Q t q
m
(2.1.7)其動量
p
定義為
ln
p S
(2.1.8)且此系統的動態方程式也可由量子 Hamilton 力學推導求得
ln
dq H p
dt p m m
(2.1.9a) , 2 2 ln ,
2 dp H
U t q t q
dt q q m
(2.1.9b)藉由求解(2.1.9a)式與(2.1.9b)式，我們便可求得此量子系統在複數空間 中的動態軌跡，進而利用軌跡在實部空間的投影，了解傳統量子力學所
11
得到的機率結果，其背後的動態是如何運作的。
2.2 利用複數力學解釋量子力學中的穿隧效應
穿隧現象是一個經典的量子力學現象，描述一個微小粒子即使在動能
E
比外加位勢障V 0
還要小的情況下，仍可越過位勢障的現象。如 Fig.2-1 所示，能量E
的電子可能從高度為V 0
的位勢障中反射回來，但卻也有可能 穿進位勢障中並通過，此即為穿隧效應。這在古典力學的觀點下，是全 然不可能發生的事情，然而複數力學卻可以利用複數平面的方式來解釋 這個現象。Fig.2-1 粒子在一外加位能障礙的穿隧效應示意圖
在 2.1 節中介紹複數力學與傳統力學之不同在於考慮了初始位置加 入虛部後的影響會直接呈現在實部的動態表現，在過去的研究中[36]也有 證實，穿隧效應即是加入虛部初始值影響後的結果。
在複數力學架構之下，必須先擁有薛丁格方程式的波函數解，才能進
12
行 2.1 節的步驟求出動態方程式。在此我們先由與時間獨立的薛丁格方程 式出發:
2
2
x U x E x
x
(2.2.1)其中無因次化的變數
x 2 mE x
，且系統的位能U x E j cos x
，代入(2.2.1)式後可解得波函數解為一特殊函數的形式:
1 4, 2 , 2 4, 2 ,
2 2
j j
E x E x
x c MathieuC c MathieuS
E E
(2.2.2)(2.2.2)式是約瑟芬元件理論裡最常使用的波函數解，其形式在數學上為兩 個 Mathieu 函數作線性疊加，Mathieu 函數在數學上的定義為:
, , , ,
, , 2 , , 0
F a q x F a q x MathieuC a q x
F a q
(2.2.3a)
, , , ,
, , 2 , , 0
F a q x F a q x MathieuS a q x
F a q
(2.2.3b)其中
F a q x , , exp i x P a q x , ,
，
為一複數值，P a q x , ,
為一週期為
的複數值函數。其組合而成的 MathieuC 與 MathieuS 方程式也為一週期函
數，在
0 ~ 2
間的函數值變化如 Fig2.2(a)所示。兩個 Mathieu 函數前的領導係數可視為兩函數之間的權重比例，即對 整體波函數表現的影響程度，其實際數值可由元件中具有物理意義的邊 界條件來求得。在此我們先令 Mathieu 函數之間的比例係數為
c c 2 1 1
， 表示同時考慮這兩種形式的 Mathieu function，其在波函數內扮演的權重13
地位是相同的。
然而在(2.2.2)式的解析函數形式下，我們僅能利用數值符號軟體 Maple 求值，但要在複數力學的架構下進行微分與積分的運算則必須透過 多項式近似求解，而為了讓波函數近似解的適用範圍可以更大，我們將 近似項取到 20 項，並將兩者的函數變化畫出如 Fig2-2(b)所示，20 項的近
似解在
x 0 ~ 2
的範圍之間近似原波函數有相當好的結果，表示此近似方法在變數
2
所求得的解皆為可信服的。(a) (b)
Fig.2- 2(a) x 0 ~ 2 的 Mathieu 函數值(實線為 MathieuC 方程式，點虛線為 MathieuS 方程式)
Fig.2- 2(b) x 0 ~ 2 的波函數值 (近似解與原函數解幾乎重疊)
我們將(2.2.2)式利用多項式近似後代入無因次化後的(2.1.9)式:
1
dx d
dt i dx
(2.2.4)其中
x 2 mE x
為一無因次化後的變數。由文獻得知，系統的所擁有 的總能量E
(~ 10 20 J
)會遠大於 Josephson energy(~ 10 25 J
