GSP中的遞迴法則

在數學中，給定一個初始值，和一個運算的規則，便能得到下一個值，重覆這過程，

便是遞迴。在學校課程中，遞迴出現在以下幾個主題中：

… 微積分（極限和近似值）

… Fractals & Chaos

… 算術式

… 幾何學、藝術和設計

… 數列與級數

… 疊代

… 最優化

… 動態系統、統計力學等

此外，遞迴規則亦經常出現在物理學、化學、生物學中等。

3.2.1 遞迴和數學思考

遞迴對數學思考(或問題解決)的幫助，可從以下幾點思考：

• 推斷結果

如果一個數學問題，我們無法直接算出答案，我們能透過一個規則推斷出答案嗎？

如果可以，遞迴能重覆這規則，直到我們找到答案。

• 逼近答案

如果一個數學問題，我們無法直接算出答案，我們能透過一個規則改善我們對答案的猜 測嗎？

如果可以，遞迴能重覆這規則，直到我們逼近答案。

• 切割問題

如果一個數學問題，實在是太難解答，它能夠被分成二個小問題，讓我們從容易的去回 答嗎？

如果可以，遞迴能將問題切割到足夠小的部份，讓這小部份能夠被解決，然後我們能從 各個被解決的部份，得到我們的答案[24]。

3.2.2 GSP 中的遞迴功能

數學家常用許多的數學方法，來描述遞迴的過程。GSP是個幾何的工具，自然是 用幾何的方法，來描述遞迴。GSP中先給定一個initiator（ pre-image objects，比如幾 個點，或幾個數字 ），接下來的圖形或運算，都必須根據給定的initiator來遞迴產生。

Initiator改變，遞迴的結果，就會跟著改變，我們亦能用數字，來控制產生遞迴的次數。

我們把GSP中的遞迴概分成二大類：

1.參數式的遞迴：

在製作遞迴圖形的過程中，需用參數的輔助，經過特定的數學運算，才能製作的圖 形，這部份的遞迴製作過程較複雜，稱參數式的遞迴。

2.圖形式的遞迴：

在製作遞迴圖形的過程中，只需設定圖形的改變方式所製作的圖形（例如讓A點於 下次的遞迴變成B點），這部份的遞迴製作過程較為簡單，稱圖形式的遞迴。

而所完成的遞迴檔案，呈現的介面，則主要分成二種方式，分述如下：

1.步驟化：

將所欲呈現的每個步驟，用按鈕的方式，讓操作者可用步驟化的方式，作檔案的操 作。

2.自動化：

自動化的呈現方式，主要在表達動畫的效果，這也是GSP的特色之一。

今以建構如圖3.2.2-1的圖形為例，說明圖形式的遞迴。任一三角形，取各邊中點，

再連成一個新的三角形，簡單說明製作過程，大部份的圖形式的遞迴，都會用到類似的 過程。

C

A B

圖 3.2.2-1 圖形式的遞迴例圖 1

D

F E

C

A B

圖 3.2.2-2 圖形式的遞迴例圖製作過程2

任意作出Δ ABC，及各邊中點 DEF，如圖 3.2.2-2，選取 ABC 三點，按 GSP 上方選單

【Transform】/【Iterate】

圖 3.2.2-3 圖形式的遞迴例圖選單設定3

並作好如圖 3.2.2-3 疊代的設定，產生新Δ DEF，按下【Iterate】即完成了。

GSP 提供一個功能，當我們選取整個圖形，按下鍵盤上的『＋』號，則能增加一次的遞

迴；按下鍵盤上的『－』號，則能減少一次的遞迴。改變Δ ABC，接下來遞迴產生的三

角形，亦將隨著改變。

參數式的遞迴，則以製作一圓內的正 N 邊形為例，作一簡單的介紹，說明製作方法，

大部份的參數式的遞迴，都會用到類似的過程。

如圖 3.2.2-4，在圓 O 上，任取一點 A，並作一可改變的參數 t，將 A 點旋轉360 t

D

， 得到 B 點，如圖 3.2.2-5，選取 A 點及參數 t，按住 Shift 鍵及 GSP 上方選單【Transform】

/【Iterate To Depth】，並作好 A＝＞B 的遞迴設定，按下【Iterate】即完成了。

圖 3.2.2-4 參數式的遞迴範例（1）4 圖 3.2.2-4 參數式的遞迴範例（2）5

這時候，當我們選取參數 t，按下鍵盤上的『＋』號，則能增加一次的遞迴；按下 鍵盤上的『－』號，則能減少一次的遞迴，只要改變參數 t 的數字，即可改變圓內接正 多邊形的邊數，如圖 3.2.2-5 所示。。

圖 3.2.2-5 參數式的遞迴範例（3）6