本章主要分成三個部分，第一個部分是介紹二種目前常見之動態框架轉換模 型，第一種是適用於框架具有均勻變形行為之動態相似轉換模型，第二種是適用 於非均勻變形區域之動態仿射轉換模型；第二個部分是參數估計的部分，說明在 進行動態框架轉換模型參數估計時，所採用之嚴密平差數學模式，其中包含廣義 平差模型與虛擬觀測平差模型，以及在動態仿射轉換模型中進行參數估計時的特 徵值參數誤差傳播方式；第三部分為數值模擬實驗，假設在框架含有非均勻變形 行為的情況下，估計不同動態框架轉換模型的參數估計成果及評估模型的適用性。
3-1 動態相似轉換模型( Time-variant similarity transformation model )
3-1-1 數學模型
雖然地表參考系統的定義屬於恆常不變，但依據不同觀測技術及實際體現方 式所建立的地表參考框架之間仍會存在系統性的差異。目前在實用上多採用以相 似轉換( Similarity Transformation )為基礎的坐標轉換模型，藉以建立兩種不同框架 間之動態幾何關係。在典型的相似轉換公式中，利用七個獨立參數轉換描述在二 個參考框架所定義的尺度、旋轉和平移的關係(圖 3-1-1)。在圖 3-1-1 中，TRF-A 與 TRF-B 分別代表二個不同的坐標參考框架，其中二個框架間的轉換關係可以透過 一個均勻尺度參數、三軸的旋轉參數及二個框架原點之間的平移參數來描述。其 轉換模式可表示如(3.1.1)式。
[ ]
''
R X T X
v v v+
=
σ
(3.1.1)其中 Xv
代表點位在原始框架下的坐標向量、
X
v'代表轉換後框架下的坐標向 量，σ 代表兩框架間的尺度因子，
[ ] R
代表具有三個獨立參數r (對 X 坐標軸旋轉)、 x
r (對 Y 坐標軸旋轉)、 y r z
(對 Z 坐標軸旋轉)的旋轉矩陣，T v ' = { T x ' , T y ' , T z ' } t
代表在兩框架間原點的平移向量。
圖 3-1-1 不同參考框架間之靜態坐標轉換
靜態坐標轉換模型於實際應用上，可透過選取兩組坐標框架中之適當參考 點，以求取彼此間之轉換參數，並利用這些參數進行不同框架間點位之坐標轉換。
然而根據板塊運動理論，地表點位並非固定，會隨著時間而變動，因此其所依據 之參考框架亦會跟著改變，原本框架間屬於靜態的轉換關係，會隨著地表行為的 變動，轉變為動態框架。不同坐標參考框架之動態行為如圖 3-1-2 所示。在圖 3-1-2 中，TRF-A 與 TRF-B 分別代表不同之坐標參考框架，從
t 時刻到 t 時刻，TRF-A 0
框架與 TRF-B 框架皆有本身框架之動態行為。當考慮二個參考框架皆隨著時間而 變動時，可透過動態框架轉換模型來連結二個參考框架的動態幾何關係。X t
靜態框架轉換
Z t
Y t
z t
y t
x t
O o
A
TRF
−TRF
−B
圖 3-1-2 不同參考框架間之動態坐標轉換 小二乘平差法一次解算，用在(3.1.1)式與(3.1.2)式中，法方程式中的秩( rank )只有
x t
7，而非 14。為了避免在求解參數和參數率時有秩虧的情形發生，在本研究中使用 分段式的參數估計方式，先估計 7 個參數，再估計 7 個參數率。
a. 參數估計
根據動態相似轉換模型中的坐標轉換公式((3.1.1)式)和速度場轉換公式((3.1.2) 式)，可用以進行轉換參數與參數率之估計。在坐標轉換公式中可看到等式左邊 '
X
v 為轉換後坐標向量，等式右邊的 Xv為轉換前坐標向量，二者分別代表在不同框架 下的點位坐標觀測量。由於坐標觀測量是經過測量技術獲得，而觀測量本身具有 誤差，因此在平差的過程中，應該考慮觀測量的精度，作為平差時權矩陣的參考 依據。然而一般平差常用的間接平差模型，在處理觀測量時，其觀測量的偏微分 係數矩陣須為單位矩陣，但是在動態相似轉換模型中，由於坐標轉換公式為觀測 量的非線性函式，等式二邊都含有觀測量，使用間接平差模型，勢必會將等式右 邊的觀測量視為常數，而不把它視作觀測量處理。因此從嚴謹的數學觀點來看，
應於平差的過程中同時考慮等式左右二邊之觀測量精度。所以在參數估計時，採 用廣義平差模型( General Least Squares Model ) ( Mikhail & Ackermann, 1976, pp.