)約 5 個數量級，Mathieu(x)
x x
Ψ(x)
14
因此在做此模擬時，我們將兩者的比例令為
E E j 10 5
。在對x
無因次化所 乘上的比例常數 2mE
，我們將其參數值代入:m
為電子對的質量 (9 10 31
kg)、E
為系統的特徵能量(~ 10 20 J
)、 為普朗克常數(6.6 10 34 J s
)，算 出 來 位 置 變 數 無 因 次 化 前 後 的 比 例 常 數
2mE
的 數 量 級 約 為8 9 1
10 ~ 10 ( m )
，亦即為模擬中粒子每行進 1 個x
，則為在真實尺度下的1nm~10nm 的長度；而由許多相關文獻可得知，一般實驗的約瑟芬元件穿 隧層厚度約為數十個
[1,2,15]，因此便可由模擬電子無因次化後所前進 的距離來換算電子真實的穿隧長度。此章節的目的是要示範加入虛部初始值對穿隧的影響，因此我們先給 定初始值為
x 0 0
，此為未加入虛部前的影響。模擬出來的結果如 Fig.2-4 所示，可看出從原點出發未加入虛部初始值的粒子軌跡為一封閉的曲線；進一步畫出實部位置對時間的響應圖如 Fig.2-5，發現電子在實部座標的 投影為一在
x R 0 ~ 1
的週期震盪軌跡，且其振幅最遠不超過 1，表示其無 法順利穿隧。爾後，我們在加入虛部的初始值(0
、 0.7i
、 1i
、 1.9i
)，模 擬的結果如 Fig.2-6 所示可看出，所有的軌跡可分為兩種模式:如原來未加 入虛部初始值而無法穿隧的震盪軌跡以及可往前行進的穿隧軌跡。後者 的位置時間響應 Fig.2-7 也確實可隨時間演進而呈現遞增，而在約瑟芬元 件的理論中，穿隧層的厚度通常只有幾個奈米，而由於波函數是 Mathieu 的特殊函數，其週期為0~2
，在分析上往往將一個穿隧層的厚度等分成15
2
等分，若是相位可到達2
我們極視為可以穿隧。如 Fig.2-6 模擬所表 示，若整段長度是 10，則若可到達對岸(10)的軌跡我們則視為可穿隧。且在模擬複數平面上的軌跡時可發現，其電子對的軌跡皆為一週期性的 規律軌跡，因此我們可藉由觀察一個週期內(
x R 0 ~ 4
)的軌跡模式來推斷 往後的軌跡也將會以同樣的週期規律運動，穿隧到達彼端。我們再仔細觀察兩種不同模式的軌跡行為，發現雖然四條軌跡在實部 的投影皆為從原點出發，但虛部的初始值越大(超過
1i
)，穿隧的現象也 越顯著，證實穿隧結果確實與虛部的初始條件有關。然而，虛部的變異 量卻是在身處實部空間的觀察者無法量測到的；因此才會有雖初始條件 相同，卻有可穿隧和不可穿隧的機率差別。量子力學中的機率詮釋在此 完全可利用考量虛部條件後的結果來作解釋。且可推斷，虛部初始位置 越大，粒子穿隧的可能性也越高。約瑟芬元件是一種利用穿隧與否來判斷通路或斷路的單電子開關，
也因此粒子軌跡更是在分析穿隧運動時的一項利器。以上的模擬更說明 了虛部對於穿隧效應的影響是不容忽略的。此論文接下來的工作便是利 用複數力學的虛部影響來模擬約瑟芬元件在真實物理條件下的穿隧軌跡，
並與文獻的結論作比對，進而推導如何在實部空間加入控制軌跡的參數，
以控制虛部結合實部動態的結果。
16
Fig.2- 3 未加入虛部初始值的電子在複數平面上的動態
Fig.2- 4 未加入虛部初始值的電子實部位置對時間的響應圖
Re(x) Im(x)
Re(x)
time
17
Fig.2-5 加入虛部初始值(由上而下分別為 0 、 0.7i 、 1i 、 1.9i )的電子在複數平面上的動態
Fig.2-6 加入虛部初始值(由下而上分別為 0 、 0.7i 、 1i 、 1.9i )的實部位置 對 電子時間響應圖
Re(x) Im(x)
Re(x)
time
18
第三章 複數力學架構下的約瑟芬元件動力學建立
3.1 約瑟芬元件介紹
1962 年 B.D.Josephson 預測了由兩個超導體所組成的系統中會有特定 的現象，稱之「庫倫電子對的穿隧效應」[9,10,11]。如 Fig.3-1(a)所示，
即為一個簡單的約瑟芬元件基本結構，其中包含了兩個超導體元件，中 間夾有一層絕緣層或氧化層(夾層的種類決定了約瑟芬元件的種類)。其 中一端的超導體元件中充滿了 n 對的庫倫電子對，並於另外一端加入電 壓或磁場加以控制電子對的穿隧行為[14,16]；若是可使電子對穿隧，即 可在兩端量測到電流
