勾股定理的代數證明在中學教學上應用

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(1)國立臺灣師範大學數學系碩士班碩士論文. 指導教授〆許志農博士. 勾股定理的代數證明在中學教學上應用. 研究生〆張良聿. 中華民國一百零四年六月.

(2) 摘. 要. 在數學學習的過程中，數學證明一直是學生害怕的數學內容，但證明在數學中的地位是非常重要的，證明能促進我們的邏輯思考，培養和訓練人們的推理能力，本研究為了提升學生邏輯思考能力，利用魯米斯(Elisha Scott Loomis)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)中所蒐集的代數證明去深究，探討哪些適合學生閱讀學習，提供不同於教科書的勾股定理證明，且學生能在自己所擁有先備知識下理解的證明，並為了增加趣味性，與團隊合作開發了幾個勾股定理證明的動畫教材，以提供教師生動、活潑的教學資源，並藉此透過數位教材的多媒體效果，讓學生具體地體會數學之美，更進一步藉由網路分享，提升國人的數學素養。. 關鍵字〆勾股定理、魯米斯(Elisha Scott Loomis)、代數證明、中學數學.

(3) 目. 錄. 摘要第一章緒論 ………………………………………………………………………. 1. 第一節研究背景與動機 ……………………………………………………. 1. 第二節研究目的 ……………………………………………………………. 2. 第三節研究範圍與後續 ……………………………………………………. 3. 第二章文獻探討 …………………………………………………………………. 4. 第一節勾股定理 ……………………………………………………………. 4. 第二節魯米斯的簡介 ………………………………………………………. 6. 第三節魯米斯的著作－《勾股定理》 ……………………………………. 7. 第四節教科書的現況 ………………………………………………………. 8. 第三章勾股定理的證明分類 …………………………………………………… 11 第一節魯米斯《勾股定理》的證明分類 ………………………………… 12 第二節代數證明與幾何證明的區分 ……………………………………… 12 第三節代數證明的分類 …………………………………………………… 17 第四章勾股定理證明工作單 …………………………………………………… 20 第一節勾股定理證明工作單內容說明 …………………………………… 20 第二節工作單內容 ………………………………………………………… 21 A001………………………………………………………………………… 22 A002………………………………………………………………………… 25 A003………………………………………………………………………… 27 A004………………………………………………………………………… 29 A005………………………………………………………………………… 31 A006………………………………………………………………………… 33 A007………………………………………………………………………… 35 A008………………………………………………………………………… 37 A009………………………………………………………………………… 40 A010………………………………………………………………………… 43.

(4) A011………………………………………………………………………… 46 A012………………………………………………………………………… 49 A013………………………………………………………………………… 51 A014………………………………………………………………………… 55 A015………………………………………………………………………… 57 A016………………………………………………………………………… 59 A017………………………………………………………………………… 62 A018………………………………………………………………………… 66 A019………………………………………………………………………… 69 A020………………………………………………………………………… 72 A021………………………………………………………………………… 74 A022………………………………………………………………………… 78 A023………………………………………………………………………… 80 A024………………………………………………………………………… 82 A025………………………………………………………………………… 84 A026………………………………………………………………………… 86 A027………………………………………………………………………… 89 A028………………………………………………………………………… 92 A029………………………………………………………………………… 94 A030………………………………………………………………………… 97 A031…………………………………………………………………………100 A032…………………………………………………………………………102 A033…………………………………………………………………………104 A034…………………………………………………………………………107 A035…………………………………………………………………………110 A036…………………………………………………………………………114 A037…………………………………………………………………………119 A038…………………………………………………………………………122 A039…………………………………………………………………………124.

(5) A040…………………………………………………………………………127 A041…………………………………………………………………………130 A042…………………………………………………………………………133 A043…………………………………………………………………………136 A044…………………………………………………………………………139 A045…………………………………………………………………………141 A046…………………………………………………………………………144 A047…………………………………………………………………………147 A048…………………………………………………………………………150 A049…………………………………………………………………………153 A050…………………………………………………………………………156 Bog041………………………………………………………………………158 第五章參考文獻 …………………………………………………………………161.

(6) 第一章第一節. 緒論. 研究背景與動機. 2011 年大學指定科目考詴中的數乙考科非選擇題考了一題證明題，引發了許多的討論，不少考生認為此題是整份考卷最難的題目，這樣的現象並不令人意外。國內學生在學習數學的過程中充滿挑戰與挫折感，更不用說數學證明，數學證明一直是學生害怕的數學內容，儘管如此我們仍不能動搖其在數學中的重要地位。以國內九年一貫及高中課程綱要為例，內容明確的提到證明的重要性，以及證明的邏輯推導能力，所以要求數學證明的能力是必要的。數學不一定是證明，但我們能確定的是，證明能促進我們的邏輯思考，培養和訓練人們的推理能力，並按照正確思維行事和規律去進行理性思維，提高人們的思維能力。Gibilisco(2005)曾說〆「數學證明已成為許多學生學習數學領域之外的一個有趣課程，純粹是為了使他們的邏輯推理和分析更完整。」本研究以「勾股定理」為研究題材，因為關於勾股定理的證明方法多達約 400 種，堪稱所有定理之冠，可見此定理的重要性與普及性，勾股定理也是目前課綱編制中，中學生在幾何學習上一個重要的開端，約翰內斯〃克卜勒(Johannes Kepler)也曾說過〆「勾股定理與黃金分割是幾何學的兩大寶藏。」在數學學習的過程中，我們最常遇到的不外乎就是「代數」與「幾何」兩大類，在國中提供的勾股定理證明中，雖然我們知道有許多不同的證明，但因教科書版面有限，且學生在此時的先備知識較少，導致教科書中證明僅少數的幾種類型呈現，而在國中三年結束後，學習到幾何與代數的知識更為廣泛，如果能提供不同的證明方式呈現給學生，讓學生能以不同的面向看數學，並培養他們的邏輯推理與分析。在現今科技發達、資訊流通迅速的社會，網路帄台的上傳及分享功能具即時性，讓學習者更具便利，是一個非常便利的資源，因此若能夠開發出與此領域相關的教材，並透過網路帄台將上傳及分享所開發的數學教材，能讓更多的學子及民眾受惠。. 1.

(7) 第二節研究目的數學科綱要的能力指標「S-4-19〆能針對問題，利用幾何或代數性質做簡單證明」中，數學證明是由已知條件或已經確定是正確的性質來推導出某些結論，因此學生在學習時，應將每一步驟所根據的理由適切的表達出來。這個指標的目的在於要讓學生初步認識證明的意義，也說明了培養推理能力正是國中數學教育的重點之一。為了提升邏輯推理的能力，本研究以魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)中所蒐集的代數證明去深究，除了目前教科書所提供的三種勾股定理證明方法外，尋找是否有屬於勾股定理的代數證明是適合讓學生探討，再由數位教材團隊完成教材開發，透過網路分享讓學生、社會大眾甚至是孩童及銀髮族都能夠透過教材欣賞數學，提升國人數學證明，邏輯推理的能力，也可提供教學者課堂教材或是延伸教材及特色課程的發展方向。. 2.