110-115 )作為平差的數學模型。此模型是將轉換前後的坐標和速度場皆視為觀測 量，並考慮其精度作為平差時觀測量權矩陣之依據。它有別於一般傳統平差的處 理方式，將等式右邊的坐標觀測量視為常數，不考慮其精度，直接進行平差。廣 義平差模型在進行參數估計時，可以更完整、嚴謹地描述觀測量在平差過程中的 角色。
廣義平差模型之平差模式如下：
( ) l , x = 0
F
(3.1.3)其中
l
代表觀測量，x
代表參數。(3.1.3)式經線性化後，可得
( l v ) B d
A + + Δ =
(3.1.4)其中
l A F
∂
=∂ ，代表觀測量的偏微分係數矩陣，
x B F
∂
=∂ ，代表參數偏微
分係數矩陣，
v
代表觀測量的殘差(residuals)，Δ 代表參數x
的改正數，d
代表線性 化之常數向量。將(3.1.4)式重新整理後，可得到
f B
Av
+ Δ= (3.1.5)其中
Al d
f
= − (3.1.6)廣差平差模型中權矩陣的給定方式為
( ) 1
1 −
−
==
e t
e Q AQA
W
(3.1.7)其中 Q 代表觀測量的餘因子矩陣( cofactor matrix )。
根據最小二乘平差原理，令 Wv
v t
為最小，可推導出(3.1.8)式( B t W e B ) (
Δ=B t W e f )
(3.1.8)上式可簡化為
t
N Δ =
(3.1.9)其中
N
=B T W e B
，t
=B T W e f
。t N − 1
=
Δ (3.1.10)
殘差的計算方式如(3.1.11)式
( B f )
W QA
v
=t e
− Δ+ (3.1.11)後驗單位權中誤差計算式如下：
( )
r t f W f r Wv
v t
=t e
−Δt
=
2
ˆ
0
σ
(3.1.12)其中 r 代表自由度。
b. 參數率估計
由於參數與參數率之間具有相依性，在平差的過程中，會造成法方程式秩虧 ( rank deficiency )問題，而無法一次估計所有參數與參數率( Han & van Gelder, 2006 )。因此在進行參數估計時，透過分段步驟的方式求解，先估計參數，待參數 估計完成後，再估計參數率。因此在動態相似轉換模型進行參數率估計時，除了 採用廣義平差模型，將轉換前後之速度場皆視為觀測量之外，另外再引入虛擬觀 測平差模型( Unified Least Squares Model ) ( Mikhail & Ackermann, 1976, pp.
333-342 )，也就是將在先前估計得到之參數作為虛擬觀測量，在平差的過程中，考 慮這些參數的精度。
虛擬觀測平差模型如下：
( ) l , x = 0
F
(3.1.13)其中
l
代表觀測量，x
代表參數。上式經線性化，可得
f B
Av
+ Δ= (3.1.14)其中 A 代表觀測量
l
的偏微分係數矩陣， B 代表參數x
的偏微分係數矩陣，v
代表觀測量的殘差，Δ 代表參數x
的改正數，f
=−[ F ( ) ( ) l 0,x 0
+A l
−l 0 ]
，代表線性
化後所留下之常數向量。
虛擬觀測方程式為
x
x x x f
v
−Δ=0
− = (3.1.15)其中 Δ 代表參數 的改正數，
0
(3.1.14)式與(3.1.15)式可合併改寫如(3.1.16)式
其中
Q e
=AQA t
，W e
=Q e − 1
。根據誤差傳播原理( Mikhail & Ackermann, 1976, pp. 72-87 )，方差-協方差矩陣 ( variances-covariances matrix )的計算方式如(3.1.24)式所示。
t
因此在廣義平差模型中的精度估計方面( Mikhail & Ackermann, 1976, pp.