I
，其大小I I c sin
，其中I c
為一臨界電流常數，與 材料性質有關。此由相位差所引起的電流效應稱為 dc-Josephsoneffect[12]。
(a) (b)
19
Fig.3-1 (a)電壓控制的單約瑟芬元件裝置示意圖 (b)兩絕緣層中的波函數相位變化
而約瑟芬元件中的電子穿隧與否即可用來作為一個二階系統。在近年 來相當熱門的量子電腦領域裡，各式各樣的可控二階系統都可被拿來作 為量子電腦的模型(例如控制電子的上自旋與下自旋、電子能階的躍遷與 約瑟芬元件等)。將有穿隧的狀態令為
1
、無法穿隧的狀態令為0
，即 可實現電腦計算中的邏輯閘。將許多個約瑟芬元件做串並聯使用，即可 處理大量的數位運算，實現量子電腦的發展。3.1.1 傳統的約瑟芬元件分析
傳統分析約瑟芬元件的理論是利用量子力學中的波函數來描述兩個 超導體元件間的電子對的行為，如 Fig.3-1(b)所示。假設約瑟芬元件左端 的波函數為
L
、右端的波函數為 R
，當兩端的超導體產生交互作用時，描述此約瑟芬元件行為的時間相依的薛丁格方程式可以表示為:
L
L L R
i U K
t
(3.1.1a)R
R R L
i U K
t
(3.1.1b)其中
U i
為超導體兩端的相對位能值，而K
為一個可以使得兩邊超導體產 生交互作用的結合常數能量。當約瑟芬元件兩端接上一直流電壓源V
，則 此時因為超導體兩端電位能不同U L 0
，U R 2 eV
，則(3.1.1ab)可表成:20
i L K L t
(3.1.2a)R 2
R L
i eV K
t
(3.1.2b)將波函數轉換成極座標形式
L L exp i L
與 R R exp i R
，再以 Euler 方程式e i cos i sin
轉換後代入(3.1.2.ab)後，將實部與虛部分開比 較可以得到兩組聯立方程式:cos 2 , cos
L R R R R
L L L
d K eV d K
dt dt
(3.1.3a)sin , sin
L R
R L
d K d K
dt dt
(3.1.3b)當通過的 Cooper pair 數目與性質相同時，
L R
，(3.1.3a)可觀察到 兩端波函數相位角差
，對時間的變化可表成:2 1
( ) 2
d
d eV
dt dt
(3.1.4)(3.1.4)式稱為 ac-Josephson effect。
當超導體兩端的絕緣層累積了庫倫電子對會產生電容效應，可表示如 下:
e 2
Q CV C
e
(3.1.5)其中
V
可由(3.1.4)式獲得，Q e
為庫倫電子對所帶電荷，C
為元件的電容值。此電荷移動所造成的電流可表示成
e 2
Q CV C
e
(3.1.6)其顯示了電荷穿隧所造成的電流確實可表示成相位角
的函數。而若是約21
瑟芬元件兩端的偏壓電流(bias current)
I b
，其可視為 dc-Josephson effect:c sin
I
與電容效應累積電荷流量Q e
的合成結果:sin 2
b c
I I C
e
(3.1.7)先前的文獻[17]裡，也有人嘗試利用牛頓力學
F mx
來類比這個系統，只 要將(3.1.6)式中的電容值C
視為一等效質量，並將 / 2e
視為此系統與牛頓力學中位置
x
的等效變數，即可將電流類比為此系統的作用力F
，可表 示成:2 b c sin
F C I I
e
(3.1.8)此後便可利用牛頓力學中，位勢能與力的關係作類比得到
2e dU
F d
(3.1.9) 將(3.1.8)式與(3.1.9)式類比後積分後可得到此系統的位能函數: cos cos
2 2 2
b c b
j
I I I
U E
e e e
(3.1.10) (3.1.10)中的第一項稱之為偏壓位勢(bias potential)，其隨著相位角線性遞 增，可視為一位能的基準面；第二項位能中的E j I c / 2 e
稱為 Josephson energy，隨著相位角的增加會有震盪的能量變化，通常我們將位能作平移，也就是將第一項位能捨去，平移後的位能表示為:
j cos
U E