(8) 第三節. 研究範圍與後續. 本研究範圍為魯米斯所著作的《勾股定理》這本書中的其中 50 個勾股定理代數證明，研究著重修補《勾股定理》書上證明的不完整，並將適合用於教學活動的勾股定理證明做互動教材上的研討，除了證明外還提供一些個人淺見，最後與製作團隊合作開發數位教材，目前已將部分教材放置於所設立的專屬網站《非想非非想數學網》http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/ ，提供各年齡學子及社會大眾進行數位學習之用。因勾股定理證明繁多，本研究未完成之其餘證明修補或數位教材則將由勾股定理之製作團隊持續完成，並上傳至專屬網站《非想非非想數學網》帄台上提供大眾做交流，也可透過網路留言板或電子郵件分享自己的教學方式或閱讀心得與建議。. 3.

(9) 第二章文獻探討第一節勾股定理幾乎所有文明古國(希臘、中國、埃及、巴比倫、印度等)對勾股定理都有所研究，此定理是一個歷史悠久的定理，最早可回溯至古埃及在西元前 2600 年的紙草書就有(3,4,5)這一組勾股數的發現，除了埃及人外也從古巴比倫泥板中發現，約西元前 1900-1600 年時，古巴比倫人已經知道至少 15 組勾股數，其中涉及的最大的一個勾股數組是(18541，12709，13500)。在西方國家將勾股定理稱之為「畢達哥拉斯定理」(Pythagorean theorem)，是因為大家認為是畢達哥拉斯(Pythagoras, 560B.C.- 480B.C.)在最早發現此定理的，或至少是最先證明它的，而在西方最早有關勾股定理證明的紀載出現在約西元前 300 年，歐幾里得完成《幾何原本》，勾股定理出現在命題 I.47，並且他在命題 VI.31 再給了另一個不同的證明，而歐幾里得在為其著作《幾何原本》做註解時仍將最早的發現和證明歸功於畢達哥拉斯學派。在中國，最早《史記》記載大禹治水—左治繩右規矩，那就是運用勾股測量的工具，有關勾股定理的記載，最早出現在西元前 100 年西漢時代《周髀算經》中，文中敘述商高在西元前 1100 年曾提過「勾廣三、股脩四、徑偶五」，然而商高所提到的是一個特別的直角三角形之邊長關係，即邊長為 3、4、5 的直角三角形，並無觸及一般性的「勾股定理」，有關一般性的勾股定理最早記載在《周髀算經·榮方問於陳子》中「若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，並而開方除之，得邪至日」，這段敘述除了指出三角測量的方法外，並提到 2 2 定理的一般性原則，即「句股各自乘，並而開方除之，即弦」，即 c  a  b 。. 圖 2.1.1 中國數學家對勾股定理的論證 4.

(10) 早在勾股定理證明出現之前，勾股測量對於解決生活中相關的應用問題，已有相當程度的發展，但是都尚未談及理論性的證明，中國自《九章算術》之後，歷代皆有數學家對勾股測量問題進行著述研究，但直到東漢末年趙爽(趙君卿) 的「弦圖」出現才為勾股定理在中國數學史上較為正式的證明，他是利用割補法證明了勾股定理的，用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範，以後的數學家大多繼承了這一風格並且代有發展。除了趙爽之外，註解《九章算術》的劉徽則是利用圖形重新排列來證明，他將其方法稱為「出入相補」〆「勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不移動也。合成弦方之冪，開方除之，即弦也。」但由於劉徽的出入相補過於簡約，因此，其弦方如何拼合而成，恐難以獲得公認的答案。在中國自明代至清末，有一些數學家有條件接觸西洋數學，在中國引進西洋數學，如徐光啟、梅文鼎、李善蘭、華衡芳、李銳等，他們注重中西數學的融合，也對中國的勾股定理做出了很大的貢獻。然而，這類的證明方式並不會被視為一個符合希臘風格的證明，它們的證明必頇滿足嚴格的邏輯演繹順序，並以公認、自明的公理出發開始證明的。中國數學家對於證明的想法則是生成一個令人信服的實例，然後在由此推出一般情況。 Joseph Needham(2002)曾說〆「按中國人的方法，幾何圖形具有轉化的作用，由此數量關係就被概括成代數形式。」 George Gheverghese Joseph(1991)就曾在他的著作上寫過一段話〆「勾股定理在建立代數幾何以及它對中國代數的發展所作的貢獻是無法估量的，它奠定了幾何推理的基礎，打破了以往人們的偏見，認為凡是未受希臘數學影響的其他古代數學都是代數式的和經驗式的。」. 圖 2.1.2 劉徽的出入相補圖 5.

(11) 第二節. 魯米斯的簡介. 魯米斯(Elisha Scott Loomis, 1852-1940)，出生於美國俄亥俄州梅迪納鎮，他是一位哲學家、數學家、作家、系譜專家和土木工程師，但最值得讚許的頭銜是「教師」，在擔任教師期間，和他接觸的人們身上發揮了深刻的影響力，他認為真正的教學，值得花時間的教育和正確的生活存在於倫理和道德習慣的形成來讓一個人的社會貢獻一生，服務應指導一個人的行動，而不是利益，魯米斯曾以第三人稱來描述自己〆「他作為教師的五十年間，他竭盡所能的培育超過 4000 名的男孩、女孩及年輕男女的行為習慣上，這為他烙刻了深深的印記。」他撰寫了許多文章及出版許多叢書，範圍從幾何教學到倫理學、哲學及宗教等主題，其中他所撰寫的數學著作中，魯米斯認為 1907 年動筆，直到 1927 年才完成出版的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)是他最好的著作，1940 年，他還做了修改，同時，他也在這一年去世，雖然魯米斯在數學圈中並不是家喻戶曉的名字，沒有方程式或是定理是以他的名字命名，除了《勾股定理》這本書之外，大多數也已被人遺忘，但在他所著作的《勾股定理》這本書，在數學的教育而言是相當重要的一本書籍，在 1968 年，美國數學教師協會(NCTM)重印這本著作，當成數學教育經典系列的第一本書籍。. 圖 2.2.1 魯米斯肖像. 6.

(12) 第三節. 魯米斯的著作－《勾股定理》. (The Pythagorean Proposition) 中世紀時期，學生想要獲得數學學位，需要對勾股定理提出一個原創的新穎證明，所以勾股定理在當時就有著大量的證明，有人就有將其收集在書或是期刊中，但都較為零散，直到魯米斯將當時所有的證明整理成書，他所著作的《勾股定理》(The Pythagorean Proposition)，收集且分類了勾股定理的 371 種證明，此書首次出版於西元 1927 年，目前已有電子檔可供下載，叢書也收藏於國家圖書館，第二版於西元 1940 年做了修改後出版。《勾股定理》這本書涵蓋了所有的經典證明，例如像達文西(Leonardo da Vinci)、托勒密(Claudius Ptolemaeus)、萊布尼茲(Gottfried Wilhelm Leibniz)、荷蘭物理學家惠更斯(Huygens)的證明，還有盲眼女孩庫力茲(E. A. Coolidge) 約在 1888 年提出的證明，及 16 歲的高中女生安〄康地(Ann Condit)提出的，甚至是美國總統所提供的…等經典證明，其中也包含許多作者魯米斯自己所提供的證明，可惜的是有些作者可能已無法考據。這本書也穿插了 12 幅名人的肖像，像是歐幾里得、哥白尼、笛卡兒、伽利略和牛頓，當然也包括了畢德哥拉斯，也發現許多顯赫之士皆有證明過勾股定理。而在《勾股定理》這本書出版之後，又有許多勾股定理的新證明被提出，伯果摩爾尼(Alexander Bogomolny)在他所建立的網站「勾股定理和它許多的證明」 (http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/ )收集了許多精彩的證明，他不只收集了魯米斯書中美妙的證明，也有收集了許多被新提出的勾股定理證明。. 圖 2.3.2 《勾股定理》首頁 7.

