動態幾何環境的探討

本研究所使用的軟體，是動態幾何軟體 GSP，對於動態幾何環境的了解，及如何利 用其優點作研究，自然要有所了解，以下是幾則可供參考的研究結果：

1. 美國數學協會（ the Mathematical Association of America，簡稱 MAA ），於 1997 年出 版 Geometry Turned On：Dynamic Software in Learning , Teaching , and Research 一書，書中 分析二十六篇研究論文，發現動態幾何軟體具有以下的優點（pp. xi – pp. xiv）：

（1）作圖精確（Accuracy of construction ）：

任何尺規作圖、應用仿射變換的歐式幾何作圖，或者沿一定路徑移動的物體軌跡，

都可以由動態幾何軟體精確地作出。

（2）視覺化（Visualization）：

視覺化本身，是強而有力的問題解決工具，加上動態幾何軟體，能讓學習者對自己 的視覺圖像作立即且精確的調校，為幾何知識增添一個新的領域。此外，以動態幾 何軟體，作為展示工具可以幫助學習者「看到」幾何性質的一般性。

（3）探索與發現（Exploration and Discovery）：

動態幾何軟體，容許學習者以動態、有效、視覺的方法去測試自己的數學猜想，而 且在這過程中學生會更沈浸在學習中。這對體驗幾何性質的關聯，和創造新數學是 有助益的。

（4）證明（Proof）：

儘管動態幾何軟體，並不能全然提供證明，但它可以產生實驗性的證據，使學習者 深具信心，激發證明性質成立的念頭。

（5）變換（Transformations）：

動態幾何軟體，可以讓學習者見到整個圖像變換的過程，從中可以觀察圖形具備什 麼性質，或者所探討的性質是否成立。

（6）作軌跡（Loci）：

動態幾何軟體，內建記錄物體軌跡的功能，非常適合用來展示軌跡如何生成，與顯 示軌跡的形狀。

（7）模擬（Simulation）：

動態幾何軟體有拖曳、動態模擬、記錄軌跡、與產生自由點的功能，可以用來模擬 許多情境的變化，從中甚至可以得到令人驚喜的結果。

（8）微世界（Micro worlds）：

利用動態幾何軟體所附的特殊程式（如巨集），可以產生新的工具，用以替代歐式

幾何的工具，進而探索新幾何領域（如雙曲幾何）。

2. 國際數學教學委員會（the International Commission on Mathematical Instruction，簡稱 ICMI），亦於 1998 年出版 Perspectives on the Teaching of Geometry For the 21st Century 一 書， 書中第四章，探討電腦科技與幾何教學（pp. 109 – pp. 158），其中關於對於動態 幾何環境下的教學研究結果，可以歸為下列幾點：

（1）動態幾何環境，可作為問題解決的豐富環境， 其所提供的視覺證據（visual evidence）

是使學習者產生問題與企圖找出解答的催化劑。

（2）動態幾何軟體具有多種模擬的能力， 不但可以作為幾何探索的工具，還可使直覺、

空間感、圖形構造與各種理論之間作連結。

（3）動態幾何環境，可以作為一種新的環境， 用以設計在觀察實驗和演繹證明間，做 連結的創新活動。

（4）動態幾何環境，可以培養學生對數學證明的目的，及本質更充足的鑑賞力。

（5）動態幾何軟體，能輕易作出複雜的幾何圖形，且具有動態的能力，可以降低問題 的難度。

3. 數學教育期刊 Educational Studies in Mathematics，在 2000 年的 44 期，對動態幾何軟體 對做了一系列的探討， 其中 Hanna（2000）指出，由於動態幾何軟體易於呈現、易於測 試猜想， 因此，同時具有促進幾何探索與證明的潛能。

4. 幾何的教學，通常均偏重在形式的演繹及證明上面，但是幾何概念的建構以及從觀 察、歸納而發現幾何性質的過程，卻常常被忽略，幾何的許多題材，也因動態圖形的不 易顯示，而需要高度的想像才能瞭解。動態幾何軟體工具和教學觀念的發展，使得幾何 的教學可以從較直觀的、動態的圖形著手。以下探討動態幾何軟體的特質（林保平，民 86）：

（1）尺規作圖及圖形的可變異性

市面上的繪圖軟體很多，而且也提供了非常方便並友善的使用者介面，但其目標是 美術繪圖或設計製圖，並未考慮幾何教學的需要，畫一個在幾何課本上出現的幾何圖形 不太容易，而且畫出圖形之後，圖形就固定了，無法方便地操作及變異圖形，動態幾何 軟體基本上是尺規作圖，且所作的圖形是可操作及可變異的。所有用直尺及圓規能作出 的幾何圖形，都能利用它們所提供的作圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法，相當容易 地製作出精確的幾何圖形，例如畫點、直線、線段、射線、圓、弧、平行線、垂直線、

