結論與未來展望

複數力學的主要精神便是將古典牛頓力學的位置變數領域擴展到複 數座標，而在複數空間所展現出來的軌跡動態即可用來詮釋過去以機率 作為描述的抽象量子力學現象，如穿隧效應、電子自旋…等。

過去人們認為微觀尺度與巨觀世界必須利用兩套不同分析方式，這中間 的代溝在複數力學的架構下終於有了完整的統合。尤其在現今的工業科 技已可做到奈米(nm)大小等級的製程，未來的電子元件發展趨勢將會往 量子等級的尺度作發展；而在這中間的過渡階段，更顯得需要一套可橫 跨兩種尺度的分析工具。本論文便是以量子電腦領域中利用約瑟芬元件 中的穿隧效應的導通與否來實現量子位元(qubit)的二階系統，並利用以相 位角作為變數的複數力學提供電子穿隧的相位軌跡，達到量子控制的目 的，並歸納出幾項結論:

(1) 虛部變數對實部的動態影響:

量子力學中的穿隧現象是一種古典力學無法說明的現象，描述雖然 電子具備的動能無法超越外在位勢障，但仍然有一定的機率可以穿 越位勢障。在複數力學的架構下，座標變數的領域是定義在複數空 間，而我們在加入虛部的初始值後，發現不同的虛部初始值設定確 實會影響實部空間中的穿隧結果，且過去的文獻中複數化的軌跡與

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量子力學的機率詮釋也有相當好的符合結果[33,34,35,36]。在約瑟 芬元件過去的研究裡，發現不同的材料係數會造成不同的穿隧結果；

而這些經驗法則皆可在加入虛部的初始值後的相位動態來解釋。因 此在未來有關約瑟芬元件的穿隧分析中皆應該要考慮虛部初始值 對實部動態所造成的影響。

(2) 加入電壓控制後對庫倫電子對的 Hamilton 動態的影響在過去未曾 有人利用古典力學的方式分析電子對的 Hamilton 動態，也因此我們 無從得知在加入電壓控制後對電子對的 Hamiltonian 會如何改變。

此篇論文利用操作子和 Hamiltonian 之間的關係，找出電壓控制參 數在庫倫電子對的 Hamiltonian 項中所扮演的腳色是改變電子的動 能；藉由改變電壓控制參數進而改變電子的 Hamiltonian，來觀察加 入控制後的電子對動態，模擬結果與預測相當的成功。本論文提供 一套全新的約瑟芬元件分析理論，不但可以利用 Matlab 等數值軟 體模擬出電子對的穿隧動態；更可以在製作約瑟芬元件的階段以前，

提供材料的物理參數，來模擬預測此約瑟芬元件的設計是否有利於 穿隧，以及所需的控制電壓範圍是否符合經濟效益。這對於未來的 量產階段將會是一套十分有利的理論工具。

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此篇論文在電壓控制的相位動態有相當好的結果，這在量子位元 (qubit)的領域裡僅是一步小小的貢獻。此領域中仍然有許多其他控制 qubit 的方法，例如:利用溫度、磁場改變約瑟芬元件的電子穿隧或是 電子的自旋。未來應該可以從相位角為變數的複數力學出發，利用本 論文的動態分析方式，在電子的 Hamiltonian 中加入溫度、磁場等控 制參數，得到其對應的穿隧動態。另外，由 4.3 節的模擬可看到將不 同粒子初始值的樣本數變多，便可將其穿隧的粒子比例與飽和電流做 一類比，其似乎顯示若要貼近真實的電流情況，必須以大量粒子作統 計的結果，因此未來可加入更多粒子初始值，以及考慮其不同的虛部 初始值分佈，是否可將 Fig.4.6 中得到的臨界電壓值與實驗數據更為 貼近。如此一來，便能使複數力學在約瑟芬元件控制理論中的發展能 更加完整，且將其應用拓展到其他種類的 qubit 分析；期望能將複數 力學發展成為提供使用者另外一套有別於量子力學更為直觀、也對工 程領域更為實用的分析工具。

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參考文獻

[1] Barone, A., and Paterno, G., 1982, “Physics and Application of the Josephson Effect, Wiley, New York.