(3.1.11) 而我們也可將 cooper-pair 的等效動能表示成:22
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2
k e
E CV C Q
e C
(3.1.12)有了動能與位能，傳統量子力學對約瑟芬元件系統的 Hamiltonian 表示法 可寫為:
2 2
cos cos
2 2
e e
c k j C j
Q Q
H E U E E E
C e
(3.1.13)其中
E C 2 e 2 / 2 C
由系統的電容係數決定，稱為 charge energy；Josephson energyE j
與 charge energyE C
為約瑟芬元件中兩項重要的物理參數，其比 例關係影響了約瑟芬元件的穿隧與否[13]。3.1.2 約瑟芬元件的 Hamilton 算符
在傳統量子力學中，一個薛丁格方程式可表示成:
i H ˆ
t
(3.1.14)其中
H ˆ
為 Hamiltonian 算符，可表示成:ˆ ˆ ˆ
T V
H H H
(3.1.15) (3.1.15)式的 Hamiltonian 算符在約瑟芬元件理論中時常出現[4]，其中第 一項H ˆ T
為動能操作子，可表示成: 2 2 2 2
ˆ
T 2 g C g
g j
H e n n E n n
C C
(3.1.16)(3.1.16)式中
C g
和C j
為 Fig.3-1(a)中的外接閘極電容與約瑟芬穿隧層的電23
容值，
n
為數量算符(number operator)，其操作運算為n i
，而第二項
n g
則為無因次化的閘極電荷(gate charge)，與外加的閘極電壓(gate voltage)V g
有關:2
g g g
n C V
e
(3.1.17)然而我們在觀察(3.1.16)式中的數量算符與無因次化的閘極電荷
n g
卻 有著不同的單位，其原因是因為在考慮數量算符時並未將其相位角變數 作無因次化的替換以消除普朗克常數 所帶得的單位。因此我們將文獻中 的相位角變數
利用先前提過的等效變數 / 2e
作替換，則可發現(3.1.16) 式可改寫成以下:2
ˆ T C 2 g
H E ei n
(3.1.18)如此一來，(3.1.16)式中的 Hamiltonian 動能算符則成為能量單位，我們只 要將 charge energy
E C
用電子伏特(e.V.)作單位，則括號中第一項的e
則代 入電子數目(e 1
)，整個括號即為兩個數量量值作相減，達到無因次化的 效果，以符合整個 Hamiltonian 項的能量單位。位能算符
H ˆ V
可由(3.1.11)式約瑟芬元件的位能得知:ˆ V j cos
H E
(3.1.19) 將(3.1.18)式和(3.1.19)式代回(3.1.15)式即可得到約瑟芬元件的漢彌爾頓 算符:24
2 2
ˆ C 2 g g j cos
H E n nn n E
(3.1.20)2
2 2
(2 ) 2 (2 ) cos
C g g j
E e e n i n E
(3.1.21)由 Fig.3-1(a)約瑟芬元件的裝置示意圖可看出，gate voltage 提供一與 庫倫電子對穿隧運動方向相反的電位勢，若是其外加電壓越大，對庫倫 電子對前進的阻力越大；因此在(3.1.16)式中，欲通過位勢障的電子對數 目
n
必須克服無因次化後的逆向電壓的能量才能夠順利穿隧。若是我們將 電壓反過來接通，對電子對的動態將會是一個順向電位差，具有幫助加 速的效果，而n g
取負值將會使(3.1.16)式的第二項成為正的，對於整個動 能項H ˆ T
具有增加電子對動能的效果。以上可明顯看出，n g
即為約瑟芬元 件穿隧效應的主要控制參數，藉由調變外加電壓V g
，來達到控制 qubit 的 導通與否。本研究的主要目的便是要將此算符所對應的 Hamiltonian 項找 出，利用複數力學提供的軌跡，並加入此電壓控制參數，觀察軌跡的變 化，來達到控制穿隧的目的。3.2 約瑟芬元件所對應的 Hamiltonian 項
由文獻可知，複數力學中的 Hamiltonian 動態與波函數 Hamilton 算符之 間的關係如下:
H H ˆ
(3.2.1)25
