第四章 自我相似圖構圖的研究
4.1 動態畢氏樹的製作
畢達哥拉斯（Pythagoras）在西元前六世紀便提出了畢氏定理，即直角三角形的斜邊 平方為其餘兩邊的平方和AC2+BC2 =AB2，如圖 4.1-1 所示。我們以此為出發點，將這 些圖形作自我相似的處理，便可以形成很漂亮的圖案，如圖 4.1-2 所示，稱為作畢氏樹
（Pythagorean Trees），但原本 Pythagorean Trees 中的三角形 ABC，限定為直角三角形，
我們將此直角三角形推廣為任意三角形，作更多的變化，如圖 4.1-3，便是一例。今以推 廣的畢式樹的製作過程為例，讓對 GSP 有興趣的大家，能依樣畫葫蘆，做出令人驚艷的 成果。
A B C
圖 4.1-1 畢氏樹基本圖48
A B C
圖 4.1-2 畢氏樹49 圖 4.1-3 畢氏樹的推廣50
因為想用「動態」的方式來呈現，藉由按鈕，便能自動產生自我相似圖形；我們分 別從「製作按鈕介面」、「製作基礎圖形 Initiator」、「以按鈕介面完成動態自我相似圖形」
等項目來說明。
1. 製作「按鈕介面」
（1）作一射線X
AB，並在其上任作一點C，如圖 4.1-4 所示。
A B C
圖 4.1-4 按鈕介面製作過程（1）51
（2）依次選擇點 A、B、C，按上方選單「Measure/ Ratio」，測出 AC
AB 之值，並在 AC AB 上 按右鍵，將名稱改成「Step」，單位改成只取整數。
（3）依次選擇點 A、B，按上方選單「Transform/Mark Vector」，快按 C 點二次，以 C 為中心點，選取 C 點，按上方選單「Transform/Translate」，產生 D 點。依次選擇 點 B、A，按上方選單「Transform/Mark Vector」，快按 C 點二次，以 C 為中心點，
選取 C 點，按上方選單「Transform/Translate」，產生 E 點，如圖 4.1-5 所示。
E D
A B C
St ep = 1
圖 4.1-5 按鈕介面製作過程（2）52
Next Step Pr evio us Step
圖 4.1-6 按鈕介面製作過程（3）53
（4）依次選擇點 C、D，按上方選單「Edit/ Action Buttons/ Movement」，產生一按鈕，
在按鈕上按右鍵，將名稱改成「Next Step」。依次選擇點 C、E，按上方選單「Edit/
Action Buttons/ Movement」，產生一按鈕，在按鈕上按右鍵，將名稱改成「Previous Step」。於是我們按下「Next Step」按鈕，則「Step」＋1，按下「Previous Step」按 鈕，則「Step」－1，如圖 4.1-6 便是完成的「按鈕介面」。
2. 製作基礎圖形 Initiator
（1）作一線段FG，並以此作成一正方形 FGHI，如圖 4.1-7 所示。
（2）另作一線段 KL ，在其上找一點 M，並將 M 點名稱改為『調整三角形邊長』。依次 選擇點 K、L、M，按上方選單「Transform/ Mark Ratio」，快按正方形 FGHI 上的 I 點二次，以 I 為中心點，選取 H 點，按上方選單「Transform/ Dilate」，在 HI 上產
（3）作一圓 O，在圓上作一∠POQ，依次選擇點 P、O、Q，按上方選單「Transform/ Mark Angle」，快按正方形 FGHI 上的 I 點二次，以 I 為中心點，選取 J 點，按上方選單
（1）因為我們想讓產生的畢式樹有顏色上的變化，依次選擇點 I、R，按上方選單「Measure / Distance」，產生 IR 的距離。選取此 IR 的距離及正方形 FGHI 內部的顏色部份，按 上方選單「Display/ Color/ Parametric/ OK」，則待會產生的相似正方形的顏色，就會 因所對應 IR 長度的不同而改變。