角平分線.，取出線與線、線與圓、或圓與圓的交點，選取直線形、圓或弧的內部，並能 利用這些基本功能的組合，製作較複雜的幾何圖形。由於這些作圖工具均依照幾何的定 義而設計，因此圖形精確適合幾何教學。所得的圖形整體或其構成部份，均可在螢幕上，

利用滑鼠直接依作圖時的定義，移動其位置或改變形狀，或利用軟體提供的幾何變換

（Geometric Transformation）功能，選出變換的基準（例如平移向量、鏡射軸、旋轉或相 似中心、放縮的比例、旋轉的角度.等）之後，作平移、旋轉、鏡射、相似等變換。這種 幾何作圖及圖形可操作及變異的功能，是動態幾何軟體能成為臆測、探索幾何性質工具 的基本原因。

（2）動態連續變化

當圖形或其某一構成元素改變位置、形狀或被變換時，其改變的過程是漸進及連續 的。不只圖形的最終狀態呈現出來，其位置改變過程中的圖形，也連續呈現出來。使用 者看到的是一個連續的變動過程。這類軟體使得學生能觀察圖形的連續變換，並由度量 工具（量角度、長度、面積、周長、弧長.，顯示點的座標，直線的斜率.）之輔助來發 現幾何的不變性質（invariant）。利用這種連續呈現變換過程的特質，以及變換的直觀特 性，國小學生也可以學習更多的幾何性質。例如，商高定理的面積關係，就可以經由平

移及等積變換（平移及旋轉，或運用切割及拼圖遊戲，或度量面積），相當直觀地在電

腦螢幕上讓學生操作，或由電腦自動呈現。

（3）特殊即一般（保持結構）

通常我們因證明需要而畫一個幾何圖形時，我們畫的是一個「特殊」的圖形，但證 明過程中一直將它想成「一般」的圖形，證完之後，我們也認定所證明的是具有相同「已 知」的任意圖形所擁有的性質。許多學生習於這種特殊圖形，對於證明過程中，圖形所 代表的「一般化」性質並不了解（Balacheff,1988），若將圖形改變形狀之後，可能就認為 它們是不同的問題。Williams（1979）發現 20﹪的學生不明瞭演繹證明的結論係對所有 符合「已知」的幾何圖形均成立的，並且只有 31% 的學生了解這個證明的一般化原則，

Fischbein（1982）也曾描述相似的結果，只有 24.5% 的學生認為證明過後，對其他特例 不必重新檢驗。在動態幾何軟體下所作的幾何圖形，使用者可任意移動圖形的構成元 素，而圖形因其構成元素改變相對位置而改變形狀以後，其構成元素間的「幾何結構」

保持不變，因此，所得到的是「一般化」的任意圖形（能保持某種固定特質的多種圖形）。

例如，若三角形是由三個「自由點」構成，則使用者可移動任一頂點，使此三角形變成 等腰△、正△、直角△等，甚至「三點共線」也可看成三角形的一個特例。若利用這個 三角形作出三角形的三中線，便可看到三中線交於一點，當改變三角形的形狀時，這三 中線仍然維持具有「相交於一點」的這個幾何特質。在畫三角形時，亦可控制其構成元 素，使它變成一個一般化的直角三角形、等腰三角形.等。這種能保持某類圖形「特徵性 質」的「一般化」幾何圖形，不只能幫助學生了解具有這種『特徵性質』的圖形，在證

明過程的『代表性』，也是教學時，十分有用能提供學生觀察、比較、臆測、驗證幾何

圖形性質的重要工具。

（4）記錄作圖過程

較強的動態幾何軟體，通常具有記錄操作或作圖過程的功能，當使用者從畫出三 點、畫三角形到畫出三邊的垂直平分線，到發現三條垂直平分線交於一點，要經歷一些 作圖的過程，這些作圖的過程均可記錄下來，記錄的結果程式，可以當作下次作圖的工 具。選出工具，訂出基本元素，就可由軟體作圖，省去重新作圖的過程，所做的圖形與 原來的圖一樣，是一個一般化的圖形，上例就可作為畫出三角形外心的工具，同樣的，

使用者也可以建立畫內心、垂心、重心.的工具，這些基本工具，又可組合成更複雜的工 具，例如，由外心、垂心及重心等工具可構成畫尤拉線的工具，以檢驗這三點是否共線。

這使作圖的工程簡化許多，做過一次，以後就可以重複利用。這種記錄作圖過程的功能，

在協助教師了解學生解題的思考過程上有很大的助益，教師可以在事後分析學生解題及 作圖的思考過程，以利補助教學的進行。

僅管我們不能說，動態幾何軟體適合所有數學內容的研發，但善用其優點，作出適

當的內容，卻已受到多項研究的肯定，它是個新興的數學研究工具，但也是個絕對值得 利用的好工具！