第三章 勾股定理的證明分類
第二節 代數證明與幾何證明的區分
然而魯米斯在這本書中，區分代數與幾何的標準並不明確，似乎是根據以下 兩種證明方式做大方向的區分〆「代數」證明是要顯示a2 b2 c2（看成是純粹 的代數表示式），「幾何」證明則是如同畢達哥拉斯理解的，比較直角三角形斜邊 上的正方形面積和另外兩股為邊的正方形面積。魯米斯《勾股定理》這本書又將 109 個代數的證明進一步分成七個小群，256 個幾何的證明則依多種標準再分成 十個小群，為了能夠較明顯的分辨「代數」與「幾何」的差異，這邊舉一個有名 的例子，方便大家理解〆
此證明的圖形來源為印度數學家婆什迦羅(Bhāskara)著名的證明，以下我 們分別用「代數」和「幾何」兩種不同的方式說明，在魯米斯《勾股定理》這本 書中，分別是 A034 及 G225 的證明，首先我們先對直角三角形 ABC 作輔助圖〆
【作輔助圖】
AEH DEF EDF BAC
，且EA AB，所以可推得 EAH ABC
(ASA 全等).
同理，可推得BDG ABC，由此可知〆
. EAH BDG DEF ABC
2. 說明四邊形CGFH為正方形〆
因為四邊形CGFH四個角的外角皆為直角，所以四邊形CGFH四個角的皆 為直角，且每邊長皆為b a ，推得
四邊形CGFH為正方形。
3. 最後正方形利用拆解的方式來算面積，將等式整理，來推出勾股定理的相關
ABDE AEH BDG DEF ABC CGFH
c ABC AC AH
將三角形AEH固定A點旋轉，並將AE與AB重合(圖 3.2.3)〆
圖 3.2.3 將三角形AEH 旋轉
同理，再將三角形DEF固定D點旋轉，並將DE與DB重合(圖 3.2.4)〆
圖 3.2.4 將三角形DEF旋轉
3. 接著說明新拼湊出來的圖形是兩個正方形〆 ABDE AHIH DFIF
AB B AC
第三節 代數證明分類
魯米斯將《勾股定理》所蒐集的 109 個勾股定理「代數」證明分成七種類型，
256 個「幾何」的證明則依多種標準再分成十種類型，以下我們主要介紹「代數」
的證明，有以下七種類型〆 1. 相似的直角三角形〆
這類的證明是利用相似直角三角形的線性關係來證明，難度算是較容易 的，國中的學生就能學習，裡面有魯米斯認為最簡短的證明，也有需要許多 個相似的直角三角形才能推出的證明，而最有代表性的，是歐幾里得的《幾 何原本》第六卷命題 31，《幾何原本》中伴隨著這個定理的附圖(圖 3.3.1) 顯示了三個相似的長方形，事實上圖形中的長方形可以替換成任意相似的圖 形，說明了勾股定理的一般性，而其證明方式與《勾股定理》的 A001 相同。
圖 3.3.1 歐幾里得第六卷第 31 命題所提供的附圖 2. 比例中項原理〆
此類證明算是從第一種類型的特殊型，雖然同樣也是利用相似的直角三 角形，但它在推導的過程中運用到比例中項有相關的等式，所以也是國中學 生就能學習的範圍，而它用到的等式，是先在直角三角形內作輔助線，作直 角三角形的斜邊上的高，讓裡面形成兩個相似的直角三角形，再利用相似形
「對應邊成比例」的性質，推出幾個等式，最後利用這些等式，推出勾股定 理的關係式，詳細內容如下〆
從C點作AB的垂線，交AB於D點，如圖 3.3.2。
B
ABC ACD CBD
卷命題 31 說〆在直角三角形中，直角對邊上的圖形等於包含直角邊上的相似 及類似畫出的圖形。這一命題幾乎跟第一卷命題 47 相同，只是用「圖形」取 代了「正方形」，所以它不必是正方形，甚至不必是多邊形，只要是任意類似 建構的圖形就可以，在這種意義下，相較第一卷命題 47，第六卷命題 31 是 勾股定理的一個更一般的形式。所以這類的證明是會在直角三角形的各個邊 上，形成其他相似的圖形，先求出各圖形的比例關係，進而推出勾股定理的 關係式，比例關係對國中的學生就能學習。