116-118 )，分別如下：
vv vv
vl lv l ll
l Q Q Q Q Q Q
Q ˆ ˆ
= + + + = − (3.1.27)由於在虛擬觀測平差模型中，考慮了參數本身的精度，因此在估計參數精度 時，需要加入考慮參數精度的權矩陣( Mikhail & Ackermann, 1976, pp. 349-352 )。
參數的改正數見(3.1.21)式，經過誤差傳播公式所推導出的參數餘因子矩陣如 (3.1.28)式。
( ) − 1
ΔΔ = N + W xx
Q
(3.1.28)其中
N
代表法方程式矩陣、W 代表參數的權矩陣。 xx
3-2 動態仿射轉換模型( Time-variant affine transformation model )
3-2-1 數學模型
假設一均勻材質的物體，因為受到外力導致非均勻( non-uniform )的變形，可 以透過仿射模型來描述上述之變形行為。圖 3-2-1.代表原本規則排列的點位受到均 勻外力而導致不等向之變形，其中圖左為原始點位，圖右為點位受一外力導致點 位位置改變。從圖 3-2-1 上可以看出，原本為排列規則的點位，經過外力導致變形 後，點位的位置即跟著改變，其中點位所受到三個不同之
λ 1
,λ 2
,λ 3
變形量影響，變 形方向分別用紅色、青綠色與綠色三個向量來表示(圖 3-2-1)。動態仿射轉換模型 透過變形張量元素，描述沿著主軸方向的不同尺度變形來描述內部的變形行為，因此在描述變形行為上比相似轉換模型更具有彈性。
-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 坐標與速度場。模型中同時考慮了主動運動( active motion )的變形行為和被動運動 ( passive motion )的參考框架轉換行為。
假設因外力造成地表變形的情況下，藉由沿著主軸方向的不同尺度變形來描 述主動變形的行為。針對在均勻材質區域中的坐標向量，受到外力導致位置改變，
可透過變位張量( displacement tensor )矩陣來描述其變形行為( Billington & Tate, 1981 )，如(3.2.1)式。 ( orthogonal matrix )的乘積，其物理意義表示點位的變形可藉由主動變形和剛體運 動描述。
[ ] [ ][ ] A = ε A R A
(3.2.2)其中
[ ] ε A
代表3 × 3
對稱矩陣，[ ] R A
代表正交矩陣。將上式代入(3.2.1)式中，可得
(3.2.5)式代表連結具有均勻( homogeneous )變形行為的二個不同坐標參考框架 的關係式。在此模型中，用一個單一的正交矩陣連結剛體旋轉和參考框架旋轉的
[ ] [ ]
3-2-2 參數估計方法 a. 參數估計
動態仿射轉換模型的參數估計方式，與動態相似轉換模型相同，在估計參數 時，採用廣義平差模型(詳見 3-1-2 節)。
b. 參數率估計
動態仿射轉換模型估計參數率時，使用廣差平差模型與虛擬觀測平差模型。
模型內容詳見動態相似轉換模型的參數估計方法(詳見 3-1-2 節)。
c. 精度估計
動態仿射轉換模型的在參數精度估計方面，大致與動態相似轉換模型相同，
其中唯一不同的地方在於特徵值參數的精度估計部分，因為動態仿射轉換模型參 數估計時，一開始求解得到是變形張量元素，而為了更明顯表示在不同方向的主 要變形行為，需要將這些元素分解成特徵值與所對應之特徵向量，因此，需要將 原本在變形張量元素的精度，傳播到特徵值與特徵向量上。
d. 主成分參數誤差傳播
在動態仿射轉換模型中，主變形行為可以由
[ ] ε
來表示，見(3.2.5)式所示。然 而[ ] ε
在三維的情況下為一個3 × 3
的對稱矩陣，其中包含六個獨立元素，必須經由 特徵值特徵向量分解法，將它分解成主成分元素[ ] λ
和所對應之特徵向量[ ] S
，其中3 個獨立的特徵值代表三個主軸方向的變形量及其所對應之特徵向量代表三個主 變形方向。也因為如此，在估計參數精度時，需將原本 6 個元素，傳播到 12 個元 素上，即 3 個特徵值與 9 個特徵向量元素。因此在主軸元素的參數精度估計上，
採用 Han et al. ( 2007 ) 所提出之特徵參數(包括特徵值與特徵向量)在三維上的對 稱張量的協方差矩誤差傳播。
利用誤差傳播原理所推導出特徵參數的方差-協方差矩陣為
( )
⎥⎥
0 5
10 x 10
6-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
x 10
6-6
-4 -2 0 2 4 6
x 10
6X (m) Y (m)
Simulated Coordinates & Velocities
Z ( m )
GCP
圖 3-3-1 模擬坐標參考框架含有變異行為之坐標與速度場
5cm
表 3-3-1 動態轉換模型參數估計成果 Time-variant
similarity transformation model
Time-variant affine transformation model Parameters
Estimated Std.
Parameters
Estimated Std.
( ) mas
ppb；尺度率為-0.61 ppb/yr，精度為± 0.84 ppb/yr。在動態仿射轉換模型的參數估計部分，三個旋轉參數分別為-2.87、0.59 與 0.94 (mas)，精度介於± 0.04~ ± 0.09 (mas)；三個平移參數分別為 0.043、-0.025 與 0.029
(m)，精度約為± 4 mm；三個旋轉參數率為-0.22、0.31 與 0.15 (mas/yr)，旋轉參數 率的精度範圍在± 0.025~ ± 0.051(mas/yr)之間；三個平移參數率分別為 0.011、-0.005 與 0.009 (m/yr)，參數精度約為± 2mm；三個主變形量分別為-26.77、-18.37 與 43.12 (ppb)，精度範圍在± 0.44~ ± 0.64 (ppb)之間；三個特徵值參數率分別為-12.82、-9.15
(m)，精度約為± 4 mm；三個旋轉參數率為-0.22、0.31 與 0.15 (mas/yr)，旋轉參數 率的精度範圍在± 0.025~ ± 0.051(mas/yr)之間；三個平移參數率分別為 0.011、-0.005 與 0.009 (m/yr)，參數精度約為± 2mm；三個主變形量分別為-26.77、-18.37 與 43.12 (ppb)，精度範圍在± 0.44~ ± 0.64 (ppb)之間；三個特徵值參數率分別為-12.82、-9.15