(13) 第四節. 教科書的現況. 勾股定理在目前的課綱中編排至國民中學第三冊，在此我們挑選 A、B、C 三個市占率較高的教科書版本作為定理證明內容內的剖析，所參考之教科書版本均為教育部審核通過之樣書，三個版本對於勾股定理的證明有不同的呈現方式〆版本 A (圖 2.4.1) 證明方式〆利用探索活動的發現，將四個全等直角三角形圍成一個以斜邊為邊長 c 2 的大正方形，中間會形成一個邊長為兩股差  a  b  的小正方形，接著用兩種方式去表示大正方形面積，再運用代數運算式子比較兩種面積表現式，整理得 c2  a 2  b2 。證明評析〆在證明過程中，雖然圖形中只有以直角三角形斜邊為邊長的正方形面積，看不見另外以兩股為邊的正方形，可能較難感受到勾股定理在幾何上的意義，但用此代數證明較為嚴謹，可以簡單整理等式就能推出勾股定理的式子，此證明是婆什迦羅相當有名的證明，也收錄在魯米斯《勾股定理》的 A034。. 圖 2.4.1 版本 A 的證明 8.

(14) 版本 B (圖 2.4.2) 證明方式〆利用畢達哥拉斯的發現，及探索活動進一步說明「以兩股為邊長的正方形面積和等於以斜邊為邊長的正方形面積」，如下圖 2.4.2 課本中的圖形，學生可用直觀的方式，得到甲、乙、丙三個正方形的面積關係，進一步得勾股定理。證明評析〆以畢達哥拉斯的發想作為動機的引起，以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸去說明三個正方形面積關係，純粹用較直觀的方式去作面積說明，而補充的另一個證明則是用相同的圖再用代數運算來說明，這樣學生不但較能感受其幾何意義，並且也利用了代數運算讓此證明較為嚴謹，此證明也有收錄在魯米斯《勾股定理》的 A035。. 圖 2.4.2 版本 B 的證明. 9.

(15) 版本 C (圖 2.4.3) 證明方式〆將四個全等直角三角形圍成一個以兩股和  a  b  為邊長的正方形，其圖形中會形成一個邊長為斜邊 c 的正方形，接著用兩種方式去表示以斜邊為邊長的正方形面積，再運用代數運算比較兩種面積表現式，整理得 c2  a 2  b2 。證明評析〆此版本證明方式與版本 B 的補充證明是相同的，也與版本 A 的類似，差異是四個直角三角形的排列方法不同，學生從圖形中較難對勾股定理的幾何意義有所感受，缺少了較直觀的看法，但也較為嚴謹，此證明收錄在魯米斯《勾股定理》的 A035。. 圖 2.4.3 版本 C 的證明結語〆綜合以上我們發現三個版本皆是以圖形的拼湊作為證明的依據，圖形是輔助用，主要還是利用代數運算來證明，其中版本 A、C 僅使用代數運算，而版本 B 以直角三角形三邊延伸的正方形為主軸，再進一步作圖形輔助可直接發現三個正方形面積關係，不但有代數的運算，還有利用到圖形來說明幾何的意義，學生不但較容易理解，也不失嚴謹。由此發現三個版本皆是用代數的方式來證明，因為相較於幾何較為嚴謹，而且皆是魯米斯《勾股定理》書中較為經典的證明，但證明種類不多，也是因為此時學生的先備知識較少，而在國中三年結束後，學習到幾何與代數的知識更為廣泛，如果能提供不同的證明方式呈現給學生，讓學生能以不同的面向看數學，並培養他們的邏輯推理與分析。 10.

(16) 第三章. 勾股定理的證明分類. 數學有相當久遠的歷史，從史前人類透過自然觀察發展幾何知識開始即有勾股數的發現，而勾股定理是數學定理中證明方法最多的定理之一，雖然如此仍有許多人努力地在探究是否有更多的方式可以證明。一直到了 14 世紀文藝復興前，儘管此時被稱為數學的黑暗期，但關於勾股定理的證明卻已相當豐富，此時勾股定理的分類一般而言可以分為三種〆 1. 面積證法〆出自《幾何原本》第一卷命題 47，收錄在魯米斯《勾股定理》的 G033，主要依賴面積相等的概念來證明。 2. 弦圖證法〆源自中國與印度，利用圖形切、割、移、補，在中國被劉徽稱之為「出入相補」，劉徽的證明也收錄在《勾股定理》G127，在印度則為數學家婆什迦羅(BhāskaraII)為經典，證明同樣收錄在《勾股定理》A036 及 G225。 3. 比例證法〆比例證法是指《幾何原本》第六卷命題 31，運用了相似三角形的比例性質，證明方式傾向代數操作，亦收錄在《勾股定理》A001。 (為了方便敘述，我們編制 A 為魯米斯《勾股定理》這本書中的代數證明， G 為幾何證明。) 數學從古至今一直不斷地延展，甚至在與科學的相互作用下，數學工具如雨後春筍般蓬勃發展，在 14 世紀至 17 世紀文藝復興期間的知識革命，造成近代數學的發展，除了算術、初等代數、以及三角學等初等數學已大體完備，還有變量概念的產生，及在研究力學的過程中微積分的發展等，此時勾股定理的證明方法也隨之延伸發展，關於勾股定理的證明，一直到此時此刻可能都還不斷地發現中，因此有別於文藝復興前，我們以現代的數學工具（或領域）將數百個勾股定理證明分類如下〆 1. 代數證明(包含前述「比例證法」) 2. 幾何證明(包含前述的「面積證法」與「弦圖證法」) 3. 向量證明 4. 數列與級數的證明 5. 三角證明 6. 動態證明(使用物理知識證明) 7. 微積分證明其中上述第 1 到第 5 種證明分類，皆隸屬於目前我們國家的中學生學習範圍內。 11.

(17) 第一節. 魯米斯《勾股定理》的證明分類. 在魯米斯《勾股定理》這本書中，他蒐集了 371 個關於勾股定理不同的證明，並粗略的將勾股定理分成四個種類的證明，如下〆 1. 代數的證明(Algebraic proofs)〆線性關係的基礎。 2. 幾何的證明(Geometric proofs)〆面積比較的基礎，意味著空間的概念。 3. 向量的證明(Quaternionic proofs)〆向量運算的基礎。 4. 動態的證明(Dynamic proofs)〆質量與速度的基礎，意味著力學的概念。由於第 3 種及第 4 種證明是從「幾何的」證明所分出來的，而且裡面內容較少，所以這本書主要是討論「代數」的證明與「幾何」的證明，而書中也特別提到，因為三角函數的基本公式是根據勾股定理的真實性，即 cos2 x  sin 2 x  1這個等式是由勾股定理而來，是先有勾股定理才有三角函數的，因此為了避免循環論證，所以在此不會有與三角函數有關的證明(Trigonometric proof)。. 第二節. 代數證明與幾何證明. 然而魯米斯在這本書中，區分代數與幾何的標準並不明確，似乎是根據以下兩種證明方式做大方向的區分〆「代數」證明是要顯示 a 2  b2  c 2 （看成是純粹的代數表示式），「幾何」證明則是如同畢達哥拉斯理解的，比較直角三角形斜邊上的正方形面積和另外兩股為邊的正方形面積。魯米斯《勾股定理》這本書又將 109 個代數的證明進一步分成七個小群，256 個幾何的證明則依多種標準再分成十個小群，為了能夠較明顯的分辨「代數」與「幾何」的差異，這邊舉一個有名的例子，方便大家理解〆此證明的圖形來源為印度數學家婆什迦羅(Bhāskara)著名的證明，以下我們分別用「代數」和「幾何」兩種不同的方式說明，在魯米斯《勾股定理》這本書中，分別是 A034 及 G225 的證明，首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖〆. 12.