而系統的 Hamiltonian 項只需把(3.2.1)式等號左邊的波函數除到等號右邊 即可得到:
H 1 ˆ H
(3.2.2)我們將(3.1.21)式的約瑟芬元件算符帶入(3.2.2)式:
2
2 2
2
1 C (2 ) (2 ) g g j cos
H E e e n i n E
(3.2.3)而(3.2.3)式中的波函數可用
e iS
來替換，代入化簡後得到的結果如下: 2 2 2 cos 2 2 2
C g g j C
S e S
H E S n S n E E i S
(3.2.4)在(3.2.4)式中，我們只要將 Hamilton 力學中的動態函數
S
選取為 S
， 其中
為約瑟芬元件理論中所使用的等效變數 / 2e
，則以等效相位為變數的 Hamilonian 動態函數則可表示成:
2 S e S
S
(3.2.5)(3.2.5)式中的
e
與
皆為無單位的電子數目與相位差，而動作函數S
與普郎 克常數 單位又相同。因此整個(3.2.5)式的新動態函數是沒有單位的，以 符合(3.2.4)式中的各項能量具有相同的單位可直接相加減。我們再比較(3.2.4)式與(3.1.21)式多了等號右邊第三項；對照(2.1.5)式，
可發現此項即為複數力學假設下的量子位勢能(Quantum potential)，在博 士論文[28]中有提到，此量子位勢便是造成影響穿隧與否的主要因素。而
26
我們只要令(3.2.4)式中的外加電壓參數
n g 0
，即未施加外在控制，便可 得到與博士論文[28]中利用複數力學所推導得到相同的 Hamiltonian 項。3.3 約瑟芬元件的 Quantum Hamilton 動態
有了(3.2.4)式的 Hamiltonian 項，代回(2.1.9)式與(2.1.10)式，即可求 得約瑟芬元件中的庫倫電子對動態。我們先將(3.1.11)式的位能代回以等 效相位角
2e
為變數、且利用電容C
作為等效質量的時間獨立薛丁格 方程式:2 2 2
2
2 2
e U E
C
(3.3.1)可將原來的薛丁格方程式由一偏微分方程式轉變為一個二階常微分方程 式:
2
2 cos
C j
E d E E
d
(3.3.2)藉由求解(3.3.2)式可得到約瑟芬元件理論中常用的波函數解:
4 , 2 , 4 , 2 ,
2 2
j j
SIS
C C C C
E E
E E
MathieuC c MathieuS
E E E E
(3.3.3)此解形式在數學上稱之 Mathieu function，由兩個週期特殊函數 Mathieu cosine 和 Mathieu sine 做線性疊加組合而成；其中
E 2 E E j C
，為系統的 特徵能量，c SIS
為兩函數間的比例常數，下標 SIS 代表的是使用絕緣夾層27
(insulation)為材料的約瑟芬元件，可由邊界條件
0 2
求得，此邊界條件在約瑟芬元件的理論中時常用到，滿足此邊界條件的約瑟芬元件 又稱為 0 型約瑟芬元件(0-junction)；而中間使用鐵磁層(Ferromagnetic)的 元件，則
0 2
，兩邊界的波函數值恰好為等值異號，此種元件又 稱為π型約瑟芬元件(π-junction)，如 Fig.3-2 所示。在本論文中，我們將 利用 0 型約瑟芬元件來進行模擬，且為了滿足波函數機率值的條件，將 此邊界條件設為 0 2 1
，又稱為 unity boundary condition[4,18]。Fig.3-2 0 型約瑟芬元件與π型約瑟芬元件的邊界條件
在過去文獻裡，charge energy
E C
和 Josephson energyE j
決定於約瑟芬 元件的材料係數。實驗經驗告訴我們，當約瑟芬元件的E j E C
時無法擁有 穿隧現象；而當E C E j
時，約瑟芬元件將有較大的機率能夠穿隧。因此我 們在此利用庫倫電子對在相位平面的動態來說明穿隧現象。我們先假設j C 100
E E
，解出滿足邊界條件 0 2 1
的係數c SIS =12.28584505
，並 將 其 波 函 數 代 入 無 因 次 化 後 的 (2.1.9) 式 ， 即 可 得 到 以 等 效 相 位 角28