5. 極限定理〆
這類的證明是先在等腰直角三角形的三邊上作正方形，先說明斜邊上的 正方形會與兩股的正方形和相同，再固定斜邊長，調整兩股的長度，此時利 用極限的想法，說明兩股的正方形和依舊會與斜邊上的正方形相同，推出勾 股定理的關係式，這類證明的想法可能要到高中，甚至大學以後才有辦法理 解。
6. 代數與幾何結合〆
這類的證明作圖後需要討論圖形的面積，確認圖形面積相等時是用代數 的方式推論，比較圖形面積時是用幾何的方式討論的，推出勾股定理的關係 式，所以是結合代數與幾何的證明，這邊大部分的內容國中就已經學過，只 有一些少部分的是要到高中才有辦法理解。
7. 代數與幾何結合，並透過相似多邊形〆
這類的證明與前一類的證明類似，差別在作圖時是在直角三角形的三邊 上向外延伸作出多邊形，並利用相似多邊形來討論，並推出勾股定理的關係 式，也是國中或高中就能理解的。
本研究主要是討論代數證明的前兩種分類〆相似的直角三角形、比例中項原 理，後面將有詳細的介紹。
第四章 勾股定理證明工作單
第一節 勾股定理證明工作單內容說明
在本章的第二節中，將會介紹幾個勾股定理的證明，在每個證明中，皆從以 角C為直角的直角三角形ABC出發，並假設BC a, AC b, ABc(如圖 4.1.1)，不論該定理是歸屬於代數證明還是幾何證明，最終目標皆是欲證明出
2 2 2
a b c 這個等式。
A B
C
b a
c
圖 4.1.1 直角三角形ABC 每個證明都會包含以下三個部分〆
【作輔助圖】、【求證過程】、【註與心得】，以下我們分別就其內容作說明〆 第一部分【作輔助圖】〆
由於許多證明並非由圖形即可直接證明，而是需要額外的輔助線才有辦法證 明，此部分會將作輔助圖的步驟完整列出，而所有的步驟使用尺規即可完成作圖，
並在步驟下方呈現完成輔助圖的圖形，讓學生可以理解作圖的程序並作檢驗。
第二部分【求證過程】〆
此部分是整個證明的重點，包含從已經完成的輔助圖，到證明出勾股定理關 係式，由於有些證明的步驟繁瑣，所以會在開頭簡單介紹此證明的脈絡，除了可 以讓學生在進行證明前先瞭解整個證明的想法，程度較好的學生甚至可以閱讀完 脈絡即可開始嘗詴證明，而其他學生則可以跟著步驟分段來完成證明。在每個證 明步驟中，也都會作簡單的敘述，讓學生能清楚知道該步驟要推論的內容。
第三部分【註與心得】〆 挑選適合的證明製作成動畫，像是 G009, Henry Perigal 等有名的證明，運用動 畫的方式將證明呈現，此外，也開發了拼圖教材，讓使用者用出入相補的「弦圖 50 個證明，皆為魯米斯《勾股定理》這本書所收藏，還補充了 Alexander Bogomolny 的一個證明，部分證明內容已開發教學動畫及拼圖操作可於教學時使用並讓學生
A049、A050、Bog041(Bogomolny 的第 41 個證明)，其中包含許多經典證明。
勾股定理證明-A001
【作輔助圖】
從 C 點作 AB 的垂線，交 AB 於D點，如圖所示。
B C
D A
【求證過程】
在直角三角形 ABC 內作輔助線，使得裡面形成兩個直角三角形，先說明圖中所有 的三角形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。
1. 首先證明三角形ABC 與三角形 ACD 、三角形 CBD 皆相似：
因為ACB ADC 90 且 CAB DAC，可推得ABC~ACD(AA 相似)，同 理，可推得ABC ~CBD，所以
~ ~ .