(18) 【作輔助圖】 1. 以 AB 為邊長向內作正方形 ABDE 。 2. 在正方形 ABDE 裡取一點 F ，使得 DF  AC 且 EF  BC 。 3. 將 BC 延長，交 DF 於 G 點，將 EF 延長，交 AC 於 H 點，如圖 3.2.1。 D. E. G C. F. H. A. B. 圖 3.2.1. 婆什迦羅的證明圖. 接下來的 A034 求證過程，是利用上圖並使用「代數」的證明方法來說明〆. 【A034 的求證過程】 1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 DEF 、三角形 EAH 、三角形 BDG 皆全等〆因為 DF  AC , EF  BC 又 AB  DE ，所以可推得. DEF  ABC (SSS 全等). 又因為 EAH  90  BAC  ABC ,. AEH  90  DEF  EDF  BAC ，且 EA  AB ，所以可推得 EAH  ABC (ASA 全等). 同理，可推得 BDG  ABC ，由此可知〆. EAH  BDG  DEF  ABC. 2. 說明四邊形 CGFH 為正方形〆因為四邊形 CGFH 四個角的外角皆為直角，所以四邊形 CGFH 四個角的皆為直角，且每邊長皆為 b  a ，推得四邊形 CGFH 為正方形。 13.

(19) 3. 最後正方形利用拆解的方式來算面積，將等式整理，來推出勾股定理的相關式〆將正方形 ABDE 拆解成三角形 AEH 、三角形 BDG 、三角形 DEF 、三角形. ABC 、正方形 CGFH ，即 ABDE  AEH  BDG  DEF  ABC  CGFH. . c 2  4  ABC  AC  AH. . 2. 1 2 c 2  4  ab   b  a  2 2 c  2ab  b 2  2ab  a 2 , 即. c 2  a 2  b2 . 接著 G225 的求證過程，同樣是利用上圖，並且使用「幾何」的證明方法來說明〆. 【G225 的求證過程】 1. 由上面 A034 的證明中，已經可知三角形 ABC 與三角形 DEF、三角形 EAH 、三角形 BDG 皆全等，且四邊形 CGFH 為正方形。 2. 再來利用圖形的分割，將正方形 ABDE 重新拼湊〆先將正方形 ABDE 作適當的旋轉，如下圖 3.2.2〆. E. G. F A. H. C. B 圖 3.2.2 婆什迦羅的證明圖. 14. D.

(20) 將三角形 AEH 固定 A 點旋轉，並將 AE 與 AB 重合(圖 3.2.3)〆. 圖 3.2.3 將三角形 AEH 旋轉同理，再將三角形 DEF 固定 D 點旋轉，並將 DE 與 DB 重合(圖 3.2.4)〆. 圖 3.2.4. 將三角形 DEF 旋轉 15.

(21) 3. 接著說明新拼湊出來的圖形是兩個正方形〆延長 FH 作輔助線 HI ，如下圖 3.2.5〆. F A. G C. H. H’. D. I 圖 3.2.5. F’. B 拼湊出來的圖形. 因為 ABC  ABH '  BDG  BDF ' ，所以矩形 ACBH ' 與矩形 BGDF ' 的長與寬皆為 AC 與 BC ，因為 FG  BI  AC  BC ，推得. . . AH  IH '  AC  AC  BC  BC ，所以四邊形 AHIH ' 是邊長為 BC 的正方形々. . . 同理，因為 DF  IF '  BC  AC  BC  AC ，所以四邊形 DFIF ' 是邊長為 AC 的正方形。 4. 最後整理第 3 點的結果，來推出勾股定理的相關式〆因為正方形 ABDE 是邊長為 AB 的正方形，經過拼湊後會拼湊成正方形. AHIH ' 與正方形 DFIF ' ，所以整理得 ABDE  AHIH ' DFIF ' 2. 2. 2. AB  BC + AC , 即. c 2  a 2  b2 . 從上面的例子可以發現，「代數的」證明就是利用已知的條件，來證明. a 2  b2  c 2 這個等式，而「幾何的」證明則是要證明兩股為邊形成的正方形面積，會等於斜邊上的正方形面積。 16.

(22) 第三節. 代數證明分類. 魯米斯將《勾股定理》所蒐集的 109 個勾股定理「代數」證明分成七種類型， 256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成十種類型，以下我們主要介紹「代數」的證明，有以下七種類型〆 1. 相似的直角三角形〆這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係來證明，難度算是較容易的，國中的學生就能學習，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多個相似的直角三角形才能推出的證明，而最有代表性的，是歐幾里得的《幾何原本》第六卷命題 31，《幾何原本》中伴隨著這個定理的附圖(圖 3.3.1) 顯示了三個相似的長方形，事實上圖形中的長方形可以替換成任意相似的圖形，說明了勾股定理的一般性，而其證明方式與《勾股定理》的 A001 相同。. 圖 3.3.1. 歐幾里得第六卷第 31 命題所提供的附圖. 2. 比例中項原理〆此類證明算是從第一種類型的特殊型，雖然同樣也是利用相似的直角三角形，但它在推導的過程中運用到比例中項有相關的等式，所以也是國中學生就能學習的範圍，而它用到的等式，是先在直角三角形內作輔助線，作直角三角形的斜邊上的高，讓裡面形成兩個相似的直角三角形，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，推出幾個等式，最後利用這些等式，推出勾股定理的關係式，詳細內容如下〆從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於 D 點，如圖 3.3.2。. 17.

(23) C. D. A 圖 3.3.2. B. 輔助圖. (1)首先證明三角形 ABC 與三角形 ACD 、三角形 CBD 皆相似〆因為 ACB  ADC  90 且 CAB  DAC ，可推得 ABC ~ ACD (AA 相似)，同理，可推得 ABC ~ CBD ，所以. ABC ~ ACD ~ CBD. (2)利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係〆由 ABC ~ CBD 可知〆 BC : BD  AC : BC ，整理得 2. BC  AB  BD. …………………………………① 由 ABC ~ ACD 可知〆 AC : AD  AB : AC ，整理得 2. AC  AB  AD. …………………………………② 由 ACD ~ CBD 可知〆 CD : BD  AD : CD ，整理得 2. CD  AD  BD. …………………………………③ 在這類的證明中，皆會作直角三角形斜邊上的高，並會用到這三個等式的其中一個來推勾股定理。 3. 圓與直角三角形的結合〆這類的證明是利用圓的弦、割線、切線，與直角三角形或是有相似關係的直角三角形結合，利用弦、割線與切線的性質，來推出勾股定理的關係式，所需要的先備知識在國中就有學到。 4. 面積的比例關係〆這類的證明是根據相似形證明的，與幾何原本第六卷命題 31 有關，第六 18.

