第四章 勾股定理證明工作單
第一節 勾股定理證明工作單內容說明
幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對勾股定理都有所 研究，此定理是一個歷史悠久的定理，最早可回溯至古埃及在西元前 2600 年的 紙草書就有(3,4,5)這一組勾股數的發現，除了埃及人外也從古巴比倫泥板中發 現，約西元前 1900-1600 年時，古巴比倫人已經知道至少 15 組勾股數，其中涉 及的最大的一個勾股數組是(18541，12709，13500)。
在西方國家將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理」(Pythagorean theorem)，
是因為大家認為是畢達哥拉斯(Pythagoras, 560B.C.- 480B.C.)在最早發現此定 理的，或至少是最先證明它的，而在西方最早有關勾股定理證明的紀載出現在約 西元前 300 年，歐幾里得完成《幾何原本》，勾股定理出現在命題 I.47，並且他 在命題 VI.31 再給了另一個不同的證明，而歐幾里得在為其著作《幾何原本》做 註解時仍將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派。
在中國，最早《史記》記載大禹治水—左治繩右規矩，那就是運用勾股測量 的工具，有關勾股定理的記載，最早出現在西元前 100 年西漢時代《周髀算經》
中，文中敘述商高在西元前 1100 年曾提過「勾廣三、股脩四、徑偶五」，然而 商高所提到的是一個特別的直角三角形之邊長關係，即邊長為 3、4、5 的直角三 角形，並無觸及一般性的「勾股定理」，有關一般性的勾股定理最早記載在《周 髀算經·榮方問於陳子》中「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自 乘，並而開方除之，得邪至日」，這段敘述除了指出三角測量的方法外，並提到 定理的一般性原則，即「句股各自乘，並而開方除之，即弦」，即c a2 b2 。
早在勾股定理證明出現之前，勾股測量對於解決生活中相關的應用問題，已 有相當程度的發展，但是都尚未談及理論性的證明，中國自《九章算術》之後，
歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到東漢末年趙爽(趙君卿) 的「弦圖」出現才為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明，他是利用割補法 證明了勾股定理的，用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，
既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結 合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範，以後的數學家大多繼承了這一風格並 且代有發展。
除了趙爽之外，註解《九章算術》的劉徽則是利用圖形重新排列來證明，他 將其方法稱為「出入相補」〆「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各 從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。」但由於劉徽 的出入相補過於簡約，因此，其弦方如何拼合而成，恐難以獲得公認的答案。
在中國自明代至清末，有一些數學家有條件接觸西洋數學，在中國引進西洋 數學，如徐光啟、梅文鼎、李善蘭、華衡芳、李銳等，他們注重中西數學的融合，
也對中國的勾股定理做出了很大的貢獻。
然而，這類的證明方式並不會被視為一個符合希臘風格的證明，它們的證明 必頇滿足嚴格的邏輯演繹順序，並以公認、自明的公理出發開始證明的。中國數 學家對於證明的想法則是生成一個令人信服的實例，然後在由此推出一般情況。
Joseph Needham(2002)曾說〆「按中國人的方法，幾何圖形具有轉化的作用，由 此數量關係就被概括成代數形式。」
George Gheverghese Joseph(1991)就曾在他的著作上寫過一段話〆「勾股 定理在建立代數幾何以及它對中國代數的發展所作的貢獻是無法估量的，它奠定 了幾何推理的基礎，打破了以往人們的偏見，認為凡是未受希臘數學影響的其他 古代數學都是代數式的和經驗式的。」
圖 2.1.2 劉徽的出入相補圖
第二節 魯米斯的簡介
魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)，出生於美國俄亥俄州梅迪納鎮，
他是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家和土木工程師，但最值得讚許的頭銜 是「教師」，在擔任教師期間，和他接觸的人們身上發揮了深刻的影響力，他認 為真正的教學，值得花時間的教育和正確的生活存在於倫理和道德習慣的形成來 讓一個人的社會貢獻一生，服務應指導一個人的行動，而不是利益，魯米斯曾以 第三人稱來描述自己〆「他作為教師的五十年間，他竭盡所能的培育超過 4000 名的男孩、女孩及年輕男女的行為習慣上，這為他烙刻了深深的印記。」
他撰寫了許多文章及出版許多叢書，範圍從幾何教學到倫理學、哲學及宗教 等主題，其中他所撰寫的數學著作中，魯米斯認為 1907 年動筆，直到 1927 年才 完成出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，1940 年，他還做了修改，同時，他也在這一年去世，雖然魯米斯在數學圈中並不是家 喻戶曉的名字，沒有方程式或是定理是以他的名字命名，除了《勾股定理》這本 書之外，大多數也已被人遺忘，但在他所著作的《勾股定理》這本書，在數學的 教育而言是相當重要的一本書籍，在 1968 年，美國數學教師協會(NCTM)重印這 本著作，當成數學教育經典系列的第一本書籍。