/ 2e
為變數的動態方程式:1
d d
dt i d
(3.3.3) 我們將波函數代入(3.3.3)式後對時間做積分，並加入 2.2 節所提到穿隧效 應中不可或缺的虛部初始值影響( (0) 0, 0.3i, 0.5i, 0.7 , 0.9 i i
)，所模擬出 庫倫電子對在複數相位平面上的動態軌跡如 Fig.3-3 所示，可看出加入虛 部初始值的粒子會有兩種型態:一為在原點附近做封閉軌跡的震盪，另一 種為向前傳遞但最後卻聚集至某平衡點。我們繼續去畫出其時間響應圖 (Fig.3-4)，發現外部的虛部初始值( 0.5i, 0.7 , 0.9 i i
)會收斂在實部約 R 2.7
的位置，而由於整段約瑟芬元件的相位角為
0 ~ 2
。其收斂角度甚至未超 過一半。因此我們將此未能到達2
相位的粒子視為無法穿隧。另 外 一 種 情 形 是
E j E C
， 我 們 假 設E j E C 0.01
， 解 出 比 例 係 數=1.753225974
c SIS
，將此波函數代回(3.3.3)式並求得動態相位變化如 Fig.3-5 所示，發現雖然靠內部的虛部初始值(0, 0.3 , 0.5 i i
)的相位差會往後倒退，但靠外部的虛部初始值(
0.7 , 0.9 i i
)卻可順利的往前移動至 R 5.2
左右的 位置，其相位已經接近元件右端的相位2
。我們將前者的相位變化視為 反彈的粒子動態、後者的相位變化視為可穿隧的粒子動態；此模擬結果 與文獻預測的材料特性對穿隧可能與否的影響結果相符合:在E j E C
時，粒子無穿隧的可能；
E j E C
粒子即可能穿隧，證實了以相位角差為變數型29
態的複數力學，確實可利用提供軌跡的方式，給予約瑟芬元件的穿隧理 論一套直觀且正確的預測方式。
30
Fig.3- 3 E j E C 100 粒子在相位複數平面上的動態軌跡，初始值由上至下為 (0) 0, 0.3i, 0.5i, 0.7 , 0.9 i i
Fig.3- 4 E j E C 100 粒子的實部相位對時間響應圖，初始值由上至下為 (0) 0.9 , 0.7 , 0.5 , 0.3 , 0 i i i i
Re(φ)
Im(φ)
31
Fig.3-5 E j E C 0.01 粒子在相位複數平面上的動態軌跡，初始值由上至下為 (0) 0, 0.3i, 0.5i, 0.7 , 0.9 i i
Fig.3-6 E j E C 0.01 粒子的實部相位對時間響應圖，初始值由上至下為 (0) 0.9 , 0.7 , 0.5 , 0.3 , 0 i i i i
32
第四章 加入控制參數的約瑟芬元件模型
4.1 加入控制參數的約瑟芬元件模型
3.1 節中，我們求得約瑟芬元件算符所對應的 Hamiltonian 動態:
2 2 2
2
C g j cos C
S e S
H E S n E E i S
(4.1.1)而我們先假設
n g 0
，即未加入電壓下約瑟芬元件的(4.1.1)式可寫成: 2 2 2
2
C j cos C
S e S
H E S E E i S
(4.1.2)其中
S i ln ( )
可由波函數(3.3.2)式求得，如此一來便可得到未加入 電壓時的電子相位動態。若是此時相位動態無法穿隧，我們則必須再加 入控制參數n g C V g g / 2 e
。本篇論文的控制概念如 Fig.4-1，我們只要給 定此系統的輸入(即為求動態所需要的波函數
)，經由中間的轉換函數，也就是複數力學的動態方程式
S
，即可求得電子的輸出動態 t
；而 若是輸出的動態無法達到使用者要求，則在輸出回授端加入一個可藉由 電壓調變的控制參數n g
，其在 Hamiltonian 項中扮演的腳色為改變電子的 動 能 項E C S n g 2
， 如 此 一 來 便 可 產 生 一 個 新 的 動 態N E W S N E W S n g
。
然而，在 3.1 節提過，利用電壓控制的約瑟芬元件配置如 Fig.4-2，其
33
外加電壓
V g
對於庫倫電子對的動態是一個逆向的電位差；若是通入逆向 電壓，也就是如圖電位差的方向為正的n g
值，模擬結果將會得到電子往 反方向倒退的結果。因此，若是要增加穿隧的機率，應該將外加電源方 向反過來接，而逆向的電位差方向將會造成n g
的值為負的，所以在模擬 時，我們將n g
的值都設為負的以達到控制穿隧的目的。反之，若是需要 抑制穿隧，即加入順向電壓即可將原本會穿隧的電子反向運動，使其無 法穿隧到達另一端。我們在此延續 3.3 節的研究，以不同的材料特性分為
E C E j
與E C E j
， 其代表的是可穿隧與不可穿隧的兩種結果。依照邏輯推斷，加入控制參 數n g
，原本可穿隧(E C E j
)的對照組應該可獲得更大的電子動能而跑得更 遠；而原本不可穿隧(E j E C
)的控制組應該可順利達到穿隧的效果。在第一組
E j E C
的模擬中，我們將其材料參數比值設為E j E C 0.1
，並 漸增的調整逆向電壓(n g 0, 2, 3, 4, 5, 6
)，得到的結果如 Fig.4-3(a-f)，可發現原本內側虛部初始值所造成反彈的軌跡，將逐漸向前移動，而原 本就可穿隧的外側初始值軌跡的實部相位將會增加得更多。而第二組
j C
E E
，材料係數設為E j E C 10
，得到的結果如 Fig4-4(a-f)，無論是原本 做週期震盪或收斂至特定相位而無法穿隧的軌跡皆隨著漸增的電壓 (n g 0, 1, 3, 5, 9, 11
)而開始往前移動的趨勢。4.2 節在加入電壓後的模擬結果正如理論所預測的，可藉由調整
n g
的參34
數來達到改變電子相位動態的結果。此結果不但證實了以相位角為變數 的複數力學確實可利用粒子在相位平面上的軌跡，提供約瑟芬元件穿隧 現象一個較量子力學機率詮釋較為直觀的動力學結果，且說明了其是否 穿隧的重要因素之一確實出在我們所無法量測的虛部初始值對實部所造 成的影響；而對此無法量測、也無法控制的虛部變因，在加入了
n g
以改 變 Hamiltonian 中的動能項，進而改變電子的動態軌跡，此舉成功地展示 了藉由實部的可控因素(電壓)來改變虛部不可控因素(初始值)的控制結 果。Fig.4-1 利用 n 改變 Hamiltonian 與動態的控制概念 g
Fig.4-2 電壓控制的約瑟芬元件配置圖
( ) S H
p
( ) t
n g
35
4.2 模擬控制的結果
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Fig.4-3 加入控制參數 n g 改變 E j E C 0.1 (可穿隧)的電子相位動態 (由 a-f 順序分別為 n g 0, 2, 3, 4, 5, 6 )
Re(φ) Re(φ)
Re(φ) Re(φ)
Re(φ) Re(φ)
Im(φ)
Im(φ)
Im(φ)
Im(φ) Im(φ)
Im(φ)
36
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Fig.4-4 加入控制參數 n g 改變 E E j C 10 (不可穿隧)的電子相位動態 (由 a-f 順序分別為 n g 0, 1, 3, 5, 9, 11 )
Im(φ) Im(φ)
Im(φ) Im(φ)
Im(φ) Im(φ)
Re(φ) Re(φ)
Re(φ) Re(φ)
Re(φ) Re(φ)
37
4.3 調整電壓控制參數對電子穿隧比例與電流實驗的類比
在 4.2 節的模擬結果可看出，加入電壓控制參數
n g
對粒子穿隧的動態確實有相當好的影響。在傳統約瑟芬元件的實驗中，用以判定粒子穿隧 的依據是量測元件的電流值。隨著控制電壓
V g
的順向逆向調整，所對應 的電流值如 Fig.4-5(a)所示。隨著控制電壓V g
的順向遞增，元件量測到的 順向電流會有一段延遲後，並在到達某臨界電壓值後迅速遞增；逆向電 壓V g
也會有相同的反向結果。而 Fig.4-5(b)若是將無因次化後的控制電壓V g
做橫軸，以量測到電流值除以電流最大值做歸依化，便可得到在順向 與逆向的臨界電壓值時，約瑟芬元件將會完全導通，即電流達到最大值( I SW / I SW ,max 1)
，由此判定內部的電子已穿隧；Fig.4-5(b)中的連續實線為 傳統約瑟芬元件理論的預測曲線，而實心點則為離散的實驗量測數據，可看出此文獻[18]的實驗結果分佈與理論的趨勢相當吻合。