(24) 卷命題 31 說〆在直角三角形中，直角對邊上的圖形等於包含直角邊上的相似及類似畫出的圖形。這一命題幾乎跟第一卷命題 47 相同，只是用「圖形」取代了「正方形」，所以它不必是正方形，甚至不必是多邊形，只要是任意類似建構的圖形就可以，在這種意義下，相較第一卷命題 47，第六卷命題 31 是勾股定理的一個更一般的形式。所以這類的證明是會在直角三角形的各個邊上，形成其他相似的圖形，先求出各圖形的比例關係，進而推出勾股定理的關係式，比例關係對國中的學生就能學習。 5. 極限定理〆這類的證明是先在等腰直角三角形的三邊上作正方形，先說明斜邊上的正方形會與兩股的正方形和相同，再固定斜邊長，調整兩股的長度，此時利用極限的想法，說明兩股的正方形和依舊會與斜邊上的正方形相同，推出勾股定理的關係式，這類證明的想法可能要到高中，甚至大學以後才有辦法理解。 6. 代數與幾何結合〆這類的證明作圖後需要討論圖形的面積，確認圖形面積相等時是用代數的方式推論，比較圖形面積時是用幾何的方式討論的，推出勾股定理的關係式，所以是結合代數與幾何的證明，這邊大部分的內容國中就已經學過，只有一些少部分的是要到高中才有辦法理解。 7. 代數與幾何結合，並透過相似多邊形〆這類的證明與前一類的證明類似，差別在作圖時是在直角三角形的三邊上向外延伸作出多邊形，並利用相似多邊形來討論，並推出勾股定理的關係式，也是國中或高中就能理解的。本研究主要是討論代數證明的前兩種分類〆相似的直角三角形、比例中項原理，後面將有詳細的介紹。. 19.

(25) 第四章第一節. 勾股定理證明工作單. 勾股定理證明工作單內容說明. 在本章的第二節中，將會介紹幾個勾股定理的證明，在每個證明中，皆從以角 C 為直角的直角三角形 ABC 出發，並假設 BC  a , AC  b , AB  c (如圖 4.1.1)，不論該定理是歸屬於代數證明還是幾何證明，最終目標皆是欲證明出. a 2  b2  c 2 這個等式。. C. a. b. A. c 圖 4.1.1. B. 直角三角形 ABC. 每個證明都會包含以下三個部分〆【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，以下我們分別就其內容作說明〆第一部分【作輔助圖】〆由於許多證明並非由圖形即可直接證明，而是需要額外的輔助線才有辦法證明，此部分會將作輔助圖的步驟完整列出，而所有的步驟使用尺規即可完成作圖，並在步驟下方呈現完成輔助圖的圖形，讓學生可以理解作圖的程序並作檢驗。第二部分【求證過程】〆此部分是整個證明的重點，包含從已經完成的輔助圖，到證明出勾股定理關係式，由於有些證明的步驟繁瑣，所以會在開頭簡單介紹此證明的脈絡，除了可以讓學生在進行證明前先瞭解整個證明的想法，程度較好的學生甚至可以閱讀完脈絡即可開始嘗詴證明，而其他學生則可以跟著步驟分段來完成證明。在每個證明步驟中，也都會作簡單的敘述，讓學生能清楚知道該步驟要推論的內容。. 20.

(26) 第三部分【註與心得】〆此部分又分成四項〆來源、心得、評量、補充。在「來源」裡會標明原證明的出處，有些證明可能是有名數學家所證明的，或是出自某本書或期刊，讓對此證明有興趣或有疑惑的讀者，可以自行去收集資料來閱讀々「心得」為研究者本人整理完此證明，或者是研究者先行讓學生閱讀後的心得，作個簡單的比較或評論，供給讀者參考々「評量」則是評論此證明適合哪個教學階段所能理解的，或是是否適合教學，以及是否具有欣賞及美學，這些評分皆是研究者整理完此證明，主觀的評價證明內容，雖然如此在這個部分的用意是希望閱讀者可以利用這部分的評價，來快速判斷此證明是否符合他所需要的々「補充」裡會針對該證明簡單介紹作者生帄故事，或是在證明中有利用到學生較不熟悉或未學過的定理，皆會放在補充裡，協助學生對此證明的理解，藉由一些小故事也希望引起學習數學的樂趣與動機，也可以讓學生延伸學習。有鑑於數位化教材能讓教學內容更加生動，也從研究範圍中的勾股定理證明挑選適合的證明製作成動畫，像是 G009, Henry Perigal 等有名的證明，運用動畫的方式將證明呈現，此外，也開發了拼圖教材，讓使用者用出入相補的「弦圖證法」，來了解勾股定理，也增加了趣味性，不論是動畫或拼圖教材，目的是讓使用者帶著愉悅的心情欣賞或體驗勾股定理證明的美學。. 第二節. 工作單內容. 以下工作單我們將介紹 50 個代數分類中的勾股定理證明，如第一節所述，每一個證明皆包含三個部分〆【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，本研究的 50 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，還補充了 Alexander Bogomolny 的一個證明，部分證明內容已開發教學動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生體驗，我們將介紹下述 50 個勾股定理證明〆 A001、A002、A003、A004、A005、A006、A007、A008、A009、A010、A011、A012、 A013、A014、A015、A016、A017、A018、A019、A020、A021、A022、A023、A024、 A025、A026、A027、A028、A029、A030、A031、A032、A033、A034、A035、A036、 A037、A038、A039、A040、A041、A042、A043、A044、A045、A046、A047、A048、 A049、A050、Bog041(Bogomolny 的第 41 個證明)，其中包含許多經典證明。 21.

(27) 勾股定理證明-A001 【作輔助圖】從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於 D 點，如圖所示。 C. D. A. B. 【求證過程】在直角三角形 ABC 內作輔助線，使得裡面形成兩個直角三角形，先說明圖中所有的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 ACD 、三角形 CBD 皆相似：因為 ACB  ADC  90 且 CAB  DAC ，可推得 ABC ~ ACD (AA 相似)，同理，可推得 ABC ~ CBD ，所以. ABC ~ ACD ~ CBD. 2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 CBD 相似可知： BC : BD  AC : BC ，整理得 2. BC  AB  BD. 3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 ACD 相似可知： AC : AD  AB : AC ，整理得 2. AC  AB  AD. 4. 將第 2 點及第 3 點的等式相加整理，推出勾股定理的相關式： 22.

(28) 2. 2. BC  AC  AB  BD  AB  AD. .  AB  BD  AD. .  AB  AB 2.  AB , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明是歐幾里德(Euclid, 325-265 BC)《幾何原本》的第二個證明，出現在第六冊第 31 命題，以及勒讓德(A. M. Legendre, 1752-1833)在 19 世紀早期曾證明過，還有愛因斯坦(A. Einstein, 1879-1955)在他 12 歲時曾自己用此方法證明過勾股定理，除此之外還收錄於以下書籍與期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 65-66. Legendre A. M. (1858). Elements of geometry and trigonometry (pp. 111-112). New York: A. S. Barnes. Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 86). Amsterdam: A. Versluys. George C. Edwards (1896). Elements of geometry (p. 157). New York: Macmillan. 2. 心得：此證明是魯米斯在《勾股定理》這本書中認為是所有勾股定理證明最簡短的，僅簡單在直角的點上作垂線，切出兩個直角三角形，利用三角形相似的性質，來找出一些等式，並簡單將等式代入，即可推出勾股定理，而用此方法證明的人也相當多，算是代數證明中經典的一個證明。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. 美學. ●. ●. ●. 4. 補充：簡述勒讓德與愛因斯坦證明勾股定理的故事：勒讓德是位著名的法國數學家，他的主要貢獻在統計學、數論、抽象代數與數學分析上。勒讓德的主要研究領域是分析學（尤其是橢圓積分理論）、數論、初等幾何與天體力學，取得了許多成果，導致了一系列重要理論的誕生。勒讓德的證明是起源來自歐幾里德證明的圖「風車」，如下圖，他再縮減成此證明的圖，他表示切出的兩個小的直角三角形，都相似於主要的三角形， 23.