（2）選取 F、G 二點及「按鈕介面」 中的「Step=1」參數，按住 Shift 鍵，按上方選單
「Transform/ Iterate To Depth」，作好如圖 4.1-10 的設定，按下「Structure/ Add New Map」，作好如圖 4.1-11 的設定，按下「Iterate」即完成了。
圖 4.1-10 畢氏樹遞迴設定（1）57 圖 4.1-11 畢氏樹遞迴設定（2）58
隱藏了部份不需的資訊後的完成圖，如圖 4.1-12 所示，我們可以用「Next Step」、
「Previous Step」按鈕，來觀察整個圖形的變化。新增的「Swing It」按鈕（製作 P 點在 圓 O 上的動點按鈕即可），讓畢式樹能自行動態的轉動：
圖 4.1-12 畢式樹動態介面完成圖59
Step 0：圖 4.1-13 中三角形為任意三角形
Step 1：分別在三角形兩邊上，以兩邊為邊長做正方形，並在新正方形上，同時做原 三角形的相似形，如圖 4.1-14 所示；
接著重複疊代下去， Step = 9 的畢式樹如圖 4.1-15 所示。
圖 4.1-13 畢式樹說明（1）60 圖 4.1-14 畢式樹說明（2）61 圖 4.1-15 畢式樹說明（3）62
今對畢式樹的討論如下：
畢式樹是以其中的三角形為基礎，改變三個的度數，便改變三角形狀，也就能得到的不 同畢式樹：
A B C
圖 4.1-16 改變畢式樹中基礎三角形度數63
如圖 4.1-16，ΔABC 中，∠A=a，∠B=b，∠C=c，今若固定三角形中∠C 的度數， 例如
∠C=90°，則 30°-90°-60°和 60°-90°-30°二種三角形所產生的畢式樹，是二個對稱的左右對 稱同型的圖形。如下圖 4.1-17、4.1-18：
B A
C
圖 4.1-17 60°-90°-30°畢式樹，Step=764
B A
C
圖 4.1-18 30°-90°-60°畢式樹，Step=765
同理 a+b=180°-c=常數 k，b=k-a，則 a-c-(b-k)和(b-k)-c-a 二種三角形所產生的畢式樹，亦 是二個對稱的左右對稱同型的圖形，在下面的討論中，同型的圖形，我們都將只列入其 中一種。
今將∠C 固定(∠C 是三個角中最大的一個角)，並由小到大排列，歡察畢式樹的圖形變 化，如表 4.1-1 中所示：
表 4.1-1 畢式樹的圖形變化
∠C
度數 畢式樹形狀
60°
C
A B
60°-60°-60°畢式樹，Step=2
15°-90°-75°畢式樹，Step=7
B A
C
30°-90°-60°畢式樹，Step=7
90°
B A
C
45°-90°-45°畢式樹，Step=7
120° C
A B
15°-120°-45°畢式樹，Step=7
C A B
30°-120°-30°畢式樹，Step=7
_ B _ A
_ C
∠C
度數 畢式樹形狀
C A B
150°
15°-150°-15°畢式樹，Step=7
如圖 4.1-19 所示，在 Step=0 時，ΔABC 是直角三角形， ABDE 的面積是 1，
則因
若正方形
2 2
AC +BC =AB2，得 Step=1 時 如圖 4.1-20 所示。仿前，
4.1-21，在 Step=3 時的所有正方形面積和是 4；同理，在 Step = n時，所有正方形 面積和則是n+1。
所有正方形面積和是 2，
如圖圖
C
A B
E D
圖 4.1-19 畢式樹正方形面積和 說明（1）66
圖 4.1-21 畢式樹正方形面積和 說明（3）68
圖 4.1-20 畢式樹正方形面積和 說明（2）67
an 的
裏的各個 圖形有其個別特殊 在範例中作扼要的
以類似於構作 Pythagore 圖形；然各
Trees 的操作方法，針對適當 製作之處，
基本圖形，可以做出本文 說明。