圖 2.2.1 魯米斯肖像
第三節 魯米斯的著作－《勾股定理》
(The Pythagorean Proposition)
中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對勾股定理提出一個原創的新穎 證明，所以勾股定理在當時就有著大量的證明，有人就有將其收集在書或是期刊 中，但都較為零散，直到魯米斯將當時所有的證明整理成書，他所著作的《勾股 定理》(The Pythagorean Proposition)，收集且分類了勾股定理的 371 種證明，
此書首次出版於西元 1927 年，目前已有電子檔可供下載，叢書也收藏於國家圖 書館，第二版於西元 1940 年做了修改後出版。
《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西(Leonardo da Vinci)、托勒密(Claudius Ptolemaeus)、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)、
荷蘭物理學家惠更斯(Huygens)的證明，還有盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge) 約在 1888 年提出的證明，及 16 歲的高中女生安〄康地(Ann Condit)提出的，甚 至是美國總統所提供的…等經典證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供的 證明，可惜的是有些作者可能已無法考據。這本書也穿插了 12 幅名人的肖像，
像是歐幾里得、哥白尼、笛卡兒、伽利略和牛頓，當然也包括了畢德哥拉斯，也 發現許多顯赫之士皆有證明過勾股定理。
而在《勾股定理》這本書出版之後，又有許多勾股定理的新證明被提出，伯 果摩爾尼(Alexander Bogomolny)在他所建立的網站「勾股定理和它許多的證明」
(http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ )收集了許多精彩的證明，他不只 收集了魯米斯書中美妙的證明，也有收集了許多被新提出的勾股定理證明。
圖 2.3.2 《勾股定理》首頁
第四節 教科書的現況
勾股定理在目前的課綱中編排至國民中學第三冊，在此我們挑選 A、B、C 三個市占率較高的教科書版本作為定理證明內容內的剖析，所參考之教科書版本 均為教育部審核通過之樣書，三個版本對於勾股定理的證明有不同的呈現方式〆 版本 A (圖 2.4.1)
證明方式〆利用探索活動的發現，將四個全等直角三角形圍成一個以斜邊為邊 長c2的大正方形，中間會形成一個邊長為兩股差
a b
的小正方形，接著用兩種方式去表示大正方形面積，再運用代數運算式子比較兩種 面積表現式，整理得c2 a2b2。
證明評析〆在證明過程中，雖然圖形中只有以直角三角形斜邊為邊長的正方形面 積，看不見另外以兩股為邊的正方形，可能較難感受到勾股定理在幾 何上的意義，但用此代數證明較為嚴謹，可以簡單整理等式就能推出 勾股定理的式子，此證明是婆什迦羅相當有名的證明，也收錄在魯米 斯《勾股定理》的 A034。
版本 B (圖 2.4.2)
證明方式〆利用畢達哥拉斯的發現，及探索活動進一步說明「以兩股為邊長的 正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，如下圖 2.4.2 課本 中的圖形，學生可用直觀的方式，得到甲、乙、丙三個正方形的面積 關係，進一步得勾股定理。
證明評析〆以畢達哥拉斯的發想作為動機的引起，以直角三角形三邊延伸的正 方形為主軸去說明三個正方形面積關係，純粹用較直觀的方式去作面 積說明，而補充的另一個證明則是用相同的圖再用代數運算來說明，
這樣學生不但較能感受其幾何意義，並且也利用了代數運算讓此證明 較為嚴謹，此證明也有收錄在魯米斯《勾股定理》的 A035。
圖 2.4.2 版本 B 的證明
版本 C (圖 2.4.3)
證明方式〆將四個全等直角三角形圍成一個以兩股和
ab
為邊長的正方形，其圖形中會形成一個邊長為斜邊 c 的正方形，接著用兩種方式去表示 以斜邊為邊長的正方形面積，再運用代數運算比較兩種面積表現式，
整理得c2 a2b2。
證明評析〆此版本證明方式與版本 B 的補充證明是相同的，也與版本 A 的類似
，差異是四個直角三角形的排列方法不同，學生從圖形中較難對勾股 定理的幾何意義有所感受，缺少了較直觀的看法，但也較為嚴謹，此 證明收錄在魯米斯《勾股定理》的 A035。
圖 2.4.3 版本 C 的證明
結語〆綜合以上我們發現三個版本皆是以圖形的拼湊作為證明的依據，圖形是 輔助用，主要還是利用代數運算來證明，其中版本 A、C 僅使用代數運算，
而版本 B 以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸，再進一步作圖形輔助可 直接發現三個正方形面積關係，不但有代數的運算，還有利用到圖形來說 明幾何的意義，學生不但較容易理解，也不失嚴謹。
由此發現三個版本皆是用代數的方式來證明，因為相較於幾何較為嚴 謹，而且皆是魯米斯《勾股定理》書中較為經典的證明，但證明種類不多，
也是因為此時學生的先備知識較少，而在國中三年結束後，學習到幾何與 代數的知識更為廣泛，如果能提供不同的證明方式呈現給學生，讓學生能
第三章 勾股定理的證明分類
第一節 魯米斯《勾股定理》的證明分類
在魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了 371 個關於勾股定理不同的證明，
在魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了 371 個關於勾股定理不同的證明，