(29) 只要有這方面的常識，一點點代數就能完成證明了。. 除此之外，還有愛因斯坦也用過此方法證明勾股定理，愛因斯坦的《自述》和歐幾里得《幾何原本》的分析，可以證實愛因斯坦 12 歲時曾獨立地得出了畢達哥拉斯定理的一種證明，而且這是為數眾多證法中最為簡單和最好的。然而，這不是創新的，因為《幾何原本》中就有了這一證法，但對當時的他來說，並不可能看過此本著作的。愛因斯坦天賦的好奇心、敏銳的理性思維、勤奮的鑽研精神和啟蒙者對他的教育是這一奇蹟發生的必要條件。在愛因斯坦的《自述》中也提到：「在 12 歲時，有位叔叔曾經把畢達哥拉斯定理告訴了我。經過艱鉅的努力以後，我根據三角形相似性成功地證明了這條定理，在這樣做的時候，我覺得，直角三角形各個邊的關係'顯然'完全決定於它的一個銳角。在我看來，只有在類似方式中不是表現得很顯然的東西，才需要證明。」. 24.

(30) 勾股定理證明-A002 【作輔助圖】延長 AC ，且從 B 點作 AB 的垂線，交 AC 於 D 點，如圖所示。 D. C. A. B. 【求證過程】在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖上所有的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 ADB 、三角形 BDC 皆相似：因為 ACB  ABD  90 且 CAB  BAD ，可推得 ABC ~ ADB (AA 相似)，同理，可推得 ADB ~ BDC ，所以. ABC ~ ADB ~ BDC. 2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 ACD 相似可知： AC : BC  BC : CD ，整理得 2. BC  AC  CD. 3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係，並將等式整理，推出勾股定理的關係式：. 25.

(31) 由三角形 ABC 與三角形 ADB 相似可知： AC : AB  AB : AD ，整理得 2. AB  AC  AD. .  AC  AC  CD. . 2.  AC  AC  CD. 2. 將第 2 點的等式 BC  AC  CD 代入上式，得 2. 2. 2. AB  AC  BC ,. 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 65-66. 2. 心得：此證明與 A001 一樣，算是作圖較少的證明，學生閱讀起來也較容易理解，利用三角形相似的性質，來找出一些等式，並簡單將等式代入，即可推出勾股定理。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. 美學. ●. ●. ●. 26.

(32) 勾股定理證明-A003 【作輔助圖】 1. 在 AB 上取一點 D ，使得 BD  BC 。 2. 從 D 點作 AB 的垂線，交 AC 於 E 點。 3. 連接 BE 。 C. E. A. D. B. 【求證過程】在直角三角形 ABC 內作輔助線，讓裡面形成另外三個直角三角形，先說明圖中部分的三角形全等或相似，最後利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 BDE 與三角形 BCE 全等：因為 BDE  BCE  90 , BD  BC 且 BE  BE ，所以. BDE  BCE ( RHS 全等), 推得. DE  CE. 2. 再證明三角形 ABC 與三角形 AED 相似，並推出兩三角形的邊長關係：因為 ADE  ACB  90 且 CAB  DAE ，所以可推得. ABC ~ AED ( AA 相似), 由此可知： AB : AE  AC : AD ，整理得 27.

(33) AB  AD  AC  AE. . . . AB  AB  BD  AC  AC  CE 2. . 2. AB  AB  BC  AC  AC  DE. 3. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出兩三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 AED 相似可知： BC : DE  AC : AD ，整理得. BC  AD  AC  DE. . . BC  AB  BD  AC  DE 2. BC  AB  BC  AC  DE. 4. 將第 2 點及第 3 點的等式相加整理，推出勾股定理的關係式： 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AB  AB  BC  BC  AB  BC  AC  AC  DE  AC  DE 2. AB  BC  AC. 2. AB  AC  BC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 66. J. M. Richardson (1859). Note on the forty-seventh proposition of euclid, Mathematical Monthly, 2(2), 45. 2. 心得：此證明雖然輔助線較前兩個多，學生可能會認為較困難，但其實一樣只是利用三角形相似的性質，來找出一些等式，並簡單將等式相加，即可推出勾股定理。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 28. 美學.

(34) 勾股定理證明-A004 【作輔助圖】 1. 延長 AB ，且在 AB 上取一點 D ，使得 BD  BC 。 2. 從 D 點作 AD 的垂線，交 AC 於 E 點。 3. 連接 BE 。 E. C. A. B. D. 【求證過程】在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中部分的三角形全等或相似，最後利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 BDE 與三角形 BCE 全等：因為 BDE  BCE  90 , BD  BC 且 BE  BE ，所以. BDE  BCE ( RHS 全等), 可推得. DE  CE. 2. 再證明三角形 ABC 與三角形 AED 相似，並推出兩三角形的邊長關係：因為 ADE  ACB  90 且 CAB  DAE ，所以可推得 29.

(35) ABC ~ AED (AA 相似). 由此可知： AB : AE  AC : AD ，整理得. AB  AD  AC  AE. . . . AB  AB  BD  AC  AC  CE 2. . 2. AB  AB  BC  AC  AC  DE. 3. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出兩三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 AED 相似可知： BC : DE  AC : AD ，整理得. BC  AD  AC  DE. . . BC  AB  BD  AC  DE 2. BC  AB  BC  AC  DE. 4. 將第 2 點及第 3 點的等式相減整理，推出勾股定理的關係式： 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AB  AB  BC  BC  AB  BC  AC  AC  DE  AC  DE 2. AB  BC  AC. 2. AB  AC  BC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 67. 2. 心得：此證明與 A003 類似，A003 的 D 點是在 AB 上，此證明的 D 點則是在射線. AB 上，也一樣是利用三角形相似的性質，來找出一些等式，並簡單將等式整理，即可推出勾股定理。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學. 欣賞. ●. ●. 30. 美學.

(36) 勾股定理證明-A005 【作輔助圖】 1. 作 CAB 的角平分線，交 BC 於 D 點。 2. 從 D 點作 AB 的垂線，交 AB 於 E 點。 C. D. A. E. B. 【求證過程】在直角三角形 ABC 內作輔助線，讓裡面形成另外三個直角三角形，先說明圖中部分的三角形全等或相似，最後利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ACD 與三角形 AED 全等：因為 DAC  EAC , DCA  DEA  90 且 AD  AD ，所以. ACD  AED ( AAS 全等), 可推得. CD  DE, AC  AE. 2. 再證明三角形 ABC 與三角形 DBE 相似，並推出兩三角形的邊長關係：因為 ACB  DEB  90 且 ABC  DBE ，所以可推得. ABC ~ DBE (AA 相似). 由此可知： AB : BD  BC : BE ，整理得 31.