ABC ACD CBD
2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形 CBD 相似可知：BC BD: AC BC: ，整理得
2 .
BC AB BD
3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形 ACD 相似可知：AC AD: AB AC: ，整理得
2 .
AC AB AD
曾證明過，還有愛因斯坦(A. Einstein, 1879-1955)在他 12 歲時曾自己用此方法 證明過勾股定理，除此之外還收錄於以下書籍與期刊：Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 65-66.
Legendre A. M. (1858). Elements of geometry and trigonometry (pp. 111-112).
New York: A. S. Barnes.
Versluys, J. (1914). Zes en negentig bewijzen voor het Theorema van Pythagoras (Ninety-Six Proofs of the Pythagorean Theorem) (p. 86). Amsterdam: A. Versluys.
George C. Edwards (1896). Elements of geometry (p. 157). New York: Macmillan.
2. 心得：此證明是魯米斯在《勾股定理》這本書中認為是所有勾股定理證明最簡短的
只要有這方面的常識，一點點代數就能完成證明了。
除此之外，還有愛因斯坦也用過此方法證明勾股定理，愛因斯坦的《自 述》和歐幾里得《幾何原本》的分析，可以證實愛因斯坦 12 歲時曾獨立地得 出了畢達哥拉斯定理的一種證明，而且這是為數眾多證法中最為簡單和最好 的。然而，這不是創新的，因為《幾何原本》中就有了這一證法，但對當時 的他來說，並不可能看過此本著作的。愛因斯坦天賦的好奇心、敏銳的理性 思維、勤奮的鑽研精神和啟蒙者對他的教育是這一奇蹟發生的必要條件。
在愛因斯坦的《自述》中也提到：「在 12 歲時，有位叔叔曾經把畢達哥 拉斯定理告訴了我。經過艱鉅的努力以後，我根據三角形相似性成功地證明 了這條定理，在這樣做的時候，我覺得，直角三角形各個邊的關係'顯然'完全 決定於它的一個銳角。在我看來，只有在類似方式中不是表現得很顯然的東 西，才需要證明。」
勾股定理證明-A002
【作輔助圖】
延長 AC ，且從B點作 AB 的垂線，交 AC 於 D 點，如圖所示。
A B
C
D
【求證過程】
在直角三角形 ABC 外作輔助線，形成另外的直角三角形，先說明圖上所有的三角 形皆相似，再利用相似形「對應邊成比例」的性質，來推出勾股定理的關係式。
1. 首先證明三角形ABC 與三角形ADB、三角形 BDC 皆相似：
因為ACB ABD 90 且 CAB BAD，可推得ABC ~ADB(AA 相似)，同 理，可推得ADB~BDC，所以
~ ~ .
ABC ADB BDC
2. 利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係：
由三角形 ABC 與三角形 ACD 相似可知：AC BC: BC CD: ，整理得
2 .
BC AC CD
3. 同樣利用第 1 點的三角形相似性質，推出三角形的邊長關係，並將等式整理，推出 勾股定理的關係式：
由三角形 ABC 與三角形ADB相似可知：AC AB: AB AD: ，整理得
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead (1896). New and Old Proofs of the Pythagorean Theorem. The American Mathematical Monthly, 3(3), 65-66.
2. 心得：此證明與 A001 一樣，算是作圖較少的證明，學生閱讀起來也較容易理解，
勾股定理證明-A003
【作輔助圖】
1. 在AB 上取一點D，使得 BDBC。 2. 從D點作 AB 的垂線，交 AC 於E點。
3. 連接BE 。
A B
C
D E
【求證過程】
在直角三角形 ABC 內作輔助線，讓裡面形成另外三個直角三角形，先說明圖中部
在直角三角形 ABC 內作輔助線，讓裡面形成另外三個直角三角形，先說明圖中部