[2] Blum, Y., Tsukernik, A., Karpovski, M., and Palevski, A., 2002,

“Oscillations of the Superconducting Critical Current in Nb-Cu-Ni-Cu-Nb junctions”, Physical Review Letters, 89. Pp, 187004 1-4.

[3] Canturk, M. and Kurt, E., 2007, “Phase-Dependent Characteristics of a Superconducting Junction by Using the Schrödinger wave function”, Physica Scripta, 76, pp. 634-640.

[4] D. Bohm,”A suggested interpretation of the quantum theory in terms of

‘hidden variables’I”, Phys. Rev. 85, 166-179(1952)

[5] D. Bohm,”A suggested interpretation of the quantum theory in terms of

‘hidden variables’I”, Phys. Rev. 85, 180-193(1952)

[6] Daoyi Dong & Ian R. Petersen, “Quantum control theory and applications: A survey”, arXiv:0910.2350v3 [quant-ph] 10 Jan 2011.

[7] David P. Divincenzo, “The Physical Implementation of Quantum Computation”, Fortschr. Phys. 48(2000), 9-11, 771-783.

44

[8] Ismail KARAKURT, 2003, “Quantum Computing with Electrons on Liquid Helium”, Dept. of Physics, Case Western Reserve University.

[9] Josephson, B. D., 1962,”Possible New Effects in Superconductive Tunneling”, Physics Letters, 1, pp.251-253.

[10] Josephson, B. D., 1964, “Coupled Superconductors”, Reviews of Modern Physics, 36, pp. 261-220.

[11] Josephson, B. D., 1965, “Supercurrents through Barriers”, Advances in Physics, 14, pp. 419-451.

[12] Krasnov, V. M., 2011, “Superconductivity and Josephson Effect: Physics and Applications”.

[13] Likharev, K. K., 1986, “Dynamics of Josephson Junctions and Circuits”, Gordon and Breach, New York.

[14] Michael Tinkham, 1996 “Introduction to superconductivity”, New York:

McGraw-Hill.

[15] Oboznov, V. A., Bol’ginov, V. V., Feofanov, A. K., Ryazanov, V. V., and Buzdin, A. I., 2006 “Thickness Dependence of the Josephson Ground states of Superconductor-Ferromagnet-Superconductor Junctions”, Physical Review Letters, 96, pp. 197003 1-4.

[16] Schmidt, V. V., 1997, “the Physics of Superconductor”, Springer, Berlin.

45

[17] Teng-Yi Chang, 2013, “The Trajectory Interpretation of the Quantum Geometrical Phase and Its Application to Superconducting Quantum Devices”, Department of Aeronautics and Astronautics, National Cheng Kung University, Tainan, Taiwan, R.O.C.

[18] Travis M. Eiles* and John M. Martinis, 1994, “Combined Josephson and charging behavior of the supercurrent in the superconducting

single-electron transistor” PHYSICAL REVIEW B VOLUME 50, NUMBER 1, pp627-630.

[19] Vertennikov, Alexander V., Ryazanov, Valery V., Oboznov, Vladimir A., Rusanov, Alexander Yu., Larkin, Victor A., and Aarts, Jan, 2000,

“Supercurrents through the Superconductor Ferromagnet Superconductor(SFS) Junctions”, Physica B, 495, pp. 284-288.

[20] Yang, C. D., 2006, “Modeling Quantum Hamilton Oscillator in Complex Domain”, Chaos, Solitons & Fractals, 30, pp. 342-362.

[21] Yang, C. D., 2006,”Quantum Hamilton Mechanics: Hamilton Equation of Quantum Motion Origin of Quantum Operators, and Proof of Quantization Axiom”, Annals of Physics, 321, pp.2876-2926.

[22] Yang, C. D., 2007, “Quantum Motion in Complex Space”, Chaos, Solitons & Fractals, 33. pp. 1073-1092.

46

[23] Yang, C. D., 2008, “Trajectory Interpretation of the Uncertainty Principle in 1D Systems Using Complex Bohmian Mechanics”, Physics Letters A, 372. pp. 6240-6253.

[24] Yang, C. D., 2009, “Stability and Quantization of Complex-Valued Nonlinear Quantum Systems”, Chaos, Solitons & Fractals, 42, pp.

711-723.

[25] Yang, C.D., 2010, “Complex Mechanics, Progress in Nonlinear Science”, Asian Academic Publisher, Hong Kong.