(37) AB  BE  BC  BD. . . . AB  AB  AE  BC  BC  BD 2. 2. 2. 2. . AB  AB  AE  BC  BC  BD AB  AB  AC  BC  BC  BD. 3. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出兩三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 DBE 可知： BC : BE  AC : DE ，整理得. BC  DE  AC  BE. . BC  BD  AC  AB  AE. . BC  BD  AC  AB  AC  AE 2. BC  BD  AC  AB  AC . 4. 將第 2 點及第 3 點的等式相減整理，推出勾股定理的關係式： 2. 2. AB  AB  AC  BC  BD  BC  BC  BD  AC  AB  AC 2. 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：根據魯米斯在《勾股定理》這本書中寫道，這個證明是他在 1926 年 2 月 23 日想出來。 2. 心得：此證明其實與 A003 是非常相似的，圖中的 D 點是利用角 A 的角平分線作出，A003 雖然沒提到，但其實 D 點就是在角 B 的角平分線上，所以推論的步驟也非常相像，一樣是利用三角形相似的性質，來找出一些等式，並簡單將等式整理，即可推出勾股定理。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學 ●. 32. 欣賞. 美學.

(38) 勾股定理證明-A006 【作輔助圖】 1. 在 AC 上任意取 D 點。 2. 從 D 點作 AB 的垂線，交 AB 於 E 點。 3. 將 BC 與 DE 延長，交於 F 點。 F C. D. A. E. B. 【求證過程】在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中所有的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 ADE 、三角形 FBE 、三角形 FDC 皆相似：因為 ACB  AED  90 且 BAC  DAE ，可推得 ABC ~ ADE (AA 相似)，同理，可推得 ABC ~ FBE , FBE ~ FDC ，所以. ABC ~ ADE ~ FBE ~ FDC. 2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 ADE 相似可知： AB : AD  AC : AE ，整理得. AB  AE  AD  AC  ( AC  CD)  AC 2.  AC  CD  AC. 3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 FDC 相似可知： BC : CD  AC : CF ，整理得. BC  CF  CD  AC. 33.

(39) 4. 再利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係，並將等式整理，推出勾股定理的關係式：由三角形 ABC 與三角形 FBE 相似可知： AB : BF  BC : BE ，整理得. AB  BE  BF  BC. .  . . AB  AB  AE  BC  CF  BC 2. 2. AB  AB  AE  BC  CF  BC . 2. 2. 將第 2 點及第 3 點的等式 AB  AE  AC  CD  AC 及 AB  AB  AE  BC  CF  BC 代入上式，得 2. 2. AB  AC  CD  AC  CD  AC  BC 2. 2. 2. 2. 2. AB  AC  BC. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(4), 111-112. 2. 心得：此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定理，不過此證明的相似三角形有四個，所以需要用到的等式比前幾個證明的還多，看起來也較繁瑣。 3. 評量：國中 ●. 高中. 教學 ●. 34. 欣賞. 美學. 2.

(40) 勾股定理證明-A007 【作輔助圖】 1. 延長 AB ，且在 AB 上任意取一點 D ，並從 D 點作 AD 的垂線。 2. 延長 BC 及 AC ，分別與垂線交於 E 及 F 點。 F. C. A. B. D. E. 【求證過程】在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中所有的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 AFD 、三角形 EFC 、三角形 EBD 皆相似：因為 ACB  ADF  90 且 BAC  FAD ，可推得 ABC ~ AFD (AA 相似)，同理，可推得 AFD ~ EFC , EFC ~ EBD ，所以. ABC ~ AFD ~ EFC ~ EBD. 2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 EBD 相似可知： AB : BE  BC : BD ，整理得. AB  BD  BE  BC.. 35.

(41) 3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 EFC 相似可知： BC : CF  AC : CE ，整理得. . . BC  BC  BE  AC  CF 2. BC  BC  BE  AC  CF .. 4. 再利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係，並將等式整理，推出勾股定理的關係式：由三角形 ABC 與三角形 AFD 相似可知： AB : AF  AC : AD ，整理得. AB  AD  AF  AC. .  . . AB  AB  BD  AC  CF  AC 2. 2. AB  AB  BD  AC  CF  AC. 2. 將第 2 點及第 3 點的等式 AB  BD  BE  BC 及 BC  BC  BE  AC  CF 代入上式，得 2. 2. 2. 2. 2. AB  BE  BC  AC  BC  BC  BE 2. AB  AC  BC , 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(4), 113. 2. 心得：此證明與前面幾個的證明非常相像，如果取的 D 點與 B 點重疊，則與 A002 相同，而 D 點在 AB 之間，則與 A006 類似，可以考慮與 A006 合併成同一個證明，一樣利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定理。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 36. 欣賞. 美學.

(42) 勾股定理證明-A008 【作輔助圖】 1. 延長 BC ，且在 BC 上取一點 D ，使得 BD  AB 。 2. 連接 AD ，取 AD 的中點 E 。 3. 從 E 點作 AC 的平行線，交 BD 於 F 點。 4. 連接 BE 。 D F C. E. A. B. 【求證過程】在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中部分的三角形全等或相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ABE 與三角形 DBE 全等，並推出兩三角形的角度關係：因為 AB  DB , AE  DE 且 BE  BE ，所以. ABE  DBE (SSS 全等). 由此可知： BEA  BED 又 BEA  BED  180 ，推得. BEA  BED  90. 又因為 EF / / AC ，所以可知. EFD  ACD  90. 37.

(43) 2. 再證明三角形 BDE 與三角形 BEF 、三角形 EDF 、三角形 ADC 皆相似：因為 BED  BFE  90 且 DBE  EBF ，可推得 BDE ~ BEF (AA 相似)，同理，可推得 BDE ~ EDF ~ ADC ，所以. BDE ~ BEF ~ EDF ~ ADC. 3. 利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 EDF 與三角形 ADC 相似可知： DE : AD  DF : CD  EF : AC ，又因為 DE . 1 AD ，所以整理得 2. 1 1 DF  CD ; EF  AC. 2 2 4. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係，並將等式整理，推出勾股定理的關係式：由三角形 BEF 與三角形 ADC 相似可知： BF : AC  EF : CD ，整理得. AC  EF  CD  BF. . . 1 AC  AC  CD  BD  DF 2 2 1 1   AC  CD   BD  CD  2 2   2 1 1   AC  BD  BC   BD  BD  BC  2 2   2 1 1 1  AC  BD  BC   BD  BC  2 2 2  2 2 2 1 1 AC  BD  BC 2 2. . . . . . . 2. . 2. 2. AC  AB  BC , 即. c 2  a 2  b2 .. 38. .

(44) 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下書籍與期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(6/7), 169-170. Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 87), Amsterdam: A. Versluys. Wipper, J. (1880). 46 Beweise des pythagoraischen Lehrsatzes, nebst kurzen biogr. Mittheilgn uber Pythagoras ( p. 39). Leipz.: Friese. 2. 心得：此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定理，由於此證明的相似三角形個數非常多，所以並不是只有此方法，可以利用圖中其他相似三角形相似推出勾股定理的等式，對學生來說此證明相當麻煩，雖然過程沒很多，但作圖複雜不少，會直接認為此證明不好理解。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 39. 欣賞. 美學.

(45) 勾股定理證明-A009 【作輔助圖】 1. 延長 AB ，且在 AB 上任取一點 D ，並從 D 點作 BC 的平行線，交 AC 於 E 點。 2. 從 E 點作 AD 的垂線，交 AD 於 F 點。 E. C. A. B. F. D. 【求證過程】在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中所有的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ABC 與三角形 ADE 、三角形 AEF 、三角形 EDF 皆相似：因為 ACB  AED  90 且 BAC  DAE ，可推得 ABC ~ ADE (AA 相似)，同理，可推得 ABC ~ AEF , ADE ~ EDF ，所以. ABC ~ ADE ~ AEF ~ EDF. 2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 AEF 與三角形 EDF 相似可知： AF : EF  EF : DF ，整理得 2. EF  AF  DF . 3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ADE 與三角形 EDF 相似可知： AD : DE  DE : DF ，整理得. 40.

(46) 2. DE  AD  DF. . .  AF  DF  DF 2.  AF  DF  DF , 2. 將第 2 點的等式 EF  AF  DF 代入上式，得 2. 2. 2. DE  EF  DF . 4. 再利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 EDF 相似可知： AB : DE  BC : DF ，整理得. AB  DF  BC  DE, 又可知： AB : DE  AC : EF ，整理得. AB  EF  AC  DE. 5. 將第 4 點的兩個等式平方後相加整理，推出勾股定理的關係式： 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AB  DF  AB  EF  BC  DE  AC  DE. . 2. 2. AB  DF  EF 2. 2. 2.    BC. 2. 2. . 2. 2.  AC  DE ,. 2. 將第 3 點的等式 DE  EF  DF 代入上式，得 2. 2. . 2. 2. . AB  DE  BC  AC  DE 2. 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 .. 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(6/7), 171. 41.

(47) 2. 心得：此證明如果取的 D 點與 B 點重疊，則與 A001 相同，而 F 點與 B 點重疊，則與 A012 類似，一樣利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定理，而在證明過程中，就已經有證出在 DEF 中有勾股定理相關的等式。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 42. 欣賞. 美學.

(48) 勾股定理證明-A010 【作輔助圖】 1. 延長 AB ，且在 AB 上任取一點 D ，並從 D 點作 AD 的垂線，交 AC 於 E 點。 2. 在 AE 上取一點 F ，使得 AF  AD 。 3. 從 F 點作 AE 的垂線，交 DE 於 G 點。 4. 連接 AG 。 E F. C. G. A. B. D. 【求證過程】在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中部分的三角形全等或相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 ADG 與三角形 AFG 全等：因為 ADG  AFG  90 , AD  AF 且 AG  AG ，所以. ADG  AFG ( RHS 全等), 可推得. DG  FG. 2. 再證明三角形 ABC 與三角形 AED 、三角形 GEF 皆相似：因為 ACB  ADE  90 且 BAC  EAD ，可推得 ABC ~ AED (AA 相似)，同 43.

(49) 理，可推得 ABC ~ GEF ，所以. ABC ~ AED ~ GEF. 3. 利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 AED 與三角形 GEF 相似可知： DE : EF  AD : FG ，整理得. DE  FG  EF  AD DE  DG  EF  AD. 4. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 AED 與三角形 GEF 相似可知： AE : EG  DE : EF ，整理得. DE  EG  EF  AE. . . . DE  DE  DG  EF  AF  EF 2. . 2. DE  DE  DG  EF  AD  EF , 將第 3 點等式 DE  DG  EF  AD 代入上式，得 2. DE  DE  DG  DE  FG  EF 2. 2. 2. DE  2  DE  DG  EF . 5. 再利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 GEF 相似可知： AB : EG  BC : EF ，整理得. AB  EF  BC  EG, 又可知： AB : EG  AC : FG ，整理得. AB  FG  AC  EG. 6. 將第 5 點的兩個等式平方後相加整理，推出勾股定理的關係式：. 44.

(50) 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AB  EF  AB  FG  BC  EG  AC  EG.  AB   EF AB   EF 2. 2. 2. 2. 2. 2.    BC  DG    BC  DG    BC. AB  EF  DG. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.   AC    DE  DG   AC    DE  2 DE  DG  DG  , 2.  AC  EG. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. 將第 4 點的等式 DE  2DE  DG  EF 代入得 2. . 2. AB  EF  DG. 2.    BC  AC    EF 2. 2. 2. AB  BC  AC. 2. 2.  DG. 2. . 2. 即. c 2  a 2  b2 . 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(6/7), 171. 2. 心得：此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定理，而此證明的相似三角形個數非常多，所以並不是只有此方法，可以利用圖中其他三角形相似，一樣可以推出勾股定理，此證明與前面的相比，過程複雜不少，花了許多等式才推出勾股定理，學生較難理解。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 45. 欣賞. 美學.

(51) 勾股定理證明-A011 【作輔助圖】 1. 作 ACB 的角平分線，交 AB 於 D 點。 2. 從 D 點作 BC 的平行線，交 AC 於 E 點。 3. 從 E 點作 AB 的垂線，交 AB 於 F 點。 C. E. A. F. D. B. 【求證過程】在直角三角形 ABC 內作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖中部分的三角形相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。 1. 首先證明三角形 CDE 為等腰直角三角形：因為 DE / / BC 且 ACB  90，可推得 CED  90 ，又 ECD  45 ，所以在三角形. CDE 中， EDC  45 ，由此可知：三角形 CDE 為等腰直角三角形，即 CE  DE. 2. 再證明三角形 ABC 與三角形 ADE 、三角形 AEF 、三角形 EDF 皆相似：因為 ACB  AED  90 且 BAC  DAE ，可推得 ABC ~ ADE (AA 相似)，同理，可推得 ABC ~ AEF , AEF ~ EDF ，所以. ABC ~ ADE ~ AEF ~ EDF. 3. 利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 AEF 與三角形 EDF 相似可知： EF : DF  AF : EF ，整理得 46.

(52) 2. DF  AF  EF . 4. 同樣利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ADE 與三角形 EDF 相似可知： DE : DF  AD : DE ，整理得 2. DE  AD  DF. . 2. . DE  AF  DF  DF 2. 2. DE  AF  DF  DF . 2. 將第 3 點的等式 DF  AF  EF 代入上式，得 2. 2. 2. DE  EF  DF . 5. 再利用第 2 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：由三角形 ABC 與三角形 EDF 相似可知： AB : DE  BC : DF  AC : EF ，整理得. AB  DF  BC  DE, 又可知： AB : DE  AC : EF ，整理得. AB  EF  AC  DE. 6. 將第 6 點的兩個等式平方後相加整理，推出勾股定理的關係式。： 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2. AB  DF  AB  EF  BC  DE  AC  DE. . 2. 2. AB  DF  EF 2. 2. 2.    BC. 2. 2. . 2. 2.  AC  DE ,. 2. 將第 5 點的等式 DE  EF  DF 代入上式，得 2. . 2. AB  DF  EF. 2.    BC 2. 2. 2. 2. 2. AB  BC  AC , 即. c 2  a 2  b2 .. 47. . 2.  AC  DF  EF. 2. .

(53) 【註與心得】 1. 來源：這個證明出自於以下期刊： Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(6/7), 1896, 171. 2. 心得：此證明利用三角形相似的性質，來找出一些等式，再將等式整理推出勾股定理，而在第 5 點中可發現，已經推論出在三角形 DEF 中有勾股定理的相關式，由於此證明的相似三角形個數非常多，所以並不是只有此方法，可以利用圖中其他三角形相似，一樣可以推出勾股定理。 3. 評量：國中. 高中. 教學. ●. 48. 欣賞